資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題6.5 角與角的度量+專題6.6 角的大小比較
模塊1：學習目標
1．掌握角的概念及角的表示方法；
2. 借助三角尺畫一些特殊角，掌握角的分類；
3．掌握角度制并能進行角度的互換；
4.借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法。
模塊2：知識梳理
1．角的概念及其表示
（1）角的定義：從一點引出的兩條射線所形成的圖形叫做角，這個點叫做角的頂點，這兩條射線是角的邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形.
(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數字表示.例如下圖：
注意：①角的兩種定義是從不同角度對角進行的定義；
②當一個角的頂點有多個角的時候，不能用頂點的一個大寫字母來表示。
角的度量：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.
度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角時要注意：（1）對中（頂點對中心）；（2）重合（一邊與刻度尺上的零度線重合）； （3）讀數（讀出另一邊所在線的刻度數）。
注意：①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.
②度分秒之間的轉化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉化)時用乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉化)時用除法逐級進行.
③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一成60.
3.角的分類
∠β 銳角 直角 鈍角 平角 周角
范圍 0＜∠β＜90° ∠β＝90° 90°<∠β<180° ∠β＝180° ∠β＝360°
4.角的比較方法
(1)度量法：如圖4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．
(2)疊合法：比較∠ABC與∠DEF的大小，先讓頂點B、E重合，再讓邊BA和邊ED重合，使另一邊EF和BC落在BA(DE)的同側．如果EF和BC也重合(如圖4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．記作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如圖4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，記作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的內部(如圖4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，記作∠DEF＜∠ABC. 提示：疊合法可歸納為“先重合，再比較”.
（3）估計法。
模塊3：核心考點與典例
考點1、角的概念理解
例1．（2023秋·浙江七年級課時練習）下列說法中，正確的是（ ）
A．兩條射線組成的圖形叫做角 B．有公共端點的兩條線段組成的圖形叫做角
C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形 D．角的邊越長，角越大
【答案】C
【分析】根據角的動態定義和角的靜態定義解答．
【詳解】解：A、有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項不符合題意；
B、有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項不符合題意；
C、角可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，故此選項符合題意；；
D、角度的大小與邊的長短無關，故此選項不符合題意．故選：C．
【點睛】此題考查了角的動態定義，解題關鍵是熟練掌握角的動態定義：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角．所旋轉射線的端點叫做角的頂點，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊．角的靜態定義：具有公共端點的兩條不重合的射線組成的圖形叫做角．這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊．
變式1．（2023·河北承德·七年級階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．平角就是一條直線 B．周角就是一條射線
C．平角的兩條邊在同一條直線上 D．周角的終邊與始邊重合，所以周角的度數是0°
【答案】C
【詳解】試題分析：A．平角和直線是兩個概念，平角的特點是兩條邊在同一條直線上，但不能說成平角就是一條直線，故錯誤；
