資源簡介

數學課時導學案
班級______ 小組______ 姓名____________上課時間_________講義編號
課 題 切線長定理 編寫人
審核人
學習目標與 評價設計 目標與要求 識記 理解 應用
1.掌握切線長定理及其應用. 2.通過經歷探索切線長定理的過程，發展探究意識和體會并實踐“實驗幾何——論證幾何”的探究方法. √
重點 難點 重點：切線長定理及應用. 難點：切線長定理及應用.
預 習 學 案
學生糾錯 教師點撥 基 礎 自 測
預習時間：35分鐘 【我的問題】 【我的糾錯】 一、單選題 1．如圖，的內切圓與，，分別相切于點，，，且，的周長為14，則的長為（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 2．如圖，，，分別切于，，，分別交，于，，已知到的切線長為，則的周長為（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3．如圖，切于，若的半徑為3，則線段的長度為（ ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 4．2023年3月16日，以“智創廣陽灣，蝶變創新港”為主題的首屆“迎龍創新港杯”創新大賽總決賽，在重慶經開區舉行，亮亮同學受到啟發，找到了一種測量光盤直徑的方法，他把直尺、光盤和含角的三角尺按如圖所示的方法放置在桌面上，并量出，則光盤的直徑是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 5．如圖，在中，為直角，，在三角形的內部有一個半圓，半圓與均相切且直徑在上．則半圓的半徑為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 二、填空題 6．如圖，四邊形是的外切四邊形，且，，則四邊形的周長為 ． 【答案】 7．如圖，，是的兩條切線，與相切于B，C兩點，點A，D在圓上．若，，則的度數是 ． 【答案】 8．如圖，PA，PB是的切線，A，B為切點，AC是的直徑，，則的度數為 ． 【答案】40° 9．如圖，，，分別與相切于，，三點，且，，，則 ． 【答案】 10．如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，BC是⊙O的直徑，PO交⊙O于E點，連接AB交PO于F，連接CE交AB于D點．下列結論：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④OF＝AC；⑤E是△PAB的內心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的是（只填序號） ． 【答案】①②③④⑤ 三、解答題 11．如圖，在中，，的平分線交于點，的平分線交于點．以上的點為圓心，為半徑作，恰好過點． (1)求證：是的切線； (2)若，，求的半徑． 【詳解】（1）證明：連接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的切線； （2）解：過作， 平分，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 的半徑為． 12．如圖，在中，O為上一點，以點O為圓心，為半徑作圓，與相切于點C，過點A作交BO的延長線于點D，且． (1)若，則　 　°； (2)求證：為的切線； (3)若，，求的長． 【詳解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴， ∵為的切線，點是切點， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 故答案為：30； （2）證明：如圖，過點O作于點E， 由（1）可得， ∵， ∴， 即，， ∵， ∴， ∴， 即是的平分線， 又∵，， ∴， ∵是半徑， ∴點到的距離等于半徑， ∴為的切線； （3）解：∵，， ∴， 在中，由于， 設，則， ∴， ∵， ∴， 即，， 在中， ， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴．
知 識 梳 理
【歸納結論】經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等. 即如圖，AB、AC切圓O于B、C，切線長AB = AC 切線長定理推論： 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等； 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長度相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
【學生筆記】 課 堂 探 究
