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專題 相似三角形中的四種動點問題
類型一、圖像問題
例1.兩個斜邊長為2全等的等腰直角三角形按如圖所示位置放置，其中一個三角形45°角的頂點與另一個的直角項點A重合．若固定，當另一個三角形繞點A旋轉時，它的一條直角邊和斜邊分別與邊交于點E，F，設，，則y關于x的函數圖象大致是（ ）
A．B．C． D．
【變式訓練1】如圖，矩形中，，，動點P從A點出發，按的方向在和上移動，記，點D到直線的距離為y，則y關于x的函數圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2】如圖，點A的坐標為（0，1），點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，設點B的橫坐標為x，點C的縱坐標為y，能表示y與x的函數關系的圖象大致是（　　）
A． B． C． D．
類型二、三角形相似
例1.如圖，Rt中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D為BC的中點，若動點E以1cm/s的速度從A點出發，沿著A→B→A的方向運動，設E點的運動時間為ts（0≤t＜6），連接DE，當與相似時，t的值為（ ）
A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
【變式訓練1】如圖，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝4cm，點D從B點以每秒2cm的速度向點A移動，點E從A點以每秒1cm的速度向點C移動，若D、E同時出發，同時停止．則經過多少時間△ADE與△ABC相似．（　　）
A．（s） B．（s） C．（s）或（s） D．（s）或（s）
【變式訓練2】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，點P從點B出發以1個單位/s的速度向點A運動，同時點Q從點C出發以2個單位/s的速度向點B運動．當以B，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似時，運動時間為（　　）
A．s B．s C．s或s D．以上均不對
【變式訓練3】如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動點D從A點出發到B點止，動點E從C點出發到A點止．點D運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm/秒．如果兩點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是（ ）
A．4或4.8 B．3或4.8 C．2或4 D．1或6
類型三、運動時間問題
例1.如圖，在中，，，，動點以的速度，從點運動到點，動點同時以的速度，從點運動到點，當為直角三角形時，點運動的時間為__________.
【變式訓練1】在矩形ABCD中，BC＝10cm、DC＝6cm，點E、F分別為邊AB、BC上的兩個動點，E從點A出發以每秒5cm的速度向B運動，F從點B出發以每秒3cm的速度向C運動，設運動時間為t秒．若∠AFD＝∠AED，則t的值_____．
【變式訓練2】如圖，是邊長為等邊三角形，動點P、Q同時從A、B出發，分別沿、方向勻速運動，其中點P運動的速度是，點Q運動的速度是，當點Q到達點C時，P、Q兩點停止運動，在運動過程中作交于點R，連接，設運動的時間為，當t=__________s時．
【變式訓練3】如圖，在中，，，點從點出發以1個單位/的速度向點運動，同時點從點出發以2個單位/的速度向點運動．當以，，為頂點的三角形與相似時，運動時間為______．
類型四、最值問題
例1.如圖，在菱形中，，，動點Р從點A出發，以每秒3個單位長度的速度向點B運動，直到點B時停止；動點Q同時從點C出發，以每秒2個單位長度的速度向點D運動，當點Р停止運動時，點Q隨之停止運動，連接PQ交AC于點H．那么在點P的運動過程中，線段QH的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練】在平面直角坐標系中，已知，A（2，0），C（0，﹣1），若P為線段OA上一動點，則CP+AP的最小值為_____．
專題 相似三角形中的四種動點問題
類型一、圖像問題
例1.兩個斜邊長為2全等的等腰直角三角形按如圖所示位置放置，其中一個三角形45°角的頂點與另一個的直角項點A重合．若固定，當另一個三角形繞點A旋轉時，它的一條直角邊和斜邊分別與邊交于點E，F，設，，則y關于x的函數圖象大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】如圖，
由題意得∠B=∠C=45°，∠G=∠EAF=45°，
∵∠AFE=∠C+∠CAF=45°+∠CAF，∠CAE=45°+∠CAF，∴∠AFB=∠CAE，∴△ACE∽△FBA，
∴∠AEC=∠BAF，，又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC=2，∴AB=AC=，
又BF=x，CE=y，∴，即xy=2（1＜x＜2），故選D．
【變式訓練1】如圖，矩形中，，，動點P從A點出發，按的方向在和上移動，記，點D到直線的距離為y，則y關于x的函數圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】①當點P在AB上運動時，D到PA的距離，∴當時，，
②當P在BC上運動時，
∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴，即：，
∴當時，，∴，
即當時，函數圖象為平行于x軸的線段，且；
當時，函數圖象為反比例函數，故選項A符合題意，
故選：A．
