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2007年全國各地中考試題壓軸題精選全解之一
1（北京市）25．我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．
（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；
（2）如圖，在中，點分別在上，
設相交于點，若，．
請你寫出圖中一個與相等的角，并猜想圖中哪個四邊形
是等對邊四邊形；
（3）在中，如果是不等于的銳角，點分別在上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論．
解：（1）回答正確的給1分（如平行四邊形、等腰梯形等）．
（2）答：與相等的角是（或）．
四邊形是等對邊四邊形．
（3）答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形．
證法一：如圖1，作于點，作交延長線于點．
因為，為公共邊，
所以．
所以．
因為，
，
所以．
可證．
所以．
所以四邊形是等邊四邊形．
證法二：如圖2，以為頂點作，交于點．
因為，為公共邊，
所以．
所以，．
所以．
因為，
，
所以．
所以．
所以．
所以．
所以四邊形是等邊四邊形．
說明：當時，仍成立．只有此證法，只給1分．
2（上海市）25.已知：，點在射線上，（如圖10）．為直線上一動點，以為邊作等邊三角形（點按順時針排列），是的外心．
（1）當點在射線上運動時，求證：點在的平分線上；
（2）當點在射線上運動（點與點不重合）時，與交于點，設，，求關于的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）若點在射線上，，圓為的內切圓．當的邊或與圓相切時，請直接寫出點與點的距離．
（1）證明：如圖4，連結，
是等邊三角形的外心，，
圓心角．
當不垂直于時，作，，垂足分別為．
由，且，
，．
．
．
．點在的平分線上．
當時，．
即，點在的平分線上．
綜上所述，當點在射線上運動時，點在的平分線上．
（2）解：如圖5，
平分，且，
．
由（1）知，，，
，．
，．
．
．．．
定義域為：．
（3）解：①如圖6，當與圓相切時，；
②如圖7，當與圓相切時，；
③如圖8，當與圓相切時，．
3（天津市）26. 已知關于x的一元二次方程有兩個實數根，且滿足，。
（1）試證明；
（2）證明；
（3）對于二次函數，若自變量取值為，其對應的函數值為，則當時，試比較與的大小。
解：（1）將已知的一元二次方程化為一般形式
即
∵ 是該方程的兩個實數根
∴ ，
而 ∴
（2）
∵ ∴
于是，即
∴
（3）當時，有
∵ ，
∴
∵ ∴
又∵ ∴ ，
∵ ∴
于是 ∵ ∴
由于，
∴ ，即
∴ 當時，有
4(重慶市) 28．已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O為坐標原點，OA所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內。將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處。
（1）求點C的坐標；
（2）若拋物線（≠0）經過C、A兩點，求此拋物線的解析式；
（3）若拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作軸的平行線，交拋物線于點M。問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由。
注：拋物線（≠0）的頂點坐標為，對稱軸公式為
解: （1）過點C作CH⊥軸，垂足為H
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2
∴OB＝4，OA＝
由折疊知，∠COB＝300，OC＝OA＝
∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3
∴C點坐標為（，3）
（2）∵拋物線（≠0）經過C（，3）、A（，0）兩點
∴ 解得：
∴此拋物線的解析式為：
（3）存在。因為的頂點坐標為（，3）即為點C
MP⊥軸，設垂足為N，PN＝，因為∠BOA＝300，所以ON＝
∴P（，）
作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E
把代入得：
∴ M（，），E（，）
同理：Q（，），D（，1）
要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD
即，解得：，（舍）
∴ P點坐標為（，）
∴ 存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（，）
5(河北省)26. 如圖16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．點P從點B出發沿折線段BA-AD-DC以每秒5個單位長的速度向點C勻速運動；點Q從點C出發沿線段CB方向以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點Q向上作射線QK⊥BC，交折線段CD-DA-AB于點E．點P、Q同時開始運動，當點P與點C重合時停止運動，點Q也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）當點P到達終點C時，求t的值，并指出此時BQ的長；
