資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
期中復習知識串講+題型訓練
一元二次方程
一元二次方程考點歸納
（一）考點1.一元二次方程及有關概念
1.一元二次方程
等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，并 且未知數的最高次數是 2 的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必須同時滿足三個條件：
（1）是整式方程 ( https: / / baike. / item / %E6%95%B4%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B / 5692895" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，即等號兩邊都是整式 ( https: / / baike. / item / %E6%95%B4%E5%BC%8F / 5961855" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )。方程中如果有分母 ( https: / / baike. / item / %E5%88%86%E6%AF%8D / 5421449" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，且未知數在分母上，那么這個方程就是分式方程 ( https: / / baike. / item / %E5%88%86%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B / 5692700" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，不是一元二次方程；方程中如果有根號，且未知數在根號內，那么這個方程也不是一元二次方程（是無理方程）
（2）只含有一個未知數；
（3）未知數項的最高次數是2。
2.一元二次方程的一般形式
一元二次方程經過整理都可化成一般形式：ax +bx+c=0（a≠0），其中ax 叫作二次項，a是二次項系數；bx叫作一次項，b是一次項系數；c叫作常數項。
注意：（1）ax +bx+c=0中的a≠0．因當a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程
（2）在求各項系數時，應把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各項系數時不要漏掉前面的性質符號。
3.一元二次方程的解
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值稱為一元二 次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進行求解.
考點2.解一元二次方程
1）直接開方
（1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解.
注意：（1）等號左邊是一個數的平方的形式而等號右邊是一個常數
降次的實質是有一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程
方法是根據平方根的意義開平方
2）.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步驟是：
①化為一般形式；
②移項，將常數項移到方程的右邊；
③化二次項系數為1，即方程兩邊同除以二次項系數；
④配方，即方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方；化原方程為(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果b≤0，則原方程無解．
總結：
3）.公式法
用公式法求一元二次方程的一般步驟：
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判別式
4）.因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：
（1）移項，使方程的右邊化為零；
（2）將方程的左邊轉化為兩個一元一次多項式的乘積；
（3）令每個因式分別為零；
（4）兩個因式分別為零的解就都是原方程的解。
考點3.一元二次方程的判別式
(1)當Δ＝>0時，原方程有兩個不相等的實數根．
(2)當Δ＝=0時，原方程有兩個相等的實數根．
(3)當Δ＝<0時，原方程沒有實數根．反之亦成立
考點4、一元二次方程的根與系數
根與系數的關系：即的兩根為，則，。利用韋達定理可以求一些代數式的值（式子變形），如
解題技巧：
當一元二次方程的題目中給出一個根讓你求另外一個根或未知系數時，可以用韋達定理
考點5、一元二次方程應用
1）.變化率問題
設基準數為a ，兩次增長（或下降）后為 b；增長率（下降率）為 x，第一次增長（或下降）后 為 ；第二次增長（或下降）后為 ．可列方程為 =b。
2）.傳染、分裂問題
有一人患了流感,經過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人 設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人：
3）. 握手、比賽問題
握手問題：n個人見面，任意兩個人都要握一次手，問總共握次手。贈卡問題：n個人相互之間送卡片，總共要送張卡片。
4）.銷售利潤問題 ：
（1）常用公式：利潤=售價-成本；總利潤=每件利潤×銷售量；
（2）每每問題中，單價每漲a元，少買y件。若漲價y元，則少買的數量為
5）.幾何面積問題
（1）如圖①，設空白部分的寬為x,則；
（2）如圖②，設陰影道路的寬為x,則
（3）如圖③，欄桿總長為a，BC的長為b,則
6）.動點與幾何問題
關鍵是將點的運動關系表示出來，找出未知量與已知量的內在聯系，根據面積或體積公式列出方程.
（二）考點整合訓練
考點一、一元二次方程有關概念
若m是一元二次方程的一個根，則代數式的值為（ ）
A．0 B．2 C． D．4
3 .將方程2x2﹣1＝3x化為一元二次方程的一般形式后，二次項系數、一次項系數、常數項分別為（　　）
A．2，1，3 B．2，﹣1，3 C．2，﹣3，﹣1 D．2，﹣3，1
4 .若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一個實數根，則2021﹣m2+5m的值為（　　）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
考點二、一元二次方程的解法
5 . 4（1﹣x）2﹣9＝0．
6 .下面是小明同學解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．
．
解：二次項系數化為1，得，第一步
移項，得，第二步
配方，得，第三步
變形，得，第四步
開方，得，第五步
解得，，第六步
(1)上面小明同學的解法中運用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現的數學思想是______，其中“配方法”依據的一個數學公式是______；
(2)上述解題過程，從第______步開始出現錯誤，請寫出正確的解答過程．
7 .如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必須滿足的條件是（　　）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
8 .若，則的值是（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
考點三、一元二次方程根的判別式
9 .關于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情況是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．只有一個實數根 D．沒有實數根
10 .關于x的方程有實數根，則a的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
11 .已知關于的方程
(1)當取什么值時，方程只有一個根？
(2)若方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍．
考點四、一元二次方程根與系數的關系
12 .若方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數根為a，b，則的值為（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7
13 .關于的一元二次方程有實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)如果，是方程的兩個解，令，求的最大值．
考點五、一元二次方程應用題
14 .廣東春季是流感的高發時期，某校4月初有一人患了流感，經過兩輪傳染后，共25人患流感，假設每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（　　）
A．1+x+x2＝25 B．x+x2＝25
C．（1+x）2＝25 D．x+x（1+x）＝25
15 .如圖，把一塊長為45cm，寬為25cm的矩形硬紙板的四角減去四個相同的小正方形，然后把紙板沿虛線折起，做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為625cm2，設剪去小正方形的邊長為xcm，則可列方程為（　　）
A．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625
C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣x）＝625
15 .電影《流浪地球2》講述了太陽即將毀滅，人類在地球表面建造出巨大的推進器，以便尋找新的家園．然而宇宙之路危機四伏，為了拯救地球，流浪地球時代的年輕人再次挺身而出，展開爭分奪秒的生死之戰的故事．2023年元宵節，某電影院開展“弘揚家國情懷，彰顯中華氣魄”系列活動，對團體購買《流浪地球2》電影票實行優惠，決定在原定零售票價基礎上每張降價20元，這樣按原定零售票價需花費3000元購買的門票，現在只花費了1800元．
（1）求每張電影票的原定零售票價；
（2）為了促進消費，該影院決定對網上購票的個人也采取優惠，原定零售票價經過連續兩次降價后票價為每張32元，求平均每次降價的百分率．
16 .百貨商店服裝柜在銷售中發現：某品牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六一”國際兒童節，商場決定采取適當的降價措施．經市場調查發現：如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）現在每件童裝降價5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少元？
（2）要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？
17 .用12m長的鐵絲圍成一個一邊靠墻的長方形場地，使該場地的面積為20m2，并且在垂直于墻的一邊開一個1m長的小門（用其它材料），若設垂直于墻的一邊長為xm，那么可列方程為（　　）
A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
18 .我市某景區今年3月份接待游客人數為10萬人，5月份接待游客人數增加到12.1萬人．
（1）求這兩個月游客人數的月平均增長率；
（2）若月平均增長率不變，預計6月份的游客人數是多少？
二次函數
二次函數考點歸納
考點一、二次函數的概念
二次函數的概念:
一般地，形如y=ax +bx+c（a,b,c是常數，a≠0）的函數， 叫做二次函數.
