資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
(總課時02)§1.1銳角三角函數（2）
一.選擇題：
1.在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，則cosA的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
2.如圖1，△ABC的頂點都是正方形網格中的格點，則sin∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
3.如果∠α是等邊三角形的一個內角，那么cosα的值等于（ ）．
A． B． C． D．
4.把Rt△ABC各邊的長度都擴大3倍得到Rt△A′B′C′，對應銳角A，A′的正弦值的關系為( )
A．sinA＝3sinA′ B．sinA＝sinA′ C．3sinA＝sinA′ D．不能確定
5.如圖2，點M是正方形ABCD邊CD上一點，連接MM，作DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，連接BE，若AF＝1，四邊形ABED的面積為6，則∠EBF的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二.填空題：
6.（2020·河南初三期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，AB＝5，則cosB的值為__．
7.在△ABC中，若∠C=90°，AB=10，sinA=0.4，則BC=_____
8.如圖3，網格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC每個頂點都在網格的交點處，則sinA=____．
9.在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，那么cosB的值＝____．
10.如圖4，由10個完全相同的正三角形構成的網格圖中，∠α,∠β如圖所示，則cos(α+β)=____.
三.解答題：
11.如圖，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，CD是斜邊AB的中線，過點A作AE⊥CD，
AE分別與CD，CB相交于點H，E，且AH=2CH，求sinB的值．
12.如圖6，已知△ABC中，AB=AC，E，D，F分別是邊AB，BC，AC的中點．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=4 ，求四邊形AEDF的周長．
四.提高題：
13.如圖，在平面直角坐標系中，A(8,0),點B在第一象限,△OAB為等邊三角形,OC⊥AB，垂足為點C.CF⊥OA，垂足為F．
（1）求OF的長；
（2）作點C關于y軸的對稱點D，連DA交OB于E，求OE的長．
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖6
圖7
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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(總課時02)§1.1銳角三角函數（2）
【學習目標】認識銳角三角函數——正弦、余弦，
【學習重難點】理解正弦、余弦的數學定義，并用它來解決生活中的實際問題.
【導學過程】
一.知識回顧
1、如圖1，Rt△ABC中，tanA=a/b，tanB=b/a.
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝0.75，AC＝10，BC=7.5,AB=12.5.
3、若梯子與水平面相交的銳角（傾斜角）為∠A，∠A越大，梯子越陡；tanA的值越大，梯子越陡.
4、當Rt△ABC中的一個銳角A確定時,可以用其它的方式來表示梯子的傾斜程度嗎？
二.探究新知
1、正弦、余弦的定義
如圖2,當Rt△ABC中的一個銳角A確定時,它的對邊與鄰邊的
比便隨之確定.此時,其它邊之間的比值也確定嗎
在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖2，
∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦(sine)，記作sinA，即：sinA＝
∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine)，記作cosA，即：cosA=
銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(trigonometricfunction).
2.概念的理解：
你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是∠A的三角函數”呢
如圖3,在Rt△ABC中,①sinA=,cosA=,tanA=
②在“∠A的三角函數”概念中，∠A是自變量，其取值范圍是0°③三個比值是因變量.當∠A變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應.
3.鞏固概念：
(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，
BC=12,cosB=0.6.你發現sinA=cosB;sinB=cosA
小結規律：在直角三角形中，一個銳角的正弦等于它余角的余弦.
（2）如圖4.計算：sinB=，sinE=，
因此sinB”、“=”或“<”）
因此我們發現，當sinA的值越大時，梯子就越陡（填“陡”或“緩”）
（3）計算：cosB=，cosE=，因此cosB>cosE（填“>”、“=”或“<”）
因此我們發現，當cosA的值越大時，梯子就越緩（填“陡”或“緩”）
小結規律：梯子的傾斜程度與sinA,cosA的關系：梯子AB越陡，sinA的值越大,cosA的值越小。
三.典例與練習
例1.如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少 sinB呢
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝，cosA＝,
歸納：∵∠A+∠B=90°，∴sinA=cos(90-A)；cosA＝sin(90°-A).
練習1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，則sinA=，cosB=。
例2.如圖6，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則∠BAC的正弦值是_0.5_.
練習2.如圖7，角α的頂點為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA上
有一點P(3，4)，則cosα＝0.6.
例3如圖8，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值．
解：過點A作AD⊥BC于點D.
∵在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，∴BD＝DC＝2，∠ADB＝90°.
由勾股定理，得AD＝＝4.∴sinB＝＝.
練習3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，下列結論：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；
④tanB＝.其中正確的結論是②③④.(填序號)
四課堂小結：
①sinA，cosA是在直角三角形中定義的,∠A是一個銳角；
②sinA，cosA中常省去角的符號“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示為:sin∠BAC，cos∠BAC.