（2）當點P運動到AD上時，t為何值能使PQ∥DC?？
（3）設射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點E運動到CD、DA上時，S與t的函數關系式；（不必寫出t的取值范圍）
（4）△PQE能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由．
解：（1）t?=（50＋75＋50）÷5=35（秒）時，點P到達終點C．
此時，QC=35×3=105，∴BQ的長為135－105=30．
（2）如圖8，若PQ∥DC，又AD∥BC，則四邊形PQCD
為平行四邊形，從而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t
得50＋75－5t=3t，解得t=．
經檢驗，當t=時，有PQ∥DC．
（3）①當點E在CD上運動時，如圖9．分別過點A、D
作AF⊥BC于點F，DH⊥BC于點H，則四邊形
ADHF為矩形，且△ABF≌△DCH，從而
FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．
又QC=3t，從而QE=QC·tanC=3t·=4t．
（注：用相似三角形求解亦可）
∴S=S⊿QCE?=QE·QC=6t2；
②當點E在DA上運動時，如圖8．過點D作DH⊥BC于點H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，從而ED=QH=QC－CH=3t－30．
∴S= S梯形QCDE?=(ED＋QC)DH =120 t－600．
（4）△PQE能成為直角三角形．
當△PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0＜t≤25且t≠或t=35．
（注：（4）問中沒有答出t≠或t=35者各扣1分，其余寫法酌情給分）
下面是第（4）問的解法，僅供教師參考：
①當點P在BA（包括點A）上，即0＜t≤10時，如圖9．過點P作PG⊥BC于點G ，則PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t?= PG，易得四邊形PGQE為矩形，此時△PQE總能成為直角三角形．
②當點P、E都在AD（不包括點A但包括點D）上，即10＜t≤25時，如圖8．
由QK⊥BC和AD∥BC可知，此時，△PQE為直角三角形，但點P、E不能重合，即
5t－50＋3t－30≠75，解得t≠．
③當點P在DC上（不包括點D但包括點C），
即25＜t≤35時，如圖10．由ED＞25×3－30=45，
可知，點P在以QE=40為直徑的圓的外部，故
∠EPQ不會是直角．
由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是銳角．
對于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有當點P與C
重合，即t=35時，如圖11，∠PQE=90°，△PQE
為直角三角形．
綜上所述，當△PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0＜t≤25且t≠或t=35．
6(河北省郴州市) 27．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD沿對角線AC平移，平移后的矩形為EFGH（A、E、C、G始終在同一條直線上），當點E與C重合時停止移動．平移中EF與BC交于點N，GH與BC的延長線交于點M，EH與DC交于點P，FG與DC的延長線交于點Q．設S表示矩形PCMH的面積，表示矩形NFQC的面積．
（1） S與相等嗎？請說明理由．
（2）設AE＝x，寫出S和x之間的函數關系式，并求出x取何值時S有最大值，最大值是多少？
（3）如圖11，連結BE，當AE為何值時，是等腰三角形．
解: （1）相等
理由是：因為四邊形ABCD、EFGH是矩形，
所以
所以 即：
（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，設AE＝x，則EC＝5－x，
所以，即
配方得：，所以當時，
S有最大值3
（3）當AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6時，是等腰三角形.
7(山西省) 26．關于的二次函數以軸為對稱軸，且與軸的交點在軸上方．
（1）求此拋物線的解析式，并在下面的直角坐標系中畫出函數的草圖；
（2）設是軸右側拋物線上的一個動點，過點作垂直于軸于點，再過點作軸的平行線交拋物線于點，過點作垂直于軸于點，得到矩形．設矩形的周長為，點的橫坐標為，試求關于的函數關系式；
（3）當點在軸右側的拋物線上運動時，矩形能否成為正方形．若能，請求出此時正方形的周長；若不能，請說明理由．
參考資料：拋物線的頂點坐標是，對稱軸是直線．
解：（1）據題意得：，
．
當時，．
當時，．
又拋物線與軸的交點在軸上方，．
