資源簡介

中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
(總課時04)§1.4解直角三角形
一.選擇題：
1.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，則AC=（D）
A． B． C． D．
2.如圖1所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，sinC=0.6，BC=4，則AB長為（ B ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.在下列直角三角形中不能求解的是（C）
A．已知斜邊，一銳角 B．已知兩邊 C．已知兩角 D．已知一直角邊，一銳角
4.如圖2，如圖，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，D為BC的中點，將△ABC折疊，使點A與點D重合，EF為折痕，則sin∠BED的值是（　B　）
A． B． C． D．
5.（2020·廣東初三）如圖3，將Rt△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到Rt△ADE，點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上.若AC=∠B=60°，則CD的長為（ D ）
A．0.5 B．1.5 C． D．1
二.填空題：
6.如圖4，在矩形ABCD中，AB=2,BC=7，點E在邊BC上，tan∠DAE=0.4，則BE=5；若EF⊥AE交AD于點F，則FD的長度為1.2．
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosB=，BC=4，那么AB的長為__6__．
8.如圖5在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,點E、F分別在邊AB、AC上,將△AEF沿直線EF折疊，使點A的對應(yīng)點D恰好落在邊BC上.若△BDE是直角三角形,則CF的長為或．
9.如圖6，菱形ABCD的邊長為10cm，DE⊥AB，sinA=0.6，則這個菱形的面積=60.
三.解答題：
10.如圖7，Rt△ABC中，∠C=90，AC=2，BC=6，解這個直角三角形.
解：如圖：∵∠C=90°，AC=2，BC=6，∴AB=，
∵，∴∠B=30°，∴∠A=60°，
11.如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為邊AB上的中點，DE⊥AB交AC于點E，AD=2DE.
（1）求sinB的值；（2）若CD=，求CE的值.
解（1）∵DE⊥AB，∴∠ACB=∠ADE.∴∠B=∠AED.
設(shè)DE=x，則AD=2DE=2x，∴AE=x，則sinB=sin∠AED=.
（2）∵D為斜邊AB上的中點，∴AD=CD=，∴AB=2.
則， ，∴CE=AC-AE=4-2.5=1.5.
四.提高題：
如圖9，已知：在△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的中線，AB＝13，BC＝10，
（1）求△ABC的面積；（2）求tan∠DBC的值．
解：（1）過點A作AH⊥BC，垂足為點H，交BD于點E．
∵AB＝AC＝13，AH⊥BC，BC＝10∴BH＝5
在Rt△ABH中，AH＝12，∴△ABC的面積＝；
（2）由（1）知：AH＝12，BH=5
∵BD是AC邊上的中線所以點E是△ABC的重心∴EH＝＝4，
∴在Rt△EBH中，tan∠DBC＝＝．
圖2
圖3
圖1
圖4
圖5
圖6
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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(總課時04)§1.4解直角三角形
一.選擇題：
1.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，則AC=（ ）
A． B． C． D．
2.如圖1所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，sinC=0.6，BC=4，則AB長為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.在下列直角三角形中不能求解的是（ ）
A．已知斜邊，一銳角 B．已知兩邊 C．已知兩角 D．已知一直角邊，一銳角
4.如圖2，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，D為BC的中點，將△ABC折疊，使點A與點D重合，EF為折痕，則sin∠BED的值是（　　）
A． B． C． D．
5.（2020·廣東初三）如圖3，將Rt△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到Rt△ADE，點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上.若AC=∠B=60°，則CD的長為（ ）
A．0.5 B．1.5 C． D．1
二.填空題：
6.如圖4，在矩形ABCD中，AB=2,BC=7，點E在邊BC上，tan∠DAE=0.4，則BE=___；若EF⊥AE交AD于點F，則FD的長度為_____．
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosB=，BC=4，那么AB的長為____．
8.如圖5在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,點E、F分別在邊AB、AC上,將△AEF沿直線EF折疊，使點A的對應(yīng)點D恰好落在邊BC上.若△BDE是直角三角形,則CF的長為__________．
9.如圖6，菱形ABCD的邊長為10cm，DE⊥AB，sinA=0.6，則這個菱形的面積=_____.
三.解答題：
10.如圖7，Rt△ABC中，∠C=90，AC=2，BC=6，解這個直角三角形.
11.如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為邊AB上的中點，DE⊥AB交AC于點E，AD=2DE.
（1）求sinB的值；（2）若CD=，求CE的值.
四.提高題：
如圖9，已知：在△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的中線，AB＝13，BC＝10，
（1）求△ABC的面積；
（2）求tan∠DBC的值．
圖2
圖3
圖1
圖4
圖5
圖6
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(總課時04)§1.4解直角三角形
【學習目標】了解解直角三角形的含義,掌握解直角三角形的方法,會用計算器求銳角三角函數(shù)值
【學習重難點】掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系，選用適當?shù)倪吔顷P(guān)系或三角函數(shù)解題．
【導學過程】
一.知識回顧
1.如圖1在Rt△ABC中有__個元素，分別是__條邊和__個角，它們之間有何關(guān)系？
(1)三邊之間的關(guān)系:______ (2)銳角之間的關(guān)系:____________
(3)邊角之間的關(guān)系:(銳角三角函數(shù))
sinA=____=____;cosA=____=____;tanA=____=______
2.填一填：
300 450 600
sinA
cosA
tanA
二.探究新知
在生活中，我們常常遇到與直角三角形有關(guān)的問題，為了解決這些問題，往往需要確定直角三角形的邊和角.
