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三輪復習2008年新題型詳解
1、（Ⅰ）已知函數：求函數的最小值;
（Ⅱ）證明:；
（Ⅲ）定理:若 均為正數,則有 成立
(其中．請你構造一個函數，證明：
當均為正數時，．
解：（Ⅰ）令得…2分
當時，　 　故在上遞減．
當故在上遞增．所以，當時，的最小值為.….4分
（Ⅱ）由，有　即
故　．………………………………………5分
（Ⅲ）證明:要證：
只要證：
設…………………7分
則
令得…………………………………………………….8分
當時，
故上遞減，類似地可證遞增
所以的最小值為………………10分
而
=
==
由定理知: 故
故
即: .…………………………..14分
2、用類比推理的方法填表
等差數列中
等比數列中
答案：
3、10．定義一種運算“*”：對于自然數n滿足以下運算性質：
（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，則n*1等于
A．n B．n+1 C．n -1 D． 答案：D
4、若為的各位數字之和，如：，，則;記____
答案：5
5、下面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側面與底面。
（1）請畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側棱垂直于底面？如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由；
（2）若SA面ABCD，E為AB中點，求二面角E-SC-D的大小；
（3）求點D到面SEC的距離。
（1）存在一條側棱垂直于底面（如圖）………………3分
證明：且AB、AD是面ABCD內的交線SA底面ABCD……………………5分
（2）分別取SC、SD的中點G、F，連GE、GF、FA，
則GF//EA,GF=EA,AF//EG
而由SA面ABCD得SACD，
又ADCD，CD面SAD，
又SA=AD,F是中點，
面SCD,EG面SCD,面SCD
所以二面角E-SC-D的大小為90…………10分
(3)作DHSC于H，
面SEC面SCD,DH面SEC,
DH之長即為點D到面SEC的距離，12分
在RtSCD中，
答：點D到面SEC的距離為………………………14分
6、一個計算裝置有一個入口A和一輸出運算結果的出口B，將自然數列中的各數依次輸入A口，從B口得到輸出的數列，結果表明：①從A口輸入時，從B口得；②當時，從A口輸入，從B口得到的結果是將前一結果先乘以自然數列中的第個奇數，再除以自然數列中的第個奇數。試問：
從A口輸入2和3時，從B口分別得到什么數？
從A口輸入100時，從B口得到什么數？并說明理由。
解（1）
（2）先用累乖法得
得
7、在△ABC中，，給出△ABC滿足的條件，就能得到動點A的軌跡方程，下表給出了一些條件及方程：
條件
方程
①△ABC周長為10
：
②△ABC面積為10
：
③△ABC中，∠A=90°
：
則滿足條件①、②、③的軌跡方程分別為 （用代號、、填入）
答案：
8、已知兩個函數和的定義域和值域都是集合{1,2,3},其定義如下表.
x
1
2
3
f（x）
2
3
1
x
1
2
3
g（x）
1
3
2
填寫下列的表格,其三個數依次為
x
1
2
3
g (f（x）)

A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1
答案：D
9、在實數的原有運算法則中，我們補充定義新運算“”如下：
當時，；
當時，。
則函數的最大值等于（ C ）
（“·”和“－”仍為通常的乘法和減法）A. B. 1 C. 6 D. 12
10、已知，［x］表示不大于x的最大整數，如，，，則_____________；使成立的x的取值范圍是_____________ 答案：2
11、為研究“原函數圖象與其反函數圖象的交點是否在直線上”這個課題，我們可以分三步進行研究：
（I）首先選取如下函數：
，，
求出以上函數圖象與其反函數圖象的交點坐標：
與其反函數的交點坐標為（－1，－1）
與其反函數的交點坐標為（0，0），（1，1）
與其反函數的交點坐標為（），（－1，0），（0，－1）
（II）觀察分析上述結果得到研究結論；
（III）對得到的結論進行證明。
現在，請你完成（II）和（III）。
解：（II）原函數圖象與其反函數圖象的交點不一定在直線y＝x上 2分
（III）證明：設點（a，b）是的圖象與其反函數圖象的任一交點，由于原函數與反函數圖象關于直線y＝x對稱，則點（b，a）也是的圖象與其反函數圖象的交點，且有

若a＝b時，交點顯然在直線上
若a 若a 綜上所述，如果函數是增函數，并且的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點一定在直線上；
如果函數是減函數，并且的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點不一定在直線y＝x上。 14分
12、設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②
函數的導數滿足.”