拋物線的解析式為：．
函數的草圖如圖所示．（只要與坐標軸的三個交點的位置及圖象大致形狀正確即可）
（2）解：令，得．
不時，，，
．
當時，，
．
．
關于的函數關系是：
當時，；
當時，．
（3）解法一：當時，令，
得．
解得（舍），或．
將代入，
得．
當時，令，得．
解得（舍），或．
將代入，得．
綜上，矩形能成為正方形，且當時正方形的周長為；當時，正方形的周長為．
解法二：當時，同“解法一”可得．
正方形的周長．
當時，同“解法一”可得．
正方形的周長．
綜上，矩形能成為正方形，且當時正方形的周長為；當時，正方形的周長為．
解法三：點在軸右側的拋物線上，
，且點的坐標為．
令，則．
，①或②
由①解得（舍），或；
由②解得（舍），或．
又，
當時；
當時．
綜上，矩形能成為正方形，且當時正方形的周長為；當時，正方形的周長為．
8(山西省太原市)29. 如圖（1），在平面直角坐標系中，的頂點在原點，點的坐標為，點的坐標為，點在第一象限．
（1）直接寫出點的坐標；
（2）將繞點逆時針旋轉，使落在軸的正半軸上，如圖（2），得（點與點重合）．與邊，軸分別交于點，點．設此時旋轉前后兩個平行四邊形重疊部分的面積為，求的值；
（3）若將（2）中得到的沿軸正方向平移，在移動的過程中，設動點的坐標為，與重疊部分的面積為，寫出與（）的函數關系式．（直接寫出結果）
解：（1）．
（2），，
．
．
由旋轉而成，
，．
，，．
在中，．
，
．
．
（3）
當運動到點在上時，如圖①，．
當，如圖②，
．
②當時，如圖③，
．
③當時，如圖④，
．
9(山西省臨汾市)26. 如圖所示，在平面直角坐標系中，經過原點，且與軸、軸分別相交于兩點．
（1）請求出直線的函數表達式；
（2）若有一拋物線的對稱軸平行于軸且經過點，頂點在上，開口向下，且經過點，求此拋物線的函數表達式；
（3）設（2）中的拋物線交軸于兩點，在拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
解：（1）設直線的函數表達式為，
直線經過，
由此可得解得
直線的函數表達式為．
（2）在中，由勾股定理，得，
經過三點，且，
為的直徑，半徑，
設拋物線的對稱軸交軸于點，
，由垂徑定理，得．
在中，，
，
頂點的坐標為，
設拋物線的表達式為，它經過，
把，代入上式，得，解得，
拋物線的表達式為．
（3）如圖，連結，，
．
在拋物線中，設，
則，
解得，．
的坐標分別是，，
；
設在拋物線上存在點，使得，
則，
，
當時，，解得，；
當時，，解得，，
，．
綜上所述，這樣的點存在，且有三個，
，，．
10(沈陽市) 26．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求此拋物線的表達式；
（3）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（4）在（3）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．
解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　
∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC
∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）
又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－2
∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（－6，0）　
（2）∵點C（0，8）在拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象上
∴c＝8，將A（－6，0）、B（2，0）代入表達式，得

　解得
∴所求拋物線的表達式為y＝－x2－x＋8　　
（3）依題意，AE＝m，則BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC
∴＝　　即＝
∴EF＝
過點F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴＝　∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　
自變量m的取值范圍是0＜m＜8　　
（4）存在．
理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，
∴當m＝4時，S有最大值，S最大值＝8　　
∵m＝4，∴點E的坐標為（－2，0）
∴△BCE為等腰三角形．　　
11(遼寧省十二市課改實驗區) 26．如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH，點H的坐標為（－8，0），點N的坐標為（－6，－4）．
（1）畫出直角梯形OMNH繞點O旋轉180°的圖形OABC，并寫出頂點A，B，C的坐標（點M的對應點為A， 點N的對應點為B， 點H的對應點為C）；