【例題一】如圖，在菱形中，對角線，相交于點E，經過A，D兩點，交對角線于點F，連接交于點G，且． (1)求證：是的切線； (2)已知的半徑與菱形的邊長之比為，求的值． 【詳解】（1）證明：連接，則， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四邊形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴是半徑，且， ∴是的切線． （2）解：∵，， ∴， ∴， 設，則， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值是2． 【例題二】如圖，、分別是的直徑和弦，于點D．過點A作的切線與的延長線交于點P，、的延長線交于點F． (1)求證：是的切線； (2)若，，求線段的長． 【詳解】（1）連接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切線， ∴， ∴， ∴是的切線． （2）∵是直徑， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等邊三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的切線， ∴， ∴在中，． 【例題三】如圖，為的切線，B為切點，直線交于點E，F，過點B作的垂線，垂足為點D，交于點A，延長與交于點C，連接． (1)求證：直線 為的切線； (2)求證：； (3)若，，求的值和線段的長． 【詳解】（1）解：連接， ∵為的切線， ∴， ∵，于D， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直線為的切線； （2）證明：∵ ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； （3）解：∵，， ∴（三角形中位線定理）， 設， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 解之得，，（不合題意，舍去）， ∴， ∵是直徑， ∴， 又∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例題四】如圖，已知是的直徑，，為圓上任意一點，過點作圓的切線，分別與過，兩點的切線交于，兩點． (1)求的值； (2)如圖，連接，交于點，證明直線． 【詳解】（1）解∶如圖，連接，，． ∵，，是的切線， ∴，分別是，的平分線． ∵， ∴． ∴，即是直角三角形． ∴， ∵是的切線， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． ∴． 即． ∴． （2）證明：∵，，是的切線， ∴，，，， ∴， ∴． ∴． 又∵，， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． 又， ∴． 【例題五】已知在矩形中，，點O是邊上的一點（不與點A重合），以點O為圓心，長為半徑作圓，交射線于點G． (1)如圖1，當與直線相切時，求半徑的長； (2)當與的三邊有且只有兩個交點時，求半徑的取值范圍； (3)連接，過點A作，垂足為點H，延長交射線于點F，如果以點B為圓心，長為半徑的圓與相切，求的正切值． 【詳解】（1）解：設與直線的切點為點E，連接，如圖所示： ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 設，則， ∵， ∴， 解得：， ∴半徑的長為； （2）①如圖所示：當與邊的切點為點E，連接，此時恰好有三個交點， ∴， ∴四邊形為矩形， ∴， ∴由（1）得半徑的長為，恰好有一個交點， ∴當時，滿足條件； ②當恰好經過點C時，連接，如圖所示： 設，則， ∵， ∴， 解得：， ∴半徑的長為； ∴當時，與的三邊的交點多于2個，不滿足條件； ③當點O與點B重合時，如圖所示，滿足條件， ∴當時，滿足條件； 綜上可得：或時，滿足條件； （3）①當兩個圓外切時，如圖所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 設，， ∴，即， ∵兩個圓相切， ∴，即， 解得：， ∴； ②當兩個圓內切時，如圖所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 綜上可得：的正切值為或1．
【學生筆記】 課 后 訓 練
一、單選題 1．如圖，在Rt中，，，分別與邊，相切，切點分別為，，則的半徑是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2．如圖，已知PA、PB為圓O的切線，切點分別為A、B，PO交AB于點C，射線PO交圓O于點D、點E．下列結論不一定成立的是(　　) A．點E是△BPA的內心 B．AB與PD相互垂直平分 C．點A、B都在以PO為直徑的圓上 D．PC為△BPA的邊AB上的中線 【答案】B 3．如圖，是等邊三角形的內切圓，半徑為r，的內切圓切于點N，半徑為，切于點M，則（　　） A． B． C． D． 【答案】D 二、填空題 4．如圖，AB為半的直徑，為半圓弧的三等分點，過B，兩點的半的切線交于點，若AB的長是，則PA的長是 ． 