其中x是自變量，a，b，c分別表示函數解析式的二次項系數、一次項系數、常數項．
注意：二次函數的判斷方法：
①函數關系式是整式；②化簡后自變量的最高次數是2；③二次項系數不為0．
考點二、二次函數圖像常見類型的性質
（1）y=ax 的圖像的性質
小結：從二次函數的圖象可以看出，對于拋物線 y = ax 來說， 越大，拋物線的開口越小
（2） y=ax +c的圖像的性質
（3）二次函數 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性質
y=a(x-h)2 a>0 a<0
開口方向 開口向上 開口向下
頂點坐標 （h，0） （h，0）
最值 當x= h時，y取最小值0 當x= h時，y取最大值0
對稱軸 直線x=h 直線x=h
增減性 當x＜h時，y隨x的增大而減小；當x＞h時，y隨x的增大而增大。 當x＜h時，y隨x的增大而增大；當x＞h時，y隨x的減小而減小。
（4）二次函數 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性質
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
開口方向 開口向上 開口向下
頂點坐標 （h，k） （h，k）
最值 當x=h時，y取最小值k 當x=h時，y取最大值k
增減性 當x＜h時，y隨x的增大而減小；當x＞h時，y隨x的增大而增大。 當x＜h時，y隨x的增大而增大；當x＞h時，y隨x的減小而減小。
圖象形狀 拋物線形狀
開口大小 a的絕對值越大，開口越小
考點三、二次函數圖像的變換（平移）
平移步驟：（1）先將函數化成y=a(x-h) +k，頂點坐標為（h,k）
從函數y=ax 平移煩方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函數為
注：①其中m均為正數，若m為負數則將對應的加（減）號改為（減）加號即可。
②通常上述變換稱為上加下減，或者上正下負。
（2）左右平移
若原函數為，左右平移一般第一步先將函數的一般式化為頂點式然后再進行相應的變形
注：①其中n均為正數，若n為負數則將對應的加（減）號改為（減）加號即可。
②通常上述變換稱為左加右減，或者左正右負。
考點四、用待定系數法求二次函數的解析式：
　　(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
　　(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
　　(可以看成的圖象平移后所對應的函數.)
　　(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標、，通常選用交點式：
　 　　（a≠0）.(由此得根與系數的關系：
考點五、拋物線中，的作用：
　　(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
　　(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，
　 　　故：①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時，對稱軸在軸左側；③(即、異號)時，對稱軸在軸右側.
　　(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.
　 　　當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：
　 　　①，拋物線經過原點； ②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負半軸.
　　以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則 .
考點六、二次函數與一元二次方程的關系
　　函數，當時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，因此二次函數圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.
　　(1)當二次函數的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；
　　(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；
　　(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.
　　　 通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數圖象和一元二次方程的關系：
的圖象
的解 方程有兩個不等實數解 方程有兩個相等實數解
方程沒有實數解
知識要點
二次函數圖象與x軸的交點的個數由的值來確定.
當二次函數的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；
　　(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；
　　(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根考點七、二次函數的實際應用
利用二次函數解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函數問題，利用題中存在的公式、內含的規律等相等關系，建立函數關系式，再利用函數的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義.
　　利用二次函數解決實際問題的一般步驟是：
　　(1)建立適當的平面直角坐標系；
　　(2)把實際問題中的一些數據與點的坐標聯系起來；
　　(3)用待定系數法求出拋物線的關系式；
　　(4)利用二次函數的圖象及其性質去分析問題、解決問題.
知識要點
常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關鍵是找等量關系，把實際問題轉化為函數問題，列出相關的函數關系式.