（2）求出過A，B，C三點的拋物線的表達式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分別在線段CO，OA，AB上，求四邊形BEFG的面積S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；面積S是否存在最小值?若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由；
（4）在（3）的情況下，四邊形BEFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請直接寫出此時m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由．
解: （1） 利用中心對稱性質，畫出梯形OABC．
∵A，B，C三點與M，N，H分別關于點O中心對稱，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）
（2）設過A，B，C三點的拋物線關系式為，
∵拋物線過點A（0，4），
∴．則拋物線關系式為．
將B（6，4）， C（8，0）兩點坐標代入關系式，得
解得
所求拋物線關系式為：．
（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．
∴
OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA

（ 0＜＜4）
∵． ∴當時，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值．
（4）當時，GB=GF，當時，BE=BG．
12(遼寧省旅順口) 26．已知拋物線經過及原點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）過點作平行于軸的直線交軸于點，在拋物線對稱軸右側且位于直線下方的拋物線上，任取一點，過點作直線平行于軸交軸于點，交直線于點，直線與直線及兩坐標軸圍成矩形．是否存在點，使得與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
附加題：如果符合（2）中的點在軸的上方，連結，矩形內的四個三角形之間存在怎樣的關系？為什么？
解：（1）由已知可得：

解之得，．
因而得，拋物線的解析式為：．
（2）存在．
設點的坐標為，則，
要使，則有，即
解之得，．
當時，，即為點，所以得
要使，則有，即
解之得，，當時，即為點，
當時，，所以得．
故存在兩個點使得與相似．
點的坐標為．
附加題：在中，因為．所以．
當點的坐標為時，．
所以．
因此，都是直角三角形．
又在中，因為．所以．
即有．
所以，
又因為，
所以．
13(吉林省) 28．如圖①，在邊長為的正方形中，是對角線上的兩個動點，它們分別從點，點同時出發，沿對角線以的相同速度運動，過作垂直交的直角邊于；過作垂直交的直角邊于，連接，．設，，，圍成的圖形面積為，，，圍成的圖形面積為（這里規定：線段的面積為）．到達到達停止．若的運動時間為，解答下列問題：
（1）當時，直接寫出以為頂點的四邊形是什么四邊形，并求為何值時，．
（2）①若是與的和，求與之間的函數關系式．（圖②為備用圖）
②求的最大值．
解: （1）以為頂點的四邊形是矩形．
正方形邊長為，．
，過作于，則．
，，．
當時，．
解得（舍去），．
當時，．
（2）①當時，
．
當時，，，
．
．
．
②解法1：當時，
，
當時，的最大值為．
當時，
，
當時，的最大值為．
綜上可得，的最大值為．
解法2：，
當時，的最大值為．
，
當時，的最大值為．
綜上可得，的最大值為．
14(吉林省長春市) 26．如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于兩點，
以為邊作矩形，為的中點．以，為斜邊端點作等腰直角三角形，點在第一象限，設矩形與重疊部分的面積為．
（1）求點的坐標．（1分）
（2）當值由小到大變化時，求與的函數關系式．（4分）
（3）若在直線上存在點，使等于，請直接寫出的取值范圍．（2分）
（4）在值的變化過程中，若為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的值．（3分）
解: （1）作于，則．
，．
（2）當時，如圖①，．
當時，如圖②，
設交于．
．
．
即．
或．
當時，如圖③，
設交于．
．
，
或．
當時，如圖④，
．
（此問不畫圖不扣分）
（3）．
（提示：以為直徑作圓，當直線
與此圓相切時，．）
（4）的值為，，．
（提示：當時，．當時，（舍），．當時，．）
15(哈爾濱市)28. 如圖，梯形在平面直角坐標系中，上底平行于軸，下底交軸于點，點（4，），點，，．
（1）求直線的解析式；
（2）若點的坐標為，動點從出發，以1個單位/秒的速度沿著邊向點運動（點可以與點或點重合），求的面積（）隨動點的運動時間秒變化的函數關系式（寫出自變量的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當秒時，點停止運動，此時直線與軸交于點．另一動點開始從出發，以1個單位/秒的速度沿著梯形的各邊運動一周，即由到，然后由到，再由到，最后由回到（點可以與梯形的各頂點重合）．設動點的運動時間為秒，點為直線上任意一點（點不與點重合），在點的整個運動過程中，求出所有能使與相等的的值．