【變式訓練2】如圖，點A的坐標為（0，1），點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，設點B的橫坐標為x，點C的縱坐標為y，能表示y與x的函數關系的圖象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示：過點C作CD⊥y軸于點D，
∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠OAB=90°，∵∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠OAB，
又∵∠CDA=∠AOB=90°，∴△CDA∽△AOB，∴=tan30°，則，
故y=x+1（x＞0），則選項C符合題意．
故選C．
類型二、三角形相似
例1.如圖，Rt中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D為BC的中點，若動點E以1cm/s的速度從A點出發，沿著A→B→A的方向運動，設E點的運動時間為ts（0≤t＜6），連接DE，當與相似時，t的值為（ ）
A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm），
∵BC=2cm，D為BC的中點，動點E以1cm/s的速度從A點出發，
∴BD=BC=1（cm），BE=AB-AE=4-t（cm），
當與相似時，為直角三角形，若∠BED=90°，
當A→B時，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=（cm），∴t=3.5，
當B→A時，t=4+0.5=4.5．若∠BDE=90°時，
當A→B時，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°，∴BE=2BD=2（cm），∴t=4-2=2，
當B→A時，t=4+2=6（舍去）．綜上可得：t的值為2或3.5或4.5．
故選：D．
【變式訓練1】如圖，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝4cm，點D從B點以每秒2cm的速度向點A移動，點E從A點以每秒1cm的速度向點C移動，若D、E同時出發，同時停止．則經過多少時間△ADE與△ABC相似．（　　）
A．（s） B．（s） C．（s）或（s） D．（s）或（s）
【答案】C
【解析】設經過t秒△ADE與△ABC相似．
∵點D從B點以每秒2cm的速度向點A移動，點E從A點以每秒1cm的速度向點C移動，D、E同時出發，同時停止，∴BD=2t，AE=t，∵AB=7，∴AD=AB-BD=7-2t．
分兩種情況：①當△ADE∽△ABC時，，即，解得：t=；
②當△AED∽△ABC時，，即，解得：t=．
綜上所述，經過秒或秒時，△ADE與△ABC相似．故選：C．
【變式訓練2】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，點P從點B出發以1個單位/s的速度向點A運動，同時點Q從點C出發以2個單位/s的速度向點B運動．當以B，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似時，運動時間為（　　）
A．s B．s C．s或s D．以上均不對
【答案】C
【解析】設運動時間為ts，則BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
當△BAC∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝；
當△BCA∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝，
綜上所述，當以B，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似時，運動時間為s或s，故選：C．
【變式訓練3】如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動點D從A點出發到B點止，動點E從C點出發到A點止．點D運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm/秒．如果兩點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是（ ）
A．4或4.8 B．3或4.8 C．2或4 D．1或6
【答案】B
【解析】根據題意得：設當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是x秒，
①若△ADE∽△ABC，則AD:AB=AE:AC，即x:12 2x=x:6，解得：x=3；
②若△ADE∽△ACB，則AD:AC=AE:AB，即x:12=12 2x:6，解得：x=4.8；
所以當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是3秒或4.8秒.故選B.
類型三、運動時間問題
例1.如圖，在中，，，，動點以的速度，從點運動到點，動點同時以的速度，從點運動到點，當為直角三角形時，點運動的時間為__________.
【答案】或2
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，則AB＝＝＝5cm，
設點M的運動時間為t秒，
由題意得，CM＝t，AN＝，則AM＝4 t，
當∠AMN＝90°時，∠AMN＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ACB，∴ ，即，解得：t＝2，
當∠ANM＝90°時，∠ANM＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ANM∽△ACB，
∴，即，解得：t＝，
綜上所述：當△AMN為直角三角形時，點M的運動秒數為2或，故答案為：或2.
