資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題二十六 直線、平面平行的判定與性質
知識歸納
一、直線和平面平行
1．定義
直線與平面沒有公共點，則稱此直線與平面平行，記作∥
2．判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥線線∥面 如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（簡記為“線線平行線面平行
面∥面線∥面 如果兩個平面平行，那么在一個平面內的所有直線都平行于另一個平面
3．性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥面線∥線 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
知識點二、兩個平面平行
1．定義
沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面和，若，則∥
2．判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥面面∥面 如果一個平面內有兩條相交的直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（簡記為“線面平行面面平行
線面面∥面 如果兩個平面同垂直于一條直線，那么這兩個平面平行 ∥
3．性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
面//面線//面 如果兩個平面平行，那么在一個平面中的所有直線都平行于另外一個平面
性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）
面//面線面 如果兩個平面中有一個垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線
方法技巧與總結
線線平行、線面平行、面面平行的轉換如圖所示．
（1）證明直線與平面平行的常用方法：
①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結合反證法證明；
②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行．輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；
③利用面面平行的性質定理，把面面平行轉化成線面平行；
（2）證明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用兩個平面垂直于同一條直線；
④證明兩個平面同時平行于第三個平面．
（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
典例分析
題型一、平行的判定
【例1-1】已知，是空間兩個不同的平面，，是空間兩條不同的直線，下列說法中正確的是（ ）
A．，則
B．，，則
C．平面內的不共線三點到平面β的距離相等，則與平行
D．如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與此平面內的無數條直線平行
【例1-2】已知三條直線a，b，c和兩個平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【例1-3】在下列判斷兩個平面與平行的4個命題中，真命題的個數是（ ）．
（1）、都垂直于平面r，那么∥．
（2）、都平行于平面r，那么∥．
（3）、都垂直于直線l，那么∥．
（4）如果l、m是兩條異面直線，且∥，∥，∥，∥，那么∥
A．0 B．1 C．2 D．3
【例1-4】如圖，在下列四個正方體中，、為正方體的兩個頂點，、、為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線不平行于平面的是（　　）
A．B．C． D．
【例1-5】如圖，在正方形中，M，N分別是，的中點，則直線AM與平面BND的位置關系是（ ）．
A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．無法確定
題型二、直線與平面平行的證明
利用三角形的中位線證明線面平行
【例2-1】如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，，側面是矩形，為的中點，．
（1）證明：平面；
（2）求三棱錐的體積．
【例2-2】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側面底面，且，若、分別為、的中點，求證：側面；
【例2-3】如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．
證明：平面；
（二） 利用對應線段成比例證明線面平行
【例2-4】如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，是棱上一點．
若，求證：平面．
【例2-5】如圖，在三棱柱中，側面是矩形，，，分別為棱的中點，為線段的中點．
證明：平面．
【例2-6】如圖1，在平行四邊形中，，，為的中點，，，沿將翻折到的位置，如圖2，.
證明：平面；
【例2-7】在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點，與交于點為的重心.
(1)求證：平面；
(2)已知，，若與平面所成角的正切值為，求到平面的距離.
（三） 構造平行四邊形證明線面平行
【例2-8】如圖，，O分別是圓臺上、下底的圓心，AB為圓O的直徑，以OB為直徑在底面內作圓E，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，連接BC交圓E于點D，，，為圓臺的母線，．
證明；平面；
【例2-9】如圖，在四棱臺中，，，四邊形ABCD為平行四邊形，點E為棱BC的中點．
求證：平面；
【例2-10】在如圖1所示的等腰梯形中，，將它沿著兩條高折疊成如圖2所示的四棱錐（重合），點分別為線段的中點．
證明：平面；
【例2-11】如圖，在多面體中，四邊形是正方形，平面，，.
(1)若為的中點，求證：平面；
(2)若多面體的體積為32，求的值.
【例2-12】如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，
平面，，，G在上，且．
(1)求證：平面；
(2)若與所成的角為，求多面體的體積．
【例2-13】小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．
（1）證明：平面；
（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．
（四）利用線面平行的性質證明線面平行
【例2-14】如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形.
(1)求證：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.
【例2-15】如圖，在三棱錐中，側面是邊長為2的正三角形，，，分別為的中點，平面與底面的交線為.
證明：平面.