（I）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；
（II）集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意
[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，
試用這一性質證明：方程只有一個實數根；
（III）設是方程的實數根，求證：對于定義域中任意的.
解：（1）因為，…………2分
所以滿足條件………………3分
又因為當時，，所以方程有實數根0.
所以函數是集合M中的元素.…………4分
（2）假設方程存在兩個實數根），
則，………5分 不妨設，根據題意存在數
使得等式成立，……………………7分
因為，所以，
與已知矛盾，所以方程只有一個實數根；…………9分
（3）不妨設，因為所以為增函數，所以，
又因為，所以函數為減函數，………………10分
所以，…………11分
所以，即…………12分
所以
…………………………13分
13、在算式“2×□+1×□=30”的兩個口中，分別填入兩個自然數，使它們的倒數之和最小，則這兩個數應分別為 和 . 答案：9，12.
14、如圖為一幾何體的的展開圖，其中ABCD是邊長
為6的正方形，SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，點S,
D,A,Q及P,D,C,R共線，沿圖中虛線將它們折疊起來，
使P，Q，R，S四點重合，則需要 個這樣的
幾何體，可以拼成一個棱長為6的正方體。 答案：3
15、用水清洗一堆蔬菜上殘留的農藥的效果假定如下：用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農藥量與這次清洗前殘留的農藥量之比為．
（Ⅰ）試解釋的實際意義；
（Ⅱ）現有a（a＞0）單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次．哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農藥比較少？請說明理由．
答案：解：（I）f（0）=1．表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農藥量沒有變化．……………2＇
（Ⅱ）設清洗前蔬菜上的農藥量為1，那么用a單位量的水清洗1次后．殘留的農藥量為 W1=1×f（a）=；……………………………………………………………………4＇
又如果用單位量的水清洗1次，殘留的農藥量為1×f（）=，
此后再用單位量的水清洗1次后，殘留的農藥量為
W2=·f（）=[]2=．……………………………8＇
由于W1－W2=－=，………………………9＇
故當a>2時，W1>W2，此時，把a單位量的水平均分成2份后，清洗兩次，殘留的農藥量較少；當a=2時，W1=W2，此時，兩種清洗方式效果相同；當a<2時，W116、直角坐標系中橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為格點，如果函數f(x)的圖象恰好通過k(k∈N*)個格點，則稱函數f(x)為k階格點函數。下列函數：
f(x)=sinx； ②f(x)=π(x－1)2+3； ③ ④，
其中是一階格點函數的有 . 答案：①②④
17、一水池有2個進水口,1個出水口,一個口進出水速度如圖甲、乙所示.某天0點到6點,
該水池的蓄水量如圖丙所示(至少打開一個水口),給出以下3個論斷：
進水量 出水量 蓄水量
甲 乙 丙
（1）0點到3點只進水不出水；（2）3點到4點不進水只出水；（3）4點到6點不進水不
出水。則一定不確定的論斷是 (把你認為是符合題意的論斷序號都填上)。
答案：（2）（3）
18、已知等比數列{an}的前n項和為Sn.
(Ⅰ)若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數列，證明am，am＋2，am＋1成等差數列；
(Ⅱ)寫出(Ⅰ)的逆命題，判斷它的真偽，并給出證明.
證 (Ⅰ) ∵Sm＋1＝Sm＋am＋1，Sm＋2＝Sm＋am＋1＋am＋2．
由已知2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，∴ 2(Sm＋am＋1＋am＋2)＝Sm＋(Sm＋am＋1)，
∴am＋2＝－am＋1，即數列{an}的公比q＝－.
∴am＋1＝－am，am＋2＝am，∴2am＋2＝am＋am＋1，∴am，am＋2，am＋1成等差數列.
(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命題是：若am，am＋2，am＋1成等差數列，則Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數列.
設數列{an}的公比為q，∵am＋1＝amq，am＋2＝amq2．
由題設，2am＋2＝am＋am＋1，即2amq2＝am＋amq，即2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－.
當q＝1時，A≠0，∴Sm， Sm＋2， Sm＋1不成等差數列.
逆命題為假.
