資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題二十五 空間點、直線、平面之間的位置關系
知識歸納
一、四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
注意：（1）此公理是判定直線在平面內的依據；（2）此公理是判定點在面內的方法
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
注意：（1）此公理是確定一個平面的依據；（2）此公理是判定若干點共面的依據
推論①：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；
注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據
（2）此推論是判定若干平面重合的依據
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
推論②：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論③：經過兩條平行直線，有且只有一個平面；
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據
（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線共點）
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
二、直線與直線的位置關系
位置關系 相交（共面） 平行（共面） 異面
圖形
符號 a∥b
公共點個數 1 0 0
特征 兩條相交直線確定一個平面 兩條平行直線確定一個平面 兩條異面直線不同在如何一個平面內
三、直線與平面的位置關系
位置關系 包含（面內線） 相交（面外線） 平行（面外線）
圖形
符號 ∥
公共點個數 無數個 1 0
四、平面與平面的位置關系
位置關系 平行 相交（但不垂直） 垂直
圖形
符號 ∥ ，
公共點個數 0 無數個公共點且都在唯一的一條直線上 無數個公共點且都在唯一的一條直線上
五、等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
典例分析
題型一、平面的概念及基本性質
【例1-1】下面說法中正確的是（ ）
A．任何一個平面圖形都是一個平面
B．平靜的太平洋面是平面
C．平面就是平行四邊形
D．在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個平面
【例1-2】一個平面把空間分為__________部分；兩個平面把空間分為__________部分；三個平面把空間分為__________部分．
【例1-3】一條直線和直線外三點最多可以確定_________個平面.
題型二、證明“點共面”、“線共面”
【例2-1】給出下列命題：①梯形的四個頂點共面；②三條平行直線都與另一條直線相交，則這四條直線共面；③有三個公共點的兩個平面重合；④每兩條都相交并且交點全部不同的四條直線共面．其中正確的命題為__________．
【例2-2】在長方體中，直線與平面的交點為為線段的中點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．三點共線 B．四點異不共面
C．四點共面 D．四點共面
【例2-3】如圖所示，在直四棱柱中，，，，P為棱上一點，且（為常數），直線與平面相交于點Q．則線段的長為________．
【例2-4】如圖，已知四棱錐的底面ABCD為平行四邊形，M是棱上靠近點D的三等分點，N是的中點，平面AMN交于點H，則，_______.
【例2-5】(多選題)在棱長為1的正方體 中， 為底面的中心，是棱 上一點，且，， 為線段 的中點，給出下列命題，其中正確的是（ ）
A． 與 共面；
B．三棱錐 的體積跟的取值無關；
C．當時， ；
D．當時，過 ， ， 三點的平面截正方體所得截面的周長為．
題型三、證明“點共線”及“線共點”
【例3-1】在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點，若EF∩GH＝P，則點P（ ）
A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上
C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上
【例3-2】在正方體中，是的中點，直線交平面于點，則下列結論正確的是（ ）
A． 三點共線； B． 四點共面；
C． 四點共面； D． 四點共面.
【例3-3】(多選題)如圖，已知正方體的棱長為1，為底面的中心，交平面于點，點為棱的中點，則（ ）

A．，，三點共線 B．異面直線與所成的角為
C．點到平面的距離為 D．過點，，的平面截該正方體所得截面的面積為
【例3-4】如圖所示，長方體中，，O是的中點，直線交平面于點M，則下列結論錯誤的是（ ）
A．A，M，O三點共線
B．的長度為1
C．直線與平面所成角的正切值為
D．的面積為
【例3-5】如圖，在四面體中，分別為的中點，分別在上，且.給出下列四個命題：
①平面；
②平面；
③平面；
④直線交于一點.
其中正確命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3-6】如圖，，，分別是菱形的邊，，，上的點，且，，，，現將沿折起，得到空間四邊形，在折起過程中，下列說法正確的是（ ）
A．直線，有可能平行
B．直線，一定異面
C．直線，一定相交，且交點一定在直線上
D．直線，一定相交，但交點不一定在直線上
題型四、平面基本性質的應用
【例4-1】如圖，為正方體.任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l.則（ ）

A．S為定值 B．S不為定值 C．l為定值 D．l不為定值
【例4-2】如圖，正方體的棱長為4，點P，Q，R分別在棱，，上，且，則以平面截正方體所得截面為底面，為頂點的棱錐的體積為___________.

