資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
講義
授課主題 二次函數與一元二次不等式
教學目標 1.了解現實世界和日常生活中的不等關系．　 2.了解不等式(組)的實際背景．　 3.掌握不等式的性質及應用，掌握分式不等式，一元二次不等式，含參不等式的解法。
教學重難點 教學重點：如何解不等式，解不等式過程中常見的易錯點。 教學難點：討論含參不等式的情況。
授課日期及時段
教學內容
【知識點1 一元二次不等式的概念及形式】 (1).概念：我們把只含有一個未知數，并且知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式． (2).形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 【知識點2 一元二次不等式的解集的概念及三個“二次”之間的關系】 (1).一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集. (2.)關于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函數為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分別使二次函數f(x)的函數值為正值或負值時自變量x的取值的集合． (3).三個“二次”之間的關系： 設f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式 f(x)>0 或f(x)< 0的步驟求方程f(x)＝0的解有兩個不等的實數解x1，x2有兩個相等的實數解x1＝x2沒有實數解畫函數y＝f(x)的示意圖得不 等式 的解 集f(x)>0{x|xx2}{x|x≠－}Rf(x)<0{x|x1【知識點3 分式不等式的解法】 ①>0與(x＋1)(x＋3)>0等價嗎？ ②≤0與(2x－1)(x＋2)≤0等價嗎？ 定義：分母中含有未知數，且分子、分母都是關于x的多項式的不等式稱為分式不等式. 解法：等價轉化法解分式不等式 【知識點4、簡單的高次不等式的解法】 (1)由函數與方程的關系可知y＝(x＋1)(x－1)(x－2)與x軸相交于(－1,0)，(1,0)，(2,0）三點，試考慮當x>2,11時，y的取值正負情形．你發現了什么規律？ 高次不等式：不等式最高次項的次數高于2，這樣的不等式稱為高次不等式. 解法：穿根法 ①將f(x)最高次項系數化為正數； ②將f(x)分解為若干個一次因式的積或二次不可分因式的積； ③將每一個一次因式的根標在數軸上，自上而下，從右向左依次通過每一點畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根穿過)； ④觀察曲線顯現出的f(x)的值的符號變化規律，寫出不等式的解集． 1.學生在做題時容易忽略一元二次不等式的解法及根的個數 2.做題時應注意含參不等式的解法，討論參數對不等式解集的影響 (一) 一元二次不等式的解法 例1．解下列一元二次不等式： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）根據口訣可得：x>4或x<-1；（2）根據口訣可得：0≤x≤2；（3）根據口訣可得：；（4）根據口訣可得：x>2或x<-2 【變式訓練1】．求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 【解析】（1）因為，所以原不等式等價于， 解得，所以原不等式的解集為. （2）原不等式可化為,配方得 , 又,所以,解得，所以原不等式的解集為. （3）原不等式可化為.∵，∴原不等式的解集是. （4）∵，又∵的兩個實數根為， ∴原不等式的解集是 （5）原不等式可化為，且，∴，或. ∴原不等式的解集是或. (二) 含有參數的一元二次不等式的解法 例2．（1）若關于的不等式的解集為，求關于的不等式的解集. 【答案】 【解析】由題意得，且，解得， 不等式可化為， 即，解得或， 故不等式解集為. （2）（多選）關于x的不等式的解集中恰有3個正整數解，則a的值可以為（ ） A． B． C． D．2 【答案】CD 【分析】由題意先判斷出，寫出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3個正整數，分析的這3個正整數為,計算求解即可. 【詳解】不等式化簡為的解集中恰有3個正整數， 當時，不等式化為，則解集中有無數個整數. 當時，不等式的解集中有無數個正整數，故A錯誤； 所以，，，所以 所以不等式的解集為：， 根據0一定屬于此集合， 則由不等式的解集中恰有3個正整數， 則這3個整數中一定為：， 則，解得 故可取和2，故C,D正確，AB錯誤； 故選：CD. （3）解關于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 【答案】原不等式可化為[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，討論a＋1與2(a－1)的大小 (1)當a＋1>2(a－1)，即a<3時，x>a＋1或x<2(a－1)． (2)當a＋1＝2(a－1)，即a＝3時，x≠a＋1. (3)當a＋1<2(a－1)，即a>3時，x>2(a－1)或xa＋1或x<2(a－1)}， 當a＝3時，解集為{x|x≠a＋1}， 當a>3時，解集為{x|x>2(a－1)或x0， 所以a<－1或a>. 若a<－1，則－2a＋3－＝(－a＋1)>5，所以3－2a>， 此時不等式的解集是； 若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，所以3－2a<， 此時不等式的解集是. 