資源簡介

第6講 整式的加減
知識點1 合并同類項
根據(jù)乘法分配律把同類項合并成一項叫做合并同類項.
【典例】
例1若7axb2與﹣3a3by的和為單項式，則xy＝　9　．
【解答】解：∵7axb2與﹣3a3by的和為單項式，
∴x＝3，y＝2，
∴xy＝32＝9．
故答案為：9．
【方法總結(jié)】
此題主要考查了合并同類項，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
例2計算3a2bc﹣4a2bc的結(jié)果是（　　）
A．a(chǎn)2bc B．﹣a2bc C．7a2bc D．﹣1
【解答】解：3a2bc﹣4a2bc＝﹣a2bc，
故選：B．
【方法總結(jié)】
此題考查合并同類項，關(guān)鍵是根據(jù)合并同類項的法則計算．
例3計算3a2bc﹣4a2bc的結(jié)果是（　　）
A．a(chǎn)2bc B．﹣a2bc C．7a2b c D．﹣1
【解答】解：3a2bc﹣4a2bc
＝﹣a2bc．
故選：B．
【方法總結(jié)】
此題考查合并同類項，關(guān)鍵是根據(jù)合并同類項的法則計算．
【隨堂練習】
1．計算2x2﹣3x2+x2的結(jié)果等于　0?。?br/>【解答】解：2x2﹣3x2+x2
＝（2﹣3+1）x2
＝0．
故答案為：0．
2．計算a2﹣3a2+4a2的結(jié)果等于　2a2?。?br/>【解答】解：a2﹣3a2+4a2
＝（1﹣3+4）a2
＝2a2．
故答案為：2a2．
3．若單項式xm﹣1y2與單項式﹣x2021yn+1可以合并，則m﹣n＝　2021　．
【解答】解：∵單項式xm﹣1y2與單項式﹣x2021yn+1可以合并，
∴xm﹣1y2與﹣x2021yn+1是同類項，
∴m﹣1＝2021，n+1＝2，
∴m＝2022，n＝1，
∴m﹣n＝2022﹣1＝2021．
故答案為：2021．
知識點2 去括號與添括號
1.去括號法則：
括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里面各項的符號都不改變.
括號前面是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉，括號里面各項的符號都要改變.
2.添括號法則：
添括號時，如果括號前面是加號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是減號，括到括號里的各項都改變符號.
【典例】
例1下列運算結(jié)果正確的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．7a2b﹣4ab2＝3a2b
C．x﹣（3y﹣2）＝x﹣3y﹣2 D．﹣2（x+y）＝﹣2x﹣2y
【解答】解：A、2x與3y不是同類項，不能合并，不符合題意．
B、7a2b與4ab2＝不是同類項，不能合并，不符合題意．
C、x﹣（3y﹣2）＝x﹣3y+2，不符合題意．
D、原式＝﹣2x﹣2y，符合題意．
故選：D．
【方法總結(jié)】
本題主要考查了合并同類項和去括號，去括號時，運用乘法的分配律，先把括號前的數(shù)字與括號里各項相乘，再運用括號前是“+”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；括號前是“﹣”，去括號后，括號里的各項都改變符號．
例2去括號：9﹣（2）＝　92?。?br/>【解答】解：原式＝92．
故答案是：92．
【方法總結(jié)】
本題主要考查了去括號法則：如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反．
【隨堂練習】
1．下列去括號正確的是（　?。?br/>A．a(chǎn)﹣（2b﹣c）＝a﹣2b﹣c B．a(chǎn)+2（2b﹣3c）＝a﹣4b﹣6c
C．a(chǎn)+（b﹣3c）＝a﹣b+3c D．a(chǎn)﹣3（2b﹣3c）＝a﹣6b+9c
【解答】解：A、a﹣（2b﹣c）＝a﹣2b+c，故本選項錯誤；
B、a+2（2b﹣3c）＝a+4b﹣6c，故本選項錯誤；
C、a+（b﹣3c）＝a+b﹣3c，故本選項錯誤；
D、a﹣3（2b﹣3c）＝a﹣6b+9c，故本選項正確；
故選：D．
2．下列去括號的過程
（1）a+（b﹣c）＝a+b﹣c；（2）a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c；（3）a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c；（4）a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c．
其中，運算結(jié)果正確的個數(shù)為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：（1）a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故此題正確；
（2）a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故此題正確；
（3）a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，故此題錯誤；
（4）a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，故此題正確．
所以運算結(jié)果正確的個數(shù)為3個，
故選：C．
3．﹣2（x2+x﹣2）＝　﹣2x2﹣2x+4?。?br/>【解答】解：﹣2（x2+x﹣2）
＝﹣（2x2+2x﹣4）
＝﹣2x2﹣2x+4．
故答案為：﹣2x2﹣2x+4．
4．去括號：﹣3（a+3b）＝　﹣3a﹣9b?。?br/>【解答】解：﹣3（a+3b）
＝﹣3a﹣9b．
故答案為：﹣3a﹣9b．
知識點3：整式的加減
幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接。然后去括號，再合并同類項.