∠1的正弦和余弦表示為:sin∠1，cos∠1；
③sinA，cosA沒有單位，它表示一個比值；
④sinA，cosA是一個完整的符號，不表示“sin”,“cos”乘以“A” ；
⑤sinA，cosA的大小只與∠A的大小有關,而與直角三角形的邊長沒有必然的關系.
五.分層過關
1.如圖9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，則sinB＝＝( A )
A． B． C． D．
2.△ABC在網格中的位置如圖10(小正方形的邊長均為1)，AD⊥BC于點D.下列四個選項錯誤的是( C )
A．sinα＝cosα B．tanC＝2, C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1
3．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝8，AC＝2，則cosA＝( B )
A. B. C. D.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，AB＝15，則S△ABC＝54.
5.如圖11，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DE=6，sinA=，
則菱形ABCD的周長是40;AC=6
6.如圖12已知：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是AB邊上的中線，BC=8，CD=5。
求sin∠ACD、cos∠ACD和tan∠ACD.
解：∵∠BCA=90°，CD是AB邊上的中線，DC=5 ∴AB=10，AD=CD∴∠ACD=∠A,
∵BC=8,∴AC=6,
∴sin∠ACD=sinA=，cos∠ACD=，tan∠ACD=
思考題：
如圖：在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos∠DAC.
（1）求證：AC=BD;
(2)若sinC=，BC=9，求AD的長.
解：（1）∵AD是BC邊上的高 ∴∠ADB=∠ADC=90°∵tanB=cos∠DAC∴ ∴AC=BD
（2）∵sinc= ∴設AD=12x，AC=13x，則DC=5x，BD=AC=13x，∴BC=18x
∵BC=9 ∴18x=9，x=0.5，AD=12x=6
圖1
圖2
圖3
b
a
c
圖5
圖6
圖7
D
圖8
圖9
圖10
A
B
C
D
E
圖11
圖12
圖13
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(總課時02)§1.1銳角三角函數（2）
一.選擇題：
1.在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，則cosA的值等于（C）
A． B． C．或 D．或
2.如圖1，△ABC的頂點都是正方形網格中的格點，則sin∠ABC等于（ C ）
A． B． C． D．
3.如果∠α是等邊三角形的一個內角，那么cosα的值等于（ A ）．
A． B． C． D．
4.把Rt△ABC各邊的長度都擴大3倍得到Rt△A′B′C′，對應銳角A，A′的正弦值的關系為( B )
A．sinA＝3sinA′ B．sinA＝sinA′ C．3sinA＝sinA′ D．不能確定
5.如圖2，點M是正方形ABCD邊CD上一點，連接MM，作DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，連接BE，若AF＝1，四邊形ABED的面積為6，則∠EBF的余弦值是（B）
A． B． C． D．
二.填空題：
6.（2020·河南初三期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，AB＝5，則cosB的值為_0.8_．
7.在△ABC中，若∠C=90°，AB=10，sinA=0.4，則BC=____4__
8.如圖3，網格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC每個頂點都在網格的交點處，則sinA=____0.6___．
9.在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，那么cosB的值＝0.75．
10.如圖4，由10個完全相同的正三角形構成的網格圖中，∠α,∠β如圖所示，則cos(α+β)=__.
三.解答題：
11.如圖5，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，CD是斜邊AB的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD，CB相交于點H，E，且AH=2CH，求sinB的值．
解：∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB的中線，∴CD=0.5AB=BD.∴∠DCB=∠B．
又∵∠ACD+∠DCB=90，∠ACD+∠CAH=90，∴∠DCB=∠CAH=∠B．
在Rt△ACH中，AH=2CH．∴AC= CH．∴sinB=sin∠CAH= .
12.如圖6，已知△ABC中，AB=AC，E，D，F分別是邊AB，BC，AC的中點．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=4 ，求四邊形AEDF的周長．
解：（1）證明：∵E，D，F分別是邊AB，BC，AC的中點，∴DE∥AF且DE= =AF，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，同理可得，DF∥AB且DF=，
∵AB=AC，∴DE=DF，∴四邊形AEDF是菱形；
（2）解：連接AD，∵AB=AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，BD=DC=，∴AB=,
∵四邊形AEDF是菱形，∴AE=2,∴四邊形AEDF的周長為4×2=8．
四.提高題：
13.如圖7，在平面直角坐標系中，A(8,0),點B在第一象限,△OAB為等邊三角形,OC⊥AB，垂足為點C.CF⊥OA，垂足為F．（1）求OF的長；
（2）作點C關于y軸的對稱點D，連DA交OB于E，求OE的長．
解：（1）如圖所示：過點B作BH⊥OA，垂足為H．
∵OB＝AB，BH⊥OA，∴OH＝AH＝4．∵△OAB為等邊三角形，∴∠BOH＝60°．
∴HB＝OBsin60°＝8×＝．∴點B的坐標為（4，）．∵AO＝OB，OC⊥AB，∴BC＝AC．由中點坐標公式可知點C的坐標為（6，）．∴OF＝6；
（2）如圖所示：連接CD，交OB于G．∵點C與點D關于y軸對稱，
∴CD∥OA，點D（ 6，）．∴△BCG為等邊三角形，∴CG＝4，CD＝12．
∴DG＝12 4＝8＝OA．在△DEG和△AEO中，∴△DEG≌△AEO（AAS），
∴OE＝EG＝OG，∵BG＝BC＝4，∴OG＝4，∴OE＝2．
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖6
圖7
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(總課時02)§1.1銳角三角函數（2）
【學習目標】認識銳角三角函數——正弦、余弦，
【學習重難點】理解正弦、余弦的數學定義，并用它來解決生活中的實際問題.