綜上，當a<－1時，原不等式的解集為，當a>時，原不等式的解集為. (三) 含有參數的分式不等式的解法 例3．【廣東省惠州市第一中學2017-2018學年數學必修5模塊綜合】不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依題意，不等式化為，解得﹣1＜x≤2，故選D． 【變式訓練1】．【上海市虹口區復興高級中學2016-2017學年高一上學期期中】不等式的解集是______. 【答案】或 【解析】不等式等價為且， ∴或，∴不等式的解集是或 故答案為：或 (四)二次不等式綜合問題 例4．已知一元二次函數，． (1)若，求實數a的取值范圍； (2)求關于x的不等式的解集 【答案】(1) (2)答案見解析 【分析】（1）直接解二次不等式即可； （2）變形得，分，，討論，通過確定的大小來解二次不等式. 【詳解】（1）由已知得， 解得或. 實數a的取值范圍； （2）， 令，得， 當，即時，的解集為， 當，即時，的解集為， 當，即時，的解集為， 綜上所述：當時，解集為； 當時，解集為； 當時，解集為； 例5．（2019·海南省海口一中高二月考）若函數的定義域為，值域為，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如下圖所示： ，當時，；當或時，. 由二次函數圖象可知，當時，函數在區間上的最小值為，最大值為，因此，實數的取值范圍是，故選：C. 【變式訓練1】．求解不等式 【答案】答案見解析 【分析】將不等式左邊因式分解可得，再分、、、、五種情況討論，分別求出不等式的解集. 【詳解】解：因為， 所以， 當時，原不等式即，解得，所以不等式的解集為， 當時，原不等式即，解得，所以不等式的解集為； 當時，原不等式即，解得，所以不等式的解集為； 當時，原不等式即，解得或， 所以不等式的解集為或； 當時，原不等式即，解得或， 所以不等式的解集為或； 綜上可得：當時不等式的解集為， 當時不等式的解集為， 當時不等式的解集為， 當時不等式的解集為或， 當時不等式的解集為或； 【變式訓練2】．（2020·調兵山市第一高級中學高二月考）已知函數，（），若任意，且都有，則實數a的取值范圍（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設，因為對任意的，且都有， 故可得，可得函數在上單調遞增， 的對稱軸為， ，解之得.故a的取值范圍是.故選：A. (五) 實際應用問題 例6．（2020·全國高一）某部影片的盈利額（即影片的票房收入與固定成本之差）記為,觀影人數記為,其函數圖象如圖（1）所示.由于目前該片盈利未達到預期,相關人員提出了兩種調整方案,圖（2）、圖（3）中的實線分別為調整后與的函數圖象. 給出下列四種說法: ①圖（2）對應的方案是:提高票價,并提高成本; ②圖（2）對應的方案是:保持票價不變,并降低成本; ③圖（3）對應的方案是:提高票價,并保持成本不變; ④圖（3）對應的方案是:提高票價,并降低成本. 其中,正確的說法是____________.（填寫所有正確說法的編號） 【答案】②③ 【解析】由圖象(1)可設盈利額與觀影人數的函數為, ,即為票價,當時,,則為固定成本,由圖象(2)知,直線向上平移, 不變,即票價不變,變大,則變小,成本減小.故①錯誤,②正確; 由圖象(3)知,直線與軸的交點不變,直線斜率變大, 變大,即提高票價,不變,則不變,成本不變.故③正確,④錯誤;故答案為:②③ 【變式訓練1】．（2019·江蘇省金陵中學高一期中）為了保護環境，發展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的產品.已知該單位每月處理二氧化碳最少400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似表示為y＝x2－200x＋80000，且每處理1噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元. （1）若該單位每月成本(每月成本＝每月處理成本－每月可利用的化工產品價值)支出不超過105000元，求月處理量x的取值范圍. （2）該單位每月能否獲利 如果能獲利，求出能獲得的最大利潤；如果不能獲利，那么國家每月至少補貼多少元，才能使該單位不虧損 【答案】（1）；（2）單位每月不能獲利，需國家每月至少補貼元，才能使該單位不虧損. 【解析】 （1）由題意得 所以月處理量x的取值范圍為； （2）設利潤為元，,則， 所以 在單調遞減，即時 因此單位每月不能獲利，需國家每月至少補貼元，才能使該單位不虧損. 1．關于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－10的解集為(　　) A．{x|－22或x<－1} C．{x|x>1或x<－2} D．{x|x<－1或x>1} 【答案】C　[∵ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－10，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2.] 2．（2020·上海高三專題練習）若不等式有唯一解,則的取值為( ) A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】因為的圖像開口向上，由不等式有唯一解， 即的最小值為1，則，解得，即，故選B. 3．（2019·海南省海口一中高二月考）若函數的定義域為，值域為，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下圖所示： ，當時，；當或時，. 