資源簡介

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成比例線段【七大題型】
TOC \o "1-3" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc674" 【題型1 成比例線段的概念】 1
HYPERLINK \l "_Toc7506" 【題型2 成比例線段的應用】 2
HYPERLINK \l "_Toc2742" 【題型3 比例的證明】 3
HYPERLINK \l "_Toc26402" 【題型4 利用比例的性質求比值】 4
HYPERLINK \l "_Toc3397" 【題型5 利用比例的性質求參】 4
HYPERLINK \l "_Toc11543" 【題型6 比例的性質在閱讀理解中的運用】 5
HYPERLINK \l "_Toc2459" 【題型7 黃金分割】 6
【知識點1 成比例線段的概念】
1．比例的項：
在比例式（即）中，a，d稱為比例外項，b，c稱為比例內項．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項，滿足．
2．成比例線段：
四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．
【題型1 成比例線段的概念】
【例1】（2022秋 南崗區校級月考）不能與2，4，6組成比例式的數是（　?。?br/>A． B．3 C．8 D．12
【變式1-1】（2022秋 義烏市月考）已知線段a＝2，b＝6，則它們的比例中項線段為 　2　．
【變式1-2】（2022秋 道里區期末）如圖，用圖中的數據不能組成的比例是（　?。?br/>A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4
【變式1-3】（2022秋 八步區期中）如圖所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．則線段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例線段嗎？
【題型2 成比例線段的應用】
【例2】（2022秋 渭濱區期末）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，試判斷△ABC的形狀．
【變式2-1】（2022秋 青羊區校級月考）甲、乙兩地的實際距離是400千米，在比例尺為1：500000的地圖上，甲乙兩地的距離是（　　）
A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．
【變式2-2】（2022秋 杜爾伯特縣期末）一個班有30名學生，男、女生人數的比可能是（　?。?br/>A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1
【變式2-3】（2022 臺灣）某校每位學生上、下學期各選擇一個社團，下表為該校學生上、下學期各社團的人數比例．若該校上、下學期的學生人數不變，相較于上學期，下學期各社團的學生人數變化，下列敘述何者正確？（　　）
舞蹈社 溜冰社 魔術社
上學期 3 4 5
下學期 4 3 2
A．舞蹈社不變，溜冰社減少
B．舞蹈社不變，溜冰社不變
C．舞蹈社增加，溜冰社減少
D．舞蹈社增加，溜冰社不變
【知識點2 比例的性質】
比例的性質 示例剖析
（1）基本性質：
（2）反比性質：
（3）更比性質：或 或
（4）合比性質：
（5）分比性質：
（6）合分比性質：
（7）等比性質： 已知，則當時，.
【題型3 比例的證明】
【例3】（2022秋 汝州市校級月考）已知線段a，b，c，d（b≠d≠0），如果，求證：．
【變式3-1】（2022春 江陰市期中）如圖，點B，C在線段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求證：．
【變式3-2】（2022秋 秦都區校級期中）已知：如圖，點O為三角形ABC內部的任意一點，連接AO并延長交BC于點D．
證明：（1）；（2）．
【變式3-3】（2022秋 岳陽縣期中）若a，b，c，d是非零實數且，求證．
【題型4 利用比例的性質求比值】
【例4】（2022秋 炎陵縣期末）已知，則　　．
【變式4-1】（2022春 霍邱縣期末）若，那么的值等于（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式4-2】（2022春 沙坪壩區校級期末）若且b﹣2d+3f≠0，則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式4-3】（2022春 棲霞市期末）下列結論中，錯誤的是（　?。?br/>A．若，則
B．若，則
C．若（b﹣d≠0），則
D．若，則a＝3，b＝4
【題型5 利用比例的性質求參】
【例5】（2022秋 蜀山區校級期中）已知：k，則k＝　　?。?br/>【變式5-1】（2022秋 灌云縣期末）已知，且x+y＝24．則x的值是（　　）
A．15 B．9 C．5 D．3
【變式5-2】（2022秋 高州市期中）已知，且3y＝2z+6，求x，y的值．
【變式5-3】（2022 雨城區校級開學）我們知道：若，且b+d≠0，那么．
（1）若b+d＝0，那么a、c滿足什么關系？
（2）若，求t2﹣t﹣2的值．
【題型6 比例的性質在閱讀理解中的運用】
【例6】（2022秋 渝中區期末）閱讀理解：
已知：a，b，c，d都是不為0的數，且，求證：．
證明：∵，
∴11．
∴．
根據以上方法，解答下列問題：
（1）若，求的值；
（2）若，且a≠b，c≠d，證明．
【變式6-1】閱讀材料：
已知0，求的值．
解：設k（k≠0），則x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）
