資源簡介

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(總課時05)§1.5 三角函數的應用
一.選擇題：
1.如圖1，斜面AC坡度（CD與AD的比）為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連．若AB=10米，則旗桿BC的高度為（ ）
A. 5米 B. 6米 C. 8米 D. （3+ ）米
2.某水壩的坡度 i ＝1∶，坡長AB＝20 m，則壩的高度為( )
A. 10 m B. 20 m C. 40 m D. 2m
3.如圖2是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中AB，CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，如果顧客乘電梯從點B到點C上升的高度為5m，則電梯BC的長是（ ）
A 5m B. 5m C. 10m D. m
4.如圖3，某高樓頂部有一信號發射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C兩點測得該塔頂端F的仰角分別為45°和60°，矩形建筑物寬度AD＝20 m，高度DC＝30 m，則信號發射塔頂端到地面的高度(即FG的長)為( )
A．(35＋55)m B．(25＋45)m C．(25＋75)m D．(50＋20)m
二.填空題：
5.如圖4，在四邊形ABCD中，∠B=90，AB=2，CD=8，AC⊥CD.若sin∠ACB=，則tanD=____.
6.根據圖5中所給的數據，求得避雷針CD的長約為______m．(結果精確到0.01 m)
7.如圖6，一艘輪船從位于燈塔的北偏東60°方向，距離燈塔60海里的小島出發，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的南偏東45°方向上的處，這時輪船與小島的距離是___________海里．
8.小強和小明去測量一座古塔的高度，如圖，他們在離古塔60m處(A)用測角儀測得塔頂的仰角為30°，已知測角儀高AD＝1.5m，則古塔BE的高為______________m．
三.解答題：
9.如圖，在△ABC中，∠C=90 ，sinA=，D為AC上一點，∠BDC=45 ，DC=6，求AD的長.
10.某省將地處A、B兩地的兩所大學合并成了一所綜合性大學，為了方便A、B兩地師生的交往，學校準備在相距2km的A、B兩地之間修筑一條筆直公路（即圖中的線段AB），經測量，在A地的北偏東60°方向、B地的西偏北45°方向C處有一個半徑為0.7km的公園，問計劃修筑的這條公路會不會穿過公園？為什么？（≈1.732）
四.提高題：
11.小林從點A出發，沿著坡角為α的斜坡向上走了650米到達點B，且sinα=．然后又沿著坡度i=1：3的斜坡向上走了500米達到點C．
（1）小明從A點到B點上升的高度是多少米？
（2）小明從A點到C點上升的高度CD是多少米？（結果保留根號）
圖4
圖3
圖2
圖1
圖7
圖6
圖5
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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(總課時05)§1.5 三角函數的應用
一.選擇題：
1.如圖1，斜面AC坡度（CD與AD的比）為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連．若AB=10米，則旗桿BC的高度為（A）
A. 5米 B. 6米 C. 8米 D. （3+ ）米
2.某水壩的坡度 i ＝1∶，坡長AB＝20 m，則壩的高度為( A)
A. 10 m B. 20 m C. 40 m D. 2m
3.如圖2是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中AB，CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，如果顧客乘電梯從點B到點C上升的高度為5m，則電梯BC的長是（ C ）
A 5m B. 5m C. 10m D. m
4.如圖3，某高樓頂部有一信號發射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C兩點測得該塔頂端F的仰角分別為45°和60°，矩形建筑物寬度AD＝20 m，高度DC＝30 m，則信號發射塔頂端到地面的高度(即FG的長)為( C )
A．(35＋55)m B．(25＋45)m C．(25＋75)m D．(50＋20)m
二.填空題：
5.如圖4，在四邊形ABCD中，∠B=90，AB=2，CD=8，AC⊥CD.若sin∠ACB=，則tanD=.
