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拋物線
拋物線的定義 我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線． 點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線． 設(shè)，那么焦點F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為．
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點
頂點坐標(biāo)
對稱性 對稱軸________ 無對稱中心 對稱軸________ 無對稱中心
準(zhǔn)線
拋物線有關(guān)的常用二級結(jié)論：
設(shè)圓錐曲線C的焦點F在x軸上，過點F且斜率為k的直線l交曲線C于A、B兩點，若，則，當(dāng)e=1時，(為直線的傾斜角)
若F為拋物線C：的焦點，AB是過焦點且傾斜角為(A在x軸上方),A,B,直線AB的傾斜角為，則有以下結(jié)論
①AF=,BF=,AB=,AF=,BF=,；AB=，
②以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；
③，
④∠AHF=∠BHF
⑤∠A1FB1=90°,∠A1MB1=90°；
⑥在A點處的切線方程為
⑦NA為拋物線的切線，且切點為O
⑧過準(zhǔn)線上任意一點P作拋物線的兩條切線，切點為M、N，則直線MN必過焦點F，且PM⊥PN；
⑨A1、O、B三點共線；
⑩拋物線有兩點A、B滿足OA⊥OB，則AB過定點(2p，0).
與拋物線有關(guān)的計算
過拋物線的焦點F作直線l與其交于A、B兩點，若AF=4，則BF=( )
A.2 B. C. D.1
過拋物線的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則p=______.
如圖，拋物線C1：和圓C2:，其中p>0,直線l經(jīng)過C1的焦點，依次交C1、C2于A、B、C、D四點，則的值為( )
A. B. C. D.
已知拋物線C:與點M(-2,2)，過點C的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點，若,則k=()
B. C. D.2
如圖，已知拋物線的焦點為F，過點P(2,0)的直線交拋物線于A(),B()兩點，直線AF、BF分別與拋物線交于點M、N
(1)求的值；
(2)記直線MN的斜率為k1，直線AB的斜率為k2，證明:為定值.
已知點F為拋物線E：的焦點，點A(2,m)在拋物線E上，且AF=3，
求拋物線E的方程；
已知點G(-1,0),延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.
6.在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：與直線l：交于M、N兩點，y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.
與拋物線有關(guān)的線段最值
已知F是拋物線C：的焦點，過F且斜率為1的直線交C于A、B兩點，設(shè)FA>FB，則FA與FB的比值等于___________
拋物線的焦點為F，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于A、B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p=________
已知F為拋物線C：的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1和l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與D、E交于兩點，則AB+DE的最小值為_______
A、B是拋物線上的兩點，且滿足OA⊥OB,求證：直線AB經(jīng)過一個定點.
已知拋物線C：，F(xiàn)為C的焦點，過焦點F且斜率為k(k>0)的直線與拋物線交于A、B兩點，若FA=2FB，則k=_____
多選經(jīng)典
（多選）1．AB為拋物線x2＝2py（p＞0）的弦，A（x1，y1），B（x2，y2），分別過A，B作的拋物線的切線交于點M（x0，y0），稱△AMB為阿基米德三角形，弦AB為阿基米德三角形的底邊．若弦AB過焦點F，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．x1+x2＝2x0
B．底邊AB的直線方程為x0x﹣p（y+y0）＝0
C．△AMB是直角三角形
D．△AMB面積的最小值為2p2
（多選）2．若直線l與拋物線C：y2＝2px有且僅有一個公共點P（x0，y0），且l與C的對稱軸不平行，則稱直線l與拋物線C相切，公共點P稱為切點，且拋物線C在點P處的切線方程為y0y＝px0+px．已知拋物線C：y2＝4x上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2）．過點A，B分別作拋物線C的兩條切線l1，l2，直線l1，l2交于點Q（x3，y3），過拋物線C上異于A，B的一點D（x4，y4）的切線l3分別與l1，l2交于點M，N，則（　　）
A．直線AB的方程為y3y＝2x+2x3
B．點A，Q，B的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列
C．|QA| |BN|＝|QB| |QM|
D．|MN| |BN|＝|QB| |DN|
（多選）3．設(shè)F為拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，過點F的直線l與拋物線C交于A（x1，y1）B（x2，y2）兩點，過B作與x軸平行的直線，和過點F且與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M，則（　　）
A．x1x2+y1y2為定值
B．當(dāng)直線l的斜率為1時，△OAB的面積為（其中O為坐標(biāo)原點）
C．若Q為C的準(zhǔn)線上任意一點，則直線QA，QF，QB的斜率成等差數(shù)列
D．點M到直線FN的距離為
（多選）4．已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A、B兩點，以線段AB為直徑的圓交y軸于M、N兩點，設(shè)線段AB的中點為P，則（　　）
A．
B．若|AF| |BF|＝4p2，則直線AB的斜率為
C．若拋物線上存在一點E（2，t）到焦點F的距離等于3，則拋物線的方程為y2＝8x
D．若點F到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，則sin∠PMN的最小值為
（多選）5．已知拋物線C：y2＝4x，點A（﹣1，0），B（0，m）（m≠0），過點B的直線與拋物線C交于P，Q兩點，AP，AQ分別交拋物線C于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點，則（　　）
A．焦點坐標(biāo)為（2，0）
B．向量與的數(shù)量積為5
C．直線MN的斜率為m
D．若直線PQ過焦點F，則OF平分∠PAQ
（多選）6．拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點是F，直線l與C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，O是坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是（　　）
A．直線l經(jīng)過焦點F的充要條件是y1y2＝﹣p2
B．直線l經(jīng)過焦點F的充要條件是x1x2＝
C．若直線l經(jīng)過焦點F，且|AF|+4|BF|的最小值是9，則p＝2
D．若∠AOB＝，且△OAB的面積最小值是16，則p＝2
（多選）7．拋物線C：x2＝4y的焦點為F，過焦點的直線l與拋物線C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則下列說法一定正確的是（　　）
A．|AB|的最小值為4
B．線段AB為直徑的圓與直線y＝﹣1相切
C．x1x2為定值
D．若M（0，﹣1），則∠AMF＝∠BMF
（多選）8．設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點，若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為，則（　　）
A．|BF|＝3
B．△ABF是等邊三角形
C．點F到準(zhǔn)線的距離為3
D．拋物線C的方程為y2＝12x
（多選）9．已知拋物線C：y2＝2px過點（2，4），焦點為F，準(zhǔn)線與x軸交于點T，直線l過焦點F且與拋物線交于P、Q兩點．過P、Q分別作拋物線C的切線，兩切線相交于點H，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．＝0
B．拋物線C的準(zhǔn)線過點H
C．tan∠PTQ＝2
D．當(dāng)取最小值時，∠PTF＝
（多選）10．已知拋物線y＝2x2的焦點為F，A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．點F的坐標(biāo)為（，0）
B．若，則＝8
C．以AF為直徑的圓與x軸相切
D．若|AF|+|BF|＝1，則線段AB的中點P到x軸的距離為
參考答案
與拋物線有關(guān)的計算
B 2. 2 3.A 4.D 5.(1)-8 (2) 6.(1)；(2)略 7.略
與拋物線有關(guān)的線段最值
1.3+2 2.6 3.16 4.(2，0) 5.
多選經(jīng)
ABC 2.ACD 3.ACD 4.AD 5.BCD 6.ABC
7.ABCD 8.BC 9.ABD 10.BCD

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