（二、）考點整合訓練
考點1 二次函數的定義
1.若y＝（3﹣m）是二次函數，則m的值是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．9
考點2 二次函數圖像和性質
若二次函數y＝ax2﹣bx+2有最大值6，則y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小值為（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．2
3 .拋物線y＝3（x﹣1）2+1的頂點坐標是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
4 ..對于二次函數y＝（x+1）2+2的圖象，下列說法正確的是（　　）
A．開口向下
B．對稱軸是直線x＝1
C．頂點坐標是（﹣1，2）
D．當x≥﹣1時，y隨x增大而減小
考點3 二次函數圖像的變換
5 .將拋物線y＝2x2向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，所得到的拋物線為（　　）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
考點4 用待定系數法求二次函數的解析式：
二次函數y＝x2﹣2x+4化為y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正確的是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣2）2+4
考點5 拋物線中，的作用：
7 .如圖為二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，則下列說法：①a＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④當﹣1＜x＜3時，y＞0，其中正確的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
考點6 二次函數與一元二次方程的關系
8.已知拋物線y＝x2+bx+c的部分圖象如圖所示，若y＜0，則x的取值范圍是（　　）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
考點7 二次函數的實際應用
9.某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映，如果調整商品售價，每降價1元，每星期可多賣出20件．設每件商品降價x元后，每星期售出商品的總銷售額為y元，則y與x的關系式為（　　）
A．y＝60（300+20x） B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x） D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
10 .飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）關于滑行時間t（單位：s）的函數解析式是y＝60t﹣．在飛機著陸滑行中，最后4s滑行的距離是　 　m．
11 .如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有的關系為h＝20t﹣5t2，則小球從飛出到落地所用的時間為　4　s．
考點8 二次函數的綜合題
12.如圖，拋物線與軸交于， 兩點，點在點 的左邊，與軸交于點，點是拋物線的頂點，且，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點是直線下方的拋物線上一動點，不與點，重合，過點 作 軸的垂線交 于點，求面積的最大值及此時點坐標；
旋轉
（一）旋轉知識點歸納
考點1 旋轉的性質及應用
旋轉的定義：把一個圖形繞某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，其中O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角
旋轉的性質：
（1）對應點到旋轉中心的距離相等．
（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．
考點2 中心對稱及中心對稱圖形
中心對稱的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．
中心對稱的性質：
（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形．
（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分．
（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等．
中心對稱的判定：如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱．
中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．
中心對稱與中心對稱圖形區別與聯系：
（1）中心對稱與中心對稱圖形的區別：中心對稱是兩個圖形的位置關系，必須涉及兩個圖形，中心對稱圖形是指一個圖形；中心對稱是指其中一個圖形沿對稱中心旋轉180°后，兩個圖形重合；中心對稱圖形是指該圖形繞對稱中心旋轉180°，與原圖形重合．
（2）中心對稱與中心對稱圖形的聯系：如果把兩個成中心對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是中心對稱圖形；如果把中心對稱圖形看成以對稱中心為分點的兩個圖形，那么這兩個圖形成中心對稱．
中心對稱與軸對稱的區別與聯系：
（1）中心對稱與軸對稱的區別：中心對稱有一個對稱中心——點；圖形繞中心旋轉180°，旋轉后與另一個圖形重合．軸對稱有一條對稱軸——直線．圖形沿直線翻折180°，翻折后與另一個圖形重合．
（2）中心對稱與軸對稱的聯系：如果一個軸對稱圖形有兩條互相垂直的對稱軸，那么它必是中心對稱圖形，這兩條對稱軸的交點就是它的對稱中心，但中心對稱圖形不一定是軸對稱圖形．
（二）考點整合訓練
考點1 旋轉的性質及應用
1.如圖，BA＝BC，∠ABC＝70°，將△BDC繞點B逆時針旋轉至△BEA處，點E，A分別是點D，C旋轉后的對應點，連接DE，則∠BED為（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
2 .如圖，在△ABC中，BA＝BC，D為△ABC內一點，將△BDC繞點B逆時針旋轉至△BEA處，延長AE，CD交于點F，若∠ABC＝70°，則∠AFC的度數為 　70°　．
3.如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O．將∠COB繞點O順時針旋轉，設旋轉角為α（0＜α＜90°），角的兩邊分別與BC，AB交于點M，N，連接DM，CN，MN，下列四個結論：
①∠CDM＝∠COM；②CN⊥DM；③△CNB≌△DMC；④AN2+CM2＝MN2；其中正確結論的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
考點2 中心對稱及中心對稱圖形
4 .如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，每個正方形的頂點稱為格點.已知△AOB的頂點均在格點上，建立如圖所示的平面直角坐標系，點A、B的坐標分別是A(3,2) 、B(1,3).
(1)將△AOB繞點O逆時針旋轉90 °后得到△A1OB1，畫出旋轉后的圖形；
（2）畫出△AOB關于原點O對稱的圖形△A2OB2，并寫出點A2, B2的坐標.
5.已知：是的角平分線，點E，F分別在上，且，．
如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；
如圖2，若為等邊三角形，在不添加輔助線的情況下，請你直接寫出所有是軸對稱但不是中心對稱的圖形．
6 .如圖，D是等邊三角形ABC內一點，∠ADB＝90°，將△ABD繞點A旋轉得到△ACE，延長BD交CE于點G，連接ED并延長交BC于點F．則下列結論：①△ADE是等邊三角形；②四邊形ADGE是軸對稱圖形；③AC，EF互相平分；④BF＝CF．其中正確的有 　①②④　．（填序號）
期中復習知識串講+題型訓練（解析版）
一元二次方程
一元二次方程考點歸納
（一）考點1.一元二次方程及有關概念
1.一元二次方程
等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，并 且未知數的最高次數是 2 的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必須同時滿足三個條件：
（1）是整式方程 ( https: / / baike. / item / %E6%95%B4%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B / 5692895" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，即等號兩邊都是整式 ( https: / / baike. / item / %E6%95%B4%E5%BC%8F / 5961855" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )。方程中如果有分母 ( https: / / baike. / item / %E5%88%86%E6%AF%8D / 5421449" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，且未知數在分母上，那么這個方程就是分式方程 ( https: / / baike. / item / %E5%88%86%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B / 5692700" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，不是一元二次方程；方程中如果有根號，且未知數在根號內，那么這個方程也不是一元二次方程（是無理方程）
（2）只含有一個未知數；
（3）未知數項的最高次數是2。
2.一元二次方程的一般形式
一元二次方程經過整理都可化成一般形式：ax +bx+c=0（a≠0），其中ax 叫作二次項，a是二次項系數；bx叫作一次項，b是一次項系數；c叫作常數項。
注意：（1）ax +bx+c=0中的a≠0．因當a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程
（2）在求各項系數時，應把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各項系數時不要漏掉前面的性質符號。
3.一元二次方程的解
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值稱為一元二 次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進行求解.
考點2.解一元二次方程
1）直接開方
（1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解.