由二次函數圖象可知，當時，函數在區間上的最小值為，最大值為，因此，實數的取值范圍是，故選：C. 4．不等式對恒成立，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，不等式對恒成立，即恒成立， 設，由可得， 所以，只需，即的取值范圍為.故選：B. 5．（2019·全國高一課時練習）已知方程的兩根都大于2，則實數的取值范圍是（ ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方程的兩根都大于2，則二次函數的圖象與軸的兩個交點都在x=2的右側，根據圖象得：方程的判別式；當時函數值；函數對稱軸。即，解得，所以正確選項為B. 6．（2019·全國高一課時練習）函數，記的解集為，若，則的取值范圍（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】函數，拋物線開口向上，又，所以,則的解集為，得，解得，所以正確選項為A。 7．（2019·廣東省增城中學高一期中）如圖所示，用總長為定值l的籬笆圍成長方形的場地，以墻為一邊，并用平行于一邊的籬笆隔開. （1）設場地面積為y，垂直于墻的邊長為x，試用解析式將y表示成x的函數，并確定這個函數的定義域； （2）怎樣圍才能使得場地的面積最大 最大面積是多少 【答案】（1）y=x(l 3x)；(0，) （2）當垂直于墻的邊長為時，這塊長方形場地的面積最大，最大面積為. 【解析】 (1)設場地面積為y，垂直于墻的邊長為x，它的面積y=x(l 3x)； 由x>0，且l 3x>0，可得函數的定義域為(0，)； (2)×= 當x=時，這塊長方形場地的面積最大，這時的長為l 3x=，最大面積為. 8.解下列不等式 (1)－x2＋2x－3<0；(2)－3x2＋5x－2>0. 【答案】(1) R (2) 【解析】(1)原不等式可化為x2－2x＋3>0，由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0無解， ∴不等式－x2＋2x－3<0的解集為R. (2)原不等式可化為3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的兩根為x1＝，x2＝1， ∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集為. 9．已知函數. （1）求關于的不等式的解集； （2）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由得，即， 所以的解集為； （2）不等式對任意恒成立， 由得，的最小值為1， 所以恒成立，即，所以， 所以實數的取值范圍為. 10．（2020·黑龍江省大慶中學高一期末）已知關于的不等式． （1）當時，解上述不等式． （2）當時，解上述關于的不等式 【答案】（1）．（2）當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為或 【解析】（1）當時，代入可得，解不等式可得， 所以不等式的解集為. （2）關于的不等式． 若，當時，代入不等式可得，解得； 當時，化簡不等式可得，由解不等式可得， 當時，化簡不等式可得，解不等式可得或， 綜上可知，當時，不等式解集為，當時，不等式解集為，當時，不等式解集為或
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授課主題 二次函數與一元二次不等式
教學目標 1.了解現實世界和日常生活中的不等關系．　 2.了解不等式(組)的實際背景．　 3.掌握不等式的性質及應用，掌握分式不等式，一元二次不等式，含參不等式的解法。
教學重難點 教學重點：如何解不等式，解不等式過程中常見的易錯點。 教學難點：討論含參不等式的情況。
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【知識點1 一元二次不等式的概念及形式】 (1).概念：我們把只含有一個未知數，并且知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式． (2).形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 【知識點2 一元二次不等式的解集的概念及三個“二次”之間的關系】 (1).一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集. (2.)關于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函數為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分別使二次函數f(x)的函數值為正值或負值時自變量x的取值的集合． (3).三個“二次”之間的關系： 設f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式 f(x)>0 或f(x)< 0的步驟求方程f(x)＝0的解有兩個不等的實數解x1，x2有兩個相等的實數解x1＝x2沒有實數解畫函數y＝f(x)的示意圖得不 等式 的解 集f(x)>0{x|xx2}{x|x≠－}Rf(x)<0{x|x1【知識點3 分式不等式的解法】 ①>0與(x＋1)(x＋3)>0等價嗎？ ②≤0與(2x－1)(x＋2)≤0等價嗎？ 定義：分母中含有未知數，且分子、分母都是關于x的多項式的不等式稱為分式不等式. 解法：等價轉化法解分式不等式 【知識點4、簡單的高次不等式的解法】 (1)由函數與方程的關系可知y＝(x＋1)(x－1)(x－2)與x軸相交于(－1,0)，(1,0)，(2,0)三點，試考慮當x>2,11時，y的取值正負情形．