【變式訓練1】在矩形ABCD中，BC＝10cm、DC＝6cm，點E、F分別為邊AB、BC上的兩個動點，E從點A出發以每秒5cm的速度向B運動，F從點B出發以每秒3cm的速度向C運動，設運動時間為t秒．若∠AFD＝∠AED，則t的值_____．
【答案】
【解析】如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝6cm，AD＝BC＝10cm，根據題意知，AE＝5t，BF＝3t，
∵BC＝10cm，DC＝6cm，∴＝＝，＝＝，∴＝，
又∵∠DAE＝∠ABF＝90°，∴△ADE∽△BAF，∴∠2＝∠3，
∵AD∥BC，∴∠3＝∠4，∴∠2＝∠4，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4，∴DF＝DA，即DF2＝AD2，
∵BF＝3t，BC＝10，∴CF＝10﹣3t，∴DF2＝DC2+CF2，即DF2＝62+（10﹣3t）2，
∴62+（10﹣3t）2＝102，解得：t＝或t＝6，∵0≤5t≤6且0≤3t≤10，∴0≤t≤，∴t＝，故答案為：.
【變式訓練2】如圖，是邊長為等邊三角形，動點P、Q同時從A、B出發，分別沿、方向勻速運動，其中點P運動的速度是，點Q運動的速度是，當點Q到達點C時，P、Q兩點停止運動，在運動過程中作交于點R，連接，設運動的時間為，當t=__________s時．
【解析】∵是邊長為等邊三角形，∴
∵，∴，，∴為等邊三角形
∵點P運動的速度是，點Q運動的速度是
∴，，，C，
∵∴，若要，則需滿足
∴，
∴，又∵，∴，∴，∴，解得
故答案為：1.2
【變式訓練3】如圖，在中，，，點從點出發以1個單位/的速度向點運動，同時點從點出發以2個單位/的速度向點運動．當以，，為頂點的三角形與相似時，運動時間為______．
【答案】s或s
【解析】設運動時間為t，由題意可得：QC=2t，BQ=6-2t，BP=t，則有：
∵，，當以，，為頂點的三角形與相似時，
∴①當時，則有：，解得：；
②當時，則有：，解得：；
綜上所述：當以，，為頂點的三角形與相似時，運動時間為s或s；
故答案為s或s．
類型四、最值問題
例1.如圖，在菱形中，，，動點Р從點A出發，以每秒3個單位長度的速度向點B運動，直到點B時停止；動點Q同時從點C出發，以每秒2個單位長度的速度向點D運動，當點Р停止運動時，點Q隨之停止運動，連接PQ交AC于點H．那么在點P的運動過程中，線段QH的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在菱形ABCD中，CD//AB，∴CQ//AP，∴△CQH∽△APH；
設點P運動的時間為t（秒），則CQ=2t，AP=3t，∴，∴QH=PQ；
當PQ⊥CD時，即當PQ與菱形ABCD的高相等時，PQ的長最小，設菱形ABCD的高為h，
∵∠COD=90°，DO=BD=8，CO=AC=6，∴，
∴10h=×12×6，解得h=，∴QH最小＝，故選：B．
【變式訓練】在平面直角坐標系中，已知，A（2，0），C（0，﹣1），若P為線段OA上一動點，則CP+AP的最小值為_____．
【答案】
【解析】如圖，
取一點D（0，1），連接AD，作CN⊥AD于點N，PM⊥AD于點M，
在Rt△AOD中，
∵OA＝2，OD＝1，∴AD＝＝3，
∵∠PAM＝∠DAO，∠AMP＝∠AOD＝90°，∴△APM∽△ADO，∴，即，
∴PM＝AP，∴PC+AP＝PC+PM，∴當CP⊥AD時，CP+AP＝CP+PM的值最小，最小值為CN的長．
∵△CND∽△AOD，∴，即，∴CN＝． 所以CP+AP的最小值為．
故答案為：．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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