注意：（1）等號左邊是一個數的平方的形式而等號右邊是一個常數
降次的實質是有一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程
方法是根據平方根的意義開平方
2）.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步驟是：
①化為一般形式；
②移項，將常數項移到方程的右邊；
③化二次項系數為1，即方程兩邊同除以二次項系數；
④配方，即方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方；化原方程為(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果b≤0，則原方程無解．
總結：
3）.公式法
用公式法求一元二次方程的一般步驟：
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判別式
4）.因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：
（1）移項，使方程的右邊化為零；
（2）將方程的左邊轉化為兩個一元一次多項式的乘積；
（3）令每個因式分別為零；
（4）兩個因式分別為零的解就都是原方程的解。
考點3.一元二次方程的判別式
(1)當Δ＝>0時，原方程有兩個不相等的實數根．
(2)當Δ＝=0時，原方程有兩個相等的實數根．
(3)當Δ＝<0時，原方程沒有實數根．反之亦成立
考點4、一元二次方程的根與系數
根與系數的關系：即的兩根為，則，。利用韋達定理可以求一些代數式的值（式子變形），如
解題技巧：
當一元二次方程的題目中給出一個根讓你求另外一個根或未知系數時，可以用韋達定理
考點5、一元二次方程應用
1）.變化率問題
設基準數為a ，兩次增長（或下降）后為 b；增長率（下降率）為 x，第一次增長（或下降）后 為 ；第二次增長（或下降）后為 ．可列方程為 =b。
2）.傳染、分裂問題
有一人患了流感,經過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人 設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人：
3）. 握手、比賽問題
握手問題：n個人見面，任意兩個人都要握一次手，問總共握次手。贈卡問題：n個人相互之間送卡片，總共要送張卡片。
4）.銷售利潤問題 ：
（1）常用公式：利潤=售價-成本；總利潤=每件利潤×銷售量；
（2）每每問題中，單價每漲a元，少買y件。若漲價y元，則少買的數量為
5）.幾何面積問題
（1）如圖①，設空白部分的寬為x,則；
（2）如圖②，設陰影道路的寬為x,則
（3）如圖③，欄桿總長為a，BC的長為b,則
6）.動點與幾何問題
關鍵是將點的運動關系表示出來，找出未知量與已知量的內在聯系，根據面積或體積公式列出方程.
（二）考點整合訓練
考點一、一元二次方程有關概念
1.已知關于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，則k的值應為（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能確定
【答案】C
【解答】解：由關于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，得
|k|﹣1＝2且k﹣3≠0．
解得k＝﹣3．
故選：C．
若m是一元二次方程的一個根，則代數式的值為（ ）
A．0 B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】根據一元二次方程的解的定義得出，即得出．再將代數式變為，最后整體代入求值即可．
【詳解】解：∵m是一元二次方程的一個根，
∴，
∴，
∴．
故選：D．
【點評】本題考查一元二次方程的解的定義，代數式求值．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知數的值是解題關鍵．
3 .將方程2x2﹣1＝3x化為一元二次方程的一般形式后，二次項系數、一次項系數、常數項分別為（　　）
A．2，1，3 B．2，﹣1，3 C．2，﹣3，﹣1 D．2，﹣3，1
【答案】C
【解答】解：由方程2x2﹣1＝3x可得：
2x2﹣3x﹣1＝0，則有a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1；
故選：C．
4 .若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一個實數根，則2021﹣m2+5m的值為（　　）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【答案】C
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一個實數根，
∴m2﹣5m﹣2＝0，
∴m2﹣5m＝2，
∴2021﹣m2+5m＝2021﹣（m2﹣5m）＝2021﹣2＝2019；
故選：C．
考點二、一元二次方程的解法
5 . 4（1﹣x）2﹣9＝0．
【答案】見試題解答內容
【解答】解：方程變形得：（1﹣x）2＝，
開方得：1﹣x＝±，
解得：x1＝﹣，x2＝．
6 .下面是小明同學解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．
．
解：二次項系數化為1，得，第一步
移項，得，第二步
配方，得，第三步
變形，得，第四步
開方，得，第五步
解得，，第六步
(1)上面小明同學的解法中運用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現的數學思想是______，其中“配方法”依據的一個數學公式是______；
(2)上述解題過程，從第______步開始出現錯誤，請寫出正確的解答過程．
【答案】(1)轉化思想，完全平方公式
(2)三，解答過程見詳解
【分析】（1）根據解答過程判斷依據即可；
（2）根據配方法判斷即可．
【詳解】（1）解法中運用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現的數學思想是轉化思想，其中“配方法”依據的一個數學公式是完全平方公式；
（2）解題過程，從第三步開始出現錯誤，正確的解答過程如下：
解：
，
，
，
，
，
解得，．
【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的幾種常見解法：直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法，結合方程的特點選擇合適的解法是解題的關鍵．
7 .如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必須滿足的條件是（　　）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
【答案】A
【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，
∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0時，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，
故選：A．
8 .若，則的值是（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
【答案】C
【分析】先設，則方程即可變形為，解方程即可求得即的值．
【詳解】解：設，則原方程可化為：，
即，
解得：或，
∴或，
故選：C．
【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．
考點三、一元二次方程根的判別式
9 .關于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情況是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．只有一個實數根 D．沒有實數根
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根．
故選：A．
10 .關于x的方程有實數根，則a的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】A
【分析】討論：當時，方程化為一元一次方程，有一個實數解；當時，根據判別式的意義得到，解得且，然后綜合兩種情況得到a的取值范圍．
【詳解】解：當時，方程化為，
解得，
當時，，
解得，
綜上所述，a的取值范圍為．
故選：A．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．
11 .已知關于的方程
(1)當取什么值時，方程只有一個根？
(2)若方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）先根據方程只有一個根可知此方程是一元一次方程，故可得出的值；
（2）根據方程有兩個相等的實數根可知，由此即可得出的取值范圍．
【詳解】（1）解：當時，得：，
此時，
則方程為一元一次方程，它的根是，此時方程只有一個根，
∴當時，方程只有一個根；
（2）∵關于的方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得：且，
∴的取值范圍是且．
【點評】本題考查一元一次方程，一元二次方程的定義及根的判別式．一元二次方程根的情況與判別式的關系：方程有兩個不相等的實數根；方程有兩個相等的實數根；方程沒有實數根．掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關系是解題的關鍵．
考點四、一元二次方程根與系數的關系
12 .若方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數根為a，b，則的值為（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7
【答案】D
【解答】解：
＝
＝，