16(南京市) 27．在平面內，先將一個多邊形以點為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為，并且原多邊形上的任一點，它的對應點在線段或其延長線上；接著將所得多邊形以點為旋轉中心，逆時針旋轉一個角度，這種經過和旋轉的圖形變換叫做旋轉相似變換，記為，其中點叫做旋轉相似中心，叫做相似比，叫做旋轉角．
（1）填空：
①如圖1，將以點為旋轉相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉，得到，這個旋轉相似變換記為（ ， ）；
②如圖2，是邊長為的等邊三角形，將它作旋轉相似變換，得到，則線段的長為 ；
（2）如圖3，分別以銳角三角形的三邊，，為邊向外作正方形，，，點，，分別是這三個正方形的對角線交點，試分別利用與，與之間的關系，運用旋轉相似變換的知識說明線段與之間的關系．
解：（1）①，；
②；
（2）經過旋轉相似變換，得到，此時，線段變為線段；
經過旋轉相似變換，得到，此時，線段變為線段．
，，
，．
17（蘇州市）29．設拋物線與x軸交于兩個不同的點A(一1，0)、B(m，0)，
與y軸交于點C.且∠ACB=90°．
(1)求m的值和拋物線的解析式；
(2)已知點D(1，n )在拋物線上，過點A的直線交拋物線于另一點E．若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標．
(3)在(2)的條件下，△BDP的外接圓半徑等于________________．
解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．
∴ △AOC ∽△COB,．∴OA·OB=OC2；∴OB= ∴m=4．
18（無錫市）（1）已知中，，，請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形．（請你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來．只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數）
（2）已知中，是其最小的內角，過頂點的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請探求與之間的關系．
解：（1）如圖（共有2種不同的分割法）
（2）設，，過點的直線交邊于．在中，
①若是頂角，如圖1，則，
，．
此時只能有，即，
，即．
②若是底角，則有兩種情況．
第一種情況：如圖2，當時，則，
中，，．
1．由，得，此時有，即．
2．由，得，此時，即．
3．由，得，此時，即，為小于的任意銳角．
第二種情況，如圖3，當時，，，此時只能有，
從而，這與題設是最小角矛盾．
當是底角時，不成立．
19（南通市）28．已知等腰三角形ABC的兩個頂點分別是A(0，1)、B(0，3)，第三個頂點C在x軸的正半軸上．關于y軸對稱的拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A、D(3，－2)、P三點，且點P關于直線AC的對稱點在x軸上．
(1)求直線BC的解析式；
(2)求拋物線y＝ax2＋bx＋c的解析式及點P的坐標；
(3)設M是y軸上的一個動點，求PM＋CM的取值范圍．
解：（1），，，
是等腰三角形，且點在軸的正半軸上，，
．．
設直線的解析式為，，．
直線的解析式為．
（2）拋物線關于軸對稱，．
又拋物線經過，兩點．
解得
拋物線的解析式是．
在中，，易得．
在中，，，易得．
是的角平分線．
直線與軸關于直線對稱．
點關于直線的對稱點在軸上，則符合條件的點就是直線與拋物線的交點．
點在直線：上，
故設點的坐標是．
又點在拋物線上，
．解得，．
故所求的點的坐標是，．
（3）要求的取值范圍，可先求的最小值．
I）當點的坐標是時，點與點重合，故．
顯然的最小值就是點到軸的距離為，
點是軸上的動點，無最大值，．
II）當點的坐標是時，由點關于軸的對稱點，故只要求的最小值，顯然線段最短．易求得．
的最小值是6．
同理沒有最大值，的取值范圍是．
綜上所述，當點的坐標是時，，
當點的坐標是時， ．
20（連云港市）28。如圖，在直角坐標系中，矩形的頂點與坐標原點重合，頂點在坐標軸上，，．動點從點出發，以的速度沿軸勻速向點運動，到達點即停止．設點運動的時間為．
（1）過點作對角線的垂線，垂足為點．求的長與時間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）在點運動過程中，當點關于直線的對稱點恰好落在對角線上時，求此時直線的函數解析式；
（3）探索：以三點為頂點的的面積能否達到矩形面積的？請說明理由．
解：（1）在矩形中，，，
．
　　　　，．
　　　　，即，．
　　　　當點運動到點時即停止運動，此時的最大值為．
　　　　所以，的取值范圍是．
　　　　（2）當點關于直線的對稱點恰好在對角線上時，三點應在一條直線上（如答圖2）．
　　　　，．
　　　　，
．
　　　　．點的坐標為．
　　　　設直線的函數解析式為．將點和點代入解析式，得解這個方程組，得
　　　　　此時直線的函數解析式是．
　　　　　（3）由（2）知，當時，三點在一條直線上，此時點　不構成三角形．
　　　　　故分兩種情況：
