資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題二十七 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)
知識(shí)歸納
一、直線與平面垂直的定義
如果一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個(gè)平面相互垂直．
二、判定定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）
文字語言 圖形語言 符號(hào)語言
判斷定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
面⊥面 線⊥面 兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直
平行與垂直的關(guān)系 一條直線與兩平行平面中的一個(gè)平面垂直，則該直線與另一個(gè)平面也垂直
平行與垂直的關(guān)系 兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直
三、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）
文字語言 圖形語言 符號(hào)語言
性質(zhì)定理 垂直于同一平面的兩條直線平行
文字語言 圖形語言 符號(hào)語言
垂直與平行的關(guān)系 垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行
線垂直于面的性質(zhì) 如果一條直線垂直于一個(gè)平面，則該直線與平面內(nèi)所有直線都垂直
四、平面與平面垂直的定義
如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直．
如圖所示，若，且，則.
一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．
五、平面與平面垂直判定定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）
文字語言 圖形語言 符號(hào)語言
判定定理 一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直
六、平面與平面垂直性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）
文字語言 圖形語言 符號(hào)語言
性質(zhì)定理 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直
方法技巧與總結(jié)
線線線面面面
（1）證明線線垂直的方法
①等腰三角形底邊上的中線是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形對角線互相垂直；
④直徑所對的圓周角是直角；
⑤向量的數(shù)量積為零；
⑥線面垂直的性質(zhì)；
⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．
（2）證明線面垂直的方法
①線面垂直的定義；
②線面垂直的判定（）；
③面面垂直的性質(zhì)（）；
平行線垂直平面的傳遞性（）；
⑤面面垂直的性質(zhì)（）．
（3）證明面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理（）．
空間中的線面平行、垂直的位置關(guān)系結(jié)構(gòu)圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關(guān)系中處于核心位置．
典例分析
題型一、垂直性質(zhì)的簡單判定
【例1-1】設(shè)，是不同的直線，，，是不同的平面，則下面說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】C
【解析】A：由，，則或相交，錯(cuò)誤；
B：由，，則或或相交，錯(cuò)誤；
C：由，則存在直線且，而則，
根據(jù)面面垂直的判定易知，C正確；
D：由，，則或，錯(cuò)誤．
【例1-2】已知是正方體的中心O關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則下列說法中正確的是（ ）
A．與是異面直線 B．平面
C． D．平面
【答案】B
【解析】連接、，交于點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)．
連接、、、、．
由題可知，在平面上，所以與共面，故A錯(cuò)誤；
在四邊形中，且，
所以四邊形為平行四邊形．．
平面，平面，
平面，故B正確；
由正方體的性質(zhì)可得，因?yàn)椋裕郑矫妫郑?br/>，而與所成角為，所以顯然與不垂直，故C錯(cuò)誤；
顯然與不垂直，而平面，所以與平面不垂直，故D錯(cuò)誤．
【例1-3】如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線異面，直線平面
D．直線與直線相交，直線平面
【答案】A
【解析】連接；由正方體的性質(zhì)可知，是的中點(diǎn)，所以直線與直線垂直；
由正方體的性質(zhì)可知，所以平面平面，
又平面，所以直線平面，故A正確；
以為原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，
顯然直線與直線不平行，故B不正確；
直線與直線異面正確，，，所以直線與平面不垂直，故C不正確；
直線與直線異面，不相交，故D不正確；
【例1-4】(多選題)已知是兩條不相同的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若是異面直線，，則.