∵方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數根為a，b，
∴a+b＝3，ab＝1，
∴＝＝7，
故選：D．
13 .關于的一元二次方程有實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)如果，是方程的兩個解，令，求的最大值．
【答案】(1)
(2)18
【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式Δ≥0，即可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍；
（2）利用根與系數的關系可得出x1＋x2＝4，x1 x2＝k＋2，結合w＝x1x22＋x12x2＋k，由增減性可求w的最大值．
【詳解】（1）解：關于的一元二次方程有實數根，
∴，
解得：，
的取值范圍為．
（2）解：，是關于的一元二次方程的兩個解，
，，
，
時，的最大值為．
【點評】本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ≥0時，方程有實數根”；（2）利用根與系數的關系結合w＝x1x22＋x12x2＋k，根據增減性可求w的最大值．
考點五、一元二次方程應用題
14 .廣東春季是流感的高發時期，某校4月初有一人患了流感，經過兩輪傳染后，共25人患流感，假設每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（　　）
A．1+x+x2＝25 B．x+x2＝25
C．（1+x）2＝25 D．x+x（1+x）＝25
【答案】C
【解答】解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，依題意得1+x+x（1+x）＝25，
即（1+x）2＝25，
故選：C．
15 .如圖，把一塊長為45cm，寬為25cm的矩形硬紙板的四角減去四個相同的小正方形，然后把紙板沿虛線折起，做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為625cm2，設剪去小正方形的邊長為xcm，則可列方程為（　　）
A．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625
C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣x）＝625
【答案】A
【解答】解：∵剪去小正方形的邊長為xcm，
∴該無蓋紙盒的底面長為（45﹣2x）cm，寬為（25﹣2x）cm，
依題意得：（45﹣2x）（25﹣2x）＝625．
故選：A．
15 .電影《流浪地球2》講述了太陽即將毀滅，人類在地球表面建造出巨大的推進器，以便尋找新的家園．然而宇宙之路危機四伏，為了拯救地球，流浪地球時代的年輕人再次挺身而出，展開爭分奪秒的生死之戰的故事．2023年元宵節，某電影院開展“弘揚家國情懷，彰顯中華氣魄”系列活動，對團體購買《流浪地球2》電影票實行優惠，決定在原定零售票價基礎上每張降價20元，這樣按原定零售票價需花費3000元購買的門票，現在只花費了1800元．
（1）求每張電影票的原定零售票價；
（2）為了促進消費，該影院決定對網上購票的個人也采取優惠，原定零售票價經過連續兩次降價后票價為每張32元，求平均每次降價的百分率．
【分析】（1）設每張門票的原定票價為x元，則降價后的價格為（x﹣20）元，根據數量＝總價÷單價結合按原定票價需花費3000元購買的門票張數現在只花費了1800元，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；
（2）設原定票價平均每次的降價率為y，根據原價及經過兩次降價后的價格，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．．
【解答】解：（1）設每張門票的原定票價為x元，則降價后的價格為（x﹣20）元，
依題意，得：，
解得：x＝50，
經檢驗，x＝50是原方程的解，且符合題意．
答：每張門票的原定票價為50元．
（2）設原定票價平均每次的降價率為y，
依題意，得：50（1﹣y）2＝32，
解得：y1＝0.2＝20%，y2＝1.8（不合題意，舍去）．
答：原定票價平均每次的降價率為20%．
【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．
16 .百貨商店服裝柜在銷售中發現：某品牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六一”國際兒童節，商場決定采取適當的降價措施．經市場調查發現：如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）現在每件童裝降價5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少元？
（2）要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？
【分析】（1）根據每件童裝降價1元，平均每天就可多售出2件，得出每件童裝降價5元，每天可售出20+5×2＝30件，再根據每件盈利40元，即可得出每天的盈利；
（2）設每件應降價x元，每天可以多銷售的數量為2x件，每件的利潤為（40﹣x），由總利潤＝每件的利潤×數量建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）∵每件童裝降價1元，平均每天就可多售出2件，
∴每件童裝降價5元，每天可售出20+5×2＝30件；
∴每天可盈利：（40﹣5）×30＝1050（元）；
（2）設每件應降價x元，由題意，得
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20，
則每件童裝應降價10元或20元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．
17 .用12m長的鐵絲圍成一個一邊靠墻的長方形場地，使該場地的面積為20m2，并且在垂直于墻的一邊開一個1m長的小門（用其它材料），若設垂直于墻的一邊長為xm，那么可列方程為（　　）
A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
【答案】C
【解答】解：設矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為1m可以得出平行于墻的一邊的長為（12﹣2x+1）m，由題意得x（12﹣2x+1）＝20，
故選：C．
18 .我市某景區今年3月份接待游客人數為10萬人，5月份接待游客人數增加到12.1萬人．
（1）求這兩個月游客人數的月平均增長率；
（2）若月平均增長率不變，預計6月份的游客人數是多少？
【答案】（1）這兩個月游客人數的月平均增長率為10%；
（2）按照這個增長率，預計6月份的游客人數是13.31萬人．
【解答】解：（1）設這兩個月游客人數的月平均增長率為x，依題意，得：
10（1+x）2＝12.1，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1．
答：這兩個月游客人數的月平均增長率為10%；
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（萬人）．
答：按照這個增長率，預計6月份的游客人數是13.31萬人．
二次函數
二次函數考點歸納
考點一、二次函數的概念
二次函數的概念:
一般地，形如y=ax +bx+c（a,b,c是常數，a≠0）的函數， 叫做二次函數.
其中x是自變量，a，b，c分別表示函數解析式的二次項系數、一次項系數、常數項．
注意：二次函數的判斷方法：
①函數關系式是整式；②化簡后自變量的最高次數是2；③二次項系數不為0．
考點二、二次函數圖像常見類型的性質
（1）y=ax 的圖像的性質
小結：從二次函數的圖象可以看出，對于拋物線 y = ax 來說， 越大，拋物線的開口越小
（2） y=ax +c的圖像的性質
（3）二次函數 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性質
y=a(x-h)2 a>0 a<0
開口方向 開口向上 開口向下
頂點坐標 （h，0） （h，0）
最值 當x= h時，y取最小值0 當x= h時，y取最大值0
對稱軸 直線x=h 直線x=h
增減性 當x＜h時，y隨x的增大而減小；當x＞h時，y隨x的增大而增大。 當x＜h時，y隨x的增大而增大；當x＞h時，y隨x的減小而減小。
（4）二次函數 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性質
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
開口方向 開口向上 開口向下
頂點坐標 （h，k） （h，k）
最值 當x=h時，y取最小值k 當x=h時，y取最大值k
增減性 當x＜h時，y隨x的增大而減小；當x＞h時，y隨x的增大而增大。 當x＜h時，y隨x的增大而增大；當x＞h時，y隨x的減小而減小。
圖象形狀 拋物線形狀
開口大小 a的絕對值越大，開口越小
考點三、二次函數圖像的變換（平移）
平移步驟：（1）先將函數化成y=a(x-h) +k，頂點坐標為（h,k）
從函數y=ax 平移煩方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函數為
注：①其中m均為正數，若m為負數則將對應的加（減）號改為（減）加號即可。
②通常上述變換稱為上加下減，或者上正下負。
（2）左右平移
若原函數為，左右平移一般第一步先將函數的一般式化為頂點式然后再進行相應的變形
注：①其中n均為正數，若n為負數則將對應的加（減）號改為（減）加號即可。
②通常上述變換稱為左加右減，或者左正右負。
考點四、用待定系數法求二次函數的解析式：
　　(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
　　(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
　　(可以看成的圖象平移后所對應的函數.)