∴．（第二步）
（1）回答下列問題：
①第一步運用了 　　　的基本性質，
②第二步的解題過程運用了 　　　的方法，
由得利用了 　　　的基本性質．
（2）模仿材料解題：
已知x：y：z＝2：3：4，求的值．
【變式6-2】（2022秋 椒江區校級月考）閱讀下列解題過程，然后解題：
題目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：設k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k 0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列問題：
a，b，c為非零實數，且a+b+c≠0，當時，求的值．
【變式6-3】（2022春 鼓樓區校級期中）閱讀下面的解題過程，然后解題：
題目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：設，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k 0＝0，
依照上述方法解答下列問題：已知：（x+y+z≠0），求的值．
【知識點3 黃金分割】
如圖，若線段AB上一點C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項（即），則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點有兩個．）
【題型7 黃金分割】
【例7】（2022 青羊區校級模擬）如圖，點R是正方形ABCD的AB邊上線段AB的黃金分割點，且AR＞RB，S1表示以AR為邊長的正方形面積；S2表示以BC為長，BR為寬的矩形的面積，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面積，則S1：S2的值為 　　．
【變式7-1】（2022秋 楊浦區期末）已知點P是線段AB上的一點，線段AP是PB和AB的比例中項，下列結論中，正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式7-2】（2022秋 江都區校級月考）已知，點D是線段AB的黃金分割點，若AD＞BD．
（1）若AB＝10cm，則AD＝　　　　　；
（2）如圖，請用尺規作出以AB為腰的黃金三角形ABC；
（3）證明你畫出的三角形是黃金三角形．
面同意，不得復制發布日期：2022/9/15 22:55:34；用戶：小不1825600716號：20699374
【變式7-3】（2022春 兗州區期末）再讀教材：
寬與長的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：MN＝2）
第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．
第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．
第三步，折出內側矩形的對角線AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．
第四步，展平紙片，按照所得的點D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中就會出現黃金矩形．
問題解決：
（1）圖③中AB＝　　　（保留根號）；
（2）如圖③，判斷四邊形BADQ的形狀，并說明理由；
（3）請寫出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個說明理由．
成比例線段【七大題型】
TOC \o "1-3" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc674" 【題型1 成比例線段的概念】 1
HYPERLINK \l "_Toc7506" 【題型2 成比例線段的應用】 3
HYPERLINK \l "_Toc2742" 【題型3 比例的證明】 5
HYPERLINK \l "_Toc26402" 【題型4 利用比例的性質求比值】 7
HYPERLINK \l "_Toc3397" 【題型5 利用比例的性質求參】 8
HYPERLINK \l "_Toc11543" 【題型6 比例的性質在閱讀理解中的運用】 10
HYPERLINK \l "_Toc2459" 【題型7 黃金分割】 13
【知識點1 成比例線段的概念】
1．比例的項：
在比例式（即）中，a，d稱為比例外項，b，c稱為比例內項．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項，滿足．
2．成比例線段：
四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．
【題型1 成比例線段的概念】
【例1】（2022秋 南崗區校級月考）不能與2，4，6組成比例式的數是（　?。?br/>A． B．3 C．8 D．12
【分析】利用表示兩個比相等的式子，叫做比例式，然后分別求出A、B、C、D選項的比值，即可判斷．
【解答】解：A、：2＝4：6，故A不符合題意；
B、2：3＝4：6，故B不符合題意；
C、2：4≠6：8，故C符合題意；
D、2：4＝6：12，故D不符合題意；
故選：C．
【變式1-1】（2022秋 義烏市月考）已知線段a＝2，b＝6，則它們的比例中項線段為 　2?。?br/>【分析】由題意線段c是a、b的比例中項，可知c2＝ab，由此即可解決問題．
【解答】解：∵線段c是a、b的比例中項，
∴c2＝ab，
∵a＝2，b＝6，
∴c2＝12，
∵c＞0，
∴c＝2，
故答案為：2．
【變式1-2】（2022秋 道里區期末）如圖，用圖中的數據不能組成的比例是（　?。?br/>A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4