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】ACD
【詳解】對于A，，則平面內(nèi)必然存在一條直線，使得，并且 ，
同理，在平面內(nèi)必然存在一條直線，使得，并且，由于是異面直線，與是相交的，n與也是相交的，
即平面內(nèi)存在兩條相交的直線，分別與平面平行，，正確；
設(shè)，并且，則有，顯然是相交的，錯(cuò)誤；
對于B，若，則不成立，錯(cuò)誤；
對于C，若，則平面上必然存在一條直線l與n平行，，即，正確；
對于D，若，必然存在一個(gè)平面，使得，并且，，又，正確；
【例1-5】在正方體中，點(diǎn)在正方形內(nèi)（不含邊界），則在正方形內(nèi)（不含邊界）一定存在一點(diǎn)，使得（ ）

A． B．
C．平面 D．平面平面
【答案】A
【詳解】選項(xiàng)A，正方體中，顯然有，連接延長，
如果直線交棱于點(diǎn)（圖1），則作交于，連接，則是梯形，作交于，則平面，
如果直線交棱于點(diǎn)（圖2），則直接連接，在三角形內(nèi)作交于，也有平面，因此A正確；

選項(xiàng)B，正方體中易知平面，因此與垂直的直線都可能平移到平面內(nèi)，而當(dāng)平面，平面時(shí)，直線與平面相交，不可能平移到平面內(nèi)，B錯(cuò)；
選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知與不可能垂直，因此與平面也不可能垂直，C錯(cuò)；
選項(xiàng)D，過的平面只有平面與平面平行，因此要使得平面平面，則平面與平面重合，從而點(diǎn)只能在棱上，與已知不符，D錯(cuò)．
題型二、證明線線垂直
【例2-1】如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．證明：
【解析】證明：過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、．
∵四邊形和都是直角梯形，
，
，
由平面幾何知識(shí)易知，
，
則四邊形和四邊形是矩形，
∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，則，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，
可得，而，∴平面，而平面
【例2-2】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．
（1）求四棱錐的全面積；
（2）求證：．
【解析】（1）∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
∴BC⊥BP，∴，
同理可得，
∴
．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF 平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA＝AD，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，∴AF⊥PD．
又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE 平面PDC，∴PE⊥AF．
【例2-3】如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．
【解析】（1）∵，，∴，
∵平面，平面，∴，∵，∴，
∵，平面，
∴平面，又平面，
∴．
（2）∵平面，平面ABC，∴，
又∵，，∴平面．
，
【例2-4】如圖，已知直三棱柱，，，分別為線段，，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，．
若，試證；
【解析】在中，
∵為中點(diǎn)且，
∴．
∵平面平面交線為，
∴平面，∴．
∵，分別為，的中點(diǎn)，
∴．
∴．
在直角和直角中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴平面，平面，
∴．
【例2-5】如圖，在三棱柱中，平面平面，，四邊形是邊長為的菱形，．
證明：；
【解析】取中點(diǎn)，連接，
，
為正三角形，
又面，面
又面，
【例2-6】已知梯形，現(xiàn)將梯形沿對角線向上折疊，連接，問：
若折疊前不垂直于，則在折疊過程中是否能使？請給出證明；
【解析】假設(shè)折疊過程中能使．
折疊前，假設(shè)，E為垂足，連，則與不垂直．①
折疊后，若，又與是平面內(nèi)的相交直線，
故平面，又平面，從而有，
故折疊前也應(yīng)有②．顯然，①與②矛盾．故假設(shè)不能成立．
即折疊過程中不能使．
【方法技巧與總結(jié)】
題型三、證明線面垂直
【例3-1】如圖，圓臺(tái)下底面圓的直徑為，是圓上異于的點(diǎn)，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長為的等邊三角形，．
證明：平面；
【解析】∵為圓臺(tái)下底面圓的直徑，是圓上異于的點(diǎn)，故
又∵，，∴
∵，∴，
∴∴，又∵，，平面
∴平面
【例3-2】如圖，在三棱柱中，平面，，且，為棱的中點(diǎn)．
求證：平面；