【典例】
例1如圖1，將一個邊長為a的正方形紙片剪去兩個小長方形，得到一個“S”圖案，如圖2所示，再將剪下的兩個小長方形拼成一個新的長方形，如圖3所示，則新長方形的周長可表示為（　　）
A．4a﹣10b B．2a﹣3b C．2a﹣4b D．4a﹣8b
【解答】解：根據(jù)題意得：新長方形的長為a﹣b，寬為a﹣3b，
則新長方形的周長為2[（a﹣b）+（a﹣3b）]＝2（2a﹣4b）＝4a﹣8b．
故選：D．
【方法總結(jié)】
此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
例2下面是小芳做的一道多項式的加減運算題，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．（﹣x2+3xyy2）﹣（x2+4xyy2）x2+y2，陰影部分即為被墨跡弄污的部分．那么被墨汁遮住的一項應(yīng)是（　?。?br/>A．﹣7xy B．+7xy C．﹣xy D．+xy
【解答】解：由題意得，被墨汁遮住的一項＝（﹣x2+3xyy2）﹣（x2+4xyy2）﹣（x2+y2）
＝﹣x2+3xyy2x2﹣4xyy2x2﹣y2
＝﹣xy．
故選：C．
【方法總結(jié)】
本題考查的是整式的加減，熟知整式的加減實質(zhì)上是合并同類項是解答此題的關(guān)鍵．
例3若多項式3x2﹣3（5+y﹣2x2）+mx2的值與x的值無關(guān)，則m等于（　?。?br/>A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣9
【解答】解：3x2﹣3（5+y﹣2x2）+mx2
＝3x2﹣15﹣3y+6x2+mx2
＝（9+m）x2﹣3y﹣15，
∵多項式3x2﹣3（5+y﹣2x2）+mx2的值與x的值無關(guān)，
∴9+m＝0，
解得m＝﹣9，
故選：D．
【方法總結(jié)】
本題考查整式的加減，解答本題的關(guān)鍵是明確整式加減的計算方法．
【隨堂練習】
1．將兩邊長分別為a和b（a＞b）的正方形紙片按圖1、圖2兩種方式置于長方形ABCD中，（圖1、圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1上中陰影部分的周長為C1，圖2中陰部分的周長為C2，則C1﹣C2的值（　　）
A．0 B．a(chǎn)﹣b C．2a﹣2b D．2b﹣2a
【解答】解：由題意知：C1＝AD+CD﹣b+AD﹣a+a﹣b+a+AB﹣a，
因為四邊形ABCD是長方形，
所以AB＝CD
∴C1＝AD+CD﹣b+AD﹣a+a﹣b+a+AB﹣a＝2AD+2AB﹣2b，
同理，C2＝AD﹣b+AB﹣a+a﹣b+a+BC﹣a+AB＝2AD+2AB﹣2b，
故C1﹣C2＝0．
故選：A．
2．如果M＝x2+3x+12，N＝﹣x2+3x﹣5，那么M與N的大小關(guān)系是（　?。?br/>A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．無法確定
【解答】解：∵M＝x2+3x+12，N＝﹣x2+3x﹣5，
∴M﹣N
＝（x2+3x+12）﹣（﹣x2+3x﹣5）
＝x2+3x+12+x2﹣3x+5
＝2x2+17，
∵不論x為何值，2x2≥0，
∴M﹣N＞0，
∴M＞N，
故選：A．
3．以下是馬小虎同學化簡代數(shù)式（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）的過程．
（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）
＝a2b+4ab﹣3ab﹣3a2b…第一步，
＝a2b﹣3a2b+4ab﹣3ab …第二步，
＝ab﹣2a2b …第三步，
（1）馬小虎同學解答過程在第　一　步開始出錯，出錯原因是　去掉括號時，沒有變號?。?br/>（2）請你幫助馬小虎同學寫出正確的解答過程．
【解答】解：（1）馬小虎同學解答過程在第一步開始出錯，出錯原因是去掉括號時，沒有變號，
故答案為：一，去掉括號時，沒有變號；
（2）正確的解答過程是：
（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）
＝a2b+4ab﹣3ab+3a2b
＝4a2b+ab．
4．化簡：
（1）3（2a﹣b）﹣4（3b﹣a）+2（a﹣b）；
（2）3x2+（2x2﹣3x）﹣（5x2﹣x）．