【分析】根據對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，進而分別判斷即可．
【解答】解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能組成比例，錯誤；
B、3：1.5＝2：1＝4：2，能組成比例，錯誤；
C、2：3≠1.5：4；不能組成比例，正確；
D、1.5：2＝3：4，能組成比例，錯誤；
故選：C．
【變式1-3】（2022秋 八步區期中）如圖所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．則線段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例線段嗎？
【分析】求出，的值判斷即可．
【解答】解：∵AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm，
∴，，
∴，
∴A'B'，AB，B'C'，BC是成比例線段．
【題型2 成比例線段的應用】
【例2】（2022秋 渭濱區期末）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，試判斷△ABC的形狀．
【分析】設a﹣c＝﹣2k，a+b＝7，c﹣b＝1，再利用k分別表示出a、b、c，然后利用勾股定理的逆定理進行判斷．
【解答】解：∵（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，
∴設，解得，
∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2＝c2，
∴△ABC為直角三角形，∠C＝90°．
【變式2-1】（2022秋 青羊區校級月考）甲、乙兩地的實際距離是400千米，在比例尺為1：500000的地圖上，甲乙兩地的距離是（　　）
A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．
【分析】設地圖上，甲乙兩地的距離是xcm，根據比例尺的定理列出方程，解之可得．
【解答】解：設地圖上，甲乙兩地的距離是xcm，
根據題意，得：，
解得：x＝80，
即地圖上，甲乙兩地的距離是80cm，
故選：C．
【變式2-2】（2022秋 杜爾伯特縣期末）一個班有30名學生，男、女生人數的比可能是（　　）
A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1
【分析】根據人數必須是整數，所以男、女生人數占的總分數必須能被30整除，然后進行計算即可解答．
【解答】解：A、30÷（3+2）＝6，能得出整數的結果，故A符合題意；
B、30÷（1+3）＝7.5，不能得出整數的結果，故B不符合題意；
C、30÷（4+5），不能得出整數的結果，故C不符合題意；
D、30÷（3+1）＝7.5，不能得出整數的結果，故D不符合題意；
故選：A．
【變式2-3】（2022 臺灣）某校每位學生上、下學期各選擇一個社團，下表為該校學生上、下學期各社團的人數比例．若該校上、下學期的學生人數不變，相較于上學期，下學期各社團的學生人數變化，下列敘述何者正確？（　?。?br/>舞蹈社 溜冰社 魔術社
上學期 3 4 5
下學期 4 3 2
A．舞蹈社不變，溜冰社減少
B．舞蹈社不變，溜冰社不變
C．舞蹈社增加，溜冰社減少
D．舞蹈社增加，溜冰社不變
【分析】若甲：乙：丙＝a：b：c，則甲占全部的，乙占全部的，丙占全部的．
【解答】解：由表得知上、下學期各社團人數占全部人數的比例如下：
舞蹈社 溜冰社 魔術社
上學期
下學期
∴舞蹈社增加，溜冰社不變．
故選：D．
【知識點2 比例的性質】
比例的性質 示例剖析
（1）基本性質：
（2）反比性質：
（3）更比性質：或 或
（4）合比性質：
（5）分比性質：
（6）合分比性質：
（7）等比性質： 已知，則當時，.
【題型3 比例的證明】
【例3】（2022秋 汝州市校級月考）已知線段a，b，c，d（b≠d≠0），如果，求證：．
【分析】根據比例線段的性質證明即可．
【解答】證明：由，
可得：a＝bk，c＝dk，
把a＝bk，c＝dk代入，
把a＝bk，c＝dk代入，
可得：．
【變式3-1】（2022春 江陰市期中）如圖，點B，C在線段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求證：．
【分析】由已知條件得到，即，兩邊同除以AC，即可得到結論．
【解答】證明：∵，
∴，即，
∴1＝1，
∴．
【變式3-2】（2022秋 秦都區校級期中）已知：如圖，點O為三角形ABC內部的任意一點，連接AO并延長交BC于點D．
證明：（1）；（2）．
【分析】（1）由等高模型可知：，，由此即可解決問題．
（2）利用等高模型以及比例的性質即可解決問題．
【解答】證明：（1）∵，，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
【變式3-3】（2022秋 岳陽縣期中）若a，b，c，d是非零實數且，求證．
【分析】由于（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，根據比例的基本性質得到ad＝bc，可得（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），從而得證．
【解答】證明：∵，
∴ad＝bc，
∵（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，
（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，
∵2abcd＝c2b2+a2d2
∴（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），