（五）通過面面平行證線面平行
【例2-16】如圖所示的幾何體中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F分別為，的中點．
證明：面ABCD；
【例2-17】如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，，．是中點，是上一點．
是否存在點使得平面，若存在求的長．若不存在，請說明理由；
【例2-18】已知將圓柱沿著軸截面分割，得到如圖所示的幾何體，若四邊形是邊長為2的正方形，E，F分別是上的點，H是的中點，與交于點O，．
求證：平面；
【例2-19】如圖所示正四棱錐，，P為側棱上的點．且，求：
（1）正四棱錐的表面積；
（2）側棱上是否存在一點E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．
【例2-20】在如圖所示的圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個三等分點，、、都是圓柱的母線．
求證：平面；
題型三、利用線面平行的性質證明線線平行
【例3-1】如圖，在三棱錐中，和均是邊長為4的等邊三角形．是棱上的點， ，過的平面與直線垂直，且平面平面．
在圖中畫出，寫出畫法并說明理由；
【例3-2】如圖1所示，在四邊形中，，為上一點，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．
若平面平面，證明：；
【例3-3】如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點，四邊形OBCH為正方形．
設平面平面，證明：；
【例3-4】正方體中，點在棱上，過點作平面的平行平面，記平面與平面的交線為，則與所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【例3-5】如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的點．
若平面，求的值；
【例3-6】如圖，三棱錐中，底面與側面是全等三角形，側面是正三角形，，，，，，，分別是所在棱的中點，平面與平面相交于直線．
(1)求證：；
(2)求點到平面的距離．
題型四、面面平行的判定與證明
【例4-1】已知兩條不同的直線l，m及三個不同的平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（ ）
A．l與α，β所成角相等 B．，
C．，， D．，，
【例4-2】a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面，現給出下面六個命題：
①，，則；②若，，則；
③，，則；④若，，則；
⑤若，，則；⑥若，，則.
其中真命題的個數是（　?。?br/>A．4 B．3 C．2 D．1
【例4-3】如圖，在四棱錐P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點．
證明：平面BMN∥平面PCD；
【例4-4】如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是正方形，E，F，G分別是棱，，的中點．
證明：平面平面；
【例4-5】如圖，在正方體中，E，F分別為棱的中點．
求證：平面平面BDF；
【例4-6】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，AC與BD交于點O，底面ABCD，，點E，F分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．
(1)求證：平面平面PCD；
(2)求三棱錐的體積．
【例4-7】在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，.
求證：平面平面；
題型五、面面平行的性質
【例5-1】四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，底面，，，分別是，的中點．
已知，若平面平面，求的值；
【例5-2】在長方體中，，P為的中點．已知過點的平面與平面平行，平面與直線分別相交于點M，N，請確定點M，N的位置；
【例5-3】如圖，在直棱柱中，點E，F分別為，BC的中點，點G是線段AF上的動點．
確定點G的位置，使得平面平面，并給予證明；
【例5-4】如圖，在直棱柱中，點E，F分別為，BC的中點，點G是線段AF上的動點．確定點G的位置，使得平面平面，并給予證明
題型六、平行關系的探索性問題
【例6-1】三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，與交于點M，，的中點分別為N，O，如圖所示，在平面內找一點D，使平面，并加以證明；
【例6-2】如圖，三棱臺中，，，為線段上靠近的三等分點.
線段上是否存在點，使得平面，若不存在，請說明理由；若存在，請求出的值；
【例6-3】如圖，在三棱柱中，，分別為線段，的中點．
(1)求證：平面．
(2)在線段上是否存在一點，使平面平面請說明理由．
【例6-4】如圖，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，，，，，，分別是，的中點，H是AB邊上一動點.
(1)是否存在點使得平面平面，若存在，請指出點的位置，并證明；若不存在，請說明理由.
(2)求多面體的體積.
