資源簡介

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平行線分線段成比例【八大題型】
TOC \o "1-3" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc23847" 【題型1 “#”字型】 1
HYPERLINK \l "_Toc17840" 【題型2 “X”字型】 2
HYPERLINK \l "_Toc7971" 【題型3 “A”字型】 4
HYPERLINK \l "_Toc8529" 【題型4 “8”字型】 5
HYPERLINK \l "_Toc22567" 【題型5 判斷比例式】 6
HYPERLINK \l "_Toc182" 【題型6 平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】 7
HYPERLINK \l "_Toc20548" 【題型7 多次利用平行線分線段成比例進行計算】 8
HYPERLINK \l "_Toc13463" 【題型8 平行線分線段成比例中的常作輔助線】 9
【知識點1 平行線分線段成比例定理】
兩條直線被三條平行線所截，所得的對應線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．
【小結】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．
【題型1 “#”字型】
【例1】（2022 醴陵市模擬）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的長是（　　）
A．2 B． C．1 D．
【變式1-1】（2022 福建模擬）如圖，a∥b∥c，兩條直線與這三條平行線分別交于點A，B，C和D，E，F．已知AB＝3，BC＝2，DE＝6，則DF等于（　　）
A．4 B．9 C．10 D．15
【變式1-2】（2022秋 清苑區期中）如圖，直線a∥b∥c，點A，B在直線a上，點C，D在直線c上，線段AC，BD分別交直線b于點E，F，則下列線段的比與一定相等的是（　　）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2022秋 長寧區校級月考）如圖，直線l1、l2、l3分別交直線l4于點A、B、C，交直線l5于點D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24
（1）求BC的長；
（2）當AD＝4，CF＝20時，求BE的長．
【題型2 “X”字型】
【例2】（2022春 萊西市期末）如圖：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式2-1】（2022 廣西模擬）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且DG＝2，DF＝10，，則AG的長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式2-2】（2022秋 船山區校級期末）如圖：AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的長為（　　）
A．2 B．4 C． D．
【變式2-3】（2022秋 合肥校級期末）如圖，AB∥CD∥EF，BE與AF相交于點H，且AH＝2HDDF，則的值為（　　）
A．1 B． C． D．
【知識點2 平行線分線段成比例定理的推論】
平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．如圖：如果EF//BC，則，，．
平行線分線段成比例定理的推論的逆定理
若或或，則有EF//BC．
【注意】對于一般形式的平行線分線段成比例的逆定理不成立，反例：任意四邊形中一對對邊的中點的連線與剩下兩條邊，這三條直線滿足分線段成比例，但是它們并不平行．
【小結】推論也簡稱“A”和“8”，逆定理的證明可以通過同一法，做 交AC于點，再證明與F重合即可．
【題型3 “A”字型】
【例3】（2022秋 零陵區期末）如圖，已知AD為△ABC的角平分線，DE∥AB交AC于E，如果，那么BD：BC等于（　　）
A．3：5 B．5：3 C．8：5 D．3：8
【變式3-1】（2022秋 越城區期末）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于點D、E，若AE＝4，EC＝2，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022秋 新民市期末）如圖，點A，B在格點上，若BC，則AC的長為（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【變式3-3】（2022秋 覃塘區期末）如圖，AB與CD相交于點E，點F在線段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，則的值為 　　．
【題型4 “8”字型】
【例4】（2022 鏡湖區校級一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點F是AD上的點，AF＝2FD，直線BF交AC于點E，交CD的延長線于點G，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022秋 金牛區期末）如圖，△ABC中，D、E分別為BA、CA延長線上的點，DE∥BC，BD＝3AD，若CE＝6，則AC的長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式4-2】（2022秋 南皮縣校級月考）如圖，AB．CD相交于點E，且AC∥EF∥DB，點C，F，B在同一條直線上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出結論，淇淇得出結論，則（　　）
A．只有嘉嘉正確 B．只有淇淇正確
