資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
(總課時06)§1.6利用三角函數(shù)測高
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】能根據(jù)實際問題設(shè)計活動方案，測量不可到達(dá)的物體的高度．
【學(xué)習(xí)重難點】綜合運用直角三角形邊角關(guān)系的知識解決實際問題．
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.知識回顧
填空:
銳角 30° 45° 60°
sina
cosa
tana
二.探究新知
探究一：測量傾斜角
使用測傾器測量傾斜角的步驟．
(1)如圖1，把支桿豎直插入地面,使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合,這時度盤的頂線PQ在水平位置；
(2)如圖2所示，轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑PQ對準(zhǔn)目標(biāo)M，記下此時鉛垂線所指的度數(shù)；
探究二:測量底部可以到達(dá)的物體的高度
所謂“底部可以到達(dá)”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點與被測物體的底部之間的距離。
如圖3，要測量物體MN的高度，可按下列步驟進(jìn)行：
1.____________________________________________________.
2.__________________________________．
3._______________________________________________________．
根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎？說說你的理由.
探究三：測量底部不可以到達(dá)的問題的高度
所謂“底部不可以到達(dá)”，就是在地面上不能直接測得測點與被測物體的底部之間的距離，如圖4，要測量物體MN的高度，可按下列步驟進(jìn)行：
1.在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MCE=α；
2.在測點A與物體之間B處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MDE=β
3.量出測傾器的高度AC=BD=EN=a，以及測點A,B之間的距離AB=b.根據(jù)測量數(shù)據(jù),可求出物體MN的高度.
三.典例與練習(xí)
例1.我市進(jìn)行城區(qū)規(guī)劃，工程師需測某樓AB的高度，如圖5，工程師在D處用高2m的測角儀CD，測得樓頂端A的仰角為30°，然后向樓前進(jìn)30m到達(dá)E，又測得樓頂端A的仰角為60°，樓AB的高度是多少？
練習(xí)1.如圖6，小山崗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在與山腳C距離200米的D處，測得山頂A的仰角為26.6°，求小山崗的高AB.(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin26.6°＝0.45，tan26.6°＝0.50)
四.課堂小結(jié)：
到目前為止,你有哪些測量物體高度的方法
（1）利用三角函數(shù)的知識可以測量物體的高度.
（2）利用三角形相似的知識也可以．
（3）還有利用全等三角形的知識也可以測量物體的高度.
五.分層過關(guān)：
1.如圖7，王師傅在樓頂上A點處測得樓前一棵樹CD的頂端C的俯角為60°，若水平距離BD＝10m，樓高AB＝24m，則樹CD高約為( )
A. 5m B. 6m C. 7m D. 8m
2.如圖8，小敏同學(xué)想測量一棵大樹的高度，她站在B處仰望樹頂，測得仰角為30°，再往大樹的方向前進(jìn)4m，測得仰角為60°.已知小敏同學(xué)身高(AB)為1.6m，則這棵樹的高度為(結(jié)果精確到0.1m，≈1.73)( )
A. 3.5m B. 3.6m C. 4.3m D. 5.1m
3.如圖9，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，AB=2km、從A測得船C在北偏東45°的方向，從B測得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長）為（ ）
A. 4km B. （2+）km C. 2km D. （4-）km
4.如圖10,小山頂上有一信號塔AB，山坡BC的傾角為30°，現(xiàn)為測量塔高AB，測量人員選擇山腳C處為一測量點，測得塔頂仰角為45°，然后順山坡向上行走100米到達(dá)E處，再測得塔頂仰角為60°.塔高AB=_____結(jié)果保留整數(shù)，≈1.73，≈1.41)．
思考題：
九(1)班同學(xué)在上學(xué)期的社會實踐活動中，對學(xué)校旁邊的山坡護(hù)墻和旗桿進(jìn)行了測量．
(1)如圖1，第一小組用一根木條CD斜靠在護(hù)墻上，使得DB與CB的長度相等，如果測量得到∠CDB＝38°，則護(hù)墻與地面的傾斜角α的度數(shù)為______；
(2)如圖2，第二小組用皮尺量得EF為16米(E為護(hù)墻上的端點)，EF的中點離地面FB的高度為1.9米，則E點離地面FB的高度=______米；
(3)如圖3，第三小組利用第一、第二小組的結(jié)果，來測量護(hù)墻上旗桿的高度，在點P測得旗桿頂端A的仰角為45°，向前走4米到達(dá)Q點，測得A的仰角為60°，求旗桿AE的高度．(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，≈1.732，≈1.414)
圖3
圖2
圖1
圖4
圖5
圖6
圖7
圖10
圖9
圖8
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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(總課時06)§1.6利用三角函數(shù)測高
一.選擇題：
1.如圖1，為測量學(xué)校旗桿的高度，小東用長為3.2米的竹竿作測量工具，移動竹竿，使竹竿頂端與旗桿頂端的影子恰好落在地面的同一點，此時，竹竿與這一點相距8米，與旗桿相距22米，則旗桿的高度為（ C ）米.