19、2005年底，某地區經濟調查隊對本地區居民收入情況進行抽樣調查，抽取1000戶，按
本地區確定的標準，情況如右表：
本地區在“十一五”規劃中明確
提出要縮小貧富差距，到2010年
要實現一個美好的愿景，由右邊圓圖顯示，則中等收入家庭的數
量在原有的基礎要增加的百分比和低收入家庭的數量在原有的基
礎要降低的百分比分別為 ( B )
A．25% , 27.5% B．62.5% , 57.9% C．25% , 57.9% D．62.5%,42.1%
20、一個三位數abc稱為“凹數”，如果該三位數同時滿足a＞b且b＜c，那么所有不同的三位“凹數”的個數是_____________________．
答案：三位“凹數”可分兩類：一類是aba，共有＝45，另一類是abc，a≠c，共有2＝240，故共有45+240＝285個
21、定義運算 ，若復數，，則 。答案：-4
22、從裝有個球（其中個白球，1個黑球）的口袋中取出個球,共有種取法。在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的個球全部為白球，共有，即有等式：成立。試根據上述思想化簡下列式子： 。。
答案： 根據題中的信息，可以把左邊的式子歸納為從個球（n個白球，k個黑球）中取出m個球，可分為：沒有黑球，一個黑球，……，k個黑球等類，故有種取法。
23、定義運算x※y=，若|m－1|※m=|m－1|，則m的取值范圍是
24、在公差為的等差數列中，若是的前項和，則數列也成等差數列，且公差為，類比上述結論，相應地在公比為的等比數列中，若是數列的前項積，則有＝ 。
25、考察下列一組不等式： 將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為

26、對任意實數，定義運算，其中為常數，等號右邊的運算是通常意義的加、乘運算。現已知，且有一個非零實數，使得對任意實數，都有，則 。
27、對于任意實數，符號[]表示的整數部分，即[]是不超過的最大整數”。在實數軸R（箭頭向右）上[]是在點左側的第一個整數點，當是整數時[]就是。這個函數[]叫做“取整函數”，它在數學本身和生產實踐中有廣泛的應用。那么=___________________8204
28、我國男足運動員轉會至海外俱樂部常會成為體育媒體關注的熱點新聞。05年8月，在上海申花俱樂部隊員杜威確認轉會至蘇超凱爾特人俱樂部之前，各種媒體就兩俱樂部對于杜威的轉會費協商過程紛紛“爆料”：
媒體A：“……, 凱爾特人俱樂部出價已從80萬英鎊提高到了120萬歐元。”
媒體B：“……, 凱爾特人俱樂部出價從120萬歐元提高到了100萬美元，同
時增加了不少附加條件。”
媒體C：“……, 凱爾特人俱樂部出價從130萬美元提高到了120萬歐元。”
請根據表中提供的匯率信息（由于短時間內國際貨幣的匯率變化不大，我們假定比值為定值），我們可以發現只有媒體 （填入媒體的字母編號）的報道真實性強一些。
29、已知二次函數同時滿足：①不等式的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在，使得不等式成立。
設數列的前項和，
（1）求數列的通項公式；
（2）試構造一個數列，（寫出的一個通項公式）滿足：對任意的正整數都有，且，并說明理由；
（3）設各項均不為零的數列中，所有滿足的正整數的個數稱為這個數列的變號數。令（為正整數），求數列的變號數。
解：（1）∵的解集有且只有一個元素，∴，
當時，函數在上遞增，故不存在，使得不等式成立。
當時，函數在上遞減，故存在，使得不等式成立。
綜上，得，，∴，
∴
（2）要使，可構造數列，∵對任意的正整數都有，
∴當時，恒成立，即恒成立，即，
又，∴，∴，等等。
（3）解法一：由題設，
∵時，，∴時，數列遞增，
∵，由，可知，即時，有且只有個變號數；
又∵，即，∴此處變號數有個。
綜上得 數列共有個變號數，即變號數為。
解法二：由題設，
時，令；
又∵，∴時也有。
綜上得 數列共有個變號數，即變號數為。
30、在R上定義運算△：x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是 。