B．周角的特點是兩條邊重合成射線，但不能說成周角是一條射線，因為角和線是兩個不同的概念，二者不能混淆，故錯誤；C．平角的兩條邊在同一條直線上，故正確；
D．周角的終邊與始邊重合，所以周角的度數是360°，故錯誤．故選C．
考點：角的概念．
變式2．（2023春·河北承德·七年級校考開學考試）下列說法中，正確的是（ ）
A．一個周角就是一條射線 B．平角是一條直線
C．角的兩邊越長，角就越大 D．也可以表示為
【答案】D
【分析】根據平角，周角的概念，角的大小及表示分別判斷即可．
【詳解】解：A、周角的兩邊在同一射線上，不是一條射線，故錯誤，不合題意；
B、平角的兩邊在同一直線上，平角有頂點，而直線沒有，故錯誤，不合題意；
C、角的大小和兩邊的長度沒有關系，故錯誤，不合題意；
D、也可以表示為，故正確，符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查平角，周角的概念，角的大小及表示，屬于幾何基礎知識，要熟練掌握，比較簡單．
變式3．（2023·浙江七年級課時練習）下列語句中不正確的個數是（ ）．
①由兩條射線組成的圖形叫做角；②角可以看作是一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置形成的圖形；③；④鈍角的一半是銳角．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據角的定義和性質，對各個選項逐個分析，即可得到答案．
【詳解】由兩條具有公共端點射線組成的圖形叫做角，故①錯誤；②正確；
4.5°＝4°＋0.5×60′＝4°30′，故③不正確；④正確；故選：B．
【點睛】本題考查了角的知識；解題的關鍵是熟練掌握角的定義和性質，從而完成求解．
考點2、角的表示方法
例2．（2023春·山東聊城·七年級統考期末）下列四個圖中，能用三種方法表示同一個角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據角的表示方法和圖形選出即可．
【詳解】解：A、圖中的不能用表示，故本選項錯誤；
B、圖中的和不是表示同一個角，故本選項錯誤；
C、圖中的和不是表示同一個角，故本選項錯誤；
D、圖中、、表示同一個角，故本選項正確；故選：D．
【點睛】本題考查了角的表示方法的應用，主要考查學生的理解能力和觀察圖形的能力．
變式1．（2023秋·浙江七年級課時練習）下列圖形中，能表示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據角的定義和角的表示方法解答即可．
【詳解】解：A．是兩條直線，不是角，本選項不符合題意；
B．表示或，本選項不符合題意；
C．表示，本選項符合題意；
D．表示或，本選項不符合題意，故答案為：C．
【點睛】本題考查了角的定義和角的表示方法，解題的關鍵是掌握角的概念．
變式2．（2023秋·浙江七年級課時練習）如圖，下列表示角的方法，錯誤的是（ ）

A．與表示同一個角 B．也可用來表示
C．圖中共有三個角：，， D．表示的是
【答案】B
【分析】直接利用角的概念以及角的表示方法，進而分別分析得出即可；
【詳解】解：A、和表示同一個角，故本選項不符合題意；
B、不可以用表示，故本選項符合題意；
C、圖是共有三個角：，，，故本選項不符合題意；
D、表示的是，故本選項不符合題意；故選：B．
【點睛】此題考查了角的表示方法，根據圖形特點將每個角用合適的方法表示出來是解題的關鍵．
考點3、角的分類
例3．（2023·江蘇·七年級專題練習）角可以分為 、 、 三類．
【答案】 鈍角 直角 銳角
【分析】根據角的分類解答即可．
【詳解】解：由題意可知：角可以分成鈍角，直角和銳角．故答案為：鈍角，直角，銳角
【點睛】本題考查角的分類，解題的關鍵是理解角的分類．
變式1.（2023·廣東七年級專題練習）下列四個角中，鈍角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據角的分類，即可求解．
【詳解】解：A、是平角，故本選項不符合題意；B、是銳角，故本選項不符合題意；
C、是直角，故本選項不符合題意；D、是鈍角，故本選項符合題意；故選：D
【點睛】本題主要考查了角的分類，熟練掌握銳角是大于0°小于90°的角；直角等于90°；鈍角是大于90°小于180°的角；平角等于180°是解題的關鍵．
變式2．（2023秋·浙江七年級課時練習）下列說法中，正確的有 個
①小于的角是銳角；②等于的角是直角；③大于的角是鈍角；
④平角等于；⑤周角等于．
【答案】3
【分析】根據銳角、直角、鈍角、平角以及周角的定義即可判斷．
【詳解】解：①小于的角也可能是，不一定是銳角，原說法錯誤；
②等于的角是直角，說法正確；③平角大于但不是鈍角，原說法錯誤；
④平角等于，說法正確；⑤周角等于，說法正確，故正確有3個，故答案為：3．
【點睛】本題主要考查了銳角、直角、鈍角、平角以及周角的定義，屬于基礎題，掌握相應的定義是解答本題的關鍵．實際解答時，要學會舉反例．
考點4、畫特殊角
例4．（2023春·浙江七年級課前預習）下列各度數的角，能借助一副三角尺畫出的是（　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【分析】一副三角板，度數有：、、、，根據度數組合，可以得到答案．
【詳解】解：利用一副三角板可以畫出的角，是和角的組合 故選：C．
【點睛】本題考查特殊角的畫法，審題清晰是解題關鍵.
