資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
(總課時01)§1.1銳角三角函數（1）
一.選擇題
1．把△ABC三邊的長度都擴大為原來的2倍，則銳角A的正切函數值（B）
A．縮小為原來的 B．不變 C．擴大為原來的2倍 D．擴大為原來的4倍
2.如圖1，在平面直角坐標系中，直線OP過點（1，3），則tanα的值是（ A ）
A． B．3 C． D．
3.（2020·山東初三期末）如圖2，A、B、C三點在正方形網格線的交點處，若將△ABC繞著點A逆時針旋轉得到△AC′B′，則tanB′的值為（D）
A． B． C． D．
4.在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，c＝3a，tanA的值為（B）
A． B． C． D．3
5.如圖3，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D為AB上一點，且AD：DB=1：3，DE⊥AC于點E，連接BE，則tan∠CBE的值等于（C）
A． B． C． D．
二.填空題：
6.如圖4，點A（3，t）在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為α，tanα=，則t的值是__4.5__．
7.如圖5，在邊長相同的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則tan∠APD的值為_2__.
8.如圖6，A、B、C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則tan∠BAC的值為_1__．
9.如圖7，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E為CD邊上一點，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內點F的位置，連接AF，若tan∠BAF＝，則CE＝_____．
三.解答題：
10.如圖8，在平面直角坐標系xOy中，點P(4,3)，OP與x軸正半軸的夾角為α，求tanα的值.
解：過P作PN⊥x軸于N，PM⊥y軸于M，則∠PMO=∠PNO=90°，
∵x軸⊥y軸，∴∠MON=∠PMO=∠PNO=90°，∴四邊形MONP是矩形，
∴PM=ON，PN=OM，∵P（4，3），∴ON=PM=4，PN=3，∴tanα=，
11.如圖9，反比例函數的圖象與正比例函數y＝2x的圖象相交于A（1，a），B兩點，點C在第四象限，CA∥y軸，∠ABC＝90°
（1）求反比例函數的解析式及點B的坐標；（2）求tanC的值．
解：（1）把A（1，a）代入y＝2x，得a＝2，∴A（1，2），
把A（1，2）代入y＝ ，得k＝1×2＝2，∴反比例函數解析式為y＝，
∵點A和點B關于原點對稱，∴點B的坐標為（﹣1，﹣2）；
（2）如圖，∵CA∥y軸，∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠ADO＝90°，∴∠C＝∠AOD，
又∵A（1，2），∴AD＝2，OD＝1，∴tanC＝tan∠AOD＝＝2．
四.提高題：
12.如圖10，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，求BD的長．
解：如圖：延長BA、CD交于E，
∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴DE=2AD=8，∴CE=10+8=18，
∵tan∠ABC=∴tan60°=,∴
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
BD=
圖4
圖3
圖1
圖2
圖7
圖5
圖6
圖8
圖9
圖10
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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(總課時01)§1.1銳角三角函數（1）
【學習目標】能夠用表示直角三角形中兩直角邊的比.
【學習重點】理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯系.
【學習難點】理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.
【導學過程】
一.知識回顧
問題1：相似三角形有什么性質 答：相似三角形對角相等，對應邊成比例.
問題2：直角三角形的三個內角之間滿足怎樣的數量關系 答：兩銳角的和等于直角.
三邊之間滿足怎樣的數量關系 答：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
猜想:直角三角形的銳角和邊長之間滿足特定的數量關系嗎 是怎樣的數量關系呢
二.探究新知
引入1.意大利著名的建筑——比薩斜塔,是世界著名建筑奇觀,位于意大利托斯卡納省比薩城北面的奇跡廣場上,是奇跡廣場四大建筑之一,也是意大利著名的標志之一.它從建成之日起便由于土層松軟而傾斜,應該如何來描述它的傾斜程度呢
引入2.觀察梯子的傾斜程度
圖1和圖2中，這里擺放的兩個梯子，你能辨別出那一個比較陡一些嗎？你是如何判斷的？
引入3.在小明家的墻角處放有一架較長的梯子，墻很高，又沒有足夠長的尺來測量，你有什么巧妙的方法得到梯子的傾斜程度呢？
如圖3，小明想通過測量B1C1及AC1，算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為通過測量B2C2及AC2，算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度．你同意小亮的看法嗎？
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么關系？答：Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
（2）和有什么關系？答：相等.