31、已知之間滿足
（1）方程表示的曲線經過一點，求b的值
（2）動點(x,y)在曲線(b>0)上變化，求x2?2y的最大值；
（3）由能否確定一個函數關系式，如能，求解析式；如不能，再加什么條件就可使之間建立函數關系，并求出解析式。
解：（1） （4分）
（2）根據得 （5分）
（7分）
（10分）
（2）不能 （11分）
如再加條件就可使之間建立函數關系 （12分）
解析式 （14分）
（不唯一，也可其它答案）
32、用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板。隨著鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力會越來越大，使得每次釘入木板的釘子長度后一次為前一次的。已知一個鐵釘受擊次后全部進入木板，且第一次受擊后進入木板部分的鐵釘長度是釘長的，請從這個實事中提煉出一個不等式組是 。
33、已知，記，（其中），例如：
。設，且滿足，則有序數組
是 。
34、（12′=9′+3′）（理）設表示冪函數在上是增函數的的集合；表示不等式 對任意恒成立的的集合。（1）求；（2）試寫出一個解集為的不等式。
（文）設表示冪函數在上是增函數的的集合；表示不等式對任意恒成立的的集合。（1）求；（2）試寫出一個解集為的不等式。
解：（理）（1）∵冪函數在上是增函數，∴，即，
又不等式對任意恒成立，∴，即，
∴ 。
（2）一個解集為的不等式可以是 。
（文）（1）∵冪函數在上是增函數，∴，即，
又不等式對任意恒成立，∴，即，
∴ 。
（2）一個解集為的不等式可以是 。
35、（理）已知為正常數。
（1）可以證明：定理“若、，則（當且僅當時取等號）”推廣到三個正數時結論是正確的，試寫出推廣后的結論（無需證明）；
（2）若在上恒成立，且函數的最大值大于，求實數的取值范圍，并由此猜測的單調性（無需證明）；
（3）對滿足（2）的條件的一個常數，設時，取得最大值。試構造一個定義在上的函數，使當時，，當時，取得最大值的自變量的值構成以為首項的等差數列。
解：（1）若、、，則（當且僅當時取等號）。
（2）在上恒成立，即在上恒成立，
∵，∴，即，
又∵
∴，即時，
，
又∵，∴。 綜上，得 。
易知，是奇函數，∵時，函數有最大值，∴時，函數有最小值。
故猜測：時，單調遞減；時，單調遞增。
（3）依題意，只需構造以為周期的周期函數即可。
如對，，此時，
即 。
（文）已知函數，，
（Ⅰ）當時，若在上單調遞增，求的取值范圍；
（Ⅱ）求滿足下列條件的所有實數對：當是整數時，存在，使得是的最大值，是的最小值；
（Ⅲ）對滿足（Ⅱ）的條件的一個實數對，試構造一個定義在，且上的函數，使當時，，當時，取得最大值的自變量的值構成以為首項的等差數列。
解：（Ⅰ）當時，，
若，，則在上單調遞減，不符題意。
故，要使在上單調遞增，必須滿足 ，∴ 。
（Ⅱ）若，，則無最大值，故，∴為二次函數，
要使有最大值，必須滿足，即且，
此時，時，有最大值。
又取最小值時，，依題意，有，則，
∵且，∴，得，此時或。
∴滿足條件的實數對是。
（Ⅲ）當實數對是時，
依題意，只需構造以2（或2的正整數倍）為周期的周期函數即可。
如對，，
此時，，
故。
36、有窮數列{an}，Sn為其前n項和，定義為數列{an}的“凱森和”，
如果有99項的數列a1、a2、a3、…、a99的“凱森和”為1000，則有100項的數列
1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凱森和”= 991 。
37、先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：
已知，，求證，
證明：構造函數

因為對一切x(R，恒有≥0，所以≤0,
從而得，
（1）若，，請寫出上述結論的推廣式；
（2）參考上述解法，對你推廣的結論加以證明。
解：（1）若，，
求證： (4()
（2）證明：構造函數 (6()
(9()
(11()
因為對一切x(R，都有≥0，所以△=≤0,
從而證得：. (14()
38、已知兩個向量， .
（1）若t=1且，求實數x的值；
（2）對t(R寫出函數具備的性質.