【解答】解：（1）原式＝6a﹣3b﹣12b+4a+2a﹣2b
＝12a﹣17b；
（2）原式＝3x2+2x2﹣3x﹣5x2+x
＝﹣2x．
知識點4：化簡求值
給出整式中字母的值，求整式的值的問題，一般要先化簡，再把給定字母的值代入計算，得出整式的值，不能把數(shù)值直接代入整式中計算．
【典例】
例1解答下列問題：先化簡，再求值：（18a﹣3a2）﹣5（1+2a+a2），其中a2﹣a+3＝0．
【解答】解：（18a﹣3a2）﹣5（1+2a+a2），
＝18a﹣3a2﹣5﹣10a﹣5a2，
＝﹣8a2+8a﹣5，
∵a2﹣a+3＝0，
∴a2﹣a＝﹣3，
∴﹣8a2+8a﹣5，
＝﹣8（a2﹣a）﹣5，
＝﹣8×（﹣3）﹣5，
＝24﹣5，
＝19．
【方法總結(jié)】
本題考查了整式的化簡求值，正確地去括號、合并同類項使化簡的結(jié)果中出現(xiàn)a2﹣a，是解決本題的關(guān)鍵．
例2閱讀材料：我們知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，類似地，我們把（a+b）看成一個整體，則4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b），“整體思想”是中學教學課題中的一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛．
（1）嘗試應(yīng)用：把（a﹣b）2看成一個整體，合并3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+7（a﹣b）2的結(jié)果是　5（a﹣b）2?。?br/>（2）已知x2﹣2y＝1，求3x2﹣6y﹣5的值．
（3）拓展探索：
已知a﹣2b＝2，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝9，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
【解答】解：（1）3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+7（a﹣b）2＝（3﹣5+7）（a﹣b）2＝5（a﹣b）2．
故答案為：5（a﹣b）2；
（2）3x2﹣6y﹣5＝3（x2﹣2y）﹣5，
把x2﹣2y＝1代入上式，
原式＝3×1﹣5＝﹣2；
（3）（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）
＝a﹣c+2b﹣d﹣2b+c
＝（a﹣2b）+（c﹣d）+（2b﹣c），
把a﹣2b＝2，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝9代入上式，
原式＝2+9﹣5＝6．
【方法總結(jié)】
本題主要考查了整式的加減﹣化簡求值，熟練掌握整式的加減運算法則進行計算是解決本題的關(guān)鍵．
【隨堂練習】
1．先化簡，再求值：﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6），其中x，y．
【解答】解：原式＝﹣6x2+3xy+4x2+4xy﹣24
＝﹣2x2+7xy﹣24，
當x，y時，原式＝﹣2×（）2+7×（）24＝﹣25．
2．先化簡，再求值：﹣（a2+6ab﹣1）+2（b+3ab），其中a，b．
【解答】解：原式＝﹣a2﹣6ab+1+2b+6ab﹣1
＝﹣a2+2b，
當a，b時，
原式＝﹣（）2+21×4．
3．先化簡，再求值：2（x2﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x2），其中x＝﹣3，y＝﹣2．
【解答】解：原式＝2x2﹣4y2﹣x+2y﹣x+3y2﹣2x2
＝﹣y2﹣2x+2y；
當x＝﹣3，y＝﹣2時，
原式＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣3）+2×（﹣2）
＝﹣4+6﹣4
＝﹣2．
4．先化簡，再求值：2x2y﹣2[6xy﹣2（4xy﹣2）﹣2x2y]+8，其中x，y＝2．
【解答】解：原式＝2x2y﹣2（6xy﹣8xy+4﹣2x2y）+8
＝2x2y﹣12xy+16xy﹣8+4x2y+8
＝6x2y+4xy，
當時，原式＝62+4×（）×2＝﹣1．
綜合運用