A．8.8 B．10 C．12 D．14
2.如圖2，在熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別為30°、45°，熱氣球C的高度CD為100米，點A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離是（D）
A．200米 B．200米 C．220米 D．100米
3.如圖3，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30米的B處，測得樹頂A的仰角∠ABO為α，則樹OA的高度為( C )
A．米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米
二.填空題;
4.如圖4,建筑物AB和CD的水平距離為30m,從A點測得D點的俯角為30°,測得C點的俯角為60°,則建筑物CD的高為20m．
5.如圖5，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在A處觀測到燈塔M在北偏東60°方向上，且AM=100海里．那么該船繼續(xù)航行__海里可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置
6.如圖6，兩建筑物的水平距離BC為18m，從A點測得D點的俯角α為30°，測得C點的俯角β為60°.則建筑物CD的高度為_12__m(結(jié)果不作近似計算)．
7.如圖7，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為30°，看這棟高樓底部C的俯角為60°，熱氣球A與高樓的水平距離為120m，這棟高樓BC的高度為米．
三.解答題：
8.如圖,小陽發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8，BC=20米，CD與地面成30°角，且此時測得1米的影長為2米，求電線桿AB的高度．
解:如圖，過D作DE⊥BC的延長線于E，連接AD并延長交BC的延長線于F．
∵CD=8，CD與地面成30°角，∴DE=0.5CD=0.5×8=4，
根據(jù)勾股定理得：CE=4．∵1m桿的影長為2m，∴=0.5，∴EF=2DE=2×4=8，
∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=（28+4）．∵=0.5，
∴AB=0.5（28+4）=14+2．
9.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東53°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處．
（1）在圖中畫出點B，并求出B處與燈塔P的距離（結(jié)果取整數(shù)）；
（2）用方向和距離描述燈塔P相對于B處的位置．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）
解：（1）如圖，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA=100，∠PAC=53°，
∴PC=PA sin∠PAC=100×0.80=80，在Rt△PBC中，∵PC=80，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=PC=1.41×80≈113，即B處與燈塔P的距離約為113海里；
（2）∵∠CBP=45°，PB≈113海里，∴燈塔P位于B處北偏西45°方向，且距離B處約113海里．
四.提高題：
10.某學(xué)校體育看臺的側(cè)面如圖中陰影部分所示，看臺有四級高度相等的小臺階，已知看臺高為1.6米，現(xiàn)要做一個不銹鋼的扶手AB及兩根與FG垂直且長度均為0.8米的不銹鋼架桿AD和8C（桿子的底端分別為D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．
（1）求點D與點C的高度差DH；
（2）求所用不銹鋼材料的總長度（即AD+AB+BC的長）．
解：（1）DH=0.75EF=.075×1.6=1.2（米），即DH為1.2米；
(2)連結(jié)CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB，AB∥DC，∴∠CDH=∠BAD=66.5°，Rt△CDH中，=cos66.5,，∴CD≈3，即AB≈3，
∴=AD+AB+BC≈0.8+3+0.8=4.6（米），即所用材料總長度約4.6米．
圖4
圖3
圖2
圖1
圖7
圖6
圖5
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(總課時06)§1.6利用三角函數(shù)測高
一.選擇題：
1.如圖1，為測量學(xué)校旗桿的高度,小東用長為3.2米的竹竿作測量工具，移動竹竿，使竹竿頂端與旗桿頂端的影子恰好落在地面的同一點，此時，竹竿與這一點相距8米,與旗桿相距22米,則旗桿的高度為（）米.