性質
性質
性質
判定
判定
判定
線∥面
線∥線
面∥面
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專題二十六 直線、平面平行的判定與性質
知識歸納
一、直線和平面平行
1．定義
直線與平面沒有公共點，則稱此直線與平面平行，記作∥
2．判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥線線∥面 如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（簡記為“線線平行線面平行
面∥面線∥面 如果兩個平面平行，那么在一個平面內的所有直線都平行于另一個平面
3．性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥面線∥線 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
知識點二、兩個平面平行
1．定義
沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面和，若，則∥
2．判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥面面∥面 如果一個平面內有兩條相交的直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（簡記為“線面平行面面平行
線面面∥面 如果兩個平面同垂直于一條直線，那么這兩個平面平行 ∥
3．性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
面//面線//面 如果兩個平面平行，那么在一個平面中的所有直線都平行于另外一個平面
性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）
面//面線面 如果兩個平面中有一個垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線
方法技巧與總結
線線平行、線面平行、面面平行的轉換如圖所示．
（1）證明直線與平面平行的常用方法：
①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結合反證法證明；
②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行．輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；
③利用面面平行的性質定理，把面面平行轉化成線面平行；
（2）證明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用兩個平面垂直于同一條直線；
④證明兩個平面同時平行于第三個平面．
（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
典例分析
題型一、平行的判定
【例1-1】已知，是空間兩個不同的平面，，是空間兩條不同的直線，下列說法中正確的是（ ）
A．，則
B．，，則
C．平面內的不共線三點到平面β的距離相等，則與平行
D．如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與此平面內的無數條直線平行
【答案】D
【解析】，則或，故選項A錯誤；
，，則或，故選項B錯誤；
當平面與平面相交時,可以在平面內找到不共線三點到平面β的距離相等，故選項C錯誤；
如果一條直線與一個平面平行，那么平面內必有一條直線與給定直線平行，而平面內與一條直線平行的直線有無數條，根據平行的傳遞性，這些直線都與給定直線平行，所以有無數條，故選項D正確．
【例1-2】已知三條直線a，b，c和兩個平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【解析】A：，則或，錯誤；
B：，則或，錯誤；
C：，則可能相交或平行，錯誤；
D：由為兩個平面且、，故且，
由，則，又，，，則，所以，正確．
【例1-3】在下列判斷兩個平面與平行的4個命題中，真命題的個數是（ ）．
（1）、都垂直于平面r，那么∥．
（2）、都平行于平面r，那么∥．
（3）、都垂直于直線l，那么∥．
（4）如果l、m是兩條異面直線，且∥，∥，∥，∥，那么∥
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由面面平行的判定定理分析可知（1）錯，（2），（3），（4）正確．
【例1-4】如圖，在下列四個正方體中，、為正方體的兩個頂點，、、為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線不平行于平面的是（　?。?br/>A．B．C． D．
【答案】D
【解析】對于A選項，連接，如下圖所示：
因為且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，
、分別為、的中點，則，所以，，
因為平面，平面，所以，平面；
對于B選項，連接，如下圖所示：
因為且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，
、分別為、的中點，所以，，，
因為平面，平面，所以，平面；
對于C選項，連接，如下圖所示：
因為且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，
、分別為、的中點，所以，，，
因為平面，平面，所以，平面；
對于D選項，連接、交于點，則為的中點，設，連接，
因為、分別為、的中點，則，
若平面，平面，平面平面，則，
在平面內，過該平面內的點作直線的平行線，有且只有一條，與題設矛盾．
假設不成立，故D選項中的直線與平面不平行．
【例1-5】如圖，在正方形中，M，N分別是，的中點，則直線AM與平面BND的位置關系是（ ）．
A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．無法確定
【答案】B
【解析】連接交于，連接，
而M，N分別是，的中點，
所以，即，
且，即，
則為平行四邊形，故，
由面，面，則面．
題型二、直線與平面平行的證明
利用三角形的中位線證明線面平行
【例2-1】如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，，側面是矩形，為的中點，．
（1）證明：平面；
（2）求三棱錐的體積．
【解析】（1）證明：如圖，連接交于點，連接．
因為底面是平行四邊形，所以是的中點．
又是的中點，所以．
因為平面平面，所以平面
（2）因為矩形中為的中點，
所以，所以．
因為，所以,所以．
因為，平面，平面
所以平面．
因為平面，所以．
又，平面，平面
所以平面．
因為，所以，
所以
【例2-2】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側面底面，且，若、分別為、的中點，求證：側面；
【解析】（1）證明：連接，
因為四邊形為正方形，且為的中點，
所以，為的中點，
又因為為的中點，則，
平面，平面，平面．
【例2-3】如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．
證明：平面；
【解析】證明：連接并延長交于點，連接、，
因為是三棱錐的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以為的中點，又為的中點，所以，
又平面，平面，
所以平面
（二） 利用對應線段成比例證明線面平行
【例2-4】如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，是棱上一點．
若，求證：平面．
【解析】連接，記與的交點為，連接．
由，得，，
又，則，
∴，又平面，平面，
∴平面．
【例2-5】如圖，在三棱柱中，側面是矩形，，，分別為棱的中點，為線段的中點．
證明：平面．
【詳解】在三棱柱中，連接，交于點，連接，
如圖，四邊形為平行四邊形，有，
而為的中點，則，
由，得，
又分別為的中點，即有，
因此，則，而平面平面，
所以平面．
【例2-6】如圖1，在平行四邊形中，，，為的中點，，，沿將翻折到的位置，如圖2，.