C．兩人均正確 D．兩人均不正確
【變式4-3】（2022秋 宜興市校級月考）如圖，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，則AE：EC的值為（　　）
A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2
【題型5 判斷比例式】
【例5】（2022春 濰坊期末）如圖，AB∥CD∥EF，AF交BE于點G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結論錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2022春 東平縣期末）已知，在△ABC中，點D為AB上一點，過點D作DE∥BC，DH∥AC分別交AC、BC于點E、H，點F是BC延長線上一點，連接FD交AC于點G，則下列結論中錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2022秋 青浦區期末）如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、BC上，下列條件中一定能判定DE∥AC的是（　　）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2022 香坊區一模）如圖，AB∥CD∥EF，AF交BE于點G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結論錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
【題型6 平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】
【例6】（2022 沁陽市模擬）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D，若BF＝3EF，則（　　）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2022春 任城區校級期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點，且AE：ED＝1：2，BE的延長線交AC于F，則AF：FC＝　　　．
【變式6-2】（2009秋 北京校級期中）如圖，在△ABC中，點D為BC上一點，點P在AD上，過點P作PM∥AC交AB于點M，作PN∥AB交AC于點N．
（1）若點D是BC的中點，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；
（2）若點D是BC的中點，試證明；
（3）若點D是BC上任意一點，試證明．
【變式6-3】（2022春 西湖區校級期中）如圖，在△ABC中，AD是BC上的中線，點F為AD的中點，連接BF并延長交AC于點E，設m，n，則m+n＝（　　）
A． B． C． D．
【題型7 多次利用平行線分線段成比例進行計算】
【例7】（2022 寧陽縣一模）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，若BE＝1，則EC＝（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【變式7-1】（2022秋 虹口區期末）在△ABC中，點E、D、F分別在邊AB、BC、AC上，聯結DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（　　）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2022秋 亳州期末）如圖，AD∥EF∥BC，點G是EF的中點，，若EF＝6，則AD的長為（　　）
A．6 B． C．7 D．
【變式7-3】（2022 邢臺模擬）在△ABC中，E、F是BC邊上的三等分點，BM是AC邊上的中線，AE、AF分BM為三段的長分別是x、y、z，若這三段有x＞y＞z，則x：y：z等于（　　）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2
【題型8 平行線分線段成比例中的常作輔助線】
【例8】（2022 襄陽）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為 　　．
【變式8-1】（2022 雁塔區校級模擬）如圖，已知點F在AB上，且AF：BF＝1：2，點D是BC延長線上一點，BC：CD＝2：1，連接FD與AC交于點M，則FN：ND＝　　　．
【變式8-2】（2022秋 六盤水期末）如圖，已知四邊形ABCD，點E、F分別在BC、CD上，且CE：BE＝2：3，DF：CF＝1：2，BF與DE相交于點G，則DG：GE＝　　　．
【變式8-3】（2022 宿遷）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，點D、E分別在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于點F，則△AFE面積的最大值是 　　　．
平行線分線段成比例【八大題型】
TOC \o "1-3" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc16849" 【題型1 “#”字型】 1
HYPERLINK \l "_Toc8485" 【題型2 “X”字型】 4
HYPERLINK \l "_Toc29812" 【題型3 “A”字型】 6
HYPERLINK \l "_Toc24151" 【題型4 “8”字型】 9
HYPERLINK \l "_Toc3625" 【題型5 判斷比例式】 11
HYPERLINK \l "_Toc11121" 【題型6 平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】 15
HYPERLINK \l "_Toc11730" 【題型7 多次利用平行線分線段成比例進行計算】 19
