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高考解析幾何中與斜率有關的綜合題
解析幾何中圓錐曲線部分是高中數學的重要內容，也是高考重點考查的知識點，其中以斜率問題為命題點、考查的解析幾何題成為高考題中的“亮點”，倍受命題者青睞。這類題涉及知識豐富、方法靈活、綜合性強，能有效地考查學生的推理運算能力、理性思維能力。
1。斜率是定值的證明題
例1：如圖，曲線的方程為．以原點為圓心．以為半徑的圓分別與曲線和軸的正半軸相交于點與點．直線與軸相交于點．
（Ⅰ）求點的橫坐標與點的橫坐標
的關系式；
（Ⅱ）設曲線上點的橫坐標為，
求證：直線的斜率為定值。
分析：對于（Ⅰ）只要直接求解即可，對于（Ⅱ）
需要通過（Ⅰ）求得用表示的點的坐標。直接
表示出直線的斜率，通過運算即可證明此
斜率為定值。
注：本題綜合考查平面解析幾何相關知識，主要涉及平面直角坐標系中的兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點與曲線方程的關系等，通過這些知識，只要表示出、兩點坐標，進而表示直線的斜率。在解題中重點考查運算能力、思維能力及綜合分析問題、解決問題的能力。
解：（Ⅰ）由題意知，．因為，所以．
由于，故有．　（1）
由點的坐標知， 直線的方程為．
又因點在直線上，故有，將（1）代入上式，得，
解得．
（Ⅱ）因為，所以直線的斜率為：
．
所以直線的斜率為定值．
2。斜率存在的探索題
例2：在平面直角坐標系中，經過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和．
（I）求的取值范圍；
（II）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．
分析：對于（Ⅱ）先假設存在滿足題意的，使得向量與共線，求出的值，然后判斷的值是否滿足（I）。
注：聯立直線與圓錐曲線方程，將曲線的交點轉化為方程的解，利用韋達定理，設而不求，整體思維，整體代換，避繁就簡，是解決圓錐曲線問題的通性、通法。
解：（Ⅰ）由已知條件，直線的方程為，代入橢圓方程得．
整理得　　　①
直線與橢圓有兩個不同的交點和等價于，
解得或．即的取值范圍為．
（Ⅱ）設，則，
由方程①，．　　　②
又．　　　　③
而．
所以與共線等價于，
將②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故沒有符合題意的常數．
3。分類討論斜率的研究題
例3：我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作工“果圓”，其中，，． 如圖，點，，是相應橢圓的焦點， ，和，分別是“果圓”與，軸的交點．
（1）若是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；
（2）當時，求的取值范圍；
（3）連接“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦．
試研究：是否存在實數，使斜率為的“果圓”平行弦的
中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，說明理由．
解：（1） ，
，
于是，所求“果圓”方程為，．
（2）由題意，得 ，即．
，，得．
又． ．
（3）設“果圓”的方程為，．記平行弦的斜率為．
當時，直線與半橢圓的交點是：
，與半橢圓的交點是．
的中點滿足 ， 得 ．
， ．
綜上所述，當時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上．
當時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點是．
由此，在直線右側，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．
當時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．
4。斜率范圍（最值）的綜合題
例4：設、分別是橢圓的左、右焦點.
（Ⅰ）若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值;
（Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且∠為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.
分析：對于（I）只要通過坐標轉化，借助橢圓方程化二元為一元，結合橢圓的有界性，即可求得。（Ⅱ）只要將直線與橢圓交于不同的兩點及∠為銳角都轉化為含的不等關系，就可以求得斜率的范圍。
注：本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力。解題中要求學生能夠數形結合、靈活轉化。
利用判別式、基本不等式、函數方法產生不等關系，從而求得相關參數的范圍，是常用的求范圍（最值）方法，要求在平時學習中練好這一基本功。
解：（Ⅰ）易知，所以，設，則
因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值
當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值
（Ⅱ）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，
聯立，消去，整理得：
∴
由得：或
又， ∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或

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