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(總課時09)§2.2二次函數的圖像與性質(1)
【學習目標】會用描點法畫二次函數y＝±x2的圖象.
【學習重難點】探索二次函數y=ax （a≠0）的圖像及性質．
【導學過程】
一.知識回顧
1.一次函數的一般表達式:y=kx+b(k≠0),圖象是：一條直線，
性質:k>0時，y隨x的增大而增大；k<0時，y隨x的增大而減小.
反比例函數的一般表達式：y= (k≠0) ,圖象是：雙曲線，
性質：k>0時，y隨x的增大而減小；k<0時，y隨x的增大而增大.
2.畫函數圖象的一般步驟是：①列表②描點③連線．
3.二次函數的一般形式為：y=ax2+bx+c(其中a，b，c是常數且a≠0)，當b=0、c=0時，上式變為y=ax2.
二.探究新知
1．作函數y＝x2的圖象
(1).列表：觀察y=x2的表達式,選擇值,并計算相應的y值,完成下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝x2 9 4 1 0 1 4 9
(2)在直角坐標系中描點(按x的值從小到大、從左到右描點)．
(3)用光滑的曲線連接各點，便得到函數y＝x2的圖象．(能用直線連接嗎？)
2．二次函數y＝x2的性質
（1）圖象的形狀是拋物線，開口方向向上（“向上”還是“向下”）
（2）圖象是軸對稱圖形嗎？是軸對稱圖形，如果是，它的對稱軸是y軸.
(3)當x<0時，y隨x的值的增大而減小.
當x>0時，y隨x的值的增大而增大.
(4)圖象與x軸有交點嗎？有交點,如果有，交點坐標是(0,0)
(5)圖象有最低點（“最高點”還是“最低點”）最低點的坐標是（0，0）.
函數有最小值（“最大值”還是“最小值”），最小值是0.
歸納：
3.二次函數y＝－x2圖象的性質
4.函數y＝x2與y＝－x2的圖象的相同點不同點與聯系。
請在同一個直角坐標系中觀察y＝x2與y＝－x2的圖象，你能發現它們的圖象的聯系與區別嗎？
相同點：①圖象都是拋物線．②圖象都與x軸交于點(0，0)．③圖象都關于y軸對稱．
不同點：①開口方向不同，②函數值隨自變量增大的變化趨勢不同，
③最值不同，④y＝x2有最低點，y＝－x2有最高點．
聯系：它們的圖象關于x軸對稱．
三.典例與練習
例1.關于函數y=x2圖象的說法:①圖象是一條拋物線;②開口向上;
③是軸對稱圖形;④過原點;⑤對稱軸是y軸;⑥y隨x增大而增大.其中正確的有①②③④⑤.(填序號)
練習1.已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是拋物線y＝－2x2上的點，則( B )
A．y1例2.函數y＝k(x－k)與y＝kx2，y＝(k≠0)在同一坐標系上的圖象正確的是( C )
A B C D
練習2.已知函數是關于x的二次函數，求:
(1)滿足條件的m的值;
(2)m為何值時,拋物線有最低點 求出這個最低點,這時當x為何值時,y隨x的增大而增大
(3)m為何值時,函數有最大值 最大值是多少 當x為何值時,y隨x的增大而減小
解：(1)m=-3或2
(2)m=2時圖像有自最低點(0,0)，當x>0時，y隨x的增大而增大；
(3)M=-3時函數有最大值0，當x>0時，y隨x的增大而減小.
四.課堂小結
五.分層過關
1.拋物線y＝－x2的圖象一定經過( B )
A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限
2.關于y＝x2的圖象下列描述錯誤的是( C )
A．圖象的形狀是拋物線 B．開口方向向上 C．關于x軸對稱 D．有最低點(0，0)
3.下列各點：(-1，2)，(-1，-2)，(-2，-4)，(-2，4)，其中在二次函數y=-2x2的圖象上的是(-1，-2).
4.已知二次函數y＝x2，當x＞0時，y隨x的增大而增大．(填“增大”或“減小”)
5.函數y＝2x2的圖象對稱軸是 y軸 ，頂點坐標是 （0，0） .
6.如圖1，點P是拋物線y＝x2在第一象限內的一點，點A的坐標是(3，0)．設
點P的坐標為(x，y)．
(1)求△OPA的面積S關于變量y的關系式；(2)S是x的什么函數？
(3)當S＝6時，求點P的坐標；(4)在y＝x2的圖象上求一點P′，使△OP′A的兩邊OP′＝P′A.