1．下列運算結(jié)果正確的是（　?。?br/>A．2x+3y＝5xy B．﹣2（x+y）＝﹣2x﹣2y
C．x﹣（3y﹣2）＝x﹣3y﹣2 D．7a2b﹣4ab2＝3a2b
【解答】解：A、2x與3y不是同類項，不能合并，不符合題意；
B、根據(jù)去括號法則，括號前面是負號時，去掉括號后，里面的符號都要改變，﹣2（x+y）＝﹣2x﹣2y，符合題意；
C、根據(jù)去括號法則，括號前面是負號時，去掉括號后，里面的符號都要改變，x﹣（3y﹣2）＝x﹣3y+2，不符合題意；
D、7a2b和4ab2不是同類項，不能合并，不符合題意；
故選：B．
2．下列計算正確的是（　?。?br/>A．a(chǎn)+（﹣b+c﹣3d）＝a﹣b+c﹣3d
B．a(chǎn)﹣（﹣2b+c﹣d）＝a+2b﹣c﹣d
C．a(chǎn)﹣2（﹣2b+4c﹣3d）＝a+4b+8c﹣6d
D．a(chǎn)﹣2（﹣3b+c﹣7d）＝a+6b﹣c+7d
【解答】解：A、a+（﹣b+c﹣3d）＝a﹣b+c﹣3d，符合題意；
B、a﹣（﹣2b+c﹣d）＝a+2b﹣c+d，不符合題意；
C、a﹣2（﹣2b+4c﹣3d）＝a+4b﹣8c+6d，不符合題意；
D、a﹣2（﹣3b+c﹣7d）＝a+6b﹣2c+14d，不符合題意．
故選：A．
3．下列單項式中，可以與x2y3合并同類項的是（　?。?br/>A．x3y2 B． C．3x2y D．2x2y3z
【解答】解：A、x3y2與x2y3，所含字母相同，但是相同字母的指數(shù)不相同，不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；
B、與x2y3，所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同，是同類項，能合并，故本選項符合題意；
C、x2y與x2y3，所含字母相同，但是相同字母的指數(shù)不相同，不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；
D、2x2y3z與x2y3，所含字母不盡相同，不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；
故選：B．
4．已知兩個單項式3xym與﹣3xny2的和為0，則m+n的值是　3　．
【解答】解：∵兩個單項式3xym與﹣3xny2的和為0，
∴兩個單項式是同類項，
即m＝2，n＝1，
∴m+n＝3．
故答案為：3．
5．一個多項式加上﹣2a+6等于2a2+a+3，則這個多項式是　2a2+3a﹣3?。?br/>【解答】解：∵一個多項式加上﹣2a+6等于2a2+a+3，
∴這個多項式是：2a2+a+3﹣（﹣2a+6）
＝2a2+a+3+2a﹣6
＝2a2+3a﹣3．
故答案為：2a2+3a﹣3．
6．化簡下列各式：
（1）2（ab﹣2c）+（﹣ab+2c）；
（2）﹣2（3x2﹣xy）+3（x2﹣xy+2）．
【解答】解：（1）原式＝2ab﹣4c﹣ab+2c＝ab﹣2c；
（2）原式＝﹣6x2+2xy+3x2﹣3xy+6＝﹣3x2﹣xy+6．
7．已知：A＝5x2+4x+1，B＝x2+3x﹣2．
（1）求2A+B；
（2）求A﹣2B．
【解答】解：（1）∵A＝5x2+4x+1，B＝x2+3x﹣2，
∴2A+B＝2（5x2+4x+1）+（x2+3x﹣2）
＝10x2+8x+2+x2+3x﹣2
＝11x2+11x；
（2）∵A＝5x2+4x+1，B＝x2+3x﹣2，
∴A﹣2B＝（5x2+4x+1）﹣2（x2+3x﹣2）
＝5x2+4x+1﹣2x2﹣6x+4
＝3x2﹣2x+5．
8．先化簡，再求值：（3a2b﹣ab2）﹣2（ab2﹣3a2b），其中a，b＝﹣3．
【解答】解：原式＝3a2b﹣ab2﹣2ab2+6a2b
＝9a2b﹣3ab2，
當a，b＝﹣3時，
原式＝9×（）2×（﹣3）﹣3（﹣3）2
＝9（﹣3）﹣9
＝﹣3﹣9
＝﹣12．
9．先化簡，再求值：5a2b﹣2（a2b﹣2ab2+1）+3（﹣2ab2+a2b），其中a＝﹣2，b＝1．
【解答】解：原式＝5a2b﹣2a2b+4ab2﹣2﹣6ab2+3a2b
＝6a2b﹣2ab2﹣2
＝2ab（3a﹣b）﹣2，
把a＝﹣2，b＝1代入上式，
原式＝2×（﹣2）×1×[3×（﹣2）﹣1]﹣2＝26．
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