證明：平面；
【詳解】，，為正三角形，
，則為中點，
設，，，故，故為的三等分點，
，為的三等分點，即F為的中點，故，
平面，平面，故平面.
【例2-7】在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點，與交于點為的重心.
(1)求證：平面；
(2)已知，，若與平面所成角的正切值為，求到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【詳解】（1）證明：延長交于點，連接，則為的中點，
因為為的中點，所以，
又，所以與相似，所以，
因為為的重心，所以，
所以，所以與相似，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：連接，則，因為平面，且，平面，
所以，，所以，;
又，，平面，所以平面.
連接，則為與平面所成的角，且，
因為，，四邊形是矩形，易求，
又與平面所成角的正切值為，因為，所以,所以，
設到平面的距離為，則,
由條件知，所以，所以，即點到平面的距離為.
（三） 構造平行四邊形證明線面平行
【例2-8】如圖，，O分別是圓臺上、下底的圓心，AB為圓O的直徑，以OB為直徑在底面內作圓E，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，連接BC交圓E于點D，，，為圓臺的母線，．
證明；平面；
【解析】連接，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，
所以△為等腰直角三角形，即，
又在圓上，故△為等腰直角三角形，
所以且，又是母線且，則，
故且，則為平行四邊形，
所以，而面，面，
故平面．
【例2-9】如圖，在四棱臺中，，，四邊形ABCD為平行四邊形，點E為棱BC的中點．
求證：平面；
【解析】在四棱臺中，四邊形為平行四邊形，
且，點E為棱BC的中點，連，如圖，
則有，，即四邊形為平行四邊形，
則，又平面，平面，
所以平面．
【例2-10】在如圖1所示的等腰梯形中，，將它沿著兩條高折疊成如圖2所示的四棱錐（重合），點分別為線段的中點．
證明：平面；
【解析】證明：取EC的中點G，連接NG，BG，
因為點分別為線段的中點．
所以，又，
所以，
所以四邊形MBGN是平行四邊形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
【例2-11】如圖，在多面體中，四邊形是正方形，平面，，.

(1)若為的中點，求證：平面；
(2)若多面體的體積為32，求的值.
【答案】(1)證明見解析；(2)2
【詳解】（1）證明：連接.因為為的中點，，，
所以，，
所以四邊形是平行四邊形，所以.
因為平面，平面，
所以平面.
（2）解：因為四邊形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，
所以AB，AD，AE兩兩垂直，
連接AC，多面體ABCDEF的體積等于.
因為AB=AE=2CF=2m，所以四棱錐B-ACFE和四棱錐D-ACFE的高都為，
四邊形（直角梯形）ACFE的面積為，
所以多面體ABCDEF的體積等于，
因為多面體ABCDEF的體積為32，
所以4m3=32，解得m=2.
【例2-12】如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，平面，，，G在上，且．
(1)求證：平面；
(2)若與所成的角為，求多面體的體積．
【答案】(1)證明見解析；(2)．
【詳解】（1）延長交于點M，連接，則在面內，
由，則，又，
所以，可得，
由，G在上且，故為平行四邊形，
則，且，又共線，
所以，且，故為平行四邊形，則，
由平面，平面，所以平面．
（2）取的中點N，則，且，
所以為平行四邊形，則，
在平面內，過G作FB的平行線交AB于P，
所以與所成的角，即為與所成角，則，
平面，平面，則，而，設，則△中，，
，則為等邊三角形，
故，即，
所以在中，P為的中點，且，故為的中位線，
所以，易知多面體為棱臺，且，且，
體積．
【例2-13】小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．
（1）證明：平面；
（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．
【解析】（1）如圖所示：
分別取的中點，連接，
因為為全等的正三角形，
所以，，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
同理可得平面，
根據線面垂直的性質定理可知，而，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）如圖所示：
分別取中點，由（1）知，且，
同理有，，，，
由平面知識可知，，，，
所以該幾何體的體積等于長方體的體積加上四棱錐體積的倍．
因為，，
點到平面的距離即為點到直線的距離，，
所以該幾何體的體積
．
（四）利用線面平行的性質證明線面平行
【例2-14】如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形.