（3）如果改變梯子的位置呢？由此你得出什么結論？
銳角的三角函數--正切函數的定義
如圖4,在Rt△ABC中,若銳角A確定，那么∠A的對邊與鄰邊的比也隨之確定,這個比叫做A的正切（tangent）,記作tanA.即
注意：
1．tanA是一個完整的符號，它表示∠A的正切，記號里習慣省去角的符號“∠”．
2．tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的對邊與鄰邊的比．
3．tanA不表示“tan”乘以“A”．
4．初中階段，我們只學習直角三角形中，∠A是銳角的正切．
思考：
1．∠B的正切如何表示？它的數學意義是什么？
2．前面我們討論了梯子的傾斜程度，梯子的傾斜程度與tanA有關系嗎？tanA的值越大，梯子越陡.
三.典例與練習
例1.如圖是甲、乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡？
解：甲梯中，tanα＝;乙梯中，tanβ＝
因為tanβ＞tanα，所以乙梯更陡．
練習1.若△ABC在正方形網格紙中的位置如圖4所示，則tanα的值是（ D ）
A． B． C． D．1
例2.如圖5,正切也經常用來描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前進100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
．
結論：坡面與水平面的夾角(α)稱為坡角,坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度i(或坡比),即：坡度等于坡角的正切值.
四.課堂小結：
1.內容總結：在RtΔABC中,設∠C=900，∠α為RtΔABC的一個銳角，則∠α的正切是：.
2.方法歸納：在涉及直角三角形邊角關系時，常借助三角函數來解決.
五.分層過關
1.在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把這個直角三角形的各邊長都擴大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值（ D ）
A.擴大2倍 B.縮小2倍 C.擴大4倍 D.大小不變
2.如圖6所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC邊上的中線，BD=4，AD=2，則tan∠CAD的值是（A ）
A. 2 B. C. D.
3.如圖7，在8×4的矩形網格中，每格小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應的格點上，則tan∠ACB的值為（A）
A. B. C. D. 3
4.如圖8，在邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點O，則tan∠AOD＝2．
5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的高，AC=9，AB=15.
（1）求tan∠1和tan∠2；
（2）tanA和tanB可以用哪些邊的比值來表示.
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=9，AB=15，∴
∵CD是AB邊上的高∴∠ADC=∠BDC=90°∴∠B+∠1=90°，∠A+∠2=90°
∵∠1+∠2=90°∴∠B=∠2，∠A=∠1，
∴tan∠1=tanA=，tan∠2=tanB=.
（2）tanA=，tanB=.
思考題:
如圖，△ABC中，∠A＝90°，點D是AC邊上一點，∠ABD＝∠C，CD＝，tan∠DBC＝，則AB的長是___________
圖1中
（左圖）AC：BC=5：2=2.5
（右圖）ED：FD=5:2.5=2，左邊的比較陡.
圖2中
（左圖）AC：BC=5：2=2.5
（右圖）ED：FD=4:2=2， 左邊的比較陡.
圖1
圖2
圖3
圖4
分析：比較甲、乙兩個自動電梯哪一個陡，只需分別求出tanα、tanβ的值，比較大小，正切值越大，扶梯就越陡．
圖4
圖5
圖6
圖8
圖7
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一.選擇題
1．把△ABC三邊的長度都擴大為原來的2倍，則銳角A的正切函數值（ ）
A．縮小為原來的 B．不變 C．擴大為原來的2倍 D．擴大為原來的4倍
2.如圖1，在平面直角坐標系中，直線OP過點（1，3），則tanα的值是（ ）
A． B．3 C． D．
3.（2020·山東初三期末）如圖2，A、B、C三點在正方形網格線的交點處，若將△ABC繞著點A逆時針旋轉得到△AC′B′，則tanB′的值為（ ）
A． B． C． D．
4.在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，c＝3a，tanA的值為（ ）
A． B． C． D．3
5.如圖3，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D為AB上一點，且AD：DB=1：3，DE⊥AC于點E，連接BE，則tan∠CBE的值等于（ ）
A． B． C． D．
二.填空題：
6.如圖4，點A（3，t）在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為α，tanα=，則t的值是____．
7.如圖5，在邊長相同的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則tan∠APD的值為___.
8.如圖6，A、B、C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則tan∠BAC的值為___．
9.如圖7，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E為CD邊上一點，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內點F的位置，連接AF，若tan∠BAF＝，則CE＝_____．
三.解答題：
10.如圖8，在平面直角坐標系xOy中，點P(4,3)，OP與x軸正半軸的夾角為α，求tanα的值.