　　(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標、，通常選用交點式：
　 　　（a≠0）.(由此得根與系數的關系：
考點五、拋物線中，的作用：
　　(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
　　(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，
　 　　故：①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時，對稱軸在軸左側；③(即、異號)時，對稱軸在軸右側.
　　(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.
　 　　當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：
　 　　①，拋物線經過原點； ②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負半軸.
　　以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則 .
考點六、二次函數與一元二次方程的關系
　　函數，當時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，因此二次函數圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.
　　(1)當二次函數的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；
　　(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；
　　(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.
　　　 通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數圖象和一元二次方程的關系：
的圖象
的解 方程有兩個不等實數解 方程有兩個相等實數解
方程沒有實數解
知識要點
二次函數圖象與x軸的交點的個數由的值來確定.
當二次函數的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；
　　(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；
　　(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根考點七、二次函數的實際應用
利用二次函數解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函數問題，利用題中存在的公式、內含的規律等相等關系，建立函數關系式，再利用函數的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義.
　　利用二次函數解決實際問題的一般步驟是：
　　(1)建立適當的平面直角坐標系；
　　(2)把實際問題中的一些數據與點的坐標聯系起來；
　　(3)用待定系數法求出拋物線的關系式；
　　(4)利用二次函數的圖象及其性質去分析問題、解決問題.
知識要點
常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關鍵是找等量關系，把實際問題轉化為函數問題，列出相關的函數關系式.
（二、）考點整合訓練
考點1 二次函數的定義
1.若y＝（3﹣m）是二次函數，則m的值是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．9
【答案】C
【分析】根據二次函數的定義求解即可．
【解答】解：由題意，得
m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，
解得m＝﹣3，
故選：C．
考點2 二次函數圖像和性質
若二次函數y＝ax2﹣bx+2有最大值6，則y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小值為（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．2
【分析】根據題意，設二次函數y＝ax2﹣bx+2的頂點坐標為（m，6），且易知其圖象開口向下，通過平移y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2即可求解．
【解答】解：∵二次函數y＝ax2﹣bx+2有最大值6，
∴設二次函數y＝ax2﹣bx+2的頂點坐標為（m，6），
平移可知y＝a（x+1）2﹣b（x+1）+2的頂點坐標為（m﹣1，6），
根據關于x軸對稱可知，y＝﹣a（x+1）2+bx+b﹣2的頂點坐標為（m﹣1，﹣6），且開口向上，
再向上平移4個單位得到y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2，
此時頂點坐標為（m﹣1，﹣2），最小值為﹣2，
故答案為：B．
【點評】本題考查了二次函數圖象的平移，關于坐標軸對稱的點的坐標特征；利用頂點坐標變換是解題的關鍵．
3 .拋物線y＝3（x﹣1）2+1的頂點坐標是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
【答案】A
【分析】已知拋物線頂點式y＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k）．
【解答】解：∵拋物線y＝3（x﹣1）2+1是頂點時，
∴頂點坐標是（1，1）．故選：A．
4 ..對于二次函數y＝（x+1）2+2的圖象，下列說法正確的是（　　）
A．開口向下
B．對稱軸是直線x＝1
C．頂點坐標是（﹣1，2）
D．當x≥﹣1時，y隨x增大而減小
【分析】根據題目中的函數解析式，可以判斷各個選項中的說法是否正確．
【解答】解：∵二次函數y＝（x+1）2+2，
∴該函數的圖象開口向上，故選項A的說法錯誤，
對稱軸是直線x＝﹣1，故選項B中的說法錯誤；
頂點坐標為（﹣1，2），故選項C中的說法正確；
當x≥﹣1時，y隨x增大而增大，故選項D中的說法錯誤；
故選：C．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．
考點3 二次函數圖像的變換
5 .將拋物線y＝2x2向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，所得到的拋物線為（　　）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
【答案】B
【分析】根據“上加下減、左加右減”的原則進行解答即可．
【解答】解：將拋物線y＝2x2向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式為y＝2（x﹣2）2+3，
故選：B．
考點4 用待定系數法求二次函數的解析式：
二次函數y＝x2﹣2x+4化為y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正確的是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣2）2+4
【答案】B
【分析】根據配方法，可得頂點式函數解析式．
【解答】解：y＝x2﹣2x+4配方，得
y＝（x﹣1）2+3，
故選：B．
考點5 拋物線中，的作用：
7 .如圖為二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，則下列說法：①a＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④當﹣1＜x＜3時，y＞0，其中正確的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由x＝1時的函數值判斷a+b+c＞0，然后根據對稱軸推出2a+b與0的關系，根據圖象判斷﹣1＜x＜3時，y的符號．