定義：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形.
探究一：如圖2.在直角三角形中，已知一個元素能求出其余元素嗎？
分類討論：已知；
結(jié)論：如果知道一個銳角，只可以再求出另一個銳角；如果知道一條邊，任何其余元素都求不出來，所以知道一個元素不可以求出其余元素。
探究二：如圖2.知道兩個元素能求出其余元素嗎？
分類討論：已知
（1）知道兩條邊，能求其余元素嗎？
已知：在Rt△ABC中，∠C=900，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c.
若a=6,b=2,求∠A、∠B、c.答：_________________________________________.
結(jié)論：如果知道兩邊，可以利用勾股定理求解第三邊，再利用三角函數(shù)求兩銳角；
也可以先根據(jù)已知兩邊選擇對應(yīng)的三角函數(shù)求角，再選擇某三角函數(shù)求第三邊。
深入思考：對照三角形全等的知識思考一下，為什么知道兩條邊就可以解直角三角形呢？
答：________________________________________________________.
(2)知道兩個銳角能求出其余元素嗎？
已知：∠A=300，∠B=600
結(jié)論：知道兩銳角等同于只知道一個銳角，所以也求不出其余元素。
（3）知道一邊一銳角，能求其余元素嗎？
已知b=3,∠A=300,求其它元素。答：_____________________________
結(jié)論：如果知道一邊一銳角，先根據(jù)兩銳角互余求出另一個銳角，再根據(jù)已知的邊和角選擇某兩個三角函數(shù)求出另外兩邊；或者可以先選某三角函數(shù)求另一邊，再根據(jù)勾股定理求第三邊。
三.典例與練習：
例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c，且∠B=25°,b=30,求這個三
角形的其他元素(邊長精確到1). (sin250≈0.4，cos250≈0.9，tan250≈0.5)
練習1.如圖3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a,b,c，
且a=19，c=，解這個直角三角形.
例2.如圖4，AD是△ABC的中線，tanB＝，cosC＝，AC＝.
則BC=___；sin∠ADC=___．
練習2.如圖5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，
則AB的長為_________．
練習3.已知在△ABC中，∠A=45°，∠NCB=75°，且AC=10cm，求AB的長.
四.課堂小結(jié)：
1.解直角三角形至少需要___個元素且其中至少有_______.
2.解直角三角形的依據(jù).答：______________________.
3.解直角三角形的原則：①有角先求角，無角先求邊.②有斜用弦，無斜用切；③寧乘毋除，取原避中.
五.分層過關(guān)：
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，則tanA的值為( )
A. B. C. D. 2
2.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最適宜的做法是( )
A. 計算tanA的值求出 B. 計算sinA的值求出
C. 計算cosA的值求出 D. 先根據(jù)sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
3.如圖7,在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°,點D是CB延長線上的一點，且BD＝BA，則tan∠DAC的值為( )
A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3
4.如圖8，已知A點坐標為（5，0），直線y＝x+b（b＞0）與y軸交于點B，連接AB，∠α＝75°，則b的值為（ ）
A. 3 B. C. 4 D.
5.在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，則BC邊長為（ ）
A. 7 B. 8 C. 8或17 D. 7或17
6.在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，則AB邊上的高CD的長是________________．
7.如圖9，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sinA=，則菱形ABCD的周長是___.
8.若等腰三角形兩邊為4，10，求底角的正弦值
思考題：
我們把三角形中最大內(nèi)角與最小內(nèi)角的度數(shù)差稱為該三角形的“內(nèi)角正度值”．如果等腰三角形的腰長為2，“內(nèi)角正度值”為45°，求該三角形的面積
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖5
圖5
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圖5
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圖6
圖9
圖8
圖7
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(總課時04)§1.4解直角三角形
【學習目標】了解解直角三角形的含義,掌握解直角三角形的方法,會用計算器求銳角三角函數(shù)值
【學習重難點】掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系，選用適當?shù)倪吔顷P(guān)系或三角函數(shù)解題．
【導學過程】
一.知識回顧
1.如圖1在Rt△ABC中有6個元素，分別是3條邊和3個角，它們之間有何關(guān)系？
(1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=c2 (2)銳角之間的關(guān)系:∠A+∠B=∠C
(3)邊角之間的關(guān)系:(銳角三角函數(shù))
sinA==cosB;cosA==sinB;tanA==
2.填一填：
300 450 600
sinA
cosA
tanA 1
二.探究新知
在生活中，我們常常遇到與直角三角形有關(guān)的問題，為了解決這些問題，往往需要確定直角三角形的邊和角.
定義：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形.
