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專題 相似三角形的六種模型
模型一、A字型（8字型）
例1.已知：如圖，點D，F在△ABC邊AC上，點E在邊BC上，且DE∥AB，CD2＝CF CA．
（1）求證：EF∥BD；
（2）如果AC CF＝BC CE，求證：BD2＝DE BA．
【變式訓練1】如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE//AC，AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA＝1：25．則S△BDE與S△CDE的比是____________．
【變式訓練2】如圖：AD∥EG∥BC，EG交DB于點F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．
（1）求EB的長；
（2）求FG的長．
模型二、X字型
X字型（平行） 反X字型（不平行）
例1.如圖，△ABC中，AE交BC于點D，∠C＝∠E，AD＝3，DE＝5，BD＝4，則DC的長等于　?。?br/>【變式訓練1】如圖：已知 ABCD，過點A的直線交BC的延長線于E，交BD、CD于F、G．
（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的長；
（2）證明：AF2＝FG×FE．
【變式訓練2】如圖，在 ABCD中，AC、BD相交于點O，點E是OA的中點，聯結BE并延長交AD于點F，如果△AEF的面積是4，那么△BCE的面積是____?。?br/>模型三、AX字型
例1.如圖所示，在ABCD中，G是BC延長線上的一點，AG與BD交于點E，與DC交于點F，此圖中的相似三角形共有___________對．
【變式訓練1】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BC上，連結AE并延長，交對角線BD于點F、DC的延長線于點G．如果，求的值．
【變式訓練2】如圖，△ABC中，D．E分別是AB、AC上的點，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求證：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的長度．
模型四、子母型
已知：∠ 1=∠2；結論：△ACD ∽△ABC
例1.如圖，D是△ABC的邊BC上一點，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面積為15．那么△ACD的面積為 ．
【變式訓練1】如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AF平分∠BAC，交DE于點G，交BC于點F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，則DE：BC＝　　．
【變式訓練2】已知△AMN是等邊三角形，∠BAC=120o．求證：
（1）AB2=BMBC；（2）AC2=CNCB；（3）MN2=BMNC．
【變式訓練3】點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF．
（1）試利用射影定理證明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的長．
模型五、一線三垂直型
例1.如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點，則圖中與△ABC相似的三角形有（　?。?br/>A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【變式訓練1】如圖，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取一點P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點共有 個．
【變式訓練2】如圖，矩形ABCD中，F是DC上一點，BF⊥AC，垂足為E，，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為S2，則的值等于（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式訓練3】如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過點B作BE⊥AC于點E，BE的延長線交AD于點F，若DF＝EF，BC＝2，則AF的長為　 ?。?br/>【變式訓練4】已知：如圖，已知△ABC與△ADE均為等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果點D在BC邊上，且∠EDC＝∠BAD．點O為AC與DE的交點．
（1）求證：△ABC∽△ADE；
（2）求證：DA OC＝OD CE．
模型六、作平行或者垂直證明相似
例1.如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點，AE：AD＝1：3，CE的延長線交AB于點F，若AF＝1.5，則AB＝　?。?br/>【變式訓練1】如圖，已知△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE．DE交AC于點F，試證明：AB DF＝BC EF．
【變式訓練2】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA，求BD的長．
專題 相似三角形的六種模型
模型一、A字型（8字型）
例1.已知：如圖，點D，F在△ABC邊AC上，點E在邊BC上，且DE∥AB，CD2＝CF CA．
（1）求證：EF∥BD；
（2）如果AC CF＝BC CE，求證：BD2＝DE BA．
【解析】證明：（1）∵DE∥AB，∴，
∵CD2＝CF CA．∴，∴，∴EF∥BD；
（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，
∵AC CF＝BC CE，∴，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠DBE＝∠A，
∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，
∴△BAD∽△DBE，∴，∴BD2＝BA DE
【變式訓練1】如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE//AC，AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA＝1：25．則S△BDE與S△CDE的比是____________．
【答案】1:4
【解析】∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴
∵DE//AC，∴，∴，∴的比是1：4.故答案為：1：4.