HYPERLINK \l "_Toc14006" 【題型8 平行線分線段成比例中的常作輔助線】 23
【知識點1 平行線分線段成比例定理】
兩條直線被三條平行線所截，所得的對應線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．
【小結】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．
【題型1 “#”字型】
【例1】（2022 醴陵市模擬）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的長是（　　）
A．2 B． C．1 D．
【分析】根據平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵直線l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴，
∴DE，
故選：B．
【變式1-1】（2022 福建模擬）如圖，a∥b∥c，兩條直線與這三條平行線分別交于點A，B，C和D，E，F．已知AB＝3，BC＝2，DE＝6，則DF等于（　　）
A．4 B．9 C．10 D．15
【分析】根據平行線分線段成比例定理即可解決問題．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，即，
∴EF＝4，
∴DF＝EF+DE＝4+6＝10，
故選：C．
【變式1-2】（2022秋 清苑區期中）如圖，直線a∥b∥c，點A，B在直線a上，點C，D在直線c上，線段AC，BD分別交直線b于點E，F，則下列線段的比與一定相等的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，判斷即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
故選：B．
【變式1-3】（2022秋 長寧區校級月考）如圖，直線l1、l2、l3分別交直線l4于點A、B、C，交直線l5于點D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24
（1）求BC的長；
（2）當AD＝4，CF＝20時，求BE的長．
【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理得到，然后利用比例的性質求出AB，再計算AC﹣AB即可；
（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如圖，易得四邊形ADEB和四邊形ADFN為平行四邊形，則BE＝FN＝AD＝4，所以CN＝16，根據平行線分線段成比例定理，由BM∥CN得到，然后求出BM后計算EM+BM即可．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，解得AB＝9，
∴BC＝AC﹣AB＝24﹣9＝15；
（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如圖，
易得四邊形ADEB和四邊形ADFN為平行四邊形，
∴BE＝FN＝AD＝4，
∴CN＝CF﹣FN＝20﹣4＝16，
∵BM∥CN，
∴，即，BM＝6，
∴BE＝EM+BM＝4+6＝10．
【題型2 “X”字型】
【例2】（2022春 萊西市期末）如圖：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根據平行線分線段成比例定理得到比例式，再根據AD：DF＝3：1，BE＝12，可計算出CE的長．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴3，
∴BC＝3CE，
∴CEBE12＝3，
故選：A．
【變式2-1】（2022 廣西模擬）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且DG＝2，DF＝10，，則AG的長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．依據平行線分線段成比例定理，即可得出AG的長．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
又∵DG＝2，DF＝10，，
∴，
∴AG＝4．
故選：C．
【變式2-2】（2022秋 船山區校級期末）如圖：AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的長為（　　）
A．2 B．4 C． D．
【分析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數據代入計算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AD：AF＝3：5，BE＝12，
∴，
解得：BC，
∴CE＝BE﹣BC＝12，
故選：C．
【變式2-3】（2022秋 合肥校級期末）如圖，AB∥CD∥EF，BE與AF相交于點H，且AH＝2HDDF，則的值為（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】設DH＝x，則AH＝2x，DF＝4x，由平行線分線段成比例定理即可得到結論．
【解答】解：∵AH＝2HDDF，
∴設DH＝x，則AH＝2x，DF＝4x，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
故選：B．
【知識點2 平行線分線段成比例定理的推論】
平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．如圖：如果EF//BC，則，，．
平行線分線段成比例定理的推論的逆定理
若或或，則有EF//BC．
【注意】對于一般形式的平行線分線段成比例的逆定理不成立，反例：任意四邊形中一對對邊的中點的連線與剩下兩條邊，這三條直線滿足分線段成比例，但是它們并不平行．