　　　　　（i）當時，點位于的內部（如答圖3）．
過點作，垂足為點，由
可得．
　　　　　
　　　　　．
　　　　　若，則應有，即．
　　　　　此時，，所以該方程無實數根．
　　　　　所以，當時，以為頂點的的面積不能達到矩形面積的．
　　　　　（ii）當時，點位于的外部．（如答圖4）
　　　　　此時．
　　　　　若，則應有，即．
　　　　　解這個方程，得，（舍去）．
　　　　　由于，．
　　　　　而此時，所以也不符合題意，故舍去．
　所以，當時，以為頂點的的面積也不能達到矩形面積的．
　綜上所述，以為頂點的的面積不能達到矩形面積的．
21（揚州市）26.如圖，矩形中，厘米，厘米（）．動點同時從點出發，分別沿，運動，速度是厘米／秒．過作直線垂直于，分別交，于．當點到達終點時，點也隨之停止運動．設運動時間為秒．
（1）若厘米，秒，則______厘米；
（2）若厘米，求時間，使，并求出它們的相似比；
（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值范圍；
（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形，梯形，梯形的面積都相等？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
解: （1），
（2），使，相似比為
（3），
，即，
當梯形與梯形的面積相等，即
化簡得，
，，則，
（4）時，梯形與梯形的面積相等
梯形的面積與梯形的面積相等即可，則
，把代入，解之得，所以．
所以，存在，當時梯形與梯形的面積、梯形的面積相等．
22(南充市)21. 如圖，點M（4，0），以點M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點A、B．已知拋物線過點A和B，與y軸交于點C．（1）求點C的坐標，并畫出拋物線的大致圖象．（2）點Q（8，m）在拋物線上，點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PQ＋PB的最小值．（3）CE是過點C的⊙M的切線，點E是切點，求OE所在直線的解析式．
解：（1）由已知，得　A（2，0），B（6，0），∵　拋物線過點A和B，則　　　　解得　 則拋物線的解析式為　． 故　C（0，2）． （說明：拋物線的大致圖象要過點A、B、C，其開口方向、頂點和對稱軸相對準確）（2）如圖①，拋物線對稱軸l是　x＝4．∵　Q（8，m）拋物線上，∴　m＝2．過點Q作QK⊥x軸于點K，則K（8，0），QK＝2，AK＝6，∴　AQ＝． 又∵　B（6，0）與A（2，0）關于對稱軸l對稱，∴　PQ＋PB的最小值＝AQ＝．　　（3）如圖②，連結EM和CM．由已知，得　EM＝OC＝2．CE是⊙M的切線，∴　∠DEM＝90o，則　∠DEM＝∠DOC．又∵　∠ODC＝∠EDM．故　△DEM≌△DOC．∴　OD＝DE，CD＝MD．又在△ODE和△MDC中，∠ODE＝∠MDC，∠DOE＝∠DEO＝∠DCM＝∠DMC．則　OE∥CM． 設CM所在直線的解析式為y＝kx＋b，CM過點C（0，2），M（4，0），∴　　　解得　直線CM的解析式為．又∵　直線OE過原點O，且OE∥CM，則　OE的解析式為　y＝x．
23(常州市)28. 已知與是反比例函數圖象上的兩個點．（1）求的值；
（2）若點，則在反比例函數圖象上是否存在點，使得以四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
解：（1）由，得，因此．
（2）如圖1，作軸，為垂足，則，，，因此．
由于點與點的橫坐標相同，因此軸，從而．
當為底時，由于過點且平行于的直線與雙曲線只有一個公共點，
故不符題意．
當為底時，過點作的平行線，交雙曲線于點，
過點分別作軸，軸的平行線，交于點．
由于，設，則，，
由點，得點．
因此，
解之得（舍去），因此點．
此時，與的長度不等，故四邊形是梯形．
如圖2，當為底時，過點作的平行線，與雙曲線在第一象限內的交點為．
由于，因此，從而．作軸，為垂足，
則，設，則，
由點，得點，
因此．
解之得（舍去），因此點．
此時，與的長度不相等，故四邊形是梯形．
如圖3，當過點作的平行線，與雙曲線在第三象限內的交點為時，
同理可得，點，四邊形是梯形．
綜上所述，函數圖象上存在點，使得以四點為頂點的四邊形為梯形，點的坐標為：或或．
24(宿遷市)27. 如圖，圓在正方形的內部沿著正方形的四條邊運動一周，并且始終保持與正方形的邊相切。
（1）在圖中，把圓運動一周覆蓋正方形的區域用陰影表示出來；
（2）當圓的直徑等于正方形的邊長一半時，該圓運動一周覆蓋正方形的區域的面積是否最大？并說明理由。
解：⑴圓運動一周覆蓋正方形的區域用陰影表示如下：
⑵圓的直徑等于正方形的邊長一半時,覆蓋區域的面積不是最大.理由如下：
設正方形的邊長為a，圓的半徑為r 覆蓋區域的面積為S
∵圓在正方形的內部，∴0＜r≤
由圖可知：S＝a2―[（a―4r）2＋4r2－πr2]
＝a2―[（20―π）r2―8ar＋a2]
＝―(20―π) r2＋8ar
＝―(20―π)(r―)2＋
∵ 0＜ ＜
∴當r＝ 時，S有最大值
∵ ≠
∴圓的直徑等于正方形的邊長一半時,面積不是最大.

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