6.根據圖5中所給的數據，求得避雷針 CD 的長約為__4.86__m．(結果精確到0.01 m)
7.如圖6，一艘輪船從位于燈塔的北偏東60°方向，距離燈塔60海里的小島出發，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的南偏東45°方向上的處，這時輪船與小島的距離是（30+30）海里．
8.小強和小明去測量一座古塔的高度，如圖7，他們在離古塔60m處(A)用測角儀測得塔頂的仰角為30°，已知測角儀高AD＝1.5m，則古塔BE的高為(20+1.5)m．
三.解答題：
9.如圖，在△ABC中，∠C=90 ，sinA=，D為AC上一點，∠BDC=45 ，DC=6，求AD的長.
解：在△BDC中，∠C=90 ，∠BDC=45 ，DC=6∴tan45 =1∴BC=6
在△ABC中，sinA=，∴AB=15∴
∴
10.某省將地處A、B兩地的兩所大學合并成了一所綜合性大學，為了方便A、B兩地師生的交往，學校準備在相距2km的A、B兩地之間修筑一條筆直公路（即圖中的線段AB），經測量，在A地的北偏東60°方向、B地的西偏北45°方向C處有一個半徑為0.7km的公園，問計劃修筑的這條公路會不會穿過公園？為什么？（≈1.732）
解：如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為點D．∵∠B＝45°，∴∠BCD＝45°．
∴CD＝BD．設CD＝BD＝x，∵∠A＝30°，∴AC＝2x．
∴AD＝．∴x＋x＝2，所以x＝－1．∴CD＝－1≈0.732＞0.7．所以公路不會穿過公園．
四.提高題：
11.小林從點A出發，沿著坡角為α的斜坡向上走了650米到達點B，且sinα=．然后又沿著坡度i=1：3的斜坡向上走了500米達到點C．
（1）小明從A點到B點上升的高度是多少米？
（2）小明從A點到C點上升的高度CD是多少米？（結果保留根號）
解：（1）如圖所示：過點B作BF⊥AD于點F，BE⊥CD于點E，過點C作CD⊥AD于點D，由題意得：AB=650米，BC=500米，
∴sinα===，∴BF=650×=200米，∴小明從A點到點B上升的高度是200米；
（2）∵斜坡BC的坡度為：1：3，∴CE：BE=1：3，
設CE=x，則BE=3x，由勾股定理得：x2+（3x）2=5002解得：x=50，
∴CD=CE+DE=BF+CE=200+50，答：點C相對于起點A升高了（50+200）米．
圖4
圖3
圖2
圖1
圖7
圖6
圖5
D
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(總課時05)§1.5 三角函數的應用
【學習目標】通過生活中的實際問題體會銳角三角函數在解決問題過程中的作用．
【學習重難點】用解直角三角形解決航海問題、仰角、俯角、坡度等實際問題．
【導學過程】
一.知識回顧
1.如圖1，在Rt△ABC中，
三邊的關系:a2+b2=c2.兩個銳角的關系:∠A+∠B=∠C.邊與角的關系:a=btanA,b=csinB.
2.互余兩角之間的三角函數關系：sinA=cosB.
3.同角之間的三角函數關系：sin2A+cos2A=1
4.解直角三角形至少需要兩個元素且其中至少有一條邊.
二.探究新知
問題1.如圖2,海中有一個小島A,該島四周10海里內有暗礁.今有貨輪由西向東航行,開始在A島南偏西55°的B處,往東行駛20海里后,到達該島的南偏西25°的C處,之后,貨輪繼續往東航行,你認為貨輪繼續向東航行途中會有觸礁的危險嗎
（1）貨輪要向正東方向繼續行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定？
答：過A作AD⊥BC，D為垂足，即由AD的長度決定．
（2）如何求AD 在示意圖中，有兩個直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD．
你能在哪一個三角形中求出AD呢？
①在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD．
②在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，雖然知道BC=20海里，但它不是Rt△ABD的邊，也不能求出AD．
（3）那該如何是好？是不是可以將它們結合起來，站在一個更高的角度考慮？
在Rt△ABD中，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，CD=ADtan25°．
利用BC=BD-CD就可以列出關于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°=20．
解：過A作BC的垂線，交BC于點D得到Rt△ABD和Rt△ACD，
從而BD=ADtan55°，CD=ADtan25°，由BD-CD=BC，又BC=20海里．
得ADtan55°-ADtan25°=20．
∵AD≈20.79海里>10海里，∴貨輪沒有觸礁的危險．
問題2.如圖3，小明想測量塔CD的高度．他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50m至B處．測得仰角為60°．那么該塔有多高？（小明的身高忽略不計，結果精確到1m）
解：∵∠DAC＝30°，∠DBC=60°=∠DAC+∠ADB，
∴∠DBC=∠BDA∴DB=AB＝50m
在Rt△BCD中，CD=BDsin∠DBC=50×sin60°=25≈43，
即塔CD的高度約為43m．
三.典例與練習
例1.某商場準備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40°減至35°，已知原樓梯長為4m，調整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面？（結果精確到0.0lm）如圖4.