A．8.8 B．10 C．12 D．14
2.如圖2，在熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別為30°、45°，熱氣球C的高度CD為100米，點A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．100米
3.如圖3，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30米的B處，測得樹頂A的仰角∠ABO為α，則樹OA的高度為( )
A．米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米
二.填空題;
4.如圖4,建筑物AB和CD的水平距離為30m,從A點測得D點的俯角為30°,測得C點的俯角為60°,則建筑物CD的高為______m．
5.如圖5，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在A處觀測到燈塔M在北偏東60°方向上，且AM=100海里．那么該船繼續(xù)航行______海里可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置
6.如圖6，兩建筑物的水平距離BC為18m，從A點測得D點的俯角α為30°，測得C點的俯角β為60°.則建筑物CD的高度為______m(結(jié)果不作近似計算)．
7.如圖7，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為30°，看這棟高樓底部C的俯角為60°，熱氣球A與高樓的水平距離為120m，這棟高樓BC的高度為______米．
三.解答題：
8.如圖,小陽發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8，BC=20米，CD與地面成30°角，且此時測得1米的影長為2米，求電線桿AB的高度．
9.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東53°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處．
（1）在圖中畫出點B，并求出B處與燈塔P的距離（結(jié)果取整數(shù)）；
（2）用方向和距離描述燈塔P相對于B處的位置．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）
四.提高題：
10.某學(xué)校體育看臺的側(cè)面如圖中陰影部分所示，看臺有四級高度相等的小臺階，已知看臺高為1.6米，現(xiàn)要做一個不銹鋼的扶手AB及兩根與FG垂直且長度均為0.8米的不銹鋼架桿AD和8C（桿子的底端分別為D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．
（1）求點D與點C的高度差DH；
（2）求所用不銹鋼材料的總長度（即AD+AB+BC的長）．
圖4
圖3
圖2
圖1
圖7
圖6
圖5
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(總課時06)§1.6利用三角函數(shù)測高
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】能根據(jù)實際問題設(shè)計活動方案，測量不可到達(dá)的物體的高度．
【學(xué)習(xí)重難點】綜合運用直角三角形邊角關(guān)系的知識解決實際問題．
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.知識回顧
填空:
銳角 30° 45° 60°
sina
cosa
tana 1
二.探究新知
探究一：測量傾斜角
使用測傾器測量傾斜角的步驟．
(1)如圖1，把支桿豎直插入地面,使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合,這時度盤的頂線PQ在水平位置；
(2)如圖2所示，轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑PQ對準(zhǔn)目標(biāo)M，記下此時鉛垂線所指的度數(shù)；
探究二:測量底部可以到達(dá)的物體的高度
所謂“底部可以到達(dá)”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點與被測物體的底部之間的距離。
如圖3，要測量物體MN的高度，可按下列步驟進(jìn)行：
1.在測點A處安置測傾器，測得物體頂部M的仰角∠MCE＝
2.量出測點A到物體底部N的水平距離AN＝．
3.量出測傾器的高度AC＝ ．
根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎？說說你的理由.
解：由題可得：CE＝AN＝，NE＝AC＝
在Rt△CEM中，∴∴
探究三：測量底部不可以到達(dá)的問題的高度
所謂“底部不可以到達(dá)”，就是在地面上不能直接測得測點與被測物體的底部之間的距離，如圖4，要測量物體MN的高度，可按下列步驟進(jìn)行：
1.在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MCE=α；
2.在測點A與物體之間B處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MDE=β
3.量出測傾器的高度AC=BD=EN=a，以及測點A,B之間的距離AB=b.根據(jù)測量數(shù)據(jù),可求出物體MN的高度.