【變式訓練2】如圖：AD∥EG∥BC，EG交DB于點F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．
（1）求EB的長；
（2）求FG的長．
【答案】（1）3；（2）
【解析】（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴，即，∴EB＝3．
（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴，即，∴EG，∴FG＝EG﹣EF．
故答案為：（1）3；（2）
模型二、X字型
X字型（平行） 反X字型（不平行）
例1.如圖，△ABC中，AE交BC于點D，∠C＝∠E，AD＝3，DE＝5，BD＝4，則DC的長等于　　．
【答案】CD
【解析】∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，
∵AD＝3，DE＝5，BD＝4，∴，∴CD，故答案為：CD
【變式訓練1】如圖：已知 ABCD，過點A的直線交BC的延長線于E，交BD、CD于F、G．
（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的長；
（2）證明：AF2＝FG×FE．
【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△EGC∽△EAB，
∴，即，解得，CG＝1；
（2）證明：∴AB∥CD，∴△DFG∽△BFA，∴，∴AD∥CB，
∴△AFD∽△EFB，∴，∴，即AF2＝FG×FE．
【變式訓練2】如圖，在 ABCD中，AC、BD相交于點O，點E是OA的中點，聯結BE并延長交AD于點F，如果△AEF的面積是4，那么△BCE的面積是____　．
【答案】36
【解析】∵在 ABCD中，AOAC，∵點E是OA的中點，∴AECE，
∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴，∵S△AEF＝4，（ ）2，∴S△BCE＝36
故答案為：36
模型三、AX字型
例1.如圖所示，在ABCD中，G是BC延長線上的一點，AG與BD交于點E，與DC交于點F，此圖中的相似三角形共有___________對．
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AB//CD
∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；
（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以組成3對相似三角形.∴圖形中一共有6對相似三角形.
【變式訓練1】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BC上，連結AE并延長，交對角線BD于點F、DC的延長線于點G．如果，求的值．
【答案】
【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．
∵AD∥BE，∴△BEF∽△DAF，∴．
又∵BC＝BE+CE，，∴BEBCDA，∴EFAF，∴AEEFEF．
∵CE∥AD，△CEG∽DAG，∴，
∴GEGA，∴GEAEEFEF，∴．
故答案為:
【變式訓練2】如圖，△ABC中，D．E分別是AB、AC上的點，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求證：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的長度．
【答案】（1）見解析；（2）6
【解析】（1）證明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴，
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；
（2）∵△ADE∽△ABC，∴，∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，∴，即，∴FC＝6．
故答案為：（1）見解析；（2）6
模型四、子母型
已知：∠ 1=∠2；結論：△ACD ∽△ABC
例1.如圖，D是△ABC的邊BC上一點，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面積為15．那么△ACD的面積為 ．
【答案】5
【解析】∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD ∽△BCA．∵AB=4，AD=2，
∴，∴，∵S△ABD=15，∴S△ACD=5
故答案為：5
【變式訓練1】如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AF平分∠BAC，交DE于點G，交BC于點F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，則DE：BC＝　?。?br/>【解析】∵∠DAE＝∠CAB，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，
∵GA，FA分別是△ADE，△ABC的角平分線，
∴（相似三角形的對應角平分線的比等于相似比），AG：FG＝3：2，
∴AG：AF＝3：5，∴DE：BC＝3：5，故答案為：3:5
【變式訓練2】已知△AMN是等邊三角形，∠BAC=120o．求證：
（1）AB2=BMBC；（2）AC2=CNCB；（3）MN2=BMNC．
【答案】證明：∵∠BAC=120o，∴∠B+∠C=60o.∵△AMN是等邊三角形，
∴∠B+∠1=∠AMN=60o，∠C+∠2=∠ANM=60o.∴∠1=∠C，∠2=∠B.