【解析】方法一：取的中點(diǎn)，連接．
平面，平面，，．
，，，，
又，平面，
平面，且四邊形為正方形，又平面，
，，
又，平面，平面．
方法二：取的中點(diǎn)，連接．
平面，平面，
，．
，，
，，
又，平面，
平面，且四邊形為正方形，又平面，
平面平面，又平面平面，，
平面．
【例3-3】如圖，在三棱錐中，已知平面ABC，，D為PC上一點(diǎn)，且．
（1）若E為AC的中點(diǎn)，求三棱錐與三棱錐的體積之比；
（2）若，，證明：平面ABD．
【解析】（1）由題意有．
∵為的中點(diǎn)，∴．又，∴點(diǎn)到平面的距離為．
∴．∴．
∴三棱錐與三棱錐的體積之比為．
（2）證明：∵平面，平面，∴．
∵，∴．
∵，，平面，∴平面．
又平面，∴．
在中，由，，得．
又，得．∴．
∵，∴．又，∴．
∴，即．
又，平面ABD，∴平面．
【例3-4】如圖1，矩形中，，，為上一點(diǎn)且．現(xiàn)將沿著折起，使得，得到的圖形如圖2．
證明：平面；
【解析】∵四邊形為矩形，，且，
∴
∵，∴
∵，，∴，∴
∵四邊形為矩形，∴
∵，平面，∴平面
【例3-5】如圖，在四棱錐，底面為梯形，且，，等邊三角形所在的平面垂直于底面，．求證：平面；
【解析】證明：如圖所示，取中點(diǎn)，連接，
是正三角形，為中點(diǎn)，
又平面平面，且平面平面，
平面，
又平面，，
，且，平面，
平面；．
【例3-6】在平行四邊形中過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．如圖2．證明：直線平面．
【解析】證明：圖1中，在中，所以．所以
也是直角三角形，
，
在圖2中，所以平面．
【例3-7】如圖，四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，．證明：平面
【解析】證明：如圖，連接AF，
由題意知為等腰三角形，
而為的中點(diǎn)，所以．
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>且，平面平面，
平面，所以平面．
而平面，所以．
而，平面，所以平面．
連接，則，，
而，，所以且，
所以是平行四邊形，
因此，故平面．
【例3-8】已知邊長為2的等邊（圖1），點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是邊AC，AB上的中點(diǎn)，將沿直線DE折到的位置，使得平面平面BCDE，點(diǎn)O和點(diǎn)P分別是邊DE，BE的中點(diǎn)（圖2）．證明：平面
【解析】證明：連接BD．
∵點(diǎn)和點(diǎn)分別是邊DE，BE上的中點(diǎn)，∴，
等邊中，點(diǎn)是邊AC的中點(diǎn)，∴，∴
等邊中，點(diǎn)是邊DE的中點(diǎn)，∴，
又∵平面，平面平面BCDE，
且平面平面，
∴平面BCDE，∴，
∵，∵，平面
∴平面；
【方法技巧與總結(jié)】
垂直關(guān)系中線面垂直是重點(diǎn)．
線垂面哪里找
線垂面有何用
證明線面垂直常用兩種方法．
方法一：線面垂直的判定．
線線垂直線面垂直，符號(hào)表示為：，那么．
方法二：面面垂直的性質(zhì)．
面面垂直線面垂直，符號(hào)表示為：，那么．
題型四、證明面面垂直
【例4-1】如圖，在三棱柱中，，．
（1）證明：平面平面．
（2）設(shè)P是棱上一點(diǎn)，且，求三棱錐體積．
【解析】（1）連接．
三棱柱中，，．
則，
則，則，∴，
又∵，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）取AB的中點(diǎn)D，連接CD，∵，∴，
又由（1）知平面平面，平面平面
則平面，且．
則三棱錐的體積為，
則三棱柱的體積為6，
∵，∴在四邊形中，，
又∵四棱錐的體積為，
∴三棱錐的體積為．
【例4-2】如圖，在矩形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，使得，連結(jié)，，．
證明：平面平面；
【解析】證明：取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，，
，，為等邊三角形，．
，．又，
，，，
又，平面．
平面，∴平面平面
【例4-3】如圖所示，四棱錐的底面是平行四邊形，，，，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，二面角為．
證明：平面平面
【解析】證明：連接PE，BE，
因?yàn)闉锳D中點(diǎn)，所以PE⊥AD，
因?yàn)椋珽為AD中點(diǎn)，所以BE⊥AD，
因?yàn)椋訟D⊥平面PBE，
因?yàn)槠矫鍼BE，所以AD⊥PB，
因?yàn)椋珽為AD中點(diǎn)，所以，
由勾股定理得：，
因?yàn)椋?br/>由勾股定理逆定理可得，所以，
因?yàn)锽E⊥AD，PE⊥AD，所以即為二面角的平面角，所以=．
在三角形PEB中，由余弦定理得：，
所以，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋云矫鍭BCD，因?yàn)槠矫鍼BC，
所以平面PBC⊥平面ABCD
【例4-4】如圖所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，側(cè)面底面ABC．