解：(1)S＝y(y>0)．(2)S＝x2(x>0)，S是x的二次函數．
(3)∵S＝x2＝6(x>0)，∴x＝2.∴y＝x2＝4.∴點P的坐標為(2，4)．
(4)∵OP′＝P′A，∴P′在OA的垂直平分線上．∴P′的橫坐標為.
當x＝時，y＝x2＝.∴點P′的坐標為(，)．
思考題：
如圖，在拋物線y＝－x2上取三點A，B，C.設點A，B的橫坐標分別為a(a＞0)，a＋1，直線BC與x軸平行．
(1)把△ABC的面積S用a表示；
(2)當△ABC的面積S為15時，求a的值；
(3)當△ABC的面積S為15時，在線段BC上求一點D，使△ACD的面積為7.
解：(1)∵y＝－x2的圖象關于y軸對稱，BC∥x軸，點A，B的橫坐標分別為a，a＋1，
∴點A的坐標為(a，－a2)，點B的坐標為[a＋1，－(a＋1)2]，
點C的坐標為[－a－1，－(a＋1)2]，BC＝2(a＋1)．在△ABC中，BC邊上的高為－a2－[－(a＋1)2]＝2a＋1，
∴S＝×2(a＋1)×(2a＋1)＝2a2＋3a＋1
(2)當S＝15時，2a2＋3a＋1＝15，解得a＝2或a＝－.又∵a＞0，∴a＝2　
(3)當S＝15時，a＝2，則△ABC的BC邊上的高為2a＋1＝2×2＋1＝5.
∵S△ACD＝7，∴S△ABD＝S△ABC－S△ACD＝15－7＝8，∴×5×BD＝8，∴BD＝.
由a＝2得點B的坐標為(3，－9)．
∵點D在線段BC上，∴點D的坐標為(－，－9)
增函數
y=0
(0,0)
減函數
y軸
拋物線
向上
y=0
減函數
(0,0)
拋物線
y軸
向下
增函數
y軸
拋物線
y=0
上
y=0
（0，0）
下
圖1
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(總課時09)§2.2二次函數的圖像與性質(1)
一.選擇題：
1.若點A(x1，y1)，B(x2，y2)都在拋物線y＝－x2上，則下列結論正確的是(D)
A．當x1y2 C．當0y2
2.下列關于二次函數y＝x2的圖象的說法：①是一條拋物線；②開口向上；③是軸對稱圖形；④過點(0，0)；⑤它的頂點是原點，且是拋物線的最高點；⑥y的值隨x值的增大而增大．其中正確的有( B )
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
3.下列圖象中，是二次函數y＝x2的圖象的是( A )
4.拋物線y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性質是( B )
A. 開口向上 B. 對稱軸是y軸 C. 都有最高點 D. y隨x的增大而增大
5.已知點A(1，y1)，B(，y2)，C(2，y3)，都在二次函數y＝－x2的圖象上，則( A )
A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y2＞y1 C. y2＞y3＞y1 D. y1＞y3＞y2
二.填空題：
6.已知二次函數y＝x2，當x>0時，y隨x的增大而增大(填“增大”或“減小”)．
7.當－1≤x≤3時，二次函數y＝－x2的最小值是－9，最大值是0．
8.二次函數y＝x2的圖像開口向上，對稱軸是y軸，頂點坐標是（0，0），圖像有最低點，x>0時，y隨x的增大而增大，x<0時，y隨x的增大而減小。
9.如圖1，邊長為2的正方形ABCD的中心在直角坐標系的原點O處，AD∥x軸，以O為頂點且過A，D兩點的拋物線與以O為頂點且過B，C兩點的拋物線將正方形分割成幾部分，則圖中陰影部分的面積是2．
10.直線y＝kx＋b與拋物線y＝x2交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，當OA⊥OB時，直線AB恒過一個定點，該定點的坐標為(0，4)．
11.給出下列命題及函數y＝x，y＝x2和y＝的圖象(如圖2所示)．
①如果>a>a2，那么0a>，那么a>1；
③如果a>a2>，那么－1>a，那么a<－1.
其中正確的命題是①④．(填序號)
三.解答題：
12.如圖3所示，拱橋是拋物線形，其函數表達式為y＝－x2，當水位線在AB位置時，水面的寬AB是6m，求這時水面離拱形頂部的高度OC.
解：∵AB＝6m，∴BC＝3m.∴B點的橫坐標為3，則縱坐標為y＝－32＝－9.
∴OC＝9m.