【例4-3】在長方體中，點，分別是棱，的中點，點為對角線，的交點，若平面平面，，且，則實數（ ）
A． B． C． D．
【例4-4】如圖，長方體中，，，點為線段的中點，點為棱上的動點（包括端點），平面截長方體的截面為，則（ ）
A．截面可能為六邊形
B．存在點，使得截面
C．若截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為
D．當與重合時，截面將長方體分成體積比為的兩部分
【例4-5】已知正方體的棱長為4，E，F分別是棱，BC的中點，則平面截該正方體所得的截面圖形周長為（ ）
A．6 B．10 C． D．
【例4-6】如圖，在直四棱柱中，，，，，點 分別為棱 的中點，則平面與直四棱柱各側面矩形的交線所圍成的圖形的面積為（ ）
A． B．
C． D．
【例4-7】棱長為1的正方體中，P、Q分別在棱BC、上，，，，且，過A、P、Q三點的平面截正方體得到截面多邊形，則（ ）
A．時，截面一定為等腰梯形 B．時，截面一定為矩形且面積最大值為
C．存在x，y使截面為六邊形 D．存在x，y使與截面平行
【例4-8】正方體的棱長為4，，，用經過，，三點的平面截該正方體，則所截得的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
題型五、判斷兩條直線的位置關系
【例5-1】兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關系是（ ）
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線
【例5-2】已知a，b，l是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，，，，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若，則 D．a，b一定是異面直線
【例5-3】已知，，是三個平面，，，，且，則下列結論正確的是（ ）
A．直線b與直線c可能是異面直線 B．直線a與直線c可能平行
C．直線a，b，c必然交于一點（即三線共點） D．直線c與平面可能平行
【例5-4】設點為正方形的中心，為平面外一點，為等腰直角三角形，且，若是線段的中點，則（ ）
A．，且直線、是相交直線 B．，且直線、是相交直線
C．，且直線、是異面直線 D．，且直線、是異面直線
【例5-5】已知四棱錐的所有棱長相等，M，N分別是棱PD，BC的中點，則（ ）
A． B．面
C． D．面
【例5-6】如圖，已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列命題中假命題為（ ）
A．存在點，使得
B．存在點，使得
C．直線始終與直線異面
D．直線始終與直線異面
【例5-7】如圖，在矩形ABCD中，E、F分別為邊AD、BC上的點，且，，設P、Q分別為線段AF、CE的中點，將四邊形ABFE沿著直線EF進行翻折，使得點A不在平面CDEF上，在這一過程中，下列關系不能恒成立的是（ ）
A．直線直線CD B．直線直線ED
C．直線直線PQ D．直線平面
【例5-8】(多選題)如圖所示，在菱形中，，分別是線段的中點，將沿直線折起得到三棱錐，則在該三棱錐中，下列說法正確的是（ ）
A．直線平面
B．直線與是異面直線
C．直線與可能垂直
D．若，則二面角的大小為
題型六、等角定理
【例6-1】(多選題)我們知道，平面幾何中有些正確的結論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個真命題， 在空間中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一條直線的兩條直線必平行
B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行
C．一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補
D．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補
【例6-2】下列說法中，正確的是__________．
①空間中，兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補；
②垂直于同一條直線的兩條直線平行；
③分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線；
④若、是異面直線，、是異面直線，則、也是異面直線；
⑤一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是相交或異面．
題型七、異面直線所成的角
【例7-1】已知三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】正三棱柱的棱長均相等，E是的中點，則異面直線與BE所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】在正四棱臺中，，其體積為為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【例7-4】在正三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【例7-5】在四面體ABCD中，，E為CD的中點，△ACE為等邊三角形，則異面直線AC與BE所成角為（ ）
A． B． C． D．
【例7-6】如圖所示，在三棱錐中，，M在內，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
題型八、空間直線與平面位置關系判斷
【例8-1】已知直線，平面，滿足，則下列命題一定正確的是（ ）．
A．存在直線，使 B．存在直線，使
C．存在直線，使l，m相交 D．存在直線，使l，m所成角為
【例8-2】已知為異面直線，平面，平面，若直線滿足，且.則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．與相交，且交線平行于 D．與相交，且交線垂直于
【例8-3】已知點E，F分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段D1E與C1F上的點，則滿足與平面ABCD平行的直線MN有(　　)
A．0條　　　　　　　　B．1條　　　　　　　　C．2條　　　　　　　　D．無數條
【例8-4】在三棱倠中，分別是、的重心，以下與直線平行的是（ ）
A．直線 B．平面 C．平面 D．平面
【例8-5】已知、、為空間中三條不同的直線，、、為空間中三個不同的平面，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，若，則
C．若，、分別與、所成的角相等，則
D．若m//α，m//β，，則
題型九、平面與平面位置關系的判斷
【例9-1】如圖，在長方體中，若E，F，G，H分別是棱，，，上的動點，且，則必有（ ）
A． B．
C．平面平面EFGH D．平面平面EFGH
【例9-2】在正方體中，點在正方形內（不含邊界），則在正方形內（不含邊界）一定存在一點，使得（ ）

