資源簡介

3.3.2　拋物線的簡單幾何性質 第2課時　
導學案
學習目標
1.了解拋物線的簡單幾何性質,培養數學抽象的核心素養．
2.能利用性質解決與拋物線有關的問題．
3.能利用方程與數形結合思想解決焦點弦問題,培養數學運算的核心素養.
重點難點
重點：解決拋物線綜合問題和體會拋物線在實際生活中的應用；
難點：解決拋物線綜合問題的解題思維培養
課前預習 自主梳理
知識點一　和拋物線有關的軌跡方程
根據定義，可以直接判定一個動點的軌跡是拋物線，并求動點的軌跡方程．
知識點二　直線與拋物線的位置關系
設直線,拋物線:,將直線方程與拋物線方程聯立整理成關于的方程.
(1)若,當時,直線與拋物線相交,有兩個交點;
當時,直線與拋物線相切,有一個切點;
當時,直線與拋物線相離,沒有公共點.
(2)若,直線與拋物線有 個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.
注意點：
(1)直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.
(2)研究直線與拋物線的關系時要注意直線斜率不存在的情況.
知識點三 直線和拋物線弦長問題
1．弦長公式：若直線(斜率為k)與拋物線y2＝2px(p＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則|AB|＝ =· .
2．拋物線的通徑(過焦點且垂直于對稱軸的弦)長為2p.
3．拋物線的焦點弦：過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的一條直線與它交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝ ，x1x2＝ |AB|＝ ＋p，＋＝ .
自主檢測
判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(1)拋物線是無中心的圓錐曲線. （ ）
(2)拋物線過焦點且垂直于對稱軸的弦長是. （ ）
(3)拋物線的準線方程為. （ ）
2.拋物線的焦點坐標是（ ）
A． B． C． D．
3.拋物線的準線方程為（ ）
A． B． C． D．
4.已知拋物線的焦點為F，點在該拋物線上，且P的橫坐標為4，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5.已知直線l過點且垂直于x軸.l被拋物線（）截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
我們已經知道了拋物線的定義，并根據拋物線的定義得到了標準方程，通過定義和方程及圖像得到了拋物線的幾何性質，現請同學完成下列表格.
焦點位置 圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程 范圍 對稱性 頂點
焦點在正半軸上 y2＝2px(p>0) 關于軸對稱 坐標原點
焦點在負半軸上 y2＝－2px(p>0) 關于軸對稱
焦點在正半軸上 x2＝2py(p>0) 關于軸對稱
焦點在負半軸上 x2＝－2py(p>0) 關于軸對稱
【師生活動】教師用多媒體展示表格，學生填寫.
【設計意圖】讓學生回憶舊知識，以建立新舊知識之間的聯系。
環節二 觀察分析，感知概念
例5 經過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，經過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸．
分析：
環節三 抽象概括，形成概念
追問1 你還有其他證明方法碼？
解法二：
環節四 辨析理解 深化概念
例6如圖3.3-6，已知定點，軸于點，是線段上任意一點，軸于點 ，于點，與相交于點，求點的軌跡方程．
解：
追問2 問題2中，若設點關于軸的對稱點為，求點的軌跡方程，其軌跡是什么？你能在生活中找到實際例子嗎？
環節五 概念應用，鞏固內化
例6中，設點關于軸的對稱點為，則方程．對應的軌跡是常見的拋物拱(圖3.3-7)．拋物拱在現實中有許多原型，如橋拱(圖3.3-8)、衛星接收天線等，拋擲出的鉛球在空中劃過的軌跡也是拋物拱的一部分．
教師提出問題，學生思考：
(1)解決拋物線的綜合問題時，一般的基本解題思路是什么？，
(2) 生活中還有哪些事物與拋物線有關？
師生活動：學生思考、小組談論，推選代表發言. 教師引導學生對所學知識、數學思想進行小結，并對學生回答情況進行評價和補充.
環節六 歸納總結,反思提升
問題7請同學們回顧本節課的學習內容,并回答下列問題：
1. 本節課學習的概念有哪些？
2. 在解決問題時，用到了哪些數學思想？
1．知識清單：
(1)直線和拋物線的位置關系．
(2)拋物線中的弦長問題．
(3)中點弦問題．
2．方法歸納：直接法、定義法、代數法．
3．常見誤區：軌跡方程的等價性；數學運算的失誤．
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：
第138頁1-5題；
備用練習1.若點為拋物線上的動點，為該拋物線的焦點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2.已知拋物線的焦點為，若拋物線上一點到軸的距離為2，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知拋物線上一點到其 的焦點的距離為，則點在第一象限的橫坐標是（ ）
A． B． C． D．
4.如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個時刻測得水面寬，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為（ ）
A． B． C． D．
5.過拋物線的焦點的直線交于，兩點，若，則（ ）
A．3 B．2 C． D．1
3.3.2　拋物線的簡單幾何性質 第2課時　
導學案
學習目標
1.了解拋物線的簡單幾何性質,培養數學抽象的核心素養．
2.能利用性質解決與拋物線有關的問題．
3.能利用方程與數形結合思想解決焦點弦問題,培養數學運算的核心素養.