∴．
【題型4 利用比例的性質求比值】
【例4】（2022秋 炎陵縣期末）已知，則　　．
【分析】根據，可得，再根據比例的性質即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【變式4-1】（2022春 霍邱縣期末）若，那么的值等于（　?。?br/>A． B． C． D．
【分析】把化成1，即可求出的值．
【解答】解：∵，
∴1，
∴，
故選：B．
【變式4-2】（2022春 沙坪壩區校級期末）若且b﹣2d+3f≠0，則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【分析】先利用分式的基本性質得到，然后根據等比性質解決問題．
【解答】解：∵，
∴，
而b﹣2d+3f≠0
∴．
故選：B．
【變式4-3】（2022春 棲霞市期末）下列結論中，錯誤的是（　?。?br/>A．若，則
B．若，則
C．若（b﹣d≠0），則
D．若，則a＝3，b＝4
【分析】分別利用比例的基本性質分析得出答案．
【解答】解：A、若，則，正確，不合題意；
B、若，則6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，則，正確，不合題意；
C、若（b﹣d≠0），則，正確，不合題意；
D、若，無法得出a，b的值，故此選項錯誤，符合題意．
故選：D．
【題型5 利用比例的性質求參】
【例5】（2022秋 蜀山區校級期中）已知：k，則k＝　2或﹣1?。?br/>【分析】能夠根據比例的基本性質熟練進行比例式和等積式的互相轉換．
【解答】解：此題要分情況考慮：
當x+y+z≠0時，則根據比例的等比性質，得k2；
當x+y+z＝0時，即x+y＝﹣z，則k＝﹣1，故填2或﹣1．
【變式5-1】（2022秋 灌云縣期末）已知，且x+y＝24．則x的值是（　?。?br/>A．15 B．9 C．5 D．3
【分析】設k，根據比例的性質求出x＝3k，y＝5k，根據x+y＝24得出3k+5k＝24，求出k，再求出x即可．
【解答】解：設k，則x＝3k，y＝5k，
∵x+y＝24．
∴3k+5k＝24，
解得：k＝3，
∴x＝3×3＝9，
故選：B．
【變式5-2】（2022秋 高州市期中）已知，且3y＝2z+6，求x，y的值．
【分析】由若，可設k，這樣用k分別表示x、y、z，即x＝3k，y＝5k，z＝6k，再利用3y＝2z+6，可得到關于k的方程，解方程得到k的值，從而可確定x的值．
【解答】解：設k，
則x＝3k，y＝5k，z＝6k，
∵3y＝2z+6，
∴3×5k＝2×6k+6，
解得：k＝2，
∴x＝3k＝6，y＝5k＝10．
【變式5-3】（2022 雨城區校級開學）我們知道：若，且b+d≠0，那么．
（1）若b+d＝0，那么a、c滿足什么關系？
（2）若，求t2﹣t﹣2的值．
【分析】（1）根據比例的性質即可得到結果；
（2）根據比例的性質求得t的值，把t的值代入代數式即可得到結論．
【解答】解：（1）∵，b+d＝0，
∴a+c＝0；
（2）①當a+b+c≠0時，2，
∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，
②當a+b+c＝0時，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
∴1，
∴t2﹣t﹣2＝0．
【題型6 比例的性質在閱讀理解中的運用】
【例6】（2022秋 渝中區期末）閱讀理解：
已知：a，b，c，d都是不為0的數，且，求證：．
證明：∵，
∴11．
∴．
根據以上方法，解答下列問題：
（1）若，求的值；
（2）若，且a≠b，c≠d，證明．
【分析】（1）把要求的式子化成1，再進行計算即可得出答案；
（2）根據比例的性質得出，，再分別相除即可得出答案．
【解答】解：（1）∵，
∴11．
（2）∵，
∴11，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式6-1】閱讀材料：
已知0，求的值．
解：設k（k≠0），則x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）
∴．（第二步）
（1）回答下列問題：
①第一步運用了 　等式　的基本性質，
②第二步的解題過程運用了 　代入消元　的方法，
由得利用了 　分式　的基本性質．
（2）模仿材料解題：
已知x：y：z＝2：3：4，求的值．
【分析】（1）利用等式的基本性質，代入消元法，分式的基本性質，即可解答；
（2）仿照例題的思路，進行計算即可解答．
【解答】解：（1）①第一步運用了等式的基本性質，
②第二步的解題過程運用了代入消元的方法，
由得利用了分式的基本性質，
故答案為：等式，代入消元，分式；
（2）∵x：y：z＝2：3：4，
∴設x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴
．
【變式6-2】（2022秋 椒江區校級月考）閱讀下列解題過程，然后解題：
題目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：設k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k 0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列問題：
a，b，c為非零實數，且a+b+c≠0，當時，求的值．
【分析】設k，利用比例的性質得到a+b﹣c＝kc，a﹣b+c＝kb，﹣a+b+c＝ka，將三式相加可以求得k＝1，所以利用等量代換和約分可以求得所求代數式的值．
【解答】解：設k，
所以a+b﹣c＝kc①，
a﹣b+c＝kb②，
﹣a+b+c＝ka③，
由①+②+③，得
a+b+c＝k（a+b+c）．
∵a+b+c≠0，
∴k＝1．
∴a+b＝2c，b+c＝2a，c+a＝2b．