【導學過程】
一.知識回顧
1、如圖1，Rt△ABC中，tanA = ，tanB= .
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝0.75，AC＝10，BC=____,AB=____.
3、若梯子與水平面相交的銳角（傾斜角）為∠A，∠A越大，梯子越__；tanA的值越大，梯子越__.
4、當Rt△ABC中的一個銳角A確定時,可以用其它的方式來表示梯子的傾斜程度嗎？
二.探究新知
1、正弦、余弦的定義
如圖2,當Rt△ABC中的一個銳角A確定時,它的對邊與鄰邊的
比便隨之確定.此時,其它邊之間的比值也確定嗎
在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖2，
∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦(sine)，記作sinA，即：sinA＝
∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine)，記作cosA，即：cosA=
銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(trigonometricfunction).
2.概念的理解：
你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是∠A的三角函數”呢
如圖3，在Rt△ABC中,①sinA=____,cosA=____,tanA=____
②在“∠A的三角函數”概念中，____是自變量，其取值范圍是________；
③________是因變量.當____變化時，________也分別有唯一確定的值與之對應.
3.鞏固概念：
(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，
BC=__,cosB=____.你發現sinA__cosB;sinB__cosA
小結規律：在直角三角形中，一個銳角的正弦等于它余角的______.
（2）如圖4.計算：sinB=______，sinE=______，
因此sinB__sinE（填“>”、“=”或“<”）
因此我們發現，當sinA的值越大時，梯子就越__（填“陡”或“緩”）
（3）計算：cosB=____，cosE=______，因此cosB____cosE（填“>”、“=”或“<”）
因此我們發現，當cosA的值越大時，梯子就越____（填“陡”或“緩”）
小結規律：梯子的傾斜程度與sinA,cosA的關系：梯子AB越陡，sinA的值越__,cosA的值越__。
三.典例與練習
例1.如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少 sinB呢
解：
歸納：∵∠A+∠B=90°，∴sinA=cos(90-A)；cosA＝sin(90°-A).
練習1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，則sinA=____，cosB=____。
例2.如圖6，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則∠BAC的正弦值是____.
練習2.如圖7，角α的頂點為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA
上有一點P(3，4)，則cosα＝____.
例3如圖8，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值．
練習3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，下列結論：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；
④tanB＝.其中正確的結論是________.(填序號)
四課堂小結：
①sinA，cosA是在直角三角形中定義的,∠A是一個銳角；
②sinA，cosA中常省去角的符號“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示為:sin∠BAC，cos∠BAC.
∠1的正弦和余弦表示為:sin∠1，cos∠1；
③sinA，cosA沒有單位，它表示一個比值；
④sinA，cosA是一個完整的符號，不表示“sin”,“cos”乘以“A” ；
⑤sinA，cosA的大小只與∠A的大小有關,而與直角三角形的邊長沒有必然的關系.
五.分層過關
1.如圖9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，則sinB＝＝( )
A． B． C． D．
2.△ABC在網格中的位置如圖10(小正方形的邊長均為1)，AD⊥BC于點D.下列四個選項錯誤的是( )
A．sinα＝cosα B．tanC＝2, C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1
3．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝8，AC＝2，則cosA＝( )
A. B. C. D.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，AB＝15，則S△ABC＝____.
5.如圖11，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DE=6，sinA=，
則菱形ABCD的周長是____;AC=______
6.如圖12.已知：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是AB邊上的中線，BC=8，CD=5。
求sin∠ACD、cos∠ACD和tan∠ACD.
思考題：
如圖：在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos∠DAC.
（1）求證：AC=BD;
(2)若sinC=，BC=9，求AD的長.
圖1
圖2
圖3
b
a
c
圖5
圖6
圖7
圖8
圖9
圖10
A
B
C
D
E
圖11
圖12
圖13
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