A． B．
C．平面 D．平面平面
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專題二十五 空間點、直線、平面之間的位置關系
知識歸納
一、四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
注意：（1）此公理是判定直線在平面內的依據；（2）此公理是判定點在面內的方法
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
注意：（1）此公理是確定一個平面的依據；（2）此公理是判定若干點共面的依據
推論①：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；
注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據
（2）此推論是判定若干平面重合的依據
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
推論②：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論③：經過兩條平行直線，有且只有一個平面；
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據
（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線共點）
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
二、直線與直線的位置關系
位置關系 相交（共面） 平行（共面） 異面
圖形
符號 a∥b
公共點個數 1 0 0
特征 兩條相交直線確定一個平面 兩條平行直線確定一個平面 兩條異面直線不同在如何一個平面內
三、直線與平面的位置關系
位置關系 包含（面內線） 相交（面外線） 平行（面外線）
圖形
符號 ∥
公共點個數 無數個 1 0
四、平面與平面的位置關系
位置關系 平行 相交（但不垂直） 垂直
圖形
符號 ∥ ，
公共點個數 0 無數個公共點且都在唯一的一條直線上 無數個公共點且都在唯一的一條直線上
五、等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
典例分析
題型一、平面的概念及基本性質
【例1-1】下面說法中正確的是（ ）
A．任何一個平面圖形都是一個平面
B．平靜的太平洋面是平面
C．平面就是平行四邊形
D．在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個平面
【答案】D
【詳解】對于A中，平面是無限延展的，所以一個平面圖形不是一個平面，所以A不正確；
對于B中，平靜的太平洋面是個有邊界的圖形，不是平面，所以B不正確；
對于C中，平面可以用平行四邊形表示，但平面不是是平行四邊形，所以C不正確；
對于D中，在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個平面，所以D正確.
【例1-2】一個平面把空間分為__________部分；兩個平面把空間分為__________部分；三個平面把空間分為__________部分．
【答案】 或 或或或
【詳解】一個平面把空間分為部分；
兩個平行平面將空間分成部分，兩個相交平面可以將空間分成部分，
故兩個平面將空間分成或部分；
當三個平面互相平行時，將空間分成部分，如圖1所示；
當有兩個平面平行，第三個平面與這兩個面都相交，此時將空間分成部分，如圖2所示；
當三個平面兩兩相交于一條直線時，可以把空間分成部分，如圖3所示；
當三個平面兩兩相交，且三條直線互相平行時，將空間分成部分，如圖4所示；
當兩個平面豎著相交，第三個平面與這兩個平面相交，
即三個平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點時，此時可將空間分成部分，如圖5所示；
綜上可得三個平面把空間分為或或或部分.