解：（1）由已知得 ……2分
……4分
解得，或 ……6分
（2） ……8分
具備的性質：
①偶函數；
②當即時，取得最小值（寫出值域為也可）；
③單調性：在上遞減，上遞增；由對稱性，在上遞增，在遞減 ……14分
說明：寫出一個性質得3分，寫出兩個性質得5分，寫出三個性質得6分，包括寫出函數的零點（，）等皆可。寫出函數的定義域不得分，寫錯扣1分
39、對于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一個非空子集，定義一個“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數開始交替地減、加后繼的數。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和為5。當集合N中的n=2時，集合N={1, 2}的所有非空子集為{1}，{2}，{1, 2}，則它的“交替和”的總和S2=1+2+(2–1)=4，請你嘗試對n=3、n=4的情況，計算它的“交替和”的總和S3、S4，并根據其結果猜測集合N={1, 2, 3,…, n}的每一個非空子集的“交替和”的總和Sn= n .2n–1 。(不必給出證明)
40、若AB是過二次曲線中心的任一條弦，M是二次曲線上異于A、B的任一點，且AM、BM均與坐標軸不平行，則對于橢圓有。類似地，對于雙曲線有= 。
41、已知
（1）, 求的最小值
（2）P、Q關于點（1，2）對稱，若點P在曲線C上移動時，點Q的軌跡是函數的圖象，求曲線C的軌跡方程。
（3）在中學數學中，從特殊到一般，從具體到抽象是常見的一種思維形式。如從可抽象出的性質，試分別寫出一個具體的函數，抽象出下列相應的性質
由 可抽象出
由 可抽象出
(1) …………3’
等號當x=2時成立， …………………………4’
(2)設P(x,y)則Q(2-x,4-y)………………………………………………5’
由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x)………………………………８’
(3) h(x)=_______y=2x等_______, ９’ φ(x)=____y=lgx等__11’
42、已知函數的最大值為正實數，集合
，集合。
（1）求和；
（2）定義與的差集：且。
設，，均為整數，且。為取自的概率，為取自的概率，寫出與的二組值，使，。
（3）若函數中，， 是（2）中較大的一組，試寫出在區間[,n]上的最大值函數的表達式。
答案：（1）∵，配方得，由得最大值。……………………………………………………………3分
∴，。…………………………6分
（2）要使，。可以使①中有3個元素，中有2個元素， 中有1個元素。則。…………………………………………………9分
②中有6個元素，中有4個元素， 中有2個元素。則…………………………………………………………………………12分
（3）由（2）知…………………………13分
………………………………………………18分
43、在數學拓展課上，老師規定了一種運算:a*b= ,例如：1*2=1，3*2=2，則函數的值域為。
44、已知點列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）
順次為一次函數圖象上的點，
點列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）
順次為x軸正半軸上的點，其中x1=a（0＜a＜1），
對于任意n∈N，點An、Bn、An+1構成以
Bn為頂點的等腰三角形。
⑴求{yn}的通項公式，且證明{yn}是等差數列；
⑵試判斷xn+2-xn是否為同一常數（不必證明），并求出數列{xn}的通項公式；
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在， 請說明理由。
解：（1）(n(N),yn+1-yn=,∴{yn}為等差數列 (4()
（2）xn+1-xn=2為常數 (6() ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…，x2n都是公差為2的等差數列，
∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，
∴xn= (10()
（3）要使AnBnAn+1為直角三形，則 |AnAn+1|=2=2()(xn+1-xn=2()
當n為奇數時，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
(2(1-a)=2() (a=(n為奇數，0＜a＜1) (*)
取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則(*)無解； (14()
當偶數時，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()(a=(n為偶數，0＜a＜1) (*()，取n=2，得a=,
若n≥4，則(*()無解.
綜上可知，存在直角三形，此時a的值為、、. (18()
45、⑴證明：當a＞1時，不等式成立。
⑵要使上述不等式成立，能否將條件“a＞1”適當放寬？若能，請放寬條件并簡述理由；若不能，也請說明理由。
⑶請你根據⑴、⑵的證明，試寫出一個類似的更為一般的結論，且給予證明。
解：（1）證：,∵a＞1，∴＞0，
∴原不等式成立 (6()
（2）∵a-1與a5-1同號對任何a＞0且a(1恒成立，∴上述不等式的條件可放寬
為a＞0且a(1 (9()
（3）根據（1）（2）的證明，可推知：若a＞0且a(1，m＞n＞0，則有(12()
證：左式-右式= (14()
若a＞1，則由m＞n＞0(am-n＞0,am+n＞0(不等式成立；
若0＜a＜1，則由m＞n＞0(0＜am-n＜1, 0＜am+n＜1(不等式成立.(16()
46、為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統，其加密、解密原理如下圖：

明文 密文 密文 明文，
現在加密密鑰為y=loga(x+2)，如下所示：明文“6”通過加密后得到密文“3”，
再發送，接受方通過解密密鑰解密得明文“6”，問“接受方接到密文”4“，則解密
后得到明文為 14 。
47、規定a△b=，a, b，若1△k=3，則函數f(x)=k△x的值域為 (1,+( )
48、同學們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級的平均分將降低；
反之，如果按順序去掉一些低分，那么班級的平均分將提高. 這兩個事實可以用數學語
言描述為：若有限數列 滿足，則
（結論用數學式子表示）.
和
49、已知數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列；是公差為的等差數列；是公差為的等差數列（）.