（1）若D是BC的中點(diǎn)，求證：；
（2）過側(cè)面的對角線的平面交側(cè)棱于M，若，求證：截面?zhèn)让妫?br/>【解析】（1）證明：∵，D是BC中點(diǎn)，∴，
∵底面?zhèn)让妫痪€為BC，∴側(cè)面，
又∵側(cè)面，∴；
（2）證明：取中點(diǎn)E，連接DE，ME，
在中，D，E分別是BC，的中點(diǎn)，∴且
又且，∴且，
∵，∴且，
∴四邊形AMED是平行四邊形，∴，
由（1）知面，∴側(cè)面，又∵面，
∴面?zhèn)让妫?br/>【例4-5】如圖，已知四棱臺(tái)的底面是矩形，平面平面，，為的中點(diǎn)，且．
證明：平面平面
【解析】證明：平面平面，平面平面，，平面，
平面．又平面，．
，平面，，
平面．
又平面，平面平面．
【例4-6】如圖，四面體的棱平面，．
證明：平面平面；
【解析】
作于M，連接，則，，則，
則，故．又，則，又，平面，故平面，
又平面，則平面平面．
【例4-7】如圖，在直三棱柱中，，，F(xiàn)為棱上一點(diǎn)，，連接AF，．
證明：平面平面；
【解析】如圖，延長和CB的延長線相交于點(diǎn)E，連接AE，
則AE為平面與底面ABC的交線，
由已知得，，，
所以，
由AB、BC的長都為3，AC的長為，得，
所以，
在三角形ABE中，由余弦定理，
得，
所以，所以，即，
又是直三棱柱，故平面ABC，
又平面ABC，所以，因?yàn)椋云矫妫?br/>又平面，所以平面平面；
【例4-8】《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一個(gè)類似隧道形狀的幾何體.如圖，在羨除中，底面是邊長為2的正方形，.
(1)證明：平面平面.
(2)求四棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析； (2).
【詳解】（1）分別取和的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的正方形，，
所以.
在梯形中，，
分別作垂直于，垂足分別為，則，
故由勾股定理得，
所以，
易知，故.
又，所以，
因?yàn)椋矫妫云矫?
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
（2）連接.因?yàn)椋运倪呅蔚拿娣e，
所以.
因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?
因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，且.
因?yàn)椋裕?br/>即四棱錐的體積為.
【方法技巧與總結(jié)】
主要證明方法是利用面面垂直的判定定理（線面垂直面面垂直）．證明時(shí)，先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決．
題型五、垂直中的探究性問題
【例5-1】如圖，已知矩形，．將沿矩形的對角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，（ ）

A．對任意位置，三組直線“與”，“與”，“與”均不垂直
B．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直
C．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直
D．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直
【答案】D
【詳解】在平面內(nèi)，作于E，作于F，連接.
對于選項(xiàng)B，假設(shè)存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直.
連接，由，
平面，可得平面，又平面，
則，這與平面內(nèi)矛盾，
故假設(shè)不成立，則不存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直.判斷錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C，假設(shè)存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直.
由，，
平面，可得平面，又平面，
則，則為的斜邊，則，
這與矛盾.
故假設(shè)不成立，則不存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直.判斷錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)D，假設(shè)存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直.
由，，
平面，可得平面，又平面，
則，又，則，
又中，，
則，
中，
則中，，，，三邊長可以構(gòu)成三角形.
故假設(shè)成立，即存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直.
則選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.
