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對中點四邊形的探究與延伸
山東　　　康風星
在教材中給出了中點四邊形的定義：“依次連接任意一個四邊形各邊中點所得一個新的四邊形叫做中點四邊形”．在中考中有關中點四邊形的問題時有出現，現在以2010年各地中考（或模擬）試題為例歸納這類問題的解題思想、方法、技巧，對一些題目進行拓展、引申，探索有關中考題與該活動的內在聯系，供同學們學習時參考．
一、基本性質歸納：
例1．①（2015·惠民二模）楊伯家小院子的四棵小樹剛好在其梯形院子各邊的中點上，若在四邊形種上小草，則這塊草地的形狀是（ ）
A．平行四邊形　　　 　B．矩形 C．正方形　　　 D．菱形
②（2015·北京東城一摸）順次連接菱形各邊的中點所得的四邊形一定是（ ?。?br/>A．等腰梯形　　　　B．正方形　　　　C．平行四邊形　　　　D．矩形
分析：這是對平行四邊形的定義和判定定理的考查．解該題的思路是構造三角形及其中位線，這是數學中常用的“建?！彼枷?，把四邊形兩邊的中點轉化為三角形兩邊的中點，又體現出轉化思想．我們可從四邊形的四條邊的數量關系和位置關系入手，由題設可知、分別為、的中點，符合三角形中位線定理的條件，可構造三角形的中位線．
解：如圖所示：以梯形的中點四邊形為例，在中、分別為、的中點∴平行且等于的一半，同理，平行且等于的一半，所以平行且等于，所以四邊形為平行四邊形，又因為菱形的兩條對角線互相垂直，所以四邊形鄰邊互相垂直，故菱形的中點四邊形是矩形．所以①選A；②選D．
溫馨提示：判定中點四邊形的形狀要抓住兩個關鍵點：一是三角形中位線定理的應用，二是原四邊形兩條對角線的數量關系和位置關系．為了便于同學們更好地理解和掌握，我們把常見的中點四邊形形狀歸納如下表．
原四邊形
中點四邊形
任意四邊形
平行四邊形
平行四邊形
兩條對角線相等的四邊形（包括矩形和等腰梯形）
菱形
兩條對角線互相垂直的四邊形（包括菱形）
矩形
兩條對角線相等且互相垂直的四邊形（包括正方形）
正方形
二、新題探究：
㈠條件開放性問題：例2．（2013·山東德州）在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，如果四邊形EFGH為菱形，那么四邊形ABCD是 （只要寫出一種即可）．
解析：本題是一個開放性問題，結論不唯一：如圖：四邊形為一個中點四邊形，其形狀可以由原四邊形的對角線來決定，因為任意四邊形的中點四邊形都是平行四邊形，使四邊形為菱形，只要有原四邊形的對角線相等即可，即，（即四邊相等的四邊形為菱形）；當然也可以從菱形的判定出發，因為四邊形為平行四邊形，所以對角線相互平分，只要再有對角線相互垂直即可，所以可以添加（即符合對角線相等且相互平分的四邊形為菱形）；還可以添加（即對邊相等的平行四邊形為菱形）．
溫馨提示：中點四邊形形狀是由原四邊形的兩條對角線和的數量關系和位置關系來確定的，首先，不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形，其次，具體的中點四邊形的形狀還需需參考原四邊形的具備的其他條件來決定．
㈡問題延伸：
例3．（2012·萊蕪）在□ABCD中，AC、BD交于點O，過點O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點，連結EG、GF、FH、HE．
（1）如圖①，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；
（2）如圖②，當EF⊥GH時，四邊形EGFH的形狀是 ；
（3）如圖③，在（2）的條件下，若AC＝BD，四邊形EGFH的形狀是 ；
（4）如圖④，在（3）的條件下，若AC⊥BD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由．

解析：（1）根據題意容易得EO＝FO，GO＝HO，從而判斷四邊形EGFH為平行四邊形；（2）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得答案；（3）從圖形觀察可知AC與BD的數量關系并不影響四邊形EGFH的形狀；（4）當AC＝BD，AC⊥BD時，□ABCD為正方形，結合已知條件容易得△BOG≌△COF，所以有OG＝OF，即EF＝GH，結合EF⊥GH，可得□EGFH是正方形．
解：（1）四邊形EGFH是平行四邊形．
證明：∵□ABCD的對角線AC、BD交于點O．
∴點O是□ABCD的對稱中心．
∴EO＝FO，GO＝HO．
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）菱形．