重點難點
重點：解決拋物線綜合問題和體會拋物線在實際生活中的應用；
難點：解決拋物線綜合問題的解題思維培養
課前預習 自主梳理
知識點一　和拋物線有關的軌跡方程
根據定義，可以直接判定一個動點的軌跡是拋物線，并求動點的軌跡方程．
知識點二　直線與拋物線的位置關系
設直線,拋物線:,將直線方程與拋物線方程聯立整理成關于的方程.
(1)若,當時,直線與拋物線相交,有兩個交點;
當時,直線與拋物線相切,有一個切點;
當時,直線與拋物線相離,沒有公共點.
(2)若,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.
注意點：
(1)直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.
(2)研究直線與拋物線的關系時要注意直線斜率不存在的情況.
知識點三 直線和拋物線弦長問題
1．弦長公式：若直線(斜率為k)與拋物線y2＝2px(p＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則|AB|＝·＝·.
2．拋物線的通徑(過焦點且垂直于對稱軸的弦)長為2p.
3．拋物線的焦點弦：過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的一條直線與它交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－p2，x1x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p，＋＝.
自主檢測
判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(1)拋物線是無中心的圓錐曲線. （ ）
(2)拋物線過焦點且垂直于對稱軸的弦長是. （ ）
(3)拋物線的準線方程為. （ ）
【答案】(1)√(2)√
2.拋物線的焦點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把拋物線的方程化為標準形式，即可求解.
【詳解】因為拋物線，所以拋物線，所以拋物線的焦點在軸上，則焦點坐標為.
故選：D.
3.拋物線的準線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據拋物線方程確定p的值，進而確定準線方程.
【詳解】由，得，
故所求準線方程為,
故選：C.
4.已知拋物線的焦點為F，點在該拋物線上，且P的橫坐標為4，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】直接根據拋物線焦半徑公式計算得到答案.
【詳解】拋物線的準線方程為，
因為點在拋物線上，P的橫坐標為4，拋物線的焦點為F，
所以等于點到直線的距離，
所以，
故選：D.
5.已知直線l過點且垂直于x軸.l被拋物線（）截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意令，可得，求得p的值，可得拋物線方程，即可得答案.
【詳解】由題意令，則，
故，
所以拋物線（）為，其焦點坐標為，
故選：B.
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
我們已經知道了拋物線的定義，并根據拋物線的定義得到了標準方程，通過定義和方程及圖像得到了拋物線的幾何性質，現請同學完成下列表格.
焦點位置 圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程 范圍 對稱性 頂點
焦點在正半軸上 y2＝2px(p>0) 關于軸對稱 坐標原點
焦點在負半軸上 y2＝－2px(p>0) 關于軸對稱
焦點在正半軸上 x2＝2py(p>0) 關于軸對稱
焦點在負半軸上 x2＝－2py(p>0) 關于軸對稱
【師生活動】教師用多媒體展示表格，學生填寫.
【設計意圖】讓學生回憶舊知識，以建立新舊知識之間的聯系。
環節二 觀察分析，感知概念
例5 經過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，經過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸．
【師生活動】
教師：如果使用坐標法來證明這個結論，怎么轉化這個問題？
學生：只要證明證明點的縱坐標和點的縱坐標相等即可.
教師：、兩點的坐標與問題中的哪些幾何量有關？
學生：、兩點的坐標與點的坐標和直線有關，
【分析】既然 、兩點的坐標與有關，我們可以先把點坐標設出來，然后用點的坐標表示、B的坐標.
教師引導和板書，學生思考：
分析：我們用坐標法證明這個結論，即通過建立拋物線及直線的方程，運用方程研究直線DB與拋物線對稱軸之間的位置關系．建立如圖3.3-5所示的直角坐標系，只要證明點D的縱坐標與點B的縱坐標相等即可．
證明：如圖3.3-5，以拋物線的對稱軸為軸，拋物線的頂點為原點，建立平面直角坐標系．設拋物線的方程為
①
點的坐標為，則直線的方程為
②
拋物線的準線方程是． ③
聯立②③，可得點的縱坐標為．
因為焦點的坐標是，當時，直線的方程為 ④
聯立①④，消去，可得，即．
可得點的縱坐標為，與點的縱坐標相等，于是平行于軸．
當時，易知結論成立．
所以，直線平行于拋物線的對稱軸．
環節三 抽象概括，形成概念
追問1 你還有其他證明方法碼？
學生回答：由于點、的坐標還和直線有關，我們還可以先設直線的方程.
