資源簡介

第十一章 三角形
【單元學習目標】
1.理解三角形及其內角、高、中線、角平分線等概念，了解三角形的分類，會畫任意三角形的高、中線、角平分線.
2.理解三角形三邊之間的關系并會證明，能利用該關系判斷已知線段能否組成三角形.
3.會運用平行線的性質與平角的定義證明三角形三個內角和等于180°.
4.掌握“直角三角形的兩個銳角互余”“有兩個角互余的三角形是直角三角形”.
5.理解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性質，并會運用三角形內角和定理及其外角性質進行相關計算和證明.
6.掌握多邊形的內角和與外角和公式，能靈活運用多邊形的內角和與外角和公式解決有關問題.
【單元思維導圖】
【單元知識梳理】
三角形的分類及有關性質
分類 按角分： 按邊分：
性質 三邊關系：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.
角的關系： （1）內角和定理：三角形三個內角的和等于180°. （2）內外角關系： a.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和. 如圖， b.三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角 如圖， C.直角三角形的兩個銳角互余 有兩個角互余的三角形是直角三角形
三角形具有穩定性
與三角形有關的重要線段
名稱 圖形 性質 重要結論
中線 三角形的三條中線的交點在三角形的內部，這個點稱為重心.中線將三角形分成兩個面積相等的三角形
高 ，即 銳角三角形的三條高的交點在三角形的內部； 直角三角形的三條高的交點是直角的頂點； 鈍角三角形的三條高所在直線的交點在三角形的外部，這個點稱為垂心
角平分線 三角形的三條角平分線的交點在三角形的內部，這個點稱為內心
多邊形及其相關概念
名稱 概念
多邊形 在平面內，由一些線段首位順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.
內角 多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角.
外角 多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.
對角線 連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.
凸多邊形 畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形叫做凸多邊形
正多邊形 各個角都相等、各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.
【拓展延伸】
（1）多邊形有幾條邊就是幾邊形，且頂點個數、內角個數均與邊數相同，外角個數是邊數的2倍.
（2）從邊形的一個頂點可以引出條對角線，引出的對角線將邊形分成個三角形，邊形有個頂點，共有條對角線.
【易錯點津】
（1）三角形沒有對角線.
（2）正多邊形必須滿足定義中的兩個條件：①各個角都相等；②各條邊都相等.二者不可缺一.如果一個多邊形的各個角都相等或每條邊都相等，那么這個多邊形不一定是正多邊形，如長方形.
多邊形的內角和
內容 推理過程 應用
方法 圖形
邊形內角和等于 . 方法1：如圖所示，從邊形的一個頂點引出條對角線，這條對角線把邊形分成個三角形，每個三角形的內角和是，所以變形的內角和是. （1）已知邊數，求內角和. （2）已知內角和，求邊數. （3）已知正邊形每個內角的度數.求邊數和內角和.
方法2：如圖所示，在邊形內任取一點P，連接，把邊形分成個三角形，這個三角形的內角和為，再減去一個周角，即得邊形的內角和是.
方法3：如圖所示，在邊形的一邊上任取一點P與各頂點相連，得個三角形，邊形內角和等于這個三角形的內角和減去在點P處的一個平角，即.
【拓展延伸】
利用多邊形的內角和公式求邊數（此類題都隱含著邊數為正整數這個條件），相當于解一元一次方程.
【規律方法】
（1）多邊形內角和公式的推理過程是將多邊形的內角進行分割，然后把它們放到三角形中，隨著點P的位置不同所得三角形個數也不同，但以上幾種證明方法都是把多邊形的問題轉化為三角形的問題進行解決.
（2）任意多邊形的內角和是的整數倍，且多邊形每增加一條邊，它的內角和就增加，正邊形每個內角的度數是.
多邊形的外角和
內容 推導過程 應用
多邊形的外角和等于 多邊的每個內角和與它相鄰的外角都是鄰補角，所以邊形的內角和加上外角和為，外角和等于 （1）已知外角度數求正多邊形的邊數. （2）已知正多邊形的邊數求外角度數.
【拓展延伸】
（1）多邊形的外角和恒等于，與邊數多少無關.
（2）正邊形的每個內角都相等，則每個外角也相等，其外角和為，所以正變形的每個外角度數都為.