故答案為：；或；或或或
【例1-3】一條直線和直線外三點最多可以確定_________個平面.
【答案】4
【分析】分情況討論每種可能的結果，最后再取最多的那個即可.
【詳解】( 1 ) 如果直線外三點共線，且所在直線與已知直線平行，可確定 1 個平面；如果直線外三點共線 , 且所在直線與已知直線相交 , 可確定 1 個平面 ；
( 2 ) 如果直線外三點共線，且所在直線與已知直線異面，可確定 3 個平面；如果直線外三點不共線，連接任意兩點的 3 條直線中，兩條與已知直線均異面，第三條與已知直線平行，可確定 3 個平面；如果直線外三點不共線，連接任意兩點的 3 條直線中，兩條與已知直線均異面，第三條與已知直線相交，可確定 3 個平面；如果直線外三點不共線，連接任意兩點的 3 條直線中，兩條與已知直線均異面 , 第三條與已知直線相交，可確定 3 個平面；如果直線外三點不共線，連接任意兩點的 3 條直線中，一條與已知直線均異面，其它兩條與已知直線相交，可確定 3 個平面；
( 3 ) 如果直線外三點不共線，且任意兩點所在直線與已知直線均異面，可確定 4 個平面；
綜上所述，最多可確定4個平面.
故答案為：4
題型二、證明“點共面”、“線共面”
【例2-1】給出下列命題：①梯形的四個頂點共面；②三條平行直線都與另一條直線相交，則這四條直線共面；③有三個公共點的兩個平面重合；④每兩條都相交并且交點全部不同的四條直線共面．其中正確的命題為__________．
【答案】①②④
【詳解】對于①，由于梯形為平面圖形，故四個頂點在同一平面內，所以①正確；
對于②，不妨設，，，，則、唯一確定一個平面，
所以，，所以，又，，所以，
所以，又，，所以，故三條平行直線都與另一條直線相交，則這四條直線共面，所以②正確；
對于③，當這三點共線時，兩個平面可以不重合，故③不正確；
對于④，因為兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內，
所以由直線在平面內的判定性質知滿足條件的第四條直線必在該平面內，故④正確．
綜上①②④正確．
【例2-2】在長方體中，直線與平面的交點為為線段的中點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．三點共線 B．四點異不共面
C．四點共面 D．四點共面
【答案】C
【詳解】因為 , 則四點共面.
因為 , 則 平面 ,
又 平面 , 則點 在平面 與平面的交線上,
同理, 也在平面 與平面 的交線上, 所以三點共線;
從而 四點共面,都在平面 內，
而點B不在平面 內，
所以四點不共面，故選項B正確；
三點均在平面內，而點A不在平面內，
所以直線AO與平面相交且點O是交點，
所以點M不在平面內，
即 四點不共面，故選項C錯誤；
，且，所以為平行四邊形，
所以共面，所以四點共面，故選項D正確.
【例2-3】如圖所示，在直四棱柱中，，，，P為棱上一點，且（為常數），直線與平面相交于點Q．則線段的長為________．
【答案】
【詳解】∵，所以，
分別過作，垂足分別為，
分別過作，垂足分別為，
可得均為平行四邊形，則，
過點作//，交直線于點，則，
可得，即，
在上取點，使得，
∵//，//，則//，可知：//，，即為平行四邊形，
∴//，，又∵為平行四邊形，則//，，
可得//，，故為平行四邊形，則//，
又∵//，則//，即四點共面，
故點即為直線與平面的交點，∴.
【例2-4】如圖，已知四棱錐的底面ABCD為平行四邊形，M是棱上靠近點D的三等分點，N是的中點，平面AMN交于點H，則，_______.
【答案】/
【詳解】解：如圖所示：
補全四棱錐為三棱柱，作，且，
因為ABCD為平行四邊形，所以，
則，且，
所以四邊形和四邊形都是平行四邊形，
因為N為中點，則延長AN必過點E，
所以A，N，E，H，M在同一平面內，
因為，所以，
又因為M是棱上靠近點D的三等分點，
所以，則.
【例2-5】(多選題)在棱長為1的正方體 中， 為底面的中心，是棱 上一點，且，， 為線段 的中點，給出下列命題，其中正確的是（ ）
A． 與 共面；
B．三棱錐 的體積跟的取值無關；
C．當時， ；
D．當時，過 ， ， 三點的平面截正方體所得截面的周長為．
【答案】ABD
【詳解】對選項A：在中，因為， 為 ， 的中點，
所以，所以 與 共面，所以A正確；
對選項B：由，因為到平面的距離為定值，且的面積為定值，
所以三棱錐的體積跟的取值無關，所以B正確；
對選項C：當時，,可得，，
取的中點分別為，連接,則
在直角三角形中,
則，所以不成立，所以C不正確．
對選項D：當時，取,連接,則,又所以
所以共面,即過 ， ，三點的正方體的截面為 ，
由,則是等腰梯形,且
所以平面截正方體所得截面的周長為，所以D正確．
題型三、證明“點共線”及“線共點”
【例3-1】在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點，若EF∩GH＝P，則點P（ ）
A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上
C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上
【答案】B
【詳解】如圖，∵EF 平面ABC，GH 平面ACD，EF∩GH＝P，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，即點P一定在直線AC上．
【例3-2】在正方體中，是的中點，直線交平面于點，則下列結論正確的是（ ）
A． 三點共線；
B． 四點共面；
C． 四點共面；
D． 四點共面.
【答案】AB
【解析】∵，平面，∴平面.
∵，平面，∴平面，
∴是平面和平面的公共點；
同理可得，點和都是平面和平面的公共點，
∴三點，，在平面與平面的交線上，
即，，三點共線.故①正確.
∵，，∴，，確定一個平面，
又，平面，∴平面，故②正確.
根據異面直線的判定定理可得與為異面直線，故 四點不共面，故③不正確.
根據異面直線的判定定理可得與異面直線，故 四點不共面，故④不正確.
【例3-3】(多選題)如圖，已知正方體的棱長為1，為底面的中心，交平面于點，點為棱的中點，則（ ）

