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橢圓
橢 圓 的 定 我們把平面內與兩個定點 F1， F2的距離的和等于常數（大于 | F1F2 |）的點的軌
義
跡叫做橢圓．
圖形
標準方程
x2 y2 x2 y2
2 2 1(a b 0) 2 2 1(a b 0)a b b a
范圍 x [ a，a]； y [ b，b] x [ b，b]； y [ a，a]
頂點坐標
半軸長
離心率
對稱性
a、b、c的
關系
通徑
焦 點 三 角
形
與橢圓有關的二級結論：
2
F x y
2
1. 已知 1， F2為橢圓 2 2 1(a b 0)的兩個焦點，P是橢圓上的動點，則△PF1F2的面積a b
S b2 tan ( F PF )
2 1 2
x2 y2
2. 已知 F1，F2為橢圓 2 2 1(a b 0)的兩個焦點，P是橢圓上的動點，則當點 P為橢圓短軸的端點時，a b
∠F1PF2最大
x2 y2
3. 已知 A、B為橢圓 2 2 1(a b 0)長軸上的兩個頂點，Q為橢圓上任意一點，則當點 Q為橢圓短軸a b
的端點時，∠AQB最大.
x2 y2
4. 已知M、N是橢圓 2 2 1(a b 0)上的兩個動點，P是橢圓上異于M、N的一點，當M、N關于原a b
b2
點對稱時，有 kPM kPN a2
x2 y2 b2
5. 已知 A、B是橢圓 2 2 1(a b 0)上兩個不重合的兩點，P為弦 AB的中點，則有 k k a b OP AB a2

6. 設圓錐曲線 C的焦點 F在 x軸上，過點 F且斜率為 k的直線 l交曲線 C于 A、B兩點，若AF FB( 0)，
e 1 1則 k 2 | |
1
x2 y2 xx yy
7.過橢圓外一點 P(x0,y0)作橢圓 2 2 1(a b 0)的切線，則切點弦的方程為
0 02 2 1a b a b
典型例題
一．圓錐曲線基本運算
例 1 2 2若方程 x ky 1表示焦點在 y軸上的橢圓，則實數 k的取值范圍為( )
A. (0, ) B. (0,2) C.(1, ) D.(0,1)
x2 y2 x2 y2
例 2橢圓 2 2 1和 2 k(k 0)具有( )a b a b2
A.相同的率心率 B.相同的焦點 C.相同的頂點 D.相同的長、短軸
x2
例 3 P 2 2 2設 、Q分別是 x (y 6) 2和 y 1上的點，則 PQ兩點間的最大距離是( )
10
A. 5 2 B. 46 2 C. 7+ 2 D.6 2
二．離心率問題
x2 y2
例 1已知橢圓 2 2 1(a b 0)的左焦點為 F，右頂點為 A，點 B在橢圓上，且 BF⊥x軸，直線 AB交 ya b

軸于點 P，若PA 2PB，則橢圓的離心率是( )
3 2 1 1
A. B. C. D.
2 2 3 2
x2F F y
2
例 2已知 1， 2為橢圓 2 2 1(a b 0)
0
的兩個焦點，若橢圓上存在點 P使 F1PF2 60 ，則橢圓離心a b
率的取值范圍是___________
改 1：若 F1PF2 90
0
，則離心率的取值范圍是_________
0
改 2：若 F1PF2 120 ,則離心率的取值范圍是_________
x2 y2
例 3已知橢圓 2 2 1(a b 0)，長軸兩端點為 A、B，如果橢圓上存在一點 Q滿足∠AQB=120°，則這a b
個橢圓的離心率為______
x2 y2
例 4 已知橢圓 2 2 1(a b 0)的左右焦點分別為F1( c,0),F2 (c,0)，若橢圓上存在一點 P 使a b
a c
，則該橢圓的離心率的取值范圍為_______
sin PF1F2 sin PF2F1
x2 y2
例 5已知橢圓 2 2 1(a b 0)的左焦點為 F，C與過原點的直線相交于 A、B兩點，連接 AF、BF，若a b
4
AB=10，AF=6， cos ABF 則離心率 e=_______
5
三．焦點三角形
x2 y2 0
例 1 P為橢圓 1上一點，F1，F2為左右焦點，若 F1PF2 60 ，則三角形 F1PF2的面積為________,P25 9
的縱坐標為______
x2 y2
例 2 F1， F2為橢圓 2 2 1(a b 0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且PFa b 1
PF2 ，若三角形 F1PF2的面
積為 9，則 b=_____.