【例5-2】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，底面．
（1）當(dāng)為何值時(shí)，平面？證明你的結(jié)論；
（2）若在邊上至少存在一點(diǎn)，使，求的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形，則．
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，
又，平面，平面
所以平面．
故當(dāng)時(shí)，平面．
（2）設(shè)是符合條件的邊上的點(diǎn)．
因?yàn)槠矫妫矫?br/>所以，
又，，平面，平面
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以．
因此，點(diǎn)應(yīng)是以為直徑的圓和邊的一個(gè)公共點(diǎn)．
則半徑，即．
所以．
【例5-3】如圖，在四棱錐S－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形．側(cè)面SAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，SB的中點(diǎn)．
(1)求證：AF∥平面SEC；
(2)求證：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【詳解】（1）證明：如圖，取SC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，
∵F，G分別是SB，SC的中點(diǎn)，∴FG∥BC，，
∵四邊形ABCD是菱形，E是AD的中點(diǎn)，∴AE∥BC，，
∴FG∥AE，F(xiàn)G＝AE，∴四邊形AFGE是平行四邊形，
∴AF∥EG，又平面SEC，平面SEC，∴AF∥平面SEC；
（2）證明：∵△SAD是等邊三角形，E是AD的中點(diǎn)，∴SE⊥AD，
∵四邊形ABCD是菱形，，∴△ACD是等邊三角形，又E是AD的中點(diǎn)，
∴AD⊥CE，又平面SEC，
∴AD⊥平面SEC，又平面SEC，∴AD⊥EG，
又四邊形AFGE是平行四邊形，∴四邊形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，
又SA＝AB，F(xiàn)是SB的中點(diǎn)，∴AF⊥SB，
又平面SBC，∴AF⊥平面SBC，
又平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB；
（3）解：假設(shè)在棱SB上存在點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC，連接MO，BE，
∵平面MAC，∴BD⊥OM，
∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，△SAD為正三角形，
∴，
∵側(cè)面SAD⊥底面ABCD，
又側(cè)面底面ABCD＝AD，平面SAD，
∴SE⊥平面ABCD，
又平面ABCD，∴SE⊥BE，
∴，
∴，
∴，∴，∴，
∴在棱SB上是否存在一點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC，.
【例5-4】如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請說明理由．
【解析】（1）連接與，兩線交于點(diǎn)，連接，
在中，分別為，的中點(diǎn)，
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）因?yàn)榈酌妫矫妫裕?br/>又為棱的中點(diǎn)，，所以．
因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，平面，所以．
因?yàn)椋裕郑?br/>在和中，，
所以，即，
所以，又，，平面，
所以平面．
（3）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，即時(shí)，平面平面．
證明如下：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，
因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，
所以且，又為的中點(diǎn)，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，故，
由（2）知：平面，所以平面，又平面，
所以平面平面．
【例5-5】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為線段上的一點(diǎn)，且，為線段上的動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)為何值時(shí)，平面平面，并說明理由；
(2)若，，平面平面，，求出點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，平面平面，理由如下：
因?yàn)榈酌妫矫妫裕?br/>因?yàn)闉榫匦危裕?br/>又，所以平面.
因?yàn)槠矫妫?
因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn)，又因?yàn)椋裕?br/>又，所以平面，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫桑?）可知為的中點(diǎn).
因?yàn)榈酌妫渣c(diǎn)到底面的距離為，
所以，
因?yàn)椋裕裕?br/>平面，平面，則，同理可知，
，為的中點(diǎn)，則，，
所以，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，解得.
【例5-6】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【詳解】（1）解：取線段的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的菱形，則，，
因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫?br/>，所以，即，
又且是的中點(diǎn)，,
，、平面，平面，
平面，，，，
，；
（2）解：過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，平面平面，
平面平面，平面，，
所以，平面，
過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，
因?yàn)椋瑒t，
所以，、、、四點(diǎn)共面，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以，平面平面，
因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)椋?br/>由余弦定理可得，
所以，，，
所以，,，
因?yàn)椋裕?
題型六、面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用
【例6-1】如圖，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，，，且，平面平面．
(1)求證：；
(2)若點(diǎn)E是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，三棱錐的體積為
【詳解】（1）四邊形是直角梯形，，，，
∴，則，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
（2）由（1）可知平面，，
設(shè)，則E到平面的距離為到平面的距離的倍，
即E到平面的距離，
是等腰直角三角形，，，，
，即，，
E為線段上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)．
【例6-2】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面，.