(1)求證：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析；(2)(8，12)
【詳解】（1）∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.
∵HG 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
又∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，又∵AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
（2）設，∵EF∥AB，FG∥CD，∴，
則＝＝＝1－，∴.
∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴四邊形EFGH的周長l＝2＝12－x.
又∵0即四邊形EFGH周長的取值范圍是(8，12).
【例2-15】如圖，在三棱錐中，側面是邊長為2的正三角形，，，分別為的中點，平面與底面的交線為.
證明：平面.
【詳解】（1）因為分別為的中點，
所以，.
又平面，平面，
所以，平面.
又平面，平面與底面的交線為，所以，.
從而，.
而平面，平面，所以，平面.
（五）通過面面平行證線面平行
【例2-16】如圖所示的幾何體中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F分別為，的中點．
證明：面ABCD；
【解析】（1）證明：取的中點G，連接EG，FG，AC，
因為，平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，
因為，，所以四邊形AGFC是平行四邊形，
，又平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，
因為，平面，
所以平面平面ABCD，
因為平面ABCD，所以平面ABCD．
【例2-17】如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，，．是中點，是上一點．
是否存在點使得平面，若存在求的長．若不存在，請說明理由；
【解析】存在．理由如下：
在上取點，在上取點，
使得，則 ， 平面，
故平面，而
而，故是平行四邊形，
故平面，
故平面，而 ，
故平面平面，而平面，
得平面平面，
在中，，
．
【例2-18】已知將圓柱沿著軸截面分割，得到如圖所示的幾何體，若四邊形是邊長為2的正方形，E，F分別是上的點，H是的中點，與交于點O，．
求證：平面；
【解析】證明：由題意知，又，所以H為的中點．
連接，因為為的中點，所以．
又平面， 平面， 所以平面；
易知，又平面， 平面，
所以平面
又平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
【例2-19】如圖所示正四棱錐，，P為側棱上的點．且，求：
（1）正四棱錐的表面積；
（2）側棱上是否存在一點E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．
【解析】（1）正四棱錐中，，，
側面的高，
正四棱錐的表面積．
（2）在側棱上存在一點，使平面，滿足．
理由如下：取中點為，因為，則，
過作的平行線交于，連接，．
在中，有，
平面，平面，平面，
由于，．
又由于，
平面，平面，平面，
，平面平面，得平面
【例2-20】在如圖所示的圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個三等分點，、、都是圓柱的母線．
求證：平面；
【解析】證明：連接、，
在圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個三等分點，
則，且，
故、、均為等邊三角形，
所以，在底面中，，則，
平面，平面，所以，平面，
因為、、都是圓柱的母線，則，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因為平面，因此，平面．
題型三、利用線面平行的性質證明線線平行
【例3-1】如圖，在三棱錐中，和均是邊長為4的等邊三角形．是棱上的點， ，過的平面與直線垂直，且平面平面．
在圖中畫出，寫出畫法并說明理由；
【解析】如圖，在內過作，交于，
則直線即為直線．
理由如下：取的中點，連結，，
因為和均為等邊三角形，
所以，，所以，，
又因為，所以平面，
又因為平面，所以平面平面，
又因為平面平面，平面平面，
所以，所以直線即為直線．
【例3-2】如圖1所示，在四邊形中，，為上一點，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

若平面平面，證明：；
【詳解】在圖1中，因為，，，
所以，，又，
所以，
因為，，
所以，故，
在圖2中，因為，平面，平面，
所以平面，
因為平面，平面平面，所以；
【例3-3】如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點，四邊形OBCH為正方形．
設平面平面，證明：；
【解析】因為四邊形OBCH為正方形，∴，
∵平面POH，平面POH，∴平面POH．
∵平面PBC，平面平面，∴．
【例3-4】正方體中，點在棱上，過點作平面的平行平面，記平面與平面的交線為，則與所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為平面平面，平面平面，
平面平面，則；
在正方體中，易證平面，故，
所以，即與所成角的大小為．
【例3-5】如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的點．
若平面，求的值；
【解析】連接，交于點，連接；
平面，平面，
平面平面，
，；
，，，
，即的值為．
【例3-6】如圖，三棱錐中，底面與側面是全等三角形，側面是正三角形，，，，，，，分別是所在棱的中點，平面與平面相交于直線．

(1)求證：；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【詳解】（1）因為，，，分別為，，，的中點，
所以，，所以，又平面，平面，所以平面，
又平面，且平面平面，所以，又，所以.