【答案】 5．如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA=5，則△PCD的周長為 ． 【答案】10 6．如圖，I為△ABC的內切圓，AB=9，BC=8，AC=10，點D．E分別為AB、AC上的點，且DE為I的切線，則△ADE的周長為 . 【答案】11 7．如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠CBA＝30°，點D在線段AB上運動，點E與點D關于AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F．下列結論：①CE＝CF；②線段EF的最小值為；③當AD＝2時，EF與半圓相切；④若點F恰好落在BC上，則AD＝；⑤當點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積是．其中正確結論的序號是 ． 【答案】①③⑤. 三、解答題 8．如圖，線段為的直徑，，分別切于點，，射線交的延長線于點，的延長線交于點，于點．若，． (1)求證：； (2)求線段的長． 【詳解】（1）∵線段為的直徑，，分別切于點，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）連接， ∵，是圓的切線， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是圓的切線，是圓的切線， ∴，， 設， 則， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故． 9．如圖，為的切線，為切點，直線交于點、，過點作的垂線，垂足為點，交于點，延長與交于點，連接，． (1)求證：直線為的切線； (2)試探究線段、、之間的等量關系，并加以證明； (3)若，，求的值和線段的長． 【詳解】（1）證明：連接， 是的切線， ， ，于， ，， 又， ≌， ， ， 直線為的切線． （2）解：． 證明： ，， ， ∽， ，即， 又， ． （3）解：，，， 三角形中位線定理， 設， ， ，， 在中，由勾股定理，得， 解之得，，不合題意，舍去， ，， 是直徑， ， 又，， ． ， ， ． 10．如圖，是的直徑，，是的兩條切線，點A，C為切點，延長，相交于點D，若，，點F為弧的中點，連接． (1)連接交于點M，求證：； (2)設，求的值； (3)若點G與點F關于圓心O對稱，連接，求的長． 【詳解】（1）證明：∵，是的兩條切線， ∴，，， ∵， ∴點O、P在線段的垂直平分線上， ∴垂直平分，即， ∵是的直徑， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：連接，，如圖所示： ∵點G與點F關于圓心O對稱， ∴過圓心，且為的直徑， ∴， 由（2）得， ∴， 即， ∴，又， ∴設，，由得， ∴， 即， ∴（舍去負值）， 即，， 如圖，過點A作，垂足為H，連接，，如圖所示： ∵點F為的中點， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 在中，， ∴（負值舍去）．
【自我反思】數學課時導學案
班級______ 小組______ 姓名____________上課時間_________講義編號
課 題 切線長定理 編寫人
審核人
學習目標與 評價設計 目標與要求 識記 理解 應用
1.掌握切線長定理及其應用. 2.通過經歷探索切線長定理的過程，發展探究意識和體會并實踐“實驗幾何——論證幾何”的探究方法. √
重點 難點 重點：切線長定理及應用. 難點：切線長定理及應用.
預 習 學 案
學生糾錯 教師點撥 基 礎 自 測
預習時間：35分鐘 【我的問題】 【我的糾錯】 一、單選題 1．如圖，的內切圓與，，分別相切于點，，，且，的周長為14，則的長為（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如圖，，，分別切于，，，分別交，于，，已知到的切線長為，則的周長為（　　） A． B． C． D． 3．如圖，切于，若的半徑為3，則線段的長度為（ ） A． B．6 C．8 D．10 4．2023年3月16日，以“智創廣陽灣，蝶變創新港”為主題的首屆“迎龍創新港杯”創新大賽總決賽，在重慶經開區舉行，亮亮同學受到啟發，找到了一種測量光盤直徑的方法，他把直尺、光盤和含角的三角尺按如圖所示的方法放置在桌面上，并量出，則光盤的直徑是（ ） A． B． C． D． 5．如圖，在中，為直角，，在三角形的內部有一個半圓，半圓與均相切且直徑在上．則半圓的半徑為（ ） A． B． C． D． 二、填空題 6．如圖，四邊形是的外切四邊形，且，，則四邊形的周長為 ． 7．如圖，，是的兩條切線，與相切于B，C兩點，點A，D在圓上．若，，則的度數是 ． 8．如圖，PA，PB是的切線，A，B為切點，AC是的直徑，，則的度數為 ． 9．如圖，，，分別與相切于，，三點，且，，，則 ． 10．