你發現了什么規律？ 高次不等式：不等式最高次項的次數高于2，這樣的不等式稱為高次不等式. 解法：穿根法 ①將f(x)最高次項系數化為正數； ②將f(x)分解為若干個一次因式的積或二次不可分因式的積； ③將每一個一次因式的根標在數軸上，自上而下，從右向左依次通過每一點畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根穿過)； ④觀察曲線顯現出的f(x)的值的符號變化規律，寫出不等式的解集． 1.學生在做題時容易忽略一元二次不等式的解法及根的個數 2.做題時應注意含參不等式的解法，討論參數對不等式解集的影響 (一) 一元二次不等式的解法 例1．解下列一元二次不等式： （1） （2） （3） （4） 【變式訓練1】．求下列不等式的解集. ； （2）； （3）； （4）； （5）. (二) 含有參數的一元二次不等式的解法 例2．（1）若關于的不等式的解集為，求關于的不等式的解集. （2）（多選）關于x的不等式的解集中恰有3個正整數解，則a的值可以為（ ） A． B． C． D．2 （3）解關于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 【變式訓練1】．解關于x的不等式: . 【變式訓練2】．已知M是關于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一個元素是0，求實數a的取值范圍，并用a表示出該不等式的解集. (三) 含有參數的分式不等式的解法 例3．【廣東省惠州市第一中學2017-2018學年數學必修5模塊綜合】不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 【變式訓練1】．【上海市虹口區復興高級中學2016-2017學年高一上學期期中】不等式的解集是______. (四)二次不等式綜合問題 例4．已知一元二次函數，． (1)若，求實數a的取值范圍； (2)求關于x的不等式的解集 例5．（2019·海南省海口一中高二月考）若函數的定義域為，值域為，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【變式訓練1】．求解不等式 【變式訓練2】．（2020·調兵山市第一高級中學高二月考）已知函數，（），若任意，且都有，則實數a的取值范圍（ ） B． C． D． (五) 實際應用問題 例6．（2020·全國高一）某部影片的盈利額（即影片的票房收入與固定成本之差）記為,觀影人數記為,其函數圖象如圖（1）所示.由于目前該片盈利未達到預期,相關人員提出了兩種調整方案,圖（2）、圖（3）中的實線分別為調整后與的函數圖象. 給出下列四種說法: ①圖（2）對應的方案是:提高票價,并提高成本; ②圖（2）對應的方案是:保持票價不變,并降低成本; ③圖（3）對應的方案是:提高票價,并保持成本不變; ④圖（3）對應的方案是:提高票價,并降低成本. 其中,正確的說法是____________.（填寫所有正確說法的編號） 【變式訓練1】．（2019·江蘇省金陵中學高一期中）為了保護環境，發展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的產品.已知該單位每月處理二氧化碳最少400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似表示為y＝x2－200x＋80000，且每處理1噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元. （1）若該單位每月成本(每月成本＝每月處理成本－每月可利用的化工產品價值)支出不超過105000元，求月處理量x的取值范圍. （2）該單位每月能否獲利 如果能獲利，求出能獲得的最大利潤；如果不能獲利，那么國家每月至少補貼多少元，才能使該單位不虧損 1．關于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－10的解集為(　　) A．{x|－22或x<－1} C．{x|x>1或x<－2} D．{x|x<－1或x>1} 2．（2020·上海高三專題練習）若不等式有唯一解,則的取值為( ) A．0 B．2 C．4 D．6 3．（2019·海南省海口一中高二月考）若函數的定義域為，值域為，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 4．不等式對恒成立，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 5．（2019·全國高一課時練習）已知方程的兩根都大于2，則實數的取值范圍是（ ) A. B. C. D. 6．（2019·全國高一課時練習）函數，記的解集為，若，則的取值范圍（ ） A. B. C. D. 7．（2019·廣東省增城中學高一期中）如圖所示，用總長為定值l的籬笆圍成長方形的場地，以墻為一邊，并用平行于一邊的籬笆隔開. （1）設場地面積為y，垂直于墻的邊長為x，試用解析式將y表示成x的函數，并確定這個函數的定義域； （2）怎樣圍才能使得場地的面積最大 最大面積是多少 8.解下列不等式 (1)－x2＋2x－3<0； (2)－3x2＋5x－2>0. 9．已知函數. （1）求關于的不等式的解集； （2）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍. 10．（2020·黑龍江省大慶中學高一期末）已知關于的不等式． （1）當時，解上述不等式． （2）當時，解上述關于的不等式
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