（3）正多邊形的內角相等，隱含著外角也相等這一條件，利用這種隱含關系求正多邊形的邊數比直接利用內角和求邊數要簡單.
（4）添加：根據多邊形外角和是可推得多邊形的外角中最多有三個鈍角，與之對應，多邊形的內角中最多有三個銳角.
【單元常考題型】
題型1 三角形三邊關系的應用
①判斷已知的三條線段能否組成三角形
1.以下列各組線段的長為邊能組成三角形的是( )
A.2、5、8 B.2、5、3 C.6、6、2 D.9、6、2
②與等腰三角形周長（或邊長）有關的計算
2.等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊長為( )
A.7cm B.3cm C.9cm D.5cm
③利用三角形的三邊關系進行化簡
3.已知a，b，c是的三邊，化簡：______.
題型2 與三角形的高有關的計算
4.如圖，，垂足為B，，垂足為C，且AC與BD交于點E.
(1)的邊DE上的高為___________，邊AE上的高為_________.
(2)若E是BD的中點，，，，求AB的長.
題型3 與三角形的中線有關的計算
①與三角形中線有關的面積問題
5.如圖，AD是的中線，CE是的中線，，則_____.
②與三角形中線有關的周長問題（易錯）
6.等腰三角形一腰上的中線.將等腰三角形的周長分為24cm和12cm兩部分，求這個等腰三角形的底邊長.
題型4利用三角形的內角和或外角的性質求角度——一題多解
7.如圖，CE是的外角的平分線，且CE交BA的延長線于點E.
（1）若，，求的度數；
（2）求證：.
題型5直角三角形的性質與判定的應用
8.中，，，點D在線段BC上，若為直角三角形時的度數為( )
A. B. C.或 D.或
題型6三角形內角和定理的應用
9.如圖，在中，，，AE平分交BC于點E.P是邊BC上的動點(不與B，C重合)，連接AP，將沿AP翻折得到，連接DC，記.
（1）如圖，當P與E重合時，求的度數.
（2）當P與E不重合時，記，探究與的數量關系.
題型7三角形外角的性質在實際問題中的應用
10.每周我們都舉行升旗儀式，你是否想到其中也有數學問題？國旗中有5個五角星，每個五角星的五個角的度數之和是一個定值，這個值是( )
A. B. C. D.
題型8利用內、外角和公式求邊數
11.已知正多邊形的一個內角是135°，則這個正多邊形的邊數是( )
A.3 B.4 C.6 D.8
題型9利用內、外角和公式求角度
12.2022 年北京冬奧會開幕式為世界奉獻了一場精彩,簡約,唯美,浪漫的中國文化盛宴,其中主火炬臺的雪花狀創意令人驚嘆.如圖是一個正六邊形雪花狀飾品,則它的每一個內角是( )
A. B. C. D.
題型10 多邊形對角線公式的應用（易錯）
13.一個多邊形的內角和為540°，則它的對角線共有( )
A.3條 B.5條 C.6條 D.12條
題型11 多邊形的截角問題（易錯）
14.若一個多邊形截去一個角后，形成的新多邊形的內角和是，則原來多邊形的邊數可能是( )
A.10或11 B.11 C.11或12 D.10或11或12
【單元對接中考】
1.【2023.湖南長沙】下列長度的三條線段，能組成三角形的是( )
A.1，3，4 B.2，2，7 C.4，5，7 D. 3，3，6
2.【2023.北京】正十二邊形的外角和為( )
A. B. C. D.
3.【2023.山西】如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心O的光線相交于點P，點F為焦點.若，，則的度數為( )
A. B. C. D.
4.【2023.福建】若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是( )
A.1 B.5 C.7 D.9
5.【2023.江西】如圖，平面鏡MN放置在水平地面CD上，墻面于點D，一束光線AO照射到鏡面MN上，反射光線為OB，點B在PD上，若，則的度數為( )
A. B. C. D.
6.【2023.湖北黃岡】如圖，的直角頂點A在直線a上，斜邊BC在直線b上，若,，則( )
A. B. C. D.
7.【2023.甘肅蘭州】如圖（1）是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中.如圖（2）是八角形空窗的示意圖，它的一個外角( )
A. B. C. D.
8.【2023.吉林】如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結構，其數學道理是__________.