學生解答：
解法二：以拋物線的對稱軸為軸，拋物線的頂點為原點，建立平面直角坐標系．設拋物線的方程為，，設直線的方程為，將其代入，得
，，設，，則，，
過作垂直于拋物線的準線，垂足為，則，
則，，，即三點共線，所以與重合，從而直線平行于拋物線的對稱軸．
環節四 辨析理解 深化概念
例6如圖3.3-6，已知定點，軸于點，是線段上任意一點，軸于點 ，于點，與相交于點，求點的軌跡方程．
【師生活動】
教師：求軌跡方程的一般方法是什么？
學生：建系，設點，找點滿足的關系.
學生解答：
解：設點，，其中，則點的坐標為．
由題意，直線的方程為
①
因為點在上，將點的坐標代入①，得
， ②
所以點的橫坐標滿足②．
直線的方程為
③
因為點在上，所以點的坐標滿足③．
將②代入③，消去，得，即點的軌跡方程．
追問2 問題2中，若設點關于軸的對稱點為，求點的軌跡方程，其軌跡是什么？你能在生活中找到實際例子嗎？
學生回答：軌跡方程為,其軌跡為拋物線的一部分，即為拋物拱，生活中的拱橋、衛星接受天線等都是拋物拱，拋出的鉛球在空中劃過的軌跡也是拋物拱的一部分.
【師生活動】教師展示問題，待學生回答問題后，用網絡畫板演示點的軌跡，最后讓學生根據直觀軌跡圖像聯想到生活中的實例.
網絡畫板動畫演示地址： https://.cn/resource_web/course/#/641692
【設計意圖】師生活動目的是復習求軌跡方程的方法，提醒學生解題方向; 追問2目的是把拋物線聯系到實際生活中，借助網絡畫板動態演示更加直觀貼切.
環節五 概念應用，鞏固內化
例6中，設點關于軸的對稱點為，則方程．對應的軌跡是常見的拋物拱(圖3.3-7)．拋物拱在現實中有許多原型，如橋拱(圖3.3-8)、衛星接收天線等，拋擲出的鉛球在空中劃過的軌跡也是拋物拱的一部分．
教師提出問題，學生思考：
(1)解決拋物線的綜合問題時，一般的基本解題思路是什么？，
(2) 生活中還有哪些事物與拋物線有關？
師生活動：學生思考、小組談論，推選代表發言. 教師引導學生對所學知識、數學思想進行小結，并對學生回答情況進行評價和補充.
環節六 歸納總結,反思提升
問題7請同學們回顧本節課的學習內容,并回答下列問題：
1. 本節課學習的概念有哪些？
2. 在解決問題時，用到了哪些數學思想？
1．知識清單：
(1)直線和拋物線的位置關系．
(2)拋物線中的弦長問題．
(3)中點弦問題．
2．方法歸納：直接法、定義法、代數法．
3．常見誤區：軌跡方程的等價性；數學運算的失誤．
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：
第138頁1-5題；
備用練習1.若點為拋物線上的動點，為該拋物線的焦點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由拋物線的性質：焦半徑最小時，拋物線上的點必為頂點；結合拋物線方程，即可知的最小值.
【詳解】由拋物線的性質知：焦點到拋物線上點，距離最小的點為拋物線頂點，而，有，
∴的最小值為，
故選：D
【點睛】本題考查了拋物線的幾何性質，根據拋物線的解析式求焦半徑的最小值，屬于簡單題.
2.已知拋物線的焦點為，若拋物線上一點到軸的距離為2，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求出拋物線的準線方程，利用拋物線定義可得答案.
【詳解】拋物線上一點P到x軸的距離為2，拋物線的準線方程為，
由拋物線的定義可知，,
故選:C．
3.已知拋物線上一點到其 的焦點的距離為，則點在第一象限的橫坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據拋物線上的點到焦點的距離等于其到準線的距離求解即可.
【詳解】設，由拋物線的方程可得準線方程：，
由拋物線的性質可得，可得，代入拋物線方程可得，
故選：B．
4.如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個時刻測得水面寬，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】代入計算即可.
【詳解】設B點的坐標為 ，由拋物線方程 得 ，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為2米.
故選：D
5.過拋物線的焦點的直線交于，兩點，若，則（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】方法一（幾何法）：根據拋物線的概念，結合直角三角形相關知識和已知條件即可求解；方法二（代數法）：設直線方程，聯立直線與拋物線方程，結合韋達定理、拋物線的概念和已知條件即可求解.
【詳解】方法一：如圖，分別過點，作準線的垂線，，垂足分別為，，過點作于點，交軸于點．由已知條件及拋物線的定義，得，，所以．在中，因為，，所以，所以，所以焦點到準線的距離為，即．
方法二：依題意，直線不與軸垂直，設直線的方程為，將其代入拋物線的方程，得．設，，則．因為，所以，即，，所以，解得．
故選：C.

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