（2）連接，因為，，，側面是正三角形，
所以，，又與是全等三角形，所以，
又，且平面，所以平面，
又平面，所以，
在正三角形中，，又，且平面，
所以平面，又為的中點，
所以到平面的距離為.
在中，，，
又，，為的中點，
所以，且
在中，，
所以，
所以，
設到平面的距離為，由，得，即，
即到平面的距離為.
題型四、面面平行的判定與證明
【例4-1】已知兩條不同的直線l，m及三個不同的平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（ ）
A．l與α，β所成角相等 B．，
C．，， D．，，
【答案】C
【詳解】對于A，正方體中，設邊長為，連接，則為與平面所成角，
由勾股定理得到，故，
同理可得和所成角的正弦值為，
故與平面和所成角大小相等，
但平面與平面不平行，故A錯誤；
B選項，平面⊥平面，平面⊥平面，
但平面與平面不平行，故B錯誤；
對于C，由，得，又，所以，故C正確；
對于D，l與m可同時平行于α與β的交線，故D錯誤．
【例4-2】a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面，現給出下面六個命題：
①，，則；②若，，則；
③，，則；④若，，則；
⑤若，，則；⑥若，，則.
其中真命題的個數是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【詳解】，，為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面，
①，，則，滿足直線與直線平行的傳遞性，所以①正確；
②，，則，可能平行，可能相交，也可能異面，所以②不正確；
③，，則，可能平行，也可能相交，所以③不正確；
④，，則，滿足平面與平面平行的性質，所以④正確；
⑤，，則或，所以⑤不正確；
⑥，，則或，所以⑥不正確；
【例4-3】如圖，在四棱錐P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點．
證明：平面BMN∥平面PCD；
【解析】證明：連接BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD為正三角形．
∵M為AD的中點，∴BM⊥AD．
∵AD⊥CD，CD，BM 平面ABCD，
∴BM∥CD．又BM平面PCD，CD 平面PCD，
∴BM∥平面PCD．
∵M，N分別為AD，PA的中點，∴MN∥PD．
又MN平面PCD，PD 平面PCD，∴MN∥平面PCD．
又BM，MN 平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD．
【例4-4】如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是正方形，E，F，G分別是棱，，的中點．
證明：平面平面；
【解析】證明：連接EG，．
因為E，G分別是棱，的中點，所以，．
因為，，所以，，
所以四邊形是平行四邊形，則．
因為平面，平面，
所以平面．
因為E，F分別是棱，的中點，所以．
因為，所以．
因為平面，平面，所以平面．
因為平面，平面，且，
所以平面平面．
【例4-5】如圖，在正方體中，E，F分別為棱的中點．
求證：平面平面BDF；
【解析】證明：在正方體中，E，F分別為棱的中點，
所以．
因為，且，
所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以
又平面BDF，平面BDF，
所以平面．
同理，，又平面BDF，平面BDF，
所以平面．
又，平面，
所以平面平面
【例4-6】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，AC與BD交于點O，底面ABCD，，點E，F分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．
(1)求證：平面平面PCD；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明過程見詳解；(2)
【詳解】（1）因為底面ABCD是菱形，AC與BD交于點O，所以O為AC中點，
點E是棱PA的中點，F分別是棱PB的中點，
所以OE為三角形的中位線，OF為三角形的中位線， 所以,，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
而,平面，平面，
平面平面PCD.
（2）因為底面ABCD是邊長為2的菱形，，所以為等邊三角形，
所以，因為底面ABCD，底面ABCD，底面ABCD，
所以，，所以和均為直角三角形，
所以，，
所以，所以，
所以，
設點到平面的距離為，根據體積相等法可知，
所以，所以.