9.【2023.江蘇揚州】如果一個多邊形每一個外角都是，那么這個多邊形的邊數為________.
10.【2023.重慶A】如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC，那么的度數為________.
11.【2023.山東濟寧】一個多邊形的內角和為540°，則這個多邊形是_________邊形.
12.【2023.吉林長春】如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點B與點E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點的對應點為點，折痕為AF，則的大小為__________度.
13.【2023.江蘇連云港】如圖，以正六邊形ABCDEF的頂點C為旋轉中心，按順時針方向旋轉，使得新正六邊形的頂點落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉________°.
答案以及解析
【單元常考題型】
1.答案：C
解析：根據三角形任意兩邊的和大于第三邊，可知：
A、，不能夠組成三角形，故不符合題意；
B、，不能組成三角形，故不符合題意；
C、，能組成三角形，故符合題意；
D、，不能組成三角形，故不符合題意；
故選C.
2.答案：B
解析：當長是3cm的邊是底邊時，三邊為3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
當長是3cm的邊是腰時，底邊長是：，而，不滿足三角形的三邊關系；
故底邊長是：3cm.故選B.
3.答案：.
解析：的三邊長分別是a、b、c，
，，，
.
4.答案：(1)AB；DC
(2)
解析：(1)略
(2)邊DE上的高為AB，邊AE上的高為DC，
.
，，，
，.
5.答案：12
解析：CE是的中線，
.
AD是的中線，
.
故答案為：12.
6.答案：4cm
解析：設這個等腰三角形的腰長為2xcm，底邊長為ycm，
依題意得：或，
解得：或，
①當時，三邊長為16cm，16cm，4cm.符合三角形三邊關系；
②當時，三邊長為8cm，8cm，20cm.因為，故不符合三角形三邊關系，應舍去.
答：等腰三角形的底邊長為4cm.
7.答案：（1）84°
（2）見解析
解析：（1），，
.
CE平分，
，
，
即.
（2）證明：CE平分，
.
，
.
，
，
.
8.答案：D
解析：在中，，，
，
點D在BC邊上，為直角三角形，
如圖1，
當時，則，
如圖2，
圖2
當時，則.
綜上所述，的度數是或.
故選：D.
9.（1）答案：
解析：，，
.
平分，
.
P與E重合，
點D在AB邊上，，
，
.
（2）答案：或
解析：①如圖(1)，當點P在線段BE上時，
由題意知，，
.
又，
，
.
②如圖(2)，當點P在線段CE上時，
延長AD交BC于點F，
易知.
，
，
.
10.答案：A
解析：如圖，
是的外角，，
是的外角，，
，
.
故選A.
11.答案：D
解析：正多邊形的一個內角是135°，
該正多邊形的一個外角為45°，
多邊形的外角之和為360°，
邊數，
這個正多邊形的邊數是8.
故選D.
12.答案：C
解析:,
,
答:一個六邊形的每個內角的度數是.
故選C.
13.答案：B
解析：設該多邊形的邊數為n，，解得，這個多邊形共有條對角線.故選B.
14.答案：D
解析：設新多邊形的邊數為n，則，解得.多邊形截去一個角后，邊數可以增加1、不變或減少1，原來多邊形的邊數可能是10或11或12.故選D.
【單元對接中考】
1.答案：C
解析：根據三角形三邊關系：兩邊之差<第三邊<兩邊之和，可知選C.
2.答案：C
3.答案：C
解析：由平行線的性質知.又，.
4.答案：B
解析：由三角形三邊之間的大小關系可知，，，故選B.
5.答案：C
解析：如圖，過點O作，則.又，.又，.故選C.
6.答案：C
解析：，.，.
7.答案：A
8.答案：三角形具有穩定性
9.答案：6
解析：因為這個多邊形的每一個外角都是，所以這個多邊形是一個正多邊形.設該正多邊形的邊數為n，根據多邊形的外角和為，可知，所以.
10.答案：36°
解析：正五邊形的內角和為，，.
11.答案：五
解析：設這個多邊形有n條邊，由題意得，，解得.
12.答案：45
解析：正五邊形的每個內角為，，，.
13.答案：60
解析：正六邊形的每一個外角的度數為，要使點落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉.
2

展開更多......

收起↑