變式1．（2023春·廣東七年級課時練習）用一副三角板不能畫出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
【答案】C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角畫；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角畫；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角畫；110°角用一副三角板不能畫出．
【詳解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角畫；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角畫；
110°角用一副三角板不能畫出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角畫。故選：C．
【點睛】本題考查了利用一副三角板畫出的特殊角，找出規律是解決此類題的最好方法，應讓學生記住凡是能用一副三角板畫出的角的度數都是15°的整數倍．
變式2．（2023·浙江七年級課時練習）借助一副三角尺畫出的角．
【答案】見解析
【分析】根據三角尺的度數，利用和差關系解答即可作出．
【詳解】解：如圖所示，45°-30°=15°，
45°+60°=105°，90°+30°=120°，90°+45°=135°．
【點睛】本題考查了復雜作圖，主要利用了角度的和差關系，根據三角尺的度數求出所求度數的和差關系是解題的關鍵．
考點5、角的單位與角度制
例5．（2023秋·廣東七年級課時練習） 度 分 秒， ．
【答案】 31 27 36
【分析】根據度、分、秒是60進制進行轉化即可．
【詳解】解：，，
所以，故答案為：31，27，36；
， 所以，故答案為：
【點睛】本題考查了度、分、秒的互化，掌握進制關系是解決本題的關鍵．
變式2．（2023秋·山東七年級課時練習）等于 '，等于 ''，等于 °
【答案】 24 75
【分析】根據進行換算即可得．
【詳解】解：，，，
故答案為：24，75，．
【點睛】本題考查了角的單位與角度制，熟練掌握角度制的換算關系是解題關鍵．
變式2．（2023秋·山東七年級課時練習）計算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）6；0.1（2）720；0.2（3）57；10；48（4）74.325
【分析】根據度分秒的進率進行計算即可．
【詳解】解：（1）∵，，∴，故答案為：6；0.1．
（2）∵，，∴，故答案為：720；0.2．
（3）∵，，∴，故答案為：57；10；48．
（4）∵，，
∴，故答案為：74.325．
【點睛】本題考查度分秒的互換，解題關鍵是熟練掌握，．
.考點6、角的度數大小比較
例6．（2023秋·浙江·七年級課堂例題）已知，則的大小關系為 ．
【答案】
【分析】根據度分秒的進制進行計算，即可解答．
【詳解】解：，，，，，
，，，故答案為：．
【點睛】本題考查了度分秒的換算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
變式1．（2023秋·江蘇·七年級課堂例題）比較與的大小時，把它們的頂點和邊重合，把和放在的同一側，如圖所示，則 ．
【答案】>
【分析】如果兩個角的頂點重合，且有一邊重合，兩角的另一邊均落在重合邊的同旁：如果這兩邊也重合，說明兩角相等；如果兩邊不重合，另一條邊在里面的小，在外面的大；由此方法直接填空即可．
【詳解】解：比較與的大小時，把它們的頂點和邊重合，把和放在的同一側，則，故答案為：>．
【點睛】此題考查利用重合的方法比較兩個角的大小，注意兩個重合：頂點和一邊；一個同側：兩個角的另一條邊在重合邊的同側．
變式2．（2022秋·北京西城·七年級校考階段練習）如圖，網格為正方形網格，則 ．

【答案】/大于
【分析】依據圖形即可得到，，進而得出兩個角的大小關系．
【詳解】解：由圖可知：，，．故答案為：．
【點睛】本題考查了角的比較，掌握比較角的大小方法是解答此題的關鍵．
考點7、角的計數問題
例7．（2023秋·浙江·七年級課堂例題）觀察圖，完成下列問題：

(1)如圖①，內部有一條射線，則圖中有 個角；
(2)如圖②，內部有兩條射線，，則圖中有___________個角；