，
故三棱錐的體積為.
【例4-7】在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，.

求證：平面平面；
【詳解】在圓柱中，,平面,平面,故平面；
連接，因為等腰梯形為底面圓的內接四邊形，，
故，
則為正三角形，故，則，
平面,平面,
故平面；
又平面，
故平面平面.
題型五、面面平行的性質
【例5-1】四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，底面，，，分別是，的中點．
已知，若平面平面，求的值；
【解析】若平面平面，平面平面，平面平面，
由面面平行的性質定理可知：，
于是，由為的中點知：為的中點，故，
所以．
【例5-2】在長方體中，，P為的中點．
已知過點的平面與平面平行，平面與直線分別相交于點M，N，請確定點M，N的位置；
【解析】依題意，如圖，平面平面，
平面平面，平面平面，
則，在長方體中，，
則有四邊形為平行四邊形，
于是得，
即點M是棱AB的中點，同理點N是棱的中點，
所以分別是棱的中點．
【例5-3】如圖，在直棱柱中，點E，F分別為，BC的中點，點G是線段AF上的動點．
確定點G的位置，使得平面平面，并給予證明；
【解析】證明：如圖所示：
取AB中點D，連結CD交AF于G，即G為的重心時，平面平面．
證明：連結DE．
因為在三棱柱中，D，E分別為AB，的中點，
所以，且，
則四邊形是平行四邊形，故．
又平面，平面
所以平面．
因為在三棱柱中，D，E分別是AB，的中點，
則且，四邊形是平行四邊形，
所以．又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面，，
所以平面平面．
【例5-4】如圖，在直棱柱中，點E，F分別為，BC的中點，點G是線段AF上的動點．確定點G的位置，使得平面平面，并給予證明
【解析】證明：如圖所示：
取AB中點D，連接CD交AF于G，即G為的重心時，平面平面．
證明：連接DE．
因為在三棱柱中，D，E分別為AB，的中點，
所以，且，則四邊形是平行四邊形，
故．
又平面，平面
所以平面．
因為在三棱柱中，D，E分別是AB，的中點，
則且，四邊形是平行四邊形，
所以．又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面，，
所以平面平面．
題型六、平行關系的探索性問題
【例6-1】三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，與交于點M，，的中點分別為N，O，如圖所示.
在平面內找一點D，使平面，并加以證明；
【詳解】連接，取的中點為，連接，則平面.
在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，即為的中點，
而為的中點，于是，平面平面，
所以平面.
【例6-2】如圖，三棱臺中，，，為線段上靠近的三等分點.
線段上是否存在點，使得平面，若不存在，請說明理由；若存在，請求出的值；
【詳解】取的靠近點的三等分點，連接、、，
則，
又因為，所以，四邊形為平行四邊形，則，
因為平面，平面，所以，平面，
因為，所以，，
因為平面，平面，所以，平面，
因為，、平面，所以，平面平面，
因為平面，故平面，
因此，線段上是否存在點，且當時，平面.
【例6-3】如圖，在三棱柱中，，分別為線段，的中點．
(1)求證：平面．
(2)在線段上是否存在一點，使平面平面請說明理由．
【詳解】（1）證明：因為，分別為線段的中點所以A.因為，所以B.又因為平面，平面，所以平面．
（2）取的中點，連接，因為為的中點所以．
因為平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，又因為，，平面，所以平面平面
故在線段上存在一點，使平面平面．
【例6-4】如圖，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，，，，，，分別是，的中點，H是AB邊上一動點.

(1)是否存在點使得平面平面，若存在，請指出點的位置，并證明；若不存在，請說明理由.
(2)求多面體的體積.
【答案】(1)存在，的中點，證明見解析；(2)
【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，如圖所示.
因為是的中點，所以.
又因為平面，平面，
所以平面，又因為是的中點，
所以，又因為平面，平面
所以平面.
又因為，平面
所以平面平面，
（2）連接，因為平面平面，
平面平面，，所以平面，
由題意易得直角梯形的面積為，所以
在中，易知，
由余弦定理得，
所以，所以.
因為平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
所以多面體的體積為.
性質
性質
性質
判定
判定
判定
線∥面
線∥線
面∥面
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