如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，BC是⊙O的直徑，PO交⊙O于E點，連接AB交PO于F，連接CE交AB于D點．下列結論：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④OF＝AC；⑤E是△PAB的內心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的是（只填序號） ． 三、解答題 11．如圖，在中，，的平分線交于點，的平分線交于點．以上的點為圓心，為半徑作，恰好過點． (1)求證：是的切線； (2)若，，求的半徑． 12．如圖，在中，O為上一點，以點O為圓心，為半徑作圓，與相切于點C，過點A作交BO的延長線于點D，且． (1)若，則　 　°； (2)求證：為的切線； (3)若，，求的長．
知 識 梳 理
【歸納結論】經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等. 即如圖，AB、AC切圓O于B、C，切線長AB = AC 切線長定理推論： 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等； 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長度相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
【學生筆記】 課 堂 探 究
【例題一】如圖，在菱形中，對角線，相交于點E，經過A，D兩點，交對角線于點F，連接交于點G，且． (1)求證：是的切線； (2)已知的半徑與菱形的邊長之比為，求的值． 【例題二】如圖，、分別是的直徑和弦，于點D．過點A作的切線與的延長線交于點P，、的延長線交于點F． (1)求證：是的切線； (2)若，，求線段的長． 【例題三】如圖，為的切線，B為切點，直線交于點E，F，過點B作的垂線，垂足為點D，交于點A，延長與交于點C，連接． (1)求證：直線 為的切線； (2)求證：； (3)若，，求的值和線段的長． 【例題四】如圖，已知是的直徑，，為圓上任意一點，過點作圓的切線，分別與過，兩點的切線交于，兩點． (1)求的值； (2)如圖，連接，交于點，證明直線． 【例題五】已知在矩形中，，點O是邊上的一點（不與點A重合），以點O為圓心，長為半徑作圓，交射線于點G． (1)如圖1，當與直線相切時，求半徑的長； (2)當與的三邊有且只有兩個交點時，求半徑的取值范圍； (3)連接，過點A作，垂足為點H，延長交射線于點F，如果以點B為圓心，長為半徑的圓與相切，求的正切值．
【學生筆記】 課 后 訓 練
一、單選題 1．如圖，在Rt中，，，分別與邊，相切，切點分別為，，則的半徑是（ ） A． B． C． D． 2．如圖，已知PA、PB為圓O的切線，切點分別為A、B，PO交AB于點C，射線PO交圓O于點D、點E．下列結論不一定成立的是(　　) A．點E是△BPA的內心 B．AB與PD相互垂直平分 C．點A、B都在以PO為直徑的圓上 D．PC為△BPA的邊AB上的中線 3．如圖，是等邊三角形的內切圓，半徑為r，的內切圓切于點N，半徑為，切于點M，則（　　） A． B． C． D． 二、填空題 4．如圖，AB為半的直徑，為半圓弧的三等分點，過B，兩點的半的切線交于點，若AB的長是，則PA的長是 ． 5．如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA=5，則△PCD的周長為 ． 6．如圖，I為△ABC的內切圓，AB=9，BC=8，AC=10，點D．E分別為AB、AC上的點，且DE為I的切線，則△ADE的周長為 . 7．如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠CBA＝30°，點D在線段AB上運動，點E與點D關于AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F．下列結論：①CE＝CF；②線段EF的最小值為；③當AD＝2時，EF與半圓相切；④若點F恰好落在BC上，則AD＝；⑤當點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積是．其中正確結論的序號是 ． 三、解答題 8．如圖，線段為的直徑，，分別切于點，，射線交的延長線于點，的延長線交于點，于點．若，． (1)求證：； (2)求線段的長． 9．如圖，為的切線，為切點，直線交于點、，過點作的垂線，垂足為點，交于點，延長與交于點，連接，． (1)求證：直線為的切線； (2)試探究線段、、之間的等量關系，并加以證明； (3)若，，求的值和線段的長． 10．如圖，是的直徑，，是的兩條切線，點A，C為切點，延長，相交于點D，若，，點F為弧的中點，連接． (1)連接交于點M，求證：； (2)設，求的值； (3)若點G與點F關于圓心O對稱，連接，求的長．
【自我反思】

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