探究一：如圖2.在直角三角形中，已知一個元素能求出其余元素嗎？
分類討論：已知；
結(jié)論：如果知道一個銳角，只可以再求出另一個銳角；如果知道一條邊，任何其余元素都求不出來，所以知道一個元素不可以求出其余元素。
探究二：如圖2.知道兩個元素能求出其余元素嗎？
分類討論：已知
（1）知道兩條邊，能求其余元素嗎？
已知：在Rt△ABC中，∠C=900，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c.
若a=6,b=2,求∠A、∠B、c.答：由勾股定理求出c,由三角函數(shù)反求出∠A、∠B.
結(jié)論：如果知道兩邊，可以利用勾股定理求解第三邊，再利用三角函數(shù)求兩銳角；
也可以先根據(jù)已知兩邊選擇對應(yīng)的三角函數(shù)求角，再選擇某三角函數(shù)求第三邊。
深入思考：對照三角形全等的知識思考一下，為什么知道兩條邊就可以解直角三角形呢？
答：直角三角形中，若已知兩條邊，則此直角三形就是唯一確定的。
(2)知道兩個銳角能求出其余元素嗎？
已知：∠A=300，∠B=600
結(jié)論：知道兩銳角等同于只知道一個銳角，所以也求不出其余元素。
（3）知道一邊一銳角，能求其余元素嗎？
已知b=3,∠A=300,求其它元素。答：∠B=600，a=tan300,c=2a
結(jié)論：如果知道一邊一銳角，先根據(jù)兩銳角互余求出另一個銳角，再根據(jù)已知的邊和角選擇某兩個三角函數(shù)求出另外兩邊；或者可以先選某三角函數(shù)求另一邊，再根據(jù)勾股定理求第三邊。
三.典例與練習：
例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c，且∠B=25°,b=30,求這個三
角形的其他元素(邊長精確到1). (sin250≈0.4，cos250≈0.9，tan250≈0.5)
解：∵∠B=25°，∠C=90°∴∠A=65°
∵tanB=,b=30∴
練習1.如圖3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a,b,c，
且a=19，c=，解這個直角三角形.
解：∵
∴∴∠A=45°∴∠B=45°，b=a=19.
例2.如圖4，AD是△ABC的中線，tanB＝，cosC＝，AC＝.
則BC=4；sin∠ADC=．
練習2.如圖5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，
則AB的長為3＋．
練習3.如圖6，已知在△ABC中，∠A=45°，∠NCB=75°，且AC=10cm，求AB的長.
解：∵∠A=45°，∠NCB=75°∴∠B=30°
過點C作CD⊥AB于D，則∠CDA=∠CDB=90°∵sinA=AC=10
∴CD==AD，∵∠B=30°∴BC=2CD=
∵tanB= ∴ ∴AB=
四.課堂小結(jié)：
1.解直角三角形至少需要兩個元素且其中至少有一條邊.
2.解直角三角形的依據(jù).答：勾股定理和三角函數(shù)
3.解直角三角形的原則：①有角先求角，無角先求邊.②有斜用弦，無斜用切；③寧乘毋除，取原避中.
五.分層過關(guān)：
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，則tanA的值為( C )
A. B. C. D. 2
2.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最適宜的做法是( C )
A. 計算tanA的值求出 B. 計算sinA的值求出
C. 計算cosA的值求出 D. 先根據(jù)sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
3.如圖7,在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°,點D是CB延長線上的一點，且BD＝BA，則tan∠DAC的值為( A )
A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3
4.如圖8，已知A點坐標為（5，0），直線y＝x+b（b＞0）與y軸交于點B，連接AB，∠α＝75°，則b的值為（B）
A. 3 B. C. 4 D.
5.在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，則BC邊長為（D）
A. 7 B. 8 C. 8或17 D. 7或17
6.在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，則AB邊上的高CD的長是4或或．
7.如圖9，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sinA=，則菱形ABCD的周長是40
8.若等腰三角形兩邊為4，10，求底角的正弦值
解：∵4+4=8＜10，∴AB=AC=10，BC=4．過點A作AD⊥BC于點D．
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=BC=2．∵AB=AC=10，
∴AD=∴sin∠ABD=
思考題：
我們把三角形中最大內(nèi)角與最小內(nèi)角的度數(shù)差稱為該三角形的“內(nèi)角正度值”．如果等腰三角形的腰長為2，“內(nèi)角正度值”為45°，求該三角形的面積
解：當頂角為最大角時，設(shè)底角為x，則頂角為x+45°時，所以x+x+x+45°=180°，解得x=45°，所以此三角形為等腰直角三角形，此三角形的面積=0.5×2×2=2；
當頂角為最小角時，設(shè)頂角為x時，則底角為x+45°，所以x+x+45°+x+45°=180°，解得x=30°，所以此三角形為頂點為30°的等腰三角形，AB=AC=2，∠A=30°，
作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠A=30°，∴CD=0.5AC=1，∴三角形ABC的面積=0.5CD AB=0.5 ×1×2=1，
綜上所述，該三角形的面積等于1或2．
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