（1）若，求；
（2）試寫出關于的關系式，并求的取值范圍；
（3）續寫已知數列，使得是公差為的等差數列，……，依次類推，把已知數列推廣為無窮數列. 提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？
[解]（1）. …… 4分
（2）， …… 8分
，
當時，. …… 12分
（3）所給數列可推廣為無窮數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列，當時，數列是公差為的等差數列. …… 14分
研究的問題可以是：試寫出關于的關系式，并求的取值范圍.…… 16分
研究的結論可以是：由，
依次類推可得
當時，的取值范圍為等. …… 18分
50、定義一種運算“*”，對于，滿足以下運算性質：
① ；② 。則的數值為_____3004_____。
51、已知命題：平面上一矩形的對角線與邊和
所成角分別為，則。若把它推廣到空
間長方體中，試寫出相應的命題形式：____________________
_____________________________________________________。
長方體中，對角線與棱所成的角分別為，則，。或是：長方體中，對角線與平面所成的角分別為，則，。或是：長方體中，對角面與平面所成的二面角分別為，則。
52、如果一個數列的各項都是實數，且從第二項開始，每一項與它前一項的平方差是相同的常數，則稱該數列為等方差數列，這個常數叫這個數列的公方差．(1)設數列是公方差為的等方差數列，求和的關系式；(2)若數列既是等方差數列，又是等差數列，證明該數列為常數列；(3) 設數列是首項為，公方差為的等方差數列，若將這種順
序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個數．
(1)解：由等方差數列的定義可知：………………5分
(2)證法一：∵是等差數列，設公差為，則又是等方差數列，∴………………………………7分∴ 即， …………………………………10分∴，即是常數列．…………………………………………………11分證法二：∵是等差數列，設公差為，則……又是等方差數列，設公方差為，則………………7分代入得，…… 同理有，……兩式相減得：即，…………………………………10分∴，即是常數列．………………………………………………11分
證法三：（接證法二、）
由、得出：若，則是常數列 …………………8分
若， 則 是常數, ∴，矛盾…………10分
∴ 是常數列． …………………11分(3)依題意， ，
， ∴，或， ……………………………13分 即該密碼的第一個數確定的方法數是，其余每個數都有“正”或“負”兩種
確定方法，當每個數確定下來時，密碼就確定了，即確定密碼的方法數是種，故，這種密碼共種．…………………………………………………16分
53、已知函數，當點在的圖像上移動時，
點在函數的圖像上移動．
（1） 若點P坐標為（），點Q也在的圖像上，求的值；
（2） 求函數的解析式；
（3） 當時，試探求一個函數使得在限定定義域為
時有最小值而沒有最大值．
解：（1）當點坐標為（），點的坐標為，…………2分∵點也在的圖像上，∴，即．……5分
（根據函數的單調性求得，請相應給分）（2）設在的圖像上則，即 ……………………………………8分而在的圖像上，∴代入得，為所求．…………………………………11分
（3）；或 等． …………………15分如：當時，
∵在單調遞減， ∴ 故 ，即有最小值，但沒有最大值．………………………18分
（其他答案請相應給分）
（參考思路）在探求時，要考慮以下因素：①在上必須有意義（否則不能參加與的和運算）；②由于和都是以為底的對數，所以構造的函數可以是以為底的對數，這樣與和進行的運算轉化為真數的乘積運算；③以為底的對數是減函數，只有當真數取到最大值時，對數值才能取到最小值；④為方便起見，可以考慮通過乘積消去；⑤乘積的結果可以是的二次函數，該二次函數的圖像的對稱軸應在直線的左側（否則真數會有最小值，對數就有最大值了），考慮到該二次函數的圖像與軸已有了一個公共點，故對稱軸又應該是軸或在軸的右側（否則該二次函數的值在上的值不能恒為正數），即若拋物線與軸的另一個公共點是，則，且拋物線開口向下．
54、如圖，一個計算裝置有兩個數據輸入口Ⅰ、Ⅱ與一個運算結果輸出口Ⅲ，當Ⅰ、Ⅱ分別輸入正整數時，輸出結果記為，且計算裝置運算原理如下：
若Ⅰ、Ⅱ分別輸入1，則；②若Ⅰ輸入固定的正整數，
Ⅱ輸入的正整數增大1，則輸出結果比原來增大3；③若Ⅱ輸入1，
Ⅰ輸入正整數增大1，則輸出結果為原來3倍。
試求：
（1）的表達式；（2）的表達式；
（3）若Ⅰ、Ⅱ都輸入正整數，則輸出結果能否為2005？
若能，求出相應的；若不能，則請說明理由。