A．，，三點共線 B．異面直線與所成的角為
C．點到平面的距離為 D．過點，，的平面截該正方體所得截面的面積為
【答案】ACD
【詳解】因為為底面的中心，所以為和的中點，則，，
因為平面，平面，所以平面，平面，
所以點是平面與平面的公共點；
顯然是平面與平面的公共點；
因為交平面于點，平面，
所以也是平面與平面的公共點，
所以，，三點都在平面與平面的交線上，
即，，三點共線，故A正確；
因為平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以，
即異面直線與所成的角為，故B不正確；
根據證明的方法，同理可得，
因為，平面，所以平面，
則的長度就是點到平面的距離，
顯然為正三角形的中心，因為正方體的棱長為1，所以正三角形的邊長為，所以，又，
所以，即點到平面的距離為，故C正確；
取的中點，連，，，，
因為，所以等腰梯形就是過點，，的平面截該正方體所得截面，如圖：
因為，，，
所以等腰梯形的高為，
所以等腰梯形的面積為，即過點，，的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確.
【例3-4】如圖所示，長方體中，，O是的中點，直線交平面于點M，則下列結論錯誤的是（ ）
A．A，M，O三點共線
B．的長度為1
C．直線與平面所成角的正切值為
D．的面積為
【答案】C
【詳解】對于A，連結，則，四點共面，
平面，，平面，
又平面，在平面與平面的交線上，
同理也在平面與平面的交線上.
三點共線，故A正確：
對于B，設直線與平面的交點為，
，平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
又，平面，平面，
平面平面，
又平面平面，平面平面，，
為中點，為中點，同理可得為的中點，，故B正確；
對于C，取中點，連接，，平面，
則即為直線與平面所成角，又平面平面，
故即為直線與平面所成角，
又，，故C錯誤；
對于D，，，
，故D正確.
【例3-5】如圖，在四面體中，分別為的中點，分別在上，且.給出下列四個命題：
①平面；
②平面；
③平面；
④直線交于一點.
其中正確命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】因為，所以且，又分別為的中點，
所以且，則，又平面，平面，所以平面，
因為為的中點，為的一個三等分點，所以與為相交直線，故與平面必不平行，也不平行平面，
因為為梯形，所以與必相交，設交點為，又平面，平面，
則是平面與平面的一個交點，所以，即直線交于一點.
【例3-6】如圖，，，分別是菱形的邊，，，上的點，且，，，，現將沿折起，得到空間四邊形，在折起過程中，下列說法正確的是（ ）
A．直線，有可能平行
B．直線，一定異面
C．直線，一定相交，且交點一定在直線上
D．直線，一定相交，但交點不一定在直線上
【答案】C
【詳解】，，，則，且，
又，，，則，且，
，且，四邊形為平面四邊形，
故直線，一定共面，故錯誤；
若直線與平行，則四邊形為平行四邊形，
可得，與矛盾，故錯誤；
由，且，，，
可得直線，一定相交，設交點為，
則，又平面，可得平面，同理，平面，
而平面平面，，即直線，一定相交，
且交點一定在直線上，故正確，錯誤．
題型四、平面基本性質的應用
【例4-1】如圖，為正方體.任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l.則（ ）

A．S為定值 B．S不為定值 C．l為定值 D．l不為定值
【答案】BC
【詳解】將正方體切去兩個正三棱錐與后，
得到一個以平行平面與為上、下底面的幾何體V，
在上取一點，作，，
再作，，，
則六邊形即為平面，
V的每個側面都是等腰直角三角形，
截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，
將V的側面沿棱剪開，展平在一張平面上，
得到一個平行四邊形，
而多邊形W的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中），
顯然，故為定值.
當位于中點時，多邊形W為正六邊形，而當移至處時，W為正三角形，
易知周長為定值的正六邊形與正三角形面積分別為與，故S不為定值.

【例4-2】如圖，正方體的棱長為4，點P，Q，R分別在棱，，上，且，則以平面截正方體所得截面為底面，為頂點的棱錐的體積為___________.

【答案】
【詳解】延長交的延長線于點，延長交的延長線于點，連接交
于點，交于點，連接，則平面即為平面截正方體所得的截面.
因為，則，
又因為，所以，即，解得，
同理可得，則，，
因為，所以，又，則，同理可得；
所以，
，，
，
，
.