【小結】推論也簡稱“A”和“8”，逆定理的證明可以通過同一法，做 交AC于點，再證明F’與F重合即可．
【題型3 “A”字型】
【例3】（2022秋 零陵區期末）如圖，已知AD為△ABC的角平分線，DE∥AB交AC于E，如果，那么BD：BC等于（　　）
A．3：5 B．5：3 C．8：5 D．3：8
【分析】利用平行線分線段成比例定理求解即可．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴，
∴，
故選：D．
【變式3-1】（2022秋 越城區期末）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于點D、E，若AE＝4，EC＝2，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據平行線分線段成比例定理，寫出比例線段，代入線段的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∴，
故選：A．
【變式3-2】（2022秋 新民市期末）如圖，點A，B在格點上，若BC，則AC的長為（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【分析】根據平行線分線段成比例可得BC：AC＝1：2，然后代入數據計算即可．
【解答】解：觀察圖形可知，BC：AC＝1：2，
∵BC，
∴AC＝3BC＝2．
故選：B．
【變式3-3】（2022秋 覃塘區期末）如圖，AB與CD相交于點E，點F在線段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，則的值為 　　．
【分析】設CE＝AD＝x，則，求出CE，由EF∥DB可求出的值．
【解答】解：設CE＝AD＝x，
∵EF∥AC，
∴，
∴，
解得x＝7.5，
∴AF＝4.5，
∵EF∥DB，
∴．
故答案為：．
【題型4 “8”字型】
【例4】（2022 鏡湖區校級一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點F是AD上的點，AF＝2FD，直線BF交AC于點E，交CD的延長線于點G，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【分析】由AF＝2DF，可以假設DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，證明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．
【解答】解：由AF＝2DF，可以假設DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，
∴，
∴
故選：C．
【變式4-1】（2022秋 金牛區期末）如圖，△ABC中，D、E分別為BA、CA延長線上的點，DE∥BC，BD＝3AD，若CE＝6，則AC的長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據平行線分線段成比例定理得到，把已知數據代入計算，得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即，
解得：AC＝4，
故選：C．
【變式4-2】（2022秋 南皮縣校級月考）如圖，AB．CD相交于點E，且AC∥EF∥DB，點C，F，B在同一條直線上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出結論，淇淇得出結論，則（　　）
A．只有嘉嘉正確 B．只有淇淇正確
C．兩人均正確 D．兩人均不正確
【分析】根據平行線分線段成比例，可證得，，兩式相加即可得出結論．
【解答】解：∵AC∥EF，
∴，
∵EF∥DB，
∴，
∴1，
即1，
∴1．
故選：B．
【變式4-3】（2022秋 宜興市校級月考）如圖，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，則AE：EC的值為（　　）
A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2
【分析】根據平行線分線段成比例定理得出，，求出AGBD，CDBD，再求出即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴，
∵AF：BF＝2：5，
∴，
即AGBD，
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CDBD，
∴，
∵l1∥l2，
∴，
故選：C．
【題型5 判斷比例式】
【例5】（2022春 濰坊期末）如圖，AB∥CD∥EF，AF交BE于點G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結論錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據平行線分線段成比例定理進行逐項判斷即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴，
∵AC＝CG，
∴，
故A正確，不符合題意；
∵CD∥EF，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴，
故B正確，不符合題意．
∵CD∥EF，
∴
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，
故C正確，不符合題意；
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵，
∴BG＝2DG，
∵BE＝4DG，
∴，
故D錯誤，符合題意；
故選：D．
【變式5-1】（2022春 東平縣期末）已知，在△ABC中，點D為AB上一點，過點D作DE∥BC，DH∥AC分別交AC、BC于點E、H，點F是BC延長線上一點，連接FD交AC于點G，則下列結論中錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先證明四邊形DECH是平行四邊形，再利用平行線分線段成比例定理一一判斷即可．