答：這時水面離拱形頂部的高度OC為9m.
13.已知二次函數y＝－x2的圖象經過A(－1，a)．
(1)求a的值；(2)請說出這個二次函數頂點的坐標，對稱軸；
(3)若點B(－2，y1)，C(－，y2)，D(3，y3)在該二次函數值的圖象上，
試比較y1，y2，y3的大小．
解：(1)把A(－1，a)代入y＝－x2，解得a＝－1　
(2)頂點的坐標為(0，0)，對稱軸是y軸　
(3)根據y＝－x2的圖象關于y軸對稱，可知點D(3，y3)與點(－3，y3)關于y軸對稱，
∵－3＜－2＜－，∴y3＜y1＜y2
四.提高題：
14.規律探究如圖3，點A1，A2，A3，…，An在拋物線y＝x2上，點B0，B1，B2，B3，…，Bn在y軸上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn都為等腰直角三角形(點B0在坐標原點處)，求△A2018B2017B2018的腰長．
解：作A1C⊥y軸，A2E⊥y軸，A1D⊥x軸，A2F⊥x軸，垂足分別為C，E，D，F.∵△A1B0B1，△A2B1B2都是等腰直角三角形，∴B1C＝B0C＝DB0＝A1D，B2E＝B1E，設A1(a，a)．
將點A1的坐標代入表達式y＝x2，得a＝a2，解得a＝0(不符合題意，舍去)或a＝1.
由勾股定理，得A1B0＝.則B1B0＝2.過點B1作B1N⊥A2F于點N，設點A2(x2，y2)，
可得A2N＝y2－2，B1N＝x2＝y2－2，又點A2在拋物線上，∴y2＝x22，即x2＋2＝x22，
解得x2＝2或x2＝－1(不合題意，舍去)，則A2B1＝2，同理可得：A3B2＝3，A4B3＝4，…，
∴A2018B2017＝2018 ，∴△A2018B2017B2018的腰長為2018 .
圖1
圖2
圖3
圖4
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(總課時09)§2.2二次函數y=ax （a≠0）的圖像與性質(1)
一.選擇題：
1.若點A(x1，y1)，B(x2，y2)都在拋物線y＝－x2上，則下列結論正確的是( )
A．當x1y2 C．當0y2
2.下列關于二次函數y＝x2的圖象的說法：①是一條拋物線；②開口向上；③是軸對稱圖形；④過點(0，0)；⑤它的頂點是原點，且是拋物線的最高點；⑥y的值隨x值的增大而增大．其中正確的有( )
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
3.下列圖象中，是二次函數y＝x2的圖象的是( )
4.拋物線y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性質是( )
A. 開口向上 B. 對稱軸是y軸 C. 都有最高點 D. y隨x的增大而增大
5.已知點A(1，y1)，B(，y2)，C(2，y3)，都在二次函數y＝－x2的圖象上，則( )
A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y2＞y1 C. y2＞y3＞y1 D. y1＞y3＞y2
二.填空題：
6.已知二次函數y＝x2，當x>0時，y隨x的增大而____(填“增大”或“減小”)．
7.當－1≤x≤3時，二次函數y＝－x2的最小值是____，最大值是__．
8.二次函數y＝x2的圖像開口向___，對稱軸是____，頂點坐標是____，圖像有最____點，x____時，y隨x的增大而增大，x____時，y隨x的增大而減小。
9.如圖1，邊長為2的正方形ABCD的中心在直角坐標系的原點O處，AD∥x軸，以O為頂點且過A，D兩點的拋物線與以O為頂點且過B，C兩點的拋物線將正方形分割成幾部分，則圖中陰影部分的面積是____．
10.直線y＝kx＋b與拋物線y＝x2交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，當OA⊥OB時，直線AB恒過一個定點，該定點的坐標為________．
11.給出下列命題及函數y＝x，y＝x2和y＝的圖象(如圖2所示)．
①如果>a>a2，那么0a>，那么a>1；
③如果a>a2>，那么－1>a，那么a<－1.
其中正確的命題是________．(填序號)
三.解答題：
12.如圖3所示，拱橋是拋物線形，其函數表達式為y＝－x2，當水位線在AB位置時，水面的寬AB是6m，求這時水面離拱形頂部的高度OC.