∴8．
【變式6-3】（2022春 鼓樓區校級期中）閱讀下面的解題過程，然后解題：
題目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：設，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k 0＝0，
依照上述方法解答下列問題：已知：（x+y+z≠0），求的值．
【分析】設k，根據比例的性質得到x＝y＝z，計算即可．
【解答】解：設k，
則y+z＝xk，z+x＝yk，x+y＝zk，
∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），
解得，k＝2，
∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，
解得，x＝y＝z，
則．
【知識點3 黃金分割】
如圖，若線段AB上一點C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項（即），則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點有兩個．）
【題型7 黃金分割】
【例7】（2022 青羊區校級模擬）如圖，點R是正方形ABCD的AB邊上線段AB的黃金分割點，且AR＞RB，S1表示以AR為邊長的正方形面積；S2表示以BC為長，BR為寬的矩形的面積，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面積，則S1：S2的值為 　1　．
【分析】設AB＝a，根據黃金比值用a表示出AR、BR，根據矩形的面積公式計算，得到答案．
【解答】解：設AB＝a，
∵點R是邊AB邊上的黃金分割點，AR＞RB，
∴ARABa，
則BR＝AB﹣AR＝aaa，
∴S1：S2＝（a）2：aa＝1，
故答案為：1．
【變式7-1】（2022秋 楊浦區期末）已知點P是線段AB上的一點，線段AP是PB和AB的比例中項，下列結論中，正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【分析】根據黃金分割的定義判斷即可．
【解答】解：∵點P是線段AB上的一點，線段AP是PB和AB的比例中項，
∴AP2＝PB AB，
∴點P是AB的黃金分割點，
∴，
故選：C．
【變式7-2】（2022秋 江都區校級月考）已知，點D是線段AB的黃金分割點，若AD＞BD．
（1）若AB＝10cm，則AD＝?。?5）cm??；
（2）如圖，請用尺規作出以AB為腰的黃金三角形ABC；
（3）證明你畫出的三角形是黃金三角形．
【分析】（1）根據黃金分割的概念計算即可；
（2）根據黃金三角形的概念和尺規作圖的一般步驟作圖；
（3）根據黃金分割的概念和黃金三角形的概念證明即可．
【解答】解：（1）∵點D是線段AB的黃金分割點，若AD＞BD，
∴ADAB＝（55）cm，
故答案為：（）cm；
（2）以A圓心，以AB的長為半徑作弧，再以點B為圓心，AD的長為半徑作弧，兩弧交于點C，
連接BC，則△ABC即為所求；
（3）證明：由（1）得，點D是線段AB的黃金分割點，
∴底邊AD乘腰AB，
∴三角形ABC是黃金三角形．
郵箱：18256007168；學號：20699374
【變式7-3】（2022春 兗州區期末）再讀教材：
寬與長的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：MN＝2）
第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．
第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．
第三步，折出內側矩形的對角線AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．
第四步，展平紙片，按照所得的點D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中就會出現黃金矩形．
問題解決：
（1）圖③中AB＝　?。ūＡ舾枺?br/>（2）如圖③，判斷四邊形BADQ的形狀，并說明理由；
（3）請寫出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個說明理由．
【分析】（1）連接AB，由折疊的性質，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的長度．
（2）由折疊可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，結合平行線的性質可得∠AQB＝∠DAQ＝∠BAQ，即可得AB＝BQ，即可判定四邊形BADQ為菱形；
（3）首先求出CD，ND，再由黃金矩形的定義即可作出判斷．
【解答】解：（1）∵四邊形MNCB是正方形，
∴NC＝MN＝2，
由折疊的性質得：ACNC＝1，
在Rt△ABC中，AB；
故答案為；
（2）四邊形BADQ是菱形．
證明：由折疊可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，
∵BQ∥AD，
∴∠AQB＝∠DAQ，
∴∠AQB＝∠BAQ，
∴AB＝BQ，
即AD＝AB＝BQ＝BD，
∴四邊形BADQ為菱形；
（3）圖④中的黃金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE；
理由：∵AD＝AB，AN＝AC＝1，
∴CD，ND，
∴，
故矩形BCDE是黃金矩形；
∴，
故矩形MNDE是黃金矩形．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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