【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AC，
∴四邊形DECH是平行四邊形，
∴DH＝CE，DE＝CH，
∵DE∥BC，
∴，故選項A正確，不符合題意，
∵DH∥CG，
∴，故C正確，不符合題意，
∵DE∥BC，
∴，
∴，故D正確，不符合題意，
故選：B．
【變式5-2】（2022秋 青浦區期末）如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、BC上，下列條件中一定能判定DE∥AC的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據平行線分線段成比例判斷即可．
【解答】解：A．因為，所以DE∥AC，故A不符合題意；
B．因為，所以DE∥AC，故B符合題意；
C．因為，所以DE∥AC，故C不符合題意；
D．因為，所以DE∥AC，故D不符合題意；
故選：B．
【變式5-3】（2022 香坊區一模）如圖，AB∥CD∥EF，AF交BE于點G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結論錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據平行線分線段成比例定理進行逐項判斷即可．
【解答】解：AB∥CD，
∴，
∵AC＝CG，
∴，
故A正確，不符合題意；
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵，
∴BG＝2DG，
∵BE＝4DG，
∴，
故B錯誤，符合題意；
∵CD∥EF，
∴，
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，
故C正確，不符合題意；
∵CD∥EF，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴，
故D正確，不符合題意．
故選：B．
【題型6 平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】
【例6】（2022 沁陽市模擬）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D，若BF＝3EF，則（　　）
A． B． C． D．
【分析】過點E作EH∥AD交BC于H，根據平行線分線段成比例定理得到CH＝HD，3，計算即可．
【解答】解：過點E作EH∥AD交BC于H，
則，
∵BE是△ABC的中線，
∴CE＝EA，
∴CH＝HD，
∵EH∥AD，
∴3，
∴，
故選：B．
【變式6-1】（2022春 任城區校級期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點，且AE：ED＝1：2，BE的延長線交AC于F，則AF：FC＝　1：4　．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根據三角形中位線定理得到FH＝HC，根據平行線分線段成比例定理得出比例式，計算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中線，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴，
∴AF：FC＝1：4，
故答案為：1：4
【變式6-2】（2009秋 北京校級期中）如圖，在△ABC中，點D為BC上一點，點P在AD上，過點P作PM∥AC交AB于點M，作PN∥AB交AC于點N．
（1）若點D是BC的中點，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；
（2）若點D是BC的中點，試證明；
（3）若點D是BC上任意一點，試證明．
【分析】（1）過點D作DE∥PM交AB于E，由點D為BC中點與AP：PD＝2：1，根據平行線分線段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
（2）延長AD至點Q，使DQ＝AD，連BQ、CQ，易得四邊形ABQC是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得PM∥BQ，PN∥CQ，繼而可得；
（3）過點D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根據平行線分線段成比例定理可得，繼而求得．
【解答】解：（1）過點D作DE∥PM交AB于E，
∵點D為BC中點，
∴點E是AB中點，且，（2分）
∴；
（2）延長AD至點Q，使DQ＝AD，連BQ、CQ，
則四邊形ABQC是平行四邊形．
∴PM∥BQ，PN∥CQ，
∴，，
∴；
（注：像第（1）題那樣作輔助線也可以．）
（3）過點D作DE∥PM交AB于E，
∴，
又∵PM∥AC，
∴DE∥AC
∴，
∴；
同理可得：，
∴．
（注：如果像第（2）題那樣添輔助線，也可以證．）
【變式6-3】（2022春 西湖區校級期中）如圖，在△ABC中，AD是BC上的中線，點F為AD的中點，連接BF并延長交AC于點E，設m，n，則m+n＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】取CE中點G，連接DG，由中位線定理可得DG∥BE，再由點F為AD中點可得點E為AG中點，可求得m，由中位線定理可得EFDG，DGBE，可求出n，即可得出答案．
【解答】解：取CE中點G，連接DG，
∵點D為BC中點，
∴DG為△BCE的中位線，
∴DGBE，DG∥BE，
∵點F為AD中點，EF∥DG，
∴EF為△ADG的中位線，
∴點E為AG中點，EFDG，
∴，EFBE，
∴，
即m，n，
∴m+n，
故選：C．
【題型7 多次利用平行線分線段成比例進行計算】