13.已知二次函數y＝－x2的圖象經過A(－1，a)．
(1)求a的值；(2)請說出這個二次函數頂點的坐標，對稱軸；
(3)若點B(－2，y1)，C(－，y2)，D(3，y3)在該二次函數值的圖象上，
試比較y1，y2，y3的大小．
四.提高題：
14.規律探究如圖3，點A1，A2，A3，…，An在拋物線y＝x2上，點B0，B1，B2，B3，…，Bn在y軸上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn都為等腰直角三角形(點B0在坐標原點處)，求△A2018B2017B2018的腰長．
圖1
圖2
圖3
圖4
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(總課時09)§2.2二次函數的圖像與性質(1)
【學習目標】會用描點法畫二次函數y＝±x2的圖象.
【學習重難點】探索二次函數y=ax （a≠0）的圖像及性質．
【導學過程】
一.知識回顧
1.一次函數的一般表達式:______________,圖象是：__________，
性質:____________________________________________________________.
反比例函數的一般表達式：_____,圖象是：_____，
性質：_______________________________________________________.
2.畫函數圖象的一般步驟是：①_____②_____③_____．
3.二次函數的一般形式為：y=ax2+bx+c(__________________________)，當b=0、c=0時，上式變為_____.
二.探究新知
1．作函數y＝x2的圖象
(1).列表：觀察y=x2的表達式,選擇值,并計算相應的y值,完成下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝x2
(2)在直角坐標系中描點(按x的值從小到大、從左到右描點)．
(3)用光滑的曲線連接各點，便得到函數y＝x2的圖象．(能用直線連接嗎？)
2．二次函數y＝x2的性質
（1）圖象的形狀是_____，開口方向____（“向上”還是“向下”）
（2）圖象是軸對稱圖形嗎？__________，如果是，它的對稱軸是_____.
(3)當x<0時，y隨x的值的增大_____.
當x>0時，y隨x的值的增大_____.
(4)圖象與x軸有交點嗎？_____,如果有，交點坐標是_____
(5)圖象有_____（“最高點”還是“最低點”）最___點的坐標是__________.
函數有_____（“最大值”還是“最小值”），最___值是___.
歸納：
3.二次函數y＝－x2圖象的性質
4.函數y＝x2與y＝－x2的圖象的相同點不同點與聯系。
請在同一個直角坐標系中觀察y＝x2與y＝－x2的圖象，你能發現它們的圖象的聯系與區別嗎？
相同點：①_______________．②_________________________．③____________________．
不同點：①__________，②______________________________，
③__________，④______________________________．
聯系：____________________．
三.典例與練習
例1.關于函數y=x2圖象的說法:①圖象是一條拋物線;②開口向上;
③是軸對稱圖形;④過原點;⑤對稱軸是y軸;⑥y隨x增大而增大.其中正確的有____________.(填序號)
練習1.已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是拋物線y＝－2x2上的點，則( )
A．y1例2.函數y＝k(x－k)與y＝kx2，y＝(k≠0)在同一坐標系上的圖象正確的是( )
A B C D
練習2.已知函數是關于x的二次函數，求:
(1)滿足條件的m的值;
(2)m為何值時,拋物線有最低點 求出這個最低點,這時當x為何值時,y隨x的增大而增大
(3)m為何值時,函數有最大值 最大值是多少 當x為何值時,y隨x的增大而減小
四.課堂小結
五.分層過關
1.1.拋物線y＝－x2的圖象一定經過( )
A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限
2.關于y＝x2的圖象下列描述錯誤的是( )
A．圖象的形狀是拋物線 B．開口方向向上 C．關于x軸對稱 D．有最低點(0，0)
3.下列各點：(-1，2)，(-1，-2)，(-2，-4)，(-2，4)，其中在二次函數y=-2x2的圖象上的是_______.
4.已知二次函數y＝x2，當x＞0時，y隨x的增大而____．(填“增大”或“減小”)
5.函數y＝2x2的圖象對稱軸是 ____ ，頂點坐標是 ______ .
6.如圖1，點P是拋物線y＝x2在第一象限內的一點，點A的坐標是(3，0)．設
點P的坐標為(x，y)．
(1)求△OPA的面積S關于變量y的關系式；(2)S是x的什么函數？
(3)當S＝6時，求點P的坐標；(4)在y＝x2的圖象上求一點P′，使△OP′A的兩邊OP′＝P′A.
思考題：
如圖，在拋物線y＝－x2上取三點A，B，C.設點A，B的橫坐標分別為a(a＞0)，a＋1，直線BC與x軸平行．
(1)把△ABC的面積S用a表示；
(2)當△ABC的面積S為15時，求a的值；
(3)當△ABC的面積S為15時，在線段BC上求一點D，使△ACD的面積為7.
圖1
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