解：∵在Rt△MDE中，ED=ME/tanβ
在Rt△MCE中，EC=ME/tanα∴EC-ED=AB=b
∴∴∴
三.典例與練習(xí)
例1.我市進(jìn)行城區(qū)規(guī)劃，工程師需測某樓AB的高度，如圖5，工程師在D處用高2m的測角儀CD，測得樓頂端A的仰角為30°，然后向樓前進(jìn)30m到達(dá)E，又測得樓頂端A的仰角為60°，樓AB的高度是多少？解：如圖5，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∠AFG＝60°，
∴FG＝＝AG在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，∠ACG＝30°
所以CG＝＝AG又∵CF＝CG－FG＝30，即AG－AG＝30，
解得AG＝15.∴AB＝AG＋GB＝15＋2.∴這幢教學(xué)樓的高度AB為(15＋2)m.
練習(xí)1.如圖6，小山崗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在與山腳C距離200米的D處，測得山頂A的仰角為26.6°，求小山崗的高AB.(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin26.6°＝0.45，tan26.6°＝0.50)
解：∵在Rt△ABC中，＝tan α＝，∴BC＝AB.
∵在Rt△ADB中，＝tan26.6°＝0.5，∴BD＝2AB.∵BD－BC＝CD＝200，
∴2AB－AB＝200，解得：AB＝300.答：小山崗的高度為300米．
四.課堂小結(jié)：
到目前為止,你有哪些測量物體高度的方法
（1）利用三角函數(shù)的知識可以測量物體的高度.
（2）利用三角形相似的知識也可以．
（3）還有利用全等三角形的知識也可以測量物體的高度.
五.分層過關(guān)：
1.如圖7，王師傅在樓頂上A點處測得樓前一棵樹CD的頂端C的俯角為60°，若水平距離BD＝10m，樓高AB＝24m，則樹CD高約為( C )
A. 5m B. 6m C. 7m D. 8m
2.如圖8，小敏同學(xué)想測量一棵大樹的高度，她站在B處仰望樹頂，測得仰角為30°，再往大樹的方向前進(jìn)4m，測得仰角為60°.已知小敏同學(xué)身高(AB)為1.6m，則這棵樹的高度為(結(jié)果精確到0.1m，≈1.73)( D )
A. 3.5m B. 3.6m C. 4.3m D. 5.1m
3.如圖9，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，AB=2km、從A測得船C在北偏東45°的方向，從B測得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長）為（B）
A. 4km B. （2+）km C. 2km D. （4-）km
4.如圖10,小山頂上有一信號塔AB，山坡BC的傾角為30°，現(xiàn)為測量塔高AB，測量人員選擇山腳C處為一測量點，測得塔頂仰角為45°，然后順山坡向上行走100米到達(dá)E處，再測得塔頂仰角為60°.塔高AB=58(結(jié)果保留整數(shù)，≈1.73，≈1.41)．
思考題：
九(1)班同學(xué)在上學(xué)期的社會實踐活動中，對學(xué)校旁邊的山坡護(hù)墻和旗桿進(jìn)行了測量．
(1)如圖1，第一小組用一根木條CD斜靠在護(hù)墻上，使得DB與CB的長度相等，如果測量得到∠CDB＝38°，則護(hù)墻與地面的傾斜角α的度數(shù)為76°；
(2)如圖2，第二小組用皮尺量得EF為16米(E為護(hù)墻上的端點)，EF的中點離地面FB的高度為1.9米，則E點離地面FB的高度=3．8米；
(3)如圖3，第三小組利用第一、第二小組的結(jié)果，來測量護(hù)墻上旗桿的高度，在點P測得旗桿頂端A的仰角為45°，向前走4米到達(dá)Q點，測得A的仰角為60°，求旗桿AE的高度．(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，≈1.732，≈1.414)
解：（3）如圖3，延長AE交直線PB于點C，
設(shè)AE=x，則AC=x+3．8，
∵∠APB=45°，∴PC=AC=x+3．8，∵PQ=4，∴CQ=x+3．8-4=x-0．2，
∵tan∠AQC=，∴，x=≈5．7，∴AE≈5．7（米）．
答；旗桿AE的高度是5．7米．
圖3
圖2
圖1
圖4
圖5
圖6
圖7
圖10
圖9
圖8
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