注意到調整前后梯樓的高度是一個不變量．
解：由條件可知，在Rt△BCD中，即BC＝4sin40°,原樓梯占地長DC＝4cos40°
調整后，在Rt△ABC中，則AB＝（m），樓梯占地長AC＝m．
∴調整后樓梯加長AB-BD＝－4≈0.48（m）．
樓梯比原來多占AD＝AC－DC＝－4cos40°≈0.61（m）．
練習1.如圖5，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且DB=5m，
現再在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長度為多少？
解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5m，BC=BDtan40°=5tan40°≈4.20（m）．
在Rt△EDB中，DB=5m，BE=BC+EC=2+5sin40°=6.20（m）．
（m）．所以鋼纜ED的長度為7.96m．
例2如圖6，水庫大壩的截面是梯形ABCD，壩頂AD=6m，坡長CD=8m．坡底BC=30m，∠ADC=135°
（1）求∠ABC的大小；
（2）如果壩長100m．那么建筑這個大壩共需多少土石料？（結果精確到0.01m3）
解：過A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F為垂足．
（1）在梯形ABCD中．∠ADC=135°，∴∠FDC=45°，EF=AD=6m．在Rt△FDC中，
DC=8m．DF=FC=CD（m）．
∴（m）．
在Rt△AEB中，（m）．．∴∠ABC≈17°8′21″．
（2）梯形ABCD的面積：（m2）．
壩長為100m，那么建筑這個大壩共需土石料（m3）．
綜上所述，∠ABC=17°8′21″，建筑大壩共需10182.34 m3土石料．
四.課堂小結:
1.解題中需要把實際問題轉化為數學問題.要注意兩個轉化：
①是把實際問題的圖形轉化為數學圖形；
②是把已知條件轉化為數學圖形中的邊角關系.若所轉化的圖形不是直角三角形，可添加輔助線構造直角三角形.
2.方向角、仰角、俯角、坡度、坡角
五.分層過關：
1.鐵路的路基的橫斷面為等腰梯形,其腰的坡度為1∶1.5,上底寬為6m，路基高為4m，則路基的下底寬為（A）
A. 18m B. 15m C. 12m D. 10m
2.已知直角三角形ABC中，斜邊AB的長為m，∠B＝40°，則直角邊BC的長是( B )
A. m·sin40° B. m·cos40° C. m·tan40° D.
3.如圖7,要測量B點到河岸AD的距離,在A點測得∠BAD=30°,在C點測得∠BCD=60°,又測得AC=100m,則B點到河岸AD的距離為(B)
A. 100m B. 50m C. m D. 50m
4.如圖8，某登山運動員從營地A沿坡角為30°的斜坡AB到達山頂B，如果AB＝2000米，則他實際上升了1000米．
5.如圖9，一艘船向正北航行，在A處看到燈塔S在船的北偏東30°的方向上，航行12海里到達B點，在B處看到燈塔S在船的北偏東60°的方向上，此船繼續沿正北方向航行過程中距燈塔S的最近距離是6海里（不近似計算）．
思考題：
如圖10，無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60°、45°，如果無人機距地面高度CD為米，點A、D、B在同一水平直線上，求A、B兩點間的距離．（結果保留根號）
解：如圖，∵無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60°、45°，∴∠A=60°，∠B=45°，
在Rt△ACD中，∵tanA=，∴AD==100，
在Rt△BCD中，BD=CD=100，
∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．
答：A、B兩點間的距離為100（1+）米．
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖6
斜坡AB的坡角為α
斜坡AB的坡度為tanα
圖10
圖9
圖8
圖7
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(總課時05)§1.5 三角函數的應用
【學習目標】通過生活中的實際問題體會銳角三角函數在解決問題過程中的作用．
【學習重難點】用解直角三角形解決航海問題、仰角、俯角、坡度等實際問題．
【導學過程】
一.知識回顧
1.如圖1，在Rt△ABC中，
三邊的關系:_________.兩個銳角的關系:___________.邊與角的關系:___________________.