【例7】（2022 寧陽縣一模）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，若BE＝1，則EC＝（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】過D點作DF∥CE交AE于F，如圖，先由DF∥BE，根據平行線分線段成比例得到DF＝BE＝3，再由DF∥CE得到比例式，然后利用比例的性質求CE的長．
【解答】解：過D點作DF∥CE交AE于F，如圖，
∵DF∥BE，
∴，
∵O是BD的中點，
∴OB＝OD，
∴DF＝BE＝1，
∵DF∥CE，
∴
∵AD：DC＝1：2，
∴AD：AC＝1：3，
∴，
∴CE＝3DF＝3×1＝3．
故選：C．
【變式7-1】（2022秋 虹口區期末）在△ABC中，點E、D、F分別在邊AB、BC、AC上，聯結DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據題目的已知條件畫出圖形，然后利用平行線分線段成比例解答即可．
【解答】解：如圖：
∵DE∥AC，AE：EB＝3：2，
∴，
∴，
∵DF∥AB，
∴，
故選：B．
【變式7-2】（2022秋 亳州期末）如圖，AD∥EF∥BC，點G是EF的中點，，若EF＝6，則AD的長為（　　）
A．6 B． C．7 D．
【分析】根據平行線分線段成比例定理得，，再根據平行線分線段成比例定理得，由中點的定義得EG＝3，代入即可求解．
【解答】解：∵EF∥BC，AB：BC＝2：3，
∴，
∴，
∵AD∥EF，
∴，
∵點G是EF的中點，
∴EG＝3，
∴M
∴AD．
故選：D．
【變式7-3】（2022 邢臺模擬）在△ABC中，E、F是BC邊上的三等分點，BM是AC邊上的中線，AE、AF分BM為三段的長分別是x、y、z，若這三段有x＞y＞z，則x：y：z等于（　　）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2
【分析】如圖，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，設AE交BM于K，AF交BM于J．首先證明HG＝MGCF，再利用平行線分線段成比例定理構建方程組即可解決問題．
【解答】解：如圖，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，設AE交BM于K，AF交BM于J．
∵MH∥BC，
∴，
∵BE＝EF＝CF，
∴HG＝MGCF，
∴，
∴y+z＝x，
∴，
∴x+y＝4z，
∴xz，yz，
∴x：y：z＝5：3：2，
故選：D．
【題型8 平行線分線段成比例中的常作輔助線】
【例8】（2022 襄陽）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為 　5　．
【分析】如圖，過點F作FM⊥AB于點M，FN⊥AC于點N，過點D作DT∥AE交BC于點T．證明AB＝3AD，設AD＝CD＝a，證明ET＝CT，設ET＝CT＝b，則BE＝3b，求出a+b，可得結論．
【解答】解：如圖，過點F作FM⊥AB于點M，FN⊥AC于點N，過點D作DT∥AE交BC于點T．
∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM＝FN，
∴3，
∴AB＝3AD，
設AD＝DC＝a，則AB＝3a，
∵AD＝DC，DT∥AE，
∴ET＝CT，
∴3，
設ET＝CT＝b，則BE＝3b，
∵AB+BE＝3，
∴3a+3b＝3，
∴a+b，
∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，
故答案為：5．
【變式8-1】（2022 雁塔區校級模擬）如圖，已知點F在AB上，且AF：BF＝1：2，點D是BC延長線上一點，BC：CD＝2：1，連接FD與AC交于點M，則FN：ND＝　2：3　．
【分析】過點F作FE∥BD，交AC于點E，求出，得出FEBC，根據已知推出CDBC，根據平行線分線段成比例定理推出，代入化簡即可．
【解答】解：過點F作FE∥BD，交AC于點E，
∴，
∵AF：BF＝1：2，
∴，
∴，
即FEBC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CDBC，
∵FE∥BD，
∴．
即FN：ND＝2：3．
故答案為：2：3．
【變式8-2】（2022秋 六盤水期末）如圖，已知四邊形ABCD，點E、F分別在BC、CD上，且CE：BE＝2：3，DF：CF＝1：2，BF與DE相交于點G，則DG：GE＝　5：6　．
【分析】如圖，過點E作ET∥BF交CD于點，利用平行線分線段成比例定理求出DF：FT可得結論．
【解答】解：如圖，過點E作ET∥BF交CD于點T．
∵ET∥BF，
∴CT：FT＝CE：EB＝2：3，
∵DF：CF＝1：2，
∴DF：TF＝5：6，
∵FG∥ET，
∴DG：GE＝DF：FT＝5：6，
故答案為：5：6．
【變式8-3】（2022 宿遷）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，點D、E分別在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于點F，則△AFE面積的最大值是 　　．
【分析】連接DE．首先證明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEFS△ABD，求出△ABD面積的最大值即可解決問題．
【解答】解：連接DE．
∵CD＝2BD，CE＝2AE，
∴2，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴S△ABE＝S△ABD，
∴S△AEF＝S△BDF，
∴S△AEFS△ABD，
∵BDBC，
∴當AB⊥BD時，△ABD的面積最大，最大值4，
∴△AEF的面積的最大值，
故答案為：
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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