【例4-3】在長方體中，點，分別是棱，的中點，點為對角線，的交點，若平面平面，，且，則實數（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】延長交的延長線于，連接交于，
∵平面，平面，
平面平面，
∴，故直線即為直線，
取的中點，連接，
又點，分別是棱，的中點，
∴，
∴，，
∴，即.
【例4-4】如圖，長方體中，，，點為線段的中點，點為棱上的動點（包括端點），平面截長方體的截面為，則（ ）
A．截面可能為六邊形
B．存在點，使得截面
C．若截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為
D．當與重合時，截面將長方體分成體積比為的兩部分
【答案】C
【解析】對于A，截面可能為四邊形或五邊形，不能是六邊形，A錯誤；
對于B，若存在點，使得截面，則，則為中點，
此時與不垂直，不存在點，使得截面，B錯誤；
對于C，當截面為平行四邊形時，在平面內過點作的平行線，交于，
過點作的垂線，垂足為，連接，則平面，
斜線在平面的射影為，則；
設，，，，
截面面積為，當時，，C正確；
對于D，當重合時，截面為梯形；取中點，連接，延長交于點，
，，
棱臺的體積，又長方體體積，
剩余部分的體積，，D錯誤.
【例4-5】已知正方體的棱長為4，E，F分別是棱，BC的中點，則平面截該正方體所得的截面圖形周長為（ ）
A．6 B．10 C． D．
【答案】D
【解析】取的中點，連接,則,取的中點，連接，則
所以, 則直線平面
延長交于，連接交于點，連接,則為的中點.
則平面截該正方體所得的截面圖形為
由條件可得,則,
則，,
取 的中點，連接，則，所以
所以,則
則，
所以截面圖形周長為
【例4-6】如圖，在直四棱柱中，，，，，點 分別為棱 的中點，則平面與直四棱柱各側面矩形的交線所圍成的圖形的面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如圖，因為在直四棱柱中，，
所以平面平面，
設平面線段，連接，
又因為平面平面，
所以，延長，交的延長線于點，
則，連接，，
則平面平面，
易知四邊形為直角梯形，且.
如圖，再將直四棱柱補成一個長方體，
由圖及題中數據可得，，，
所以，所以，
故交線圍成的圖形的面積為.
【例4-7】棱長為1的正方體中，P、Q分別在棱BC、上，，，，且，過A、P、Q三點的平面截正方體得到截面多邊形，則（ ）
A．時，截面一定為等腰梯形 B．時，截面一定為矩形且面積最大值為
C．存在x，y使截面為六邊形 D．存在x，y使與截面平行
【答案】BD
【解析】對A，時，截面為矩形，故A錯；
對B，當時，點與點重合，設過A、P、Q三點的平面交于，則因為平面平面，故，且，此時截面為矩形，當點與點重合時面積最大，
此時截面積，B正確；
對C，截面只能為四邊形、五邊形，故C錯；
對D，當，時，延長交延長線于，畫出截面如圖所示.此時因為，，故，則.由面面平行的截面性質可得，，故，此時，故且，故平行四邊形，
故，根據線面平行的判定可知與截面平行，故D正確．
【例4-8】正方體的棱長為4，，，用經過，，三點的平面截該正方體，則所截得的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如圖所示：
延長交于點，則，即為中點，
連接，取中點，連接，則，，，，四點共面，
，，，
截面如圖所示：在中，邊上的高，
記邊上的高為，則，
，
則所截得的截面面積為：.
題型五、判斷兩條直線的位置關系
【例5-1】兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關系是（ ）
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線
【答案】D
【詳解】已知直線與是異面直線，直線與直線分別與兩條直線與直線相交于點，