x2 y2 PF PF 1
例 3已知 P是橢圓 1上的點，F 1 21、F2分別是橢圓的左右焦點，若 ，則△F1PF2的面
25 9 | PF1 | | PF2 | 2
積為( )
3
A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D.
3
x2 y2
例 4已知橢圓 E： 2 2 1(a b 0)的右焦點為 F(3,0),過點 F的直線交橢圓于 A、B兩點，若 AB的中點a b
坐標為(1,-1),則 E的方程為( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
45 36 36 27 27 18 18 9
x2 y2
例 5設M、N分別為橢圓 1的長軸的兩個端點，點 P在橢圓上，則 k k
4 3 PM PN
為( )
3 4 3 4
A. B. C. D.
4 3 4 3
x2 y2
例 6橢圓 C： 1的左右頂點分別為 A1、A2，點 P在 C上且直線 PA2的斜率的取值范圍是[-2,-1],那么
4 3
直線 PA1斜率的取值范圍是( )
1 3 3 3 1 3
A. [ ， ] B.[ ， ] C.[ ，1 ] D.[ ，1 ]
2 4 8 4 2 4
x2 2
例 7 已知橢圓 y 1，求斜率為 2的平行弦中點的軌跡方程.
2
x2 y2 9
例 8 已知橢圓 1上不同的三點 A( x1, y1 )、B(4， )、C( x2 , y2 )與焦點 F(4,0)的距離成等差數列，若25 9 5
線段 AC的垂直平分線與 x軸的交點為 T，求直線 BT的斜率 k.
補充練習
x2 y2
1.橢圓 2 2 1(a b 0)的左右焦點 F1、F2，焦距為 2c，若直線 y 3(x c)與橢圓的一個交點M滿足a b
∠MF1F2=2∠MF2F1，則該橢圓的離心率為____

2.設 AB是橢圓 P的長軸，點 C在 P上，且∠CBA= ，若 AB=4，BC= 2 ，則 P的兩個焦點之間的距離為_______
4
x2 y2 3
3. 已知橢圓 C: 2 2 1(a b 0)的離心率為 ，過右焦點 F且斜率為 k(k>0)的直線與 C相交于 A、Ba b 2

兩點，若AF 3FB，則 k=( )
A.1 B. 2 C. 3 D.2
x2 9y2
4. （多選）已知 P（x1，y1），Q（x2，y2）是橢圓 1上兩個不同點，且滿足 x1x2+9y1y2＝﹣2，則
4 4
下列說法正確的是（ ）
A．|2x1+3y1﹣3|+|2x2+3y2﹣3|的最大值為6 2 5
B．|2x1+3y1﹣3|+|2x2+3y2﹣3|的最小值為 3 5
2 10
C．|x1﹣3y1+5|+|x2﹣3y2+5|的最大值為 2 5
5
D．|x1﹣3y1+5|+|x2﹣3y2+5|的最小值為10 2 2
x2 y2
5. （多選）在平面直角坐標系 xOy中，由直線 x＝﹣4上任一點 P向橢圓 1作切線，切點分別為 A，
4 3
B，點 A在 x軸的上方，則（ ）
A．∠APB恒為銳角
1
B．當 AB垂直于 x軸時，直線 AP的斜率為
2
C．|AP|的最小值為 4

D．存在點 P，使得 (PA PO) OA 0＝0
x2 y2
6. （多選）已知橢圓 C： 1的左右焦點為 F1，F2，若 P為橢圓 C上一動點，記△PF1F2的內心為 I，
4 3
外心為 M，重心為 G，且△PF1F2內切圓 I的半徑為 r，△PF1F2外接圓 M的半徑為 R，則（ ）

A．∠F1PF2的最大值為 B．r的最大值為 3
3

C．PI PG R 為定值 D． 的最小值為 2
r
x2 y2
7. （多選）在橢圓 C: 2 2 1(a b 0)中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓Γ：x
2+y2＝a2+b2上，稱
a b
x2 y2
此圓為該橢圓的蒙日圓．該圓由法國數學家 G Monge（1746﹣1818）最先發現．若橢圓 C: 1，則
16 9
下列說法正確的有（ ）
A．橢圓 C外切矩形面積的最小值為 48
B．橢圓 C外切矩形面積的最大值為 48
C．點 P（x，y）為蒙日圓Γ上任意一點，點 M（﹣10，0），N（0，10），當∠PMN取最大值時，tan∠PMN
＝2+ 3
D．若橢圓 C的左、右焦點分別為 F1，F2，過橢圓 C上一點 P和原點作直線 l與蒙日圓相交于點 M，N，則
PF1 PF2＝PM PN
參考答案
圓錐曲線的基本運算
2
例 1 D. x2 y 1 1 1，焦點在 y軸上，故 1，故 0k
例 2A. 例 3 A.
離心率問題
[1 ,1) [ 2 3 6 51. D 2. ,1) [ ,1) 3.[ ,1) 4. ( 2 1,1) 5.
2 2 2 3 7
焦點三角形
1. 3 3 3 3 1 5 2.3 3.3 3 4.D 5.A 6.B 7. y x 8.
4 4 4
補充練習
4 6
1. 3 1 2. 3.B 4.AD 5.ABD 6.ACD 7.ACD
3

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