解：（1）
（2）
（3） ，∵，
∴輸出結果不可能為。
55、對數列，規定為數列的一階差分數列，其中。
對自然數，規定為的階差分數列，其中。
（1）已知數列的通項公式，試判斷，是否為等差或等比數列，為什么？
（2）若數列首項，且滿足，求數列的通項公式。
（3）對（2）中數列，是否存在等差數列，使得對一切自然都成立？若存在，求數列的通項公式；若不存在，則請說明理由。
解：（1），∴是首項為4，公差為2的等差數列。

∴是首項為2，公差為0的等差數列；也是首項為2，公比為1的等比數列。
（2），即，即，∴
∵，∴，，，猜想：
證明：ⅰ）當時，；
ⅱ）假設時，
時， 結論也成立
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，
（3），即
∵
∴存在等差數列，，使得對一切自然都成立。
56、對于在區間[m，n]上有意義的兩個函數f (x)與g (x)，如果對任意x∈[m，n]均有| f (x) – g (x) |≤1，則稱f (x)與g (x)在[m，n]上是接近的，否則稱f (x)與g (x)在[m，n]上是非接近的，現有兩個函數f 1(x) = loga(x – 3a)與f 2 (x) = loga(a > 0，a≠1)，給定區間[a + 2，a + 3]．
（1）若f 1(x)與f 2 (x)在給定區間[a + 2，a + 3]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論f 1(x)與f 2 (x)在給定區間[a + 2，a + 3]上是否是接近的？
解：（1）要使f 1 (x)與f 2 (x)有意義，則有

要使f 1 (x)與f 2 (x)在給定區間[a + 2，a + 3]上有意義，
等價于真數的最小值大于0
即
（2）f 1 (x)與f 2 (x)在給定區間[a + 2，a + 3]上是接近的
| f 1 (x) – f 2 (x)|≤1
≤1
|loga[(x – 3a)(x – a)]|≤1
a≤(x – 2a)2 – a2≤
對于任意x∈[a + 2，a + 3]恒成立
設h(x) = (x – 2a)2 – a2，x∈[a + 2，a + 3]
且其對稱軸x = 2a < 2在區間[a + 2，a + 3]的左邊
當時
f 1 (x)與f 2 (x)在給定區間[a + 2，a + 3]上是接近的
當< a < 1時，f 1 (x)與f 2 (x)在給定區間[a + 2，a + 3]上是非接近的．
57、已知是定義在－∞，＋∞上的函數，∈－∞，＋∞，請給出能使命題：“若＋1＞0，則＋＞＋”成立的一個充分條件：
．
已知是定義在－∞，＋∞上的函數，∈－∞，＋∞，請給出能使命題：“若＋1＞0，則＋＞＋”成立的一個充分條件：_______.
答案： 函數在－∞，＋∞上單調遞增（或＝＋（＞0）等） ．
58、歌德巴赫（Goldbach．C．德．1690—1764）曾研究過“所有形如（，為正整數）的分數之和”問題．為了便于表述，引入記號：
＝＋＋┅
＋＋┅
寫出你對此問題的研究結論： ＝1 （用數學符號表示）．
59、集合P＝1，3，5，7，9，┅，2－1，┅∈N，若∈P，∈P時，
∈P，則運算 可能是（ D ）
（A）加法； （B）除法； （C）減法； （D）乘法．
60、，，┅，，，，┅，分別表示實數，，┅，中的最小者和最大者．
（1）作出函數＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的圖像；
（2）在求函數＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的最小值時，有如下結論：
＝，＝4．請說明此結論成立的理由；
（3）仿照（2）中的結論，討論當，，┅，為實數時，
函數＝＋＋┅＋∈R，＜＜┅＜∈R的最值．
解：（1）圖略；
（2）當∈（－∞，－3）時，是減函數，
當∈－3，1）時，是減函數，
當∈1，＋∞）時，是增函數，
∴＝，＝4．
（3）當＋＋┅＋＜0時，＝，，┅，；
當＋＋┅＋＞0時，＝，，┅，；
當＋＋┅＋＝0時，＝，，
＝，．
61、在4×□＋9×□=60的兩個□中，分別填入兩自然數，使它們的倒數和最小，應分別填上 和 。
答案：設兩數為x、y，即4x＋9y=60，又= ≥，等于當且僅當，且4x＋9y=60，即x=6且y=4時成立，故應分別有6、4。
62、我們把平面內兩條相交但不垂直的數軸構成的坐標系（兩條數軸的原點重合且單位長度相同）稱為斜坐標系．平面上任意一點P的斜坐標定義為：若（其中、分別為斜坐標系的x軸、y軸正方向上的單位向量，x、y∈R），則點P的斜坐標為（x, y）.在平面斜坐標系xoy中，若，已知點M的斜坐標為 (1, 2)，則點M到原點O的距離為 .