【解答】解：①圖象開口向下，能得到a＜0；
②對稱軸在y軸右側，x＝＝1，則有﹣＝1，即2a+b＝0；
③當x＝1時，y＞0，則a+b+c＞0；
④由圖可知，當﹣1＜x＜3時，y＞0．
故選：C．
考點6 二次函數與一元二次方程的關系
8.已知拋物線y＝x2+bx+c的部分圖象如圖所示，若y＜0，則x的取值范圍是（　　）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
【答案】B
【分析】根據拋物線與x軸的交點坐標及對稱軸求出它與x軸的另一交點坐標，求當y＜0，x的取值范圍就是求函數圖象位于x軸的下方的圖象相對應的自變量x的取值范圍．
【解答】解：由圖象知，拋物線與x軸交于（﹣1，0），對稱軸為x＝1，
∴拋物線與x軸的另一交點坐標為（3，0），
∵y＜0時，函數的圖象位于x軸的下方，
且當﹣1＜x＜3時函數圖象位于x軸的下方，
∴當﹣1＜x＜3時，y＜0．
故選：B．
考點7 二次函數的實際應用
9.某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映，如果調整商品售價，每降價1元，每星期可多賣出20件．設每件商品降價x元后，每星期售出商品的總銷售額為y元，則y與x的關系式為（　　）
A．y＝60（300+20x） B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x） D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
網版【答案】B
【分析】根據降價x元，則售價為（60﹣x）元，銷售量為（300+20x）件，由題意可得等量關系：總銷售額為y＝銷量×售價，根據等量關系列出函數解析式即可．
【解答】解：降價x元，則售價為（60﹣x）元，銷售量為（300+20x）件，
根據題意得，y＝（60﹣x）（300+20x），
故選：B．
10 .飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）關于滑行時間t（單位：s）的函數解析式是y＝60t﹣．在飛機著陸滑行中，最后4s滑行的距離是　 　m．
【答案】見試題解答內容
【分析】由于飛機著陸，不會倒著跑，所以當y取得最大值時，t也取得最大值，求得t的取值范圍即可，結合取值范圍求得最后4s滑行的距離．
【解答】解：當y取得最大值時，飛機停下來，
則y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此時t＝20，飛機著陸后滑行600米才能停下來．
因此t的取值范圍是0≤t≤20；
即當t＝16時，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）
故答案為：24．
11 .如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有的關系為h＝20t﹣5t2，則小球從飛出到落地所用的時間為　4　s．
【答案】見試題解答內容
【分析】根據關系式，令h＝0即可求得t的值為飛行的時間
【解答】解：
依題意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球從飛出到落地所用的時間為4s
故答案為4．
考點8 二次函數的綜合題
12.如圖，拋物線與軸交于， 兩點，點在點 的左邊，與軸交于點，點是拋物線的頂點，且，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點是直線下方的拋物線上一動點，不與點，重合，過點 作 軸的垂線交 于點，求面積的最大值及此時點坐標；
【答案】（1）y＝x2＋2x－6；（2）S△ACP有最大值，點P的坐標是（－3，－）；
【解析】
【分析】
（1）設拋物線的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入即可求出解析式；
（2）先求出點C（0，－6），設點P（m，m2＋2m－6），設直線AC的解析式是y＝kx＋b，解得直線AC的解析式是y＝－x－6，得到E（m，－m－6），PE＝－m2－3m，利用S△ACP＝S△AEP＋S△CEP，即可得到答案；
【詳解】
（1）設拋物線的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入得a（－6＋2）2－8＝0，解得a＝，
∴y＝（x＋2）2－8＝x2＋2x－6；
（2）解：當x＝0時，y＝－6，∴C（0，－6），
設點P（m，m2＋2m－6），
設直線AC的解析式是y＝kx＋b，
把A（－6，0），C（0，－6）代入得
，解得
∴直線AC的解析式是y＝－x－6，
∵PE⊥x軸交AC于E，
∴E（m，－m－6），
∴PE＝－m－6－（m2＋2m－6）＝－m2－3m（－6＜m＜0），
∵S△ACP＝S△AEP＋S△CEP＝=,
∴當m＝－3時，S△ACP有最大值，最大值為，
此時點P的坐標是（－3，－）；
【點評】
此題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，函數與幾何圖形面積問題，勾股定理，直角三角形與函數圖象的結合問題，正確理解題意根據題意畫出圖形解答是關鍵.
旋轉
（一）旋轉知識點歸納
考點1 旋轉的性質及應用
旋轉的定義：把一個圖形繞某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，其中O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角
旋轉的性質：
（1）對應點到旋轉中心的距離相等．
（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．
考點2 中心對稱及中心對稱圖形
中心對稱的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．
中心對稱的性質：
（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形．
（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分．
（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等．
中心對稱的判定：如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱．
中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．
中心對稱與中心對稱圖形區別與聯系：
（1）中心對稱與中心對稱圖形的區別：中心對稱是兩個圖形的位置關系，必須涉及兩個圖形，中心對稱圖形是指一個圖形；中心對稱是指其中一個圖形沿對稱中心旋轉180°后，兩個圖形重合；中心對稱圖形是指該圖形繞對稱中心旋轉180°，與原圖形重合．
（2）中心對稱與中心對稱圖形的聯系：如果把兩個成中心對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是中心對稱圖形；如果把中心對稱圖形看成以對稱中心為分點的兩個圖形，那么這兩個圖形成中心對稱．
中心對稱與軸對稱的區別與聯系：
（1）中心對稱與軸對稱的區別：中心對稱有一個對稱中心——點；圖形繞中心旋轉180°，旋轉后與另一個圖形重合．軸對稱有一條對稱軸——直線．圖形沿直線翻折180°，翻折后與另一個圖形重合．
（2）中心對稱與軸對稱的聯系：如果一個軸對稱圖形有兩條互相垂直的對稱軸，那么它必是中心對稱圖形，這兩條對稱軸的交點就是它的對稱中心，但中心對稱圖形不一定是軸對稱圖形．
（二）考點整合訓練
考點1 旋轉的性質及應用