(1)證明：；
(2)若為線段上靠近的三等分點(diǎn)，且平面，平面平面，平面，求的值.
【詳解】（1）
取的中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)闉檎切危剩?br/>而為菱形，，故為等比三角形，故，
而，平面，故平面，
而平面，故.
（2）設(shè)直線與平面交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>故，同理.
由菱形可得，故，故，
又，故，故.
連接，設(shè)，則.
由（1）可得，而平面平面，平面平面，
平面，故平面，
而平面，故，故.
在中，，
故，故，
故，故
_
_
a
_
_
b
_
a
_
b
_
a
_
_
_
_
a
性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)
判定
判定
判定
判定
判定
線∥面
線∥線
面∥面
線⊥面
線⊥線
面⊥面
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專題二十七 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)
知識(shí)歸納
一、直線與平面垂直的定義
如果一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個(gè)平面相互垂直．
二、判定定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）
文字語言 圖形語言 符號(hào)語言
判斷定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
面⊥面 線⊥面 兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直
平行與垂直的關(guān)系 一條直線與兩平行平面中的一個(gè)平面垂直，則該直線與另一個(gè)平面也垂直
平行與垂直的關(guān)系 兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直
三、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）
文字語言 圖形語言 符號(hào)語言
性質(zhì)定理 垂直于同一平面的兩條直線平行
文字語言 圖形語言 符號(hào)語言
垂直與平行的關(guān)系 垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行
線垂直于面的性質(zhì) 如果一條直線垂直于一個(gè)平面，則該直線與平面內(nèi)所有直線都垂直
四、平面與平面垂直的定義
如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直．
如圖所示，若，且，則.
一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．
五、平面與平面垂直判定定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）
文字語言 圖形語言 符號(hào)語言
判定定理 一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直
六、平面與平面垂直性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）
文字語言 圖形語言 符號(hào)語言
性質(zhì)定理 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直
方法技巧與總結(jié)
線線線面面面
（1）證明線線垂直的方法
①等腰三角形底邊上的中線是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形對角線互相垂直；
④直徑所對的圓周角是直角；
⑤向量的數(shù)量積為零；
⑥線面垂直的性質(zhì)；
⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．
（2）證明線面垂直的方法
①線面垂直的定義；
②線面垂直的判定（）；
③面面垂直的性質(zhì)（）；
平行線垂直平面的傳遞性（）；
⑤面面垂直的性質(zhì)（）．
（3）證明面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理（）．
空間中的線面平行、垂直的位置關(guān)系結(jié)構(gòu)圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關(guān)系中處于核心位置．
典例分析
題型一、垂直性質(zhì)的簡單判定
【例1-1】設(shè)，是不同的直線，，，是不同的平面，則下面說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
【例1-2】已知是正方體的中心O關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則下列說法中正確的是（ ）
A．與是異面直線 B．平面
C． D．平面
【例1-3】如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線異面，直線平面
D．直線與直線相交，直線平面
例1-4】(多選題)已知是兩條不相同的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若是異面直線，，則.