（3）菱形．
（4）四邊形EGFH是正方形
證明：∵AC＝BD，∴□ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴□ABCD是菱形．
∴□ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°．OB＝OC．
∵EF⊥GH ，∴∠GOF＝90°．∴∠BOG＝∠COF．
∴△BOG≌△COF．∴OG＝OF，∴GH＝EF．
由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，又∵EF⊥GH，EF＝GH．
∴四邊形EGFH是正方形．
溫馨提示：本題是探索題屬于思維創新型試題，也是課本習題的引申，體現了中考題與課本的緊密聯系，但又不拘泥于課本原題，做了一定的提煉，重點考查了特殊四邊形的判定，所以在備考時抓住課本是中考復習的一個突破口．
跟蹤練習：
1．順次連接等腰梯形各邊的中點所得的四邊形是（　　）
A．菱形　　　　B．正方形　　　　C．矩形　　　　D．等腰梯形
2．如圖，順次連結四邊形ABCD各中點得四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應添加的條件是（ ）
A．AB∥DC B．AB＝DC C．AC⊥BD D．AC＝BD
3．四邊形為邊長等于1的菱形，順次連結它的各邊中點組成四邊形（四邊形稱為原四邊形的中點四邊形），再順次連結四邊形的各邊中點組成第二個中點四邊形，，則按上述規律組成的第八個中點四邊形的邊長等于 ．
4．觀察探究，完成證明和填空．
如圖，四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，順次連接E、F、G、H，得到的四邊形EFGH叫中點四邊形．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如圖，當四邊形ABCD變成等腰梯形時，它的中點四邊形是菱形，請你探究并填空：
當四邊形ABCD變成平行四邊形時，它的中點四邊形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
當四邊形ABCD變成矩形時，它的中點四邊形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
當四邊形ABCD變成菱形時，它的中點四邊形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
當四邊形ABCD變成正方形時，它的中點四邊形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）根據以上觀察探究，請你總結中點四邊形的形狀由原四邊形的什么決定的？
參考答案：
1．答案：A，解析：因為等腰梯形的對角線相等，故此可推出等腰梯形中點四邊形是菱形
2．答案：C ，解析：連接BD，由中位線的知識可知，順次連結四邊形ABCD各中點得到的四邊形EFGH是平行四邊形，要使它為矩形，則有一個角為直角，由平行線的性質可知，原來的對角線一定是垂直的．
3．答案：A，解析：該題屬探索型試題，當問題的條件發生變化時，探究已知的結論也發生改變，可以通過下圖觀察會發現，第二個中點四邊形（即四邊形）各邊長為原四邊長的一半，同理第四個中點四邊形邊長為第二個中點四邊形邊長的一半，即為原四邊形邊長的，由此可以推的第六個中點四邊形的邊長為原四邊形邊長的；第八個中點四邊形的邊長為原四邊形邊長的；所以第八個中點四邊形的邊長等＝．
4．解析：（1）利用三角形中位線推出所得四邊形對邊分別平行，故為平行四邊形．（2）順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得的四邊形為菱形；順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形為矩形；順次連接對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形為正方形．謹記以上原則回答即可．（3）由以上法則可知，中點四邊形的形狀由原四邊形的對角線的關系來決定的．
答案：（1）證明：連接BD
∵E、H分別是AB、AD的中點，
∴EH是△ABD的中位線
∴EH＝BD，EH∥BD
同理得FG＝BD，FG∥BD
∴EH＝FG，EH∥FG
∴四邊形EFGH是平行四邊形
（2）填空依次為平行四邊形，菱形，矩形，正方形
（3）中點四邊形的形狀由原四邊形的對角線的關系來決定的．

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