63、定義運算符號：“”，這個符號表示若干個數相乘，例如：可將1×2×3×…×n記作，，其中ai為數列中的第i項.
①若，則T4= ；105；
②若 .
64、如圖2,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分別為棱AB、BC、DD1的中點.
（1）求二面角B1-MN-B的正切值；
（2）證明：PB⊥平面B1MN；
（3）畫出該正方體表面展開圖，使其滿足“有4個正方形連成一個長方形”的條件.
符合條件的正方體表面展開圖可以是以下6種情況之一.
答案：
65、為了了解“預防禽流感疫苗”的使用情況，溫州市衛生部門對本地區9月份至11月份使用疫苗的所有養雞場進行了調查，根據下列圖表提供的信息，可以得出這三個月本地區每月注射了疫苗的雞的數量平均為 90 萬只．
66、將側棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，三棱錐的側面和底面分別叫為直角三棱錐的“直角面和斜面”；過三棱錐頂點及斜面任兩邊中點的截面均稱為斜面的“中面”.請仿照直角三角形以下性質：
（1）斜邊的中線長等于斜邊邊長的一半；
（2）兩條直角邊邊長的平方和等于斜邊邊長的平方；
（3）斜邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1.
寫出直角三棱錐相應性質（至少一條）： .
答案：(1) 斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一；
（2）三個直角面面積的平方和等于斜面面積的平方；
（3）斜面與三個直角面所成二面角的余弦平方和等于1.
67、定義：若存在常數，使得對定義域內的任意兩個，均有成立，則稱函數在定義域上滿足利普希茨條件。若函數滿足利普希茨條件，則常數的最小值為 。
68、已知函數y=f(x)滿足f(a-tanθ)=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均為常數）
（1）求函數y=f(x)的解析式；
（2）利用函數y=f(x)構造一個數列{xn}，方法如下：
對于給定的定義域中的x1，令x2= f(x1)，x3= f(x2)，…，xn= f(xn-1)，…
在上述構造過程中，如果xi(i=1,2,3,…)在定義域中，構造數列的過程繼續下去；如果xi不在定義域中，則構造數列的過程停止.
如果可以用上述方法構造出一個常數列{xn}，求a的取值范圍；
如果取定義域中的任一值作為x1，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{xn}，求a實數的值.
解：（1）令 則
①×②，并整理，得 y=，
∴y=f(x) =， （x≠a）. ………………………………4分
（2）①根據題意，只需當x≠a時，方程f(x) =x有解，
亦即方程 x2+(1-a)x+1-a=0 有不等于的解.
將x=a代入方程左邊，得左邊為1，故方程不可能有解x=a.
由 △=(1-a)2-4(1-a)≥0，得 a≤-3或a≥1，
即實數a的取值范圍是. …………………………9分
②根據題意，=a在R中無解，
亦即當x≠a時，方程(1+a)x=a2+a-1無實數解.
由于x=a不是方程(1+a)x=a2+a-1的解，
所以對于任意x∈R，方程(1+a)x=a2+a-1無實數解，
∴ a= -1即為所求a的值. ……………………………………14分
69、已知x>0，由不等式≥2·=2，=≥=3,
…，啟發我們可以得出推廣結論：≥n+1 (n∈N*)，則a=_________ nn ______．
70、已知存在實數（其中）使得函數是奇函數，且在上是增函數。
（1）試用觀察法猜出兩組與的值，并驗證其符合題意；
（2）求出所有符合題意的與的值。
解：（1）猜想：或；--------------------------------4分
由知，而為奇函數且在上是增函數。-------------------------------------------------------------------------6分
由知，而為奇函數且在上是增函數。-------------------------------------------------------------------------------------------8分
（2）由為奇函數，有
所以，又，
解得。-----------------------------------------------------------------------------10分
當時，為奇函數，由于在上是增函數，所以，由，又在上是增函數，故有，且或，故。----------------------------------------------------------------------------12分
當時，為奇函數，由于在上是增函數，所以，由，又在上是增函數，故有，且或2，故 ------------------------------------------------------------14分
所以所有符合題意的與的值為：
或--------------------------------------16分

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