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【例1-5】在正方體中，點(diǎn)在正方形內(nèi)（不含邊界），則在正方形內(nèi)（不含邊界）一定存在一點(diǎn)，使得（ ）

A． B．
C．平面 D．平面平面
題型二、證明線線垂直
【例2-1】如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．證明：
【例2-2】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．
（1）求四棱錐的全面積；
（2）求證：．
【例2-3】如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．
【例2-4】如圖，已知直三棱柱，，，分別為線段，，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，．
若，試證；
【例2-5】如圖，在三棱柱中，平面平面，，四邊形是邊長為的菱形，．
證明：；
【例2-6】已知梯形，現(xiàn)將梯形沿對角線向上折疊，連接，問：
若折疊前不垂直于，則在折疊過程中是否能使？請給出證明；
【方法技巧與總結(jié)】
題型三、證明線面垂直
【例3-1】如圖，圓臺(tái)下底面圓的直徑為，是圓上異于的點(diǎn)，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長為的等邊三角形，．
證明：平面；
【例3-2】如圖，在三棱柱中，平面，，且，為棱的中點(diǎn)．
求證：平面；
【例3-3】如圖，在三棱錐中，已知平面ABC，，D為PC上一點(diǎn)，且．
（1）若E為AC的中點(diǎn)，求三棱錐與三棱錐的體積之比；
（2）若，，證明：平面ABD．
【例3-4】如圖1，矩形中，，，為上一點(diǎn)且．現(xiàn)將沿著折起，使得，得到的圖形如圖2．
證明：平面；
【例3-5】如圖，在四棱錐，底面為梯形，且，，等邊三角形所在的平面垂直于底面，．求證：平面；
【例3-6】在平行四邊形中過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．如圖2．證明：直線平面．
【例3-7】如圖，四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，．證明：平面
【例3-8】已知邊長為2的等邊（圖1），點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是邊AC，AB上的中點(diǎn)，將沿直線DE折到的位置，使得平面平面BCDE，點(diǎn)O和點(diǎn)P分別是邊DE，BE的中點(diǎn)（圖2）．
證明：平面
【方法技巧與總結(jié)】
垂直關(guān)系中線面垂直是重點(diǎn)．
線垂面哪里找
線垂面有何用
證明線面垂直常用兩種方法．
方法一：線面垂直的判定．
線線垂直線面垂直，符號(hào)表示為：，那么．
方法二：面面垂直的性質(zhì)．
面面垂直線面垂直，符號(hào)表示為：，那么．
題型四、證明面面垂直
【例4-1】如圖，在三棱柱中，，．
（1）證明：平面平面．
（2）設(shè)P是棱上一點(diǎn)，且，求三棱錐體積．
【例4-2】如圖，在矩形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，使得，連結(jié)，，．
證明：平面平面；
【例4-3】如圖所示，四棱錐的底面是平行四邊形，，，，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，二面角為．
證明：平面平面
【例4-4】如圖所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，側(cè)面底面ABC．
（1）若D是BC的中點(diǎn)，求證：；
（2）過側(cè)面的對角線的平面交側(cè)棱于M，若，求證：截面?zhèn)让妫?br/>【例4-5】如圖，已知四棱臺(tái)的底面是矩形，平面平面，，為的中點(diǎn)，且．
證明：平面平面
【例4-6】如圖，四面體的棱平面，．
證明：平面平面；
【例4-7】如圖，在直三棱柱中，，，F(xiàn)為棱上一點(diǎn)，，連接AF，．
證明：平面平面；
【例4-8】《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一個(gè)類似隧道形狀的幾何體.如圖，在羨除中，底面是邊長為2的正方形，.
(1)證明：平面平面.
(2)求四棱錐的體積.
題型五、垂直中的探究性問題
【例5-1】如圖，已知矩形，．將沿矩形的對角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，（ ）

A．對任意位置，三組直線“與”，“與”，“與”均不垂直
B．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直
C．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直
D．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直
【例5-2】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，底面．
（1）當(dāng)為何值時(shí)，平面？證明你的結(jié)論；
（2）若在邊上至少存在一點(diǎn)，使，求的取值范圍．
【例5-3】如圖，在四棱錐S－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形．側(cè)面SAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，SB的中點(diǎn)．
(1)求證：AF∥平面SEC；
(2)求證：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【例5-4】如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請說明理由．
【例5-5】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為線段上的一點(diǎn)，且，為線段上的動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)為何值時(shí)，平面平面，并說明理由；
(2)若，，平面平面，，求出點(diǎn)到平面的距離.
【例5-6】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
題型六、面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用
【例6-1】如圖，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，，，且，平面平面．
(1)求證：；
(2)若點(diǎn)E是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，三棱錐的體積為
【例6-2】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面，.
(1)證明：；
(2)若為線段上靠近的三等分點(diǎn)，且平面，平面平面，平面，求的值.
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a
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b
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a
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b
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a
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a
性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)
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性質(zhì)
判定
判定
判定
判定
判定
線∥面
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面∥面
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線⊥線
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