2.互余兩角之間的三角函數關系：_________.
3.同角之間的三角函數關系：____________
4.解直角三角形至少需要___個元素且其中至少有______.
二.探究新知
問題1.如圖2,海中有一個小島A,該島四周10海里內有暗礁.今有貨輪由西向東航行,開始在A島南偏西55°的B處,往東行駛20海里后,到達該島的南偏西25°的C處,之后,貨輪繼續往東航行,你認為貨輪繼續向東航行途中會有觸礁的危險嗎
（1）貨輪要向正東方向繼續行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定？
答：__________________________________________．
（2）如何求AD 在示意圖中，有兩個直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD．
你能在哪一個三角形中求出AD呢？
①在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD．
②在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，雖然知道BC=20海里，但它不是Rt△ABD的邊，也不能求出AD．
（3）那該如何是好？是不是可以將它們結合起來，站在一個更高的角度考慮？
在Rt△ABD中，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，CD=ADtan25°．
利用BC=BD-CD就可以列出關于AD的一元一次方程，即___________________________．
問題2.如圖3，小明想測量塔CD的高度．他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50m至B處．測得仰角為60°．那么該塔有多高？（小明的身高忽略不計，結果精確到1m）
三.典例與練習
例1.某商場準備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40°減至35°，已知原樓梯長為4m，調整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面？（結果精確到0.0lm）如圖4.
注意到調整前后梯樓的高度是一個不變量．
練習1.如圖5，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且DB=5m，
現再在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長度為多少？
例2如圖6，水庫大壩的截面是梯形ABCD，壩頂AD=6m，坡長CD=8m．坡底BC=30m，∠ADC=135°
（1）求∠ABC的大小；
（2）如果壩長100m．那么建筑這個大壩共需多少土石料？（結果精確到0.01m3）
四.課堂小結:
1.解題中需要把實際問題轉化為數學問題.要注意兩個轉化：
①是把實際問題的圖形轉化為數學圖形；
②是把已知條件轉化為數學圖形中的邊角關系.若所轉化的圖形不是直角三角形，可添加輔助線構造直角三角形.
2.方向角、仰角、俯角、坡度、坡角
五.分層過關：
1.鐵路的路基的橫斷面為等腰梯形,其腰的坡度為1∶1.5,上底寬為6m，路基高為4m，則路基的下底寬為（ ）
A. 18m B. 15m C. 12m D. 10m
2.已知直角三角形ABC中，斜邊AB的長為m，∠B＝40°，則直角邊BC的長是( )
A. m·sin40° B. m·cos40° C. m·tan40° D.
3.如圖7,要測量B點到河岸AD的距離,在A點測得∠BAD=30°,在C點測得∠BCD=60°,又測得AC=100m,則B點到河岸AD的距離為( )
A. 100m B. 50m C. m D. 50m
4.如圖8，某登山運動員從營地A沿坡角為30°的斜坡AB到達山頂B，如果AB＝2000米，則他實際上升了______米．
5.如圖9，一艘船向正北航行，在A處看到燈塔S在船的北偏東30°的方向上，航行12海里到達B點，在B處看到燈塔S在船的北偏東60°的方向上，此船繼續沿正北方向航行過程中距燈塔S的最近距離是______海里（不近似計算）．
思考題：
如圖10，無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60°、45°，如果無人機距地面高度CD為米，點A、D、B在同一水平直線上，求A、B兩點間的距離．（結果保留根號）
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖6
斜坡AB的坡角為α
斜坡AB的坡度為tanα
圖10
圖9
圖8
圖7
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