11.如圖9，反比例函數的圖象與正比例函數y＝2x的圖象相交于A（1，a），B兩點，點C在第四象限，CA∥y軸，∠ABC＝90°
（1）求反比例函數的解析式及點B的坐標；（2）求tanC的值．
四.提高題：
12.如圖10，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，求BD的長．
圖4
圖3
圖1
圖2
圖7
圖5
圖6
圖8
圖9
圖10
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(總課時01)§1.1銳角三角函數（1）
【學習目標】能夠用表示直角三角形中兩直角邊的比.
【學習重點】理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯系.
【學習難點】理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.
【導學過程】
一.知識回顧
問題1：相似三角形有什么性質 答：_______________________________.
問題2：直角三角形的三個內角之間滿足怎樣的數量關系 答：____________________.
三邊之間滿足怎樣的數量關系 答：_____________________________.
猜想:直角三角形的銳角和邊長之間滿足特定的數量關系嗎 是怎樣的數量關系呢
二.探究新知
引入1.意大利著名的建筑——比薩斜塔,是世界著名建筑奇觀,位于意大利托斯卡納省比薩城北面的奇跡廣場上,是奇跡廣場四大建筑之一,也是意大利著名的標志之一.它從建成之日起便由于土層松軟而傾斜,應該如何來描述它的傾斜程度呢
引入2.觀察梯子的傾斜程度
圖1和圖2中，這里擺放的兩個梯子，你能辨別出那一個比較陡一些嗎？你是如何判斷的？
引入3.在小明家的墻角處放有一架較長的梯子，墻很高，又沒有足夠長的尺來測量，你有什么巧妙的方法得到梯子的傾斜程度呢？
如圖3，小明想通過測量B1C1及AC1，算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為通過測量B2C2及AC2，算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度．你同意小亮的看法嗎？
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么關系？答：_____________________
（2）和有什么關系？答：______.
（3）如果改變梯子的位置呢？由此你得出什么結論？
銳角的三角函數--正切函數的定義
如圖4,在Rt△ABC中,若銳角A確定，那么∠A的對邊與鄰邊的比也隨之確定,這個比叫做A的正切（tangent）,記作tanA.即
注意：
1．tanA是一個完整的符號，它表示∠A的正切，記號里習慣省去角的符號“∠”．
2．tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的對邊與鄰邊的比．
3．tanA不表示“tan”乘以“A”．
4．初中階段，我們只學習直角三角形中，∠A是銳角的正切．
思考：
1．∠B的正切如何表示？它的數學意義是什么？
2．前面我們討論了梯子的傾斜程度，梯子的傾斜程度與tanA有關系嗎？_____________________.
三.典例與練習
例1.如圖是甲、乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡？
解：甲梯中，tanα＝;乙梯中，tanβ＝
因為tanβ____tanα，所以______更陡．
練習1.若△ABC在正方形網格紙中的位置如圖4所示，則tanα的值是（ ）
A． B． C． D．1
例2.如圖5,正切也經常用來描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前進100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
．
結論：坡面與水平面的夾角(α)稱為坡角,坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度i(或坡比),即：坡度等于坡角的正切值.
四.課堂小結：
1.內容總結：在RtΔABC中,設∠C=900，∠α為RtΔABC的一個銳角，則∠α的正切是：.
2.方法歸納：在涉及直角三角形邊角關系時，常借助三角函數來解決.
五.分層過關
1.在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把這個直角三角形的各邊長都擴大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值（ ）
A.擴大2倍 B.縮小2倍 C.擴大4倍 D.大小不變
2.如圖6所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC邊上的中線，BD=4，AD=2，則tan∠CAD的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
3.如圖7，在8×4的矩形網格中，每格小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應的格點上，則tan∠ACB的值為（ ）
A. B. C. D. 3
4.如圖8，在邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點O，則tan∠AOD＝____．
5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的高，AC=9，AB=15.
（1）求tan∠1和tan∠2；
（2）tanA和tanB可以用哪些邊的比值來表示.
思考題:
如圖，△ABC中，∠A＝90°，點D是AC邊上一點，∠ABD＝∠C，CD＝，tan∠DBC＝，則AB的長是___________
圖1中
（左圖）AC：BC=___________
（右圖）ED：FD=_________________.
圖2中
（左圖）AC：BC=______________
（右圖）ED：FD=_________________.
圖1
圖2
圖3
圖4
分析：比較甲、乙兩個自動電梯哪一個陡，只需分別求出tanα、tanβ的值，比較大小，正切值越大，扶梯就越陡．
圖4
圖5
圖6
圖8
圖7
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