根據題意可得當點與點重合時，兩條直線相交，當點與點不重合時，兩條直線異面，
所以直線的位置關系是異面或相交.
【例5-2】已知a，b，l是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，，，，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若，則 D．a，b一定是異面直線
【答案】A
【詳解】選項A，因為，，，所以，所以選項A正確；
選項B，如圖，在長方體中，取平面為平面，平面為平面，則，
取直線為，直線為，
顯然有，，但與不垂直，所以選項B錯誤；
選項C，如圖，取平面為平面，平面為平面，則，
取直線為，此時有，但，所以選項C錯誤；
選項D，如圖，取平面為平面，平面為平面，則，
取直線為，直線為，此時，所以選項D錯誤.
【例5-3】已知，，是三個平面，，，，且，則下列結論正確的是（ ）
A．直線b與直線c可能是異面直線 B．直線a與直線c可能平行
C．直線a，b，c必然交于一點（即三線共點） D．直線c與平面可能平行
【答案】C
【詳解】ABC選項，因為，，，
所以，
因為，所以，
所以直線a，b，c必然交于一點（即三線共點），AB錯誤，C正確；
D選項，假設直線c與平面平行，
假設直線c與平面 α 平行，由，可知，
這與矛盾，故假設不成立，D錯誤.
【例5-4】設點為正方形的中心，為平面外一點，為等腰直角三角形，且，若是線段的中點，則（ ）
A．，且直線、是相交直線
B．，且直線、是相交直線
C．，且直線、是異面直線
D．，且直線、是異面直線
【答案】B
【解析】連接，如下圖所示：
由題意，，，，
則，所以，，
因為、分別為、的中點，則，
因為，故四邊形是等腰梯形，
所以，，且直線、是相交直線.
【例5-5】已知四棱錐的所有棱長相等，M，N分別是棱PD，BC的中點，則（ ）
A． B．面
C． D．面
【答案】BC
【詳解】對于A，因為平面，平面，直線，平面，
所以與是異面直線，故A錯誤；
對于B，取為的中點，連接，所以，，
又，，所以，，
即四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以面，故B正確；
對于C，因為，為的中點，所以，
因為，所以，故C正確；
對于D，若面，面，所以，
因為四棱錐的所有棱長相等，
所以底面是正方形，取為的中點，連接，
所以，因為，平面，
所以平面，平面，所以，又，
所以，這與為等邊三角形矛盾，故不垂直于平面，故D錯誤.
【例5-6】如圖，已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列命題中假命題為（ ）
A．存在點，使得
B．存在點，使得
C．直線始終與直線異面
D．直線始終與直線異面
【答案】C
【詳解】正方體中，易得平面，
因為點在直線上，為線段的中點，
當點和點重合時，平面，，故A正確；
連接、，當點為線段的中點時，
為三角形的中位線，即，故B正確；
平面，當點和點重合時，平面，
所以直線和在同一平面內，故C錯誤；
平面，平面，，
所以直線始終與直線不相交，且不平行，
所以直線與直線是異面直線，故D正確.
【例5-7】如圖，在矩形ABCD中，E、F分別為邊AD、BC上的點，且，，設P、Q分別為線段AF、CE的中點，將四邊形ABFE沿著直線EF進行翻折，使得點A不在平面CDEF上，在這一過程中，下列關系不能恒成立的是（ ）
A．直線直線CD B．直線直線ED
C．直線直線PQ D．直線平面
【答案】B
【詳解】在矩形ABCD中，，，可得四邊形和都為矩形，
所以，，翻折后仍然成立，所以直線直線，故A正確；
翻折前，，翻折后直線和直線ED為異面直線，故B錯誤；
設中點為H，連接，，
因為P、Q分別為線段AF、CE的中點，
所以，，而，，，
所以，，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，故C正確；
連接，，因為P、Q分別為線段AF、CE的中點，
所以，又平面，平面，
所以平面，故D正確.
【例5-8】(多選題)如圖所示，在菱形中，，分別是線段的中點，將沿直線折起得到三棱錐，則在該三棱錐中，下列說法正確的是（ ）
A．直線平面
B．直線與是異面直線
C．直線與可能垂直
D．若，則二面角的大小為
【答案】ABD
【詳解】對于A，分別為中點，，
平面，平面，平面，A正確；
對于B，平面，平面，，
與為異面直線，B正確；
對于C，設菱形的邊長為，又，則，
，，
，
，，
即與不可能垂直，C錯誤；
對于D，取中點，連接，
為等邊三角形，，，
即為二面角的平面角，
設菱形的邊長為，則，
，
，
又，，解得：，
二面角的大小為，D正確.
題型六、等角定理
【例6-1】(多選題)我們知道，平面幾何中有些正確的結論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個真命題， 在空間中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一條直線的兩條直線必平行
B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行
C．一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補
D．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補
【答案】AC
【詳解】根據線線平行具有傳遞性可知A正確；
空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關系可能是異面、相交、平行，故B錯誤；
根據定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，
那么這兩個角相等或互補可知C正確；
如圖，且，
則但和的關系不確定，故D錯誤.
【例6-2】下列說法中，正確的是__________．
①空間中，兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補；
②垂直于同一條直線的兩條直線平行；
③分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線；
④若、是異面直線，、是異面直線，則、也是異面直線；
⑤一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是相交或異面．
【答案】①⑤
【詳解】對于①：空間中，兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補，故①正確；
對于②：垂直于同一條直線的兩條直線平行、相交、異面，故②錯誤；
對于③：如下圖所示：、為兩條異面直線，、分別與、相交，
此時，即、為相交直線，故③錯誤；
對于④：如圖長方體中，，，
此時滿足、是異面直線，、是異面直線，
顯然，故④錯誤；
對于⑤：一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是相交或異面，故⑤正確．
題型七、異面直線所成的角
【例7-1】已知三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】將三棱柱補成如圖所示的四棱柱，
連接，由四棱柱的性質知，，
所以異面直線與所成角即為與所成角，
則所求角為，設，則,
由余弦定理可得：，
同理可得，因為，，
所以，
所以.
【例7-2】正三棱柱的棱長均相等，E是的中點，則異面直線與BE所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】連接，設F為的中點，設交于點D，
連接，由于四邊形為平行四邊形 ，故D為的中點，
所以，則即為異面直線與所成角或其補角，
連接，由于正三棱柱的棱長均相等，設棱長為2，
則,
，則，
故在中，,
由于異面直線與BE所成角的范圍為，
故異面直線與BE所成角的余弦值為.
【例7-3】在正四棱臺中，，其體積為為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設正四棱臺的高為，連接，作交于點，
作交于點，連接，則為異面直線與所成角或其補角.
因為，且正四棱臺的體積為，
即，
所以，即，
易求，，
，，
所以.
【例7-4】在正三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】D為的中點，E為的中點，所以，，
如圖，延長CB至F，使得，連接DE，DF，AF，，
因為，所以，，
所以四邊形BEDF是平行四邊形，，
則為異面直線AD與BE所成的角或補角．設，
取的中點，連接、，
則，，，，
，
，
由余弦定理得，
由余弦定理得．
所以直線AD與BE所成角的余弦值為
【例7-5】在四面體ABCD中，，E為CD的中點，△ACE為等邊三角形，則異面直線AC與BE所成角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖，取AC的中點F，連結BF，EF，因為△ACE為等邊三角形，E是CD中點，
所以ED，所以，
在Rt△ACD中，由勾股定理，得，因為，所以AC=2.
因為，所以AD⊥平面ABC，平面ABC，所以，
又，所以BC⊥平面ABD，平面ABD，所以.
在Rt△ABC中，，所以.所以.
又△ACE為等邊三角形，所以，因為，
所以AC⊥平面BEF，平面BEF，所以，則直線AC與BE所成角為.
【例7-6】如圖所示，在三棱錐中，，M在內，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】先證明：如圖，設為平面上一點，過的斜線在面上的射影為，為平面上任意一條直線，記 則.
證明如下：過作于，
由于平面， ,所以平面,故 平面,
平面 ,所以 則 ,所以
過做平面的垂線，交平面于，連接．
，平面，
平面，
，．
由公式：，得到
是的余角，所以
再用公式：，得到