1.如圖，BA＝BC，∠ABC＝70°，將△BDC繞點B逆時針旋轉至△BEA處，點E，A分別是點D，C旋轉后的對應點，連接DE，則∠BED為（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】先根據旋轉的性質得到BD＝BE，∠EBD＝∠ABC＝70°，然后根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理計算∠BED的度數．
【解答】解：∵△BDC繞點B逆時針旋轉得到△BEA，∴BD＝BE，∠EBD＝∠ABC＝70°，
∴∠BED＝∠BDE，∴∠BED＝（180°﹣70°）＝55°．故選：A．
【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．
2 .如圖，在△ABC中，BA＝BC，D為△ABC內一點，將△BDC繞點B逆時針旋轉至△BEA處，延長AE，CD交于點F，若∠ABC＝70°，則∠AFC的度數為 　70°　．
【分析】由旋轉的性質得出∠BCD＝∠BAE，由三角形內角和定理可得出答案．
【解答】解：CF和AB交于點M，
∵將△BDC繞點B逆時針旋轉至△BEA處，
∴∠BCD＝∠BAE，
又∵∠AMF＝∠AFC，
∴∠ABC＝∠AFC＝70°．
故答案為：70°．
【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．
3.如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O．將∠COB繞點O順時針旋轉，設旋轉角為α（0＜α＜90°），角的兩邊分別與BC，AB交于點M，N，連接DM，CN，MN，下列四個結論：
①∠CDM＝∠COM；②CN⊥DM；③△CNB≌△DMC；④AN2+CM2＝MN2；其中正確結論的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由“ASA”可證△OCM≌△OBN，△DCM≌△CBN，可得CM＝BN，∠CDM＝∠BCN，由余角的性質可判斷②，由點O，點M，點B，點N四點共圓可判斷①，由“SAS”可證△DCM≌△CNB，由勾股定理可判斷④．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，BO＝CO，AC⊥BD，∠ACB＝∠ABD＝45°，
∵將∠COB繞點O順時針旋轉，
∴∠COM＝∠BON，且BO＝CO，∠ACB＝∠ABD，
∴△OCM≌△OBN（ASA），
∴CM＝BN，
又∵CD＝BC，∠DCM＝∠CBN＝90°，
∴△DCM≌△CBN（SAS），
∴∠CDM＝∠BCN，
∵∠CDM+∠CMD＝90°，
∴∠BCN+∠CMD＝90°，
∴CN⊥DM，
故②正確
∵∠MON＝∠ABC＝90°
∴點O，點M，點B，點N四點共圓
∴∠BON＝∠BMN＝∠COM＞∠BCN＝∠CDM
故①錯誤
∵CM＝BN，CD＝BC，∠ABC＝∠DCB＝90°
∴△DCM≌△CNB（SAS）
故③正確
∵AB＝BC，BN＝CM
∴AN＝BM
∵BN2+BM2＝MN2，
∴AN2+CM2＝MN2；
故④正確
故選：C．
【點評】本題主要考查了旋轉的性質，正方形的性質、全等三角形的判定與性質，勾股定理的綜合應用，熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
考點2 中心對稱及中心對稱圖形
4 .如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，每個正方形的頂點稱為格點.已知△AOB的頂點均在格點上，建立如圖所示的平面直角坐標系，點A、B的坐標分別是A(3,2) 、B(1,3).
(1)將△AOB繞點O逆時針旋轉90 °后得到△A1OB1，畫出旋轉后的圖形；
（2）畫出△AOB關于原點O對稱的圖形△A2OB2，并寫出點A2, B2的坐標.
【答案】見解析。
【解析】 (1)因為旋轉角90 °，故用直角三角板及圓規可快速確定對應點的位置；
（2）先根據關于原點對稱的點的坐標確定對稱頂點的坐標，再依次連結得到所要畫的圖形.
解：(1)如圖所示；
如圖所示，點A2的坐標為(-3，-2),B2的坐標為(-1，-3）
5.已知：是的角平分線，點E，F分別在上，且，．
如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；
如圖2，若為等邊三角形，在不添加輔助線的情況下，請你直接寫出所有是軸對稱但不是中心對稱的圖形．
【答案】(1)證明見分析(2)等邊，等邊，等邊，等腰，等腰梯形，等腰梯形
【分析】
（1）由角平分線可知，由平行可知，可得，，進而結論得證；
（2）由題意可得四邊形是菱形，是等邊三角形的中點，然后根據在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；在平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形；對圖中的三角形與四邊形的對稱性進行判斷即可．
(1)證明：∵是的角平分線
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
(2)解：由（1）知四邊形是平行四邊形
∴
∵是等邊三角形
∴
∴
∴四邊形是菱形
∴
∴是等邊三角形的中點
∴
∴由軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義可知，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的有：等邊，等邊 ，等邊，等腰，等腰梯形，等腰梯形．
【點撥】本題考查了角平分線，等腰三角形的判定與性質，等邊三角形的判定性質，平行四邊形的判定與性質，菱形的判定與性質，軸對稱圖形，中心對稱圖形等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
6 .如圖，D是等邊三角形ABC內一點，∠ADB＝90°，將△ABD繞點A旋轉得到△ACE，延長BD交CE于點G，連接ED并延長交BC于點F．則下列結論：①△ADE是等邊三角形；②四邊形ADGE是軸對稱圖形；③AC，EF互相平分；④BF＝CF．其中正確的有 　①②④　．（填序號）
【分析】根據旋轉的性質得到AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，得證∠DAE＝60°，判斷結論①正確；連接AG，利用HL判斷結論②；連接AF，證明四邊形AFCE一定不是平行四邊形；利用四點共圓，證明∠AFB＝90°，根據三線合一，得BF＝CF．
【解答】解：∵△ABD繞點A旋轉得到△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴△ADE是等邊三角形，
故結論①正確；
如圖，連接AG，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD＝AE，
∵∠ADG＝∠AEG＝90°，AG＝AG，
∴Rt△ADG≌Rt△AEG（HL），
∴GD＝GE，∠DAG＝∠EAG，
∵△ADE是等邊三角形，
∴直線AG垂直平分DE，
∴四邊形ADGE是一個軸對稱圖形，
故結論②正確；
連接AF，
∵∠DAC+∠EAC＝60°＝∠ACB，
∴∠EAC≠∠ACB，
∴AE與FC一定不平行，
∴四邊形AFCE一定不是平行四邊形，
∴AC，EF一定不互相平分，
故結論③錯誤；
∵△ADE是等邊三角形，∠ADG＝90°，
∴∠EDG＝∠BDF＝30°，
∴∠ADF＝120°，
∴∠ADF+∠ABC＝180°，
∴A，B，F，D四點共圓，
∴∠ADG＝∠AFB＝90°，
根據三線合一，得BF＝CF，
故結論④正確．
故答案為：①②④．
【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，線段的垂直平分線的性質，四點共圓，等腰三角形的三線合一，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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