(1)∵∠1=∠C，∠B=∠B，∴△BAM ∽△BCA.∴.∴AB2=BMBC
（2）∵∠2=∠B，∠C=∠C，∴△CAN ∽△CBA.∴.∴AC2=CNCB
（3）∵∠1=∠C，∠2=∠B，∴△BAM ∽△ACN.∴.
∴BMCN=ANAM∵AN=AM=MN，∴AB2=BMBC
【變式訓練3】點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF．
（1）試利用射影定理證明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的長．
【答案】（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90o.∴BC2=BOBD.
∵CF⊥BE，∴BC2=BFBE.∴BOBD=BFBE.即，
又∵∠OBF=∠EBD，∴△BOF ∽△BED.
（2）∵BC=CD=6，而DE=2CE，∴DE=4，CE=2.在Rt△BCE中，BE==，
在Rt△OBC中，OB=，∵△BOF∽△BED，
∴，即，∴.
模型五、一線三垂直型
例1.如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點，則圖中與△ABC相似的三角形有（　?。?br/>A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，
∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，∴共有四個三角形與Rt△ABC相似．
故選：A．
【變式訓練1】如圖，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取一點P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點共有 個．
【解析】設AP＝，則有PB＝AB－AP＝7－，
當△PDA∽△CPB時，，即，解得：或，
當△PDA∽△PCB時，，即，解得：，則這樣的的點P共有3個．
故答案為：3個
【變式訓練2】如圖，矩形ABCD中，F是DC上一點，BF⊥AC，垂足為E，，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為S2，則的值等于（　　）
A． B． C． D．
【解析】∵，∴設AD＝BC＝a，則AB＝CD＝2a，∴ACa，
∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE CA，AB2＝AE AC，∴a2＝CE a，4a2＝AE a，
∴CE，AE，∴，
∵△CEF∽△AEB，∴（）2，故選A．
【變式訓練3】如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過點B作BE⊥AC于點E，BE的延長線交AD于點F，若DF＝EF，BC＝2，則AF的長為　 ?。?br/>【答案】1
【解析】設AF＝x，∴FD＝2﹣x，∴EF＝FD＝2﹣x，
∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴，∴，∴BE，∴BF＝BE+EF，
∵∠AFE＝AFB，∠AEF＝∠BAF＝90°，
∴△AFE∽△BFA，∴AF2＝EF BF，∴x2 （2﹣x），解得：x1
故答案為：1
【變式訓練4】已知：如圖，已知△ABC與△ADE均為等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果點D在BC邊上，且∠EDC＝∠BAD．點O為AC與DE的交點．
（1）求證：△ABC∽△ADE；
（2）求證：DA OC＝OD CE．
【解析】證明：（1）∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∴∠B＝∠ADE，
∵1，∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，
∵∠COD＝∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴，
∵∠AOD＝∠COE，∴△AOD∽△EOC，∴DA：CE＝OD：OC，即DA OC＝OD CE．
模型六、作平行或者垂直證明相似
例1.如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點，AE：AD＝1：3，CE的延長線交AB于點F，若AF＝1.5，則AB＝　?。?br/>【答案】7.5
【解析】過D作DM∥CF交AB于M，
∵AD是△ABC的中線，BM＝MF，DM∥CF，∴△AFE∽△AMD，∴，∴AFAM，
∵BM＝MF，∴AFAB，∵AF＝1.5，∴AB＝5×1.5＝7.5，故答案為：7.5
【變式訓練1】如圖，已知△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE．DE交AC于點F，試證明：AB DF＝BC EF．
【解析】證明：作DG∥BC，
則△ADG∽△ABC，△DGF∽△ECF，∴，，
∵AD＝CE，∴，，∴，，
∴，∴AB DF＝BC EF．
【變式訓練2】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA，求BD的長．
【解析】作DM⊥BC，交BC延長線于M，連接AC，如圖所示：
則∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∵CD＝10，AD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，∴△ABC∽△CMD，∴，
∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，∴BM＝BC+CM＝10，
∴BD2
故答案為:2
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