題型八、空間直線與平面位置關系判斷
【例8-1】已知直線，平面，滿足，則下列命題一定正確的是（ ）．
A．存在直線，使 B．存在直線，使
C．存在直線，使l，m相交 D．存在直線，使l，m所成角為
【答案】B
【詳解】對于A,若直線與相交，則內的直線與要么相交要么異面，
故不存在直線，使，A錯誤，
對于B,由于,所以與相交或者平行,不論是相交還是平行,均可在,
找到與垂直的直線，故B正確，
對于C,當時，則內的直線要么與平行，要么與異面，
所以不存在，使l，m相交，故C錯誤，
對于D，當直線時，此時直線與內的所有直線均垂直，
故不存在直線，使l，m所成角為，故D錯誤.
【例8-2】已知為異面直線，平面，平面，若直線滿足，且.則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．與相交，且交線平行于 D．與相交，且交線垂直于
【答案】C
【詳解】由平面，直線滿足，且，所以，
又平面，，所以，由直線為異面直線，
且平面平面，則與相交，
否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，
設，過直線作平面與平面交于直線，如圖，則，
同理過作平面與平面交于直線，則，
所以，，，則，又，，
則，所以．
【例8-3】已知點E，F分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段D1E與C1F上的點，則滿足與平面ABCD平行的直線MN有(　　)
A．0條　　　　　　　　B．1條　　　　　　　　C．2條　　　　　　　　D．無數條
答案　D　解析　如圖所示，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于點N，M，連接
MN，由面面平行的性質得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有無數多個，所以平行于平面ABCD的MN有無數多條，故選D．
【例8-4】在三棱倠中，分別是、的重心，以下與直線平行的是（ ）
A．直線 B．平面 C．平面 D．平面
【答案】B
【詳解】如圖所示，取中點為，連結、，
由，分別是 和的重心，可得，，
則，，即，所以，
又由不平行，故A錯誤；
由，且平面，平面，所以平面，
所以B正確；
因為平面，平面，所以與平面不平行，所以C錯誤；
因為平面，平面，所以與平面不平行，所以D錯誤．
【例8-5】已知、、為空間中三條不同的直線，、、為空間中三個不同的平面，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，若，則
C．若，、分別與、所成的角相等，則
D．若m//α，m//β，，則
【答案】B
【詳解】對于A，如圖1，若，，，則可以與平行，故A錯誤；
對于B，因為，，，且，，則，
因為，，則，故，B正確；
對于C，如圖2，若，、分別與、所成的角為時，與可以相交、平行或異面，故C錯誤；

對于D，如圖1，m//α，m//β，，，則與相交，D錯誤.
題型九、平面與平面位置關系的判斷
【例9-1】如圖，在長方體中，若E，F，G，H分別是棱，，，上的動點，且，則必有（ ）
A． B．
C．平面平面EFGH D．平面平面EFGH
【答案】B
【詳解】若點與重合，點與點重合，
則與的夾角便是與的夾角，顯然與的夾角不是，所以錯誤，A錯誤；
當與重合時，由可得，當與不重合時，
因為，平面，平面，
所以平面，平面，
平面平面，所以，又，所以，B正確；
當平面與平面重合時，平面與平面不垂直，C錯誤；
當與重合時，平面與平面相交，D錯誤.
【例9-2】在正方體中，點在正方形內（不含邊界），則在正方形內（不含邊界）一定存在一點，使得（ ）

A． B．
C．平面 D．平面平面
【答案】A
【詳解】選項A，正方體中，顯然有，連接延長，
如果直線交棱于點（圖1），則作交于，連接，則是梯形，作交于，則平面，
如果直線交棱于點（圖2），則直接連接，在三角形內作交于，也有平面，因此A正確；

選項B，正方體中易知平面，因此與垂直的直線都可能平移到平面內，而當平面，平面時，直線與平面相交，不可能平移到平面內，B錯；
選項C，由選項B知與不可能垂直，因此與平面也不可能垂直，C錯；
選項D，過的平面只有平面與平面平行，因此要使得平面平面，則平面與平面重合，從而點只能在棱上，與已知不符，D錯．
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