(3)如果內部有10條射線，那么圖中有________________個角．
【答案】(1)3(2)6(3)66
【分析】（1）根據圖①直接數出即可；（2）根據圖②直接數出即可；（3）在圖②的基礎上看增加的角的個數即得畫3條射線時角的個數；依此規律可得在∠AOB內部畫n條射線時角的個數．
【詳解】（1）解：圖①中有，，共3個，故答案為：3．
（2）解：在內部畫2條射線，，則圖中有、、、、、，共個不同的角；故答案為：6．
（3）解：按逆時針方向，以射線為角的始邊，則題圖①中分別以射線為角的終邊共有兩個角：，；以射線為始邊，射線為終邊有一個角：，所以題圖①中角的個數是；同理，題圖②中角的個數是；
經過觀察，可以發現角內部射線的條數總比第一個加數小1，
∴當內部有10條射線時，角的個數是：．
【點睛】本題考查了射線、線段和角的基本知識以及規律探求問題，注重類比、找到解題的規律和方法是解答的關鍵．
變式1．（2023秋·湖北七年級課時練習）根據圖示，完成以下各題

(1)寫出圖中能用一個字母表示的角；(2)寫出圖中以為頂點小于平角的角；
(3)圖中小于平角的角共有幾個？請寫出來
【答案】(1)， (2)5個：，，，，
(3)10個：，，，，，，，，，
【分析】（1）根據角的表示方法解答；（2）根據角的定義解答；（3）根據角的定義解答．
【詳解】（1）能用一個字母表示的角有2個：，
（2）以為頂點小于平角的角有5個：，，，，；
（3）圖中小于平角的所有的角有10個：，，，，，，，，，．
【點睛】此題考查了角的定義及角的表示方法，正確掌握角的定義及表示方法是解題的關鍵．
變式2．（2022·成都市七年級期中）解答下列各題
（1）如圖，在中，以O為頂點引射線，填表：
內射線的條數 1 2 3 4
角的總個數 ______ ______ ______ ______
（2）若內射線的條數是n，請用關于n的式子表示出上面的結論．
（3）若內有射線條數是2020，則角的總個數為多少？
【答案】（1）3，6，10，15；（2）；（3）2043231
【分析】（1）若∠AOB內射線的條數是n，可構成個角，依據規律回答即可；
（2）若∠AOB內射線的條數是n，可構成個角，依據規律回答即可；
（3）把2020代入求解即可．
【詳解】解：（1）填表如下：
內射線的條數 1 2 3 4
角的總個數 3 6 10 15
（2）當時，角總個數為：，當時，角總個數為：，
當時，角總個數為：，當時，角總個數為：，
當時，角總個數為：，
即內射線的條線是n時，角總個數為：
（3）當內有射線條數是2020時，角總個數為：（個）．
【點睛】本題考查的是角的概念，掌握其規律是解題的關鍵．有公共頂點的n條射線，一共可構成n（n-1）個角．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023秋·浙江·七年級課堂例題）下列說法中正確的是（ ）
A．平角就是一條直線 B．小于平角的角是鈍角
C．平角的兩條邊在同一條直線上 D．周角的終邊與始邊重合，所以周角的度數是
【答案】C
【分析】根據平角，周角的概念進行判斷即可得．
【詳解】解：A、一條射線繞它的端點旋轉半周后，兩條射線剛好在一條直線上，這個角就是平角，選項說法錯誤，不符合題意；
B、小于平角的角是鈍角或直角或銳角，選項說法錯誤，不符合題意；
C、平角的兩條邊在同一條直線上，選項說法正確，符合題意；
D、周角的終邊與始邊重合，所以周角的度數是，選項說法錯誤，不符合題意；故選：C
【點睛】本題考查了了平角，周角，解題的關鍵是掌握平角，周角．
2．（2023·河北滄州·校考模擬預測）如圖，射線繞端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形是（ ）
A．扇形 B．圓弧 C．角 D．三角形
【答案】C
【分析】依據角的定義解答即可．
【詳解】解：一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形，是角；故選：C．
【點睛】本題考查了角的概念，理解角的定義是解題關鍵．
2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．角的大小與邊的長短無關 B．由兩條射線組成的圖形叫做角
C．如果，那么點B是的中點 D．連接兩點間的線段叫做這兩點的距離
【答案】A
【分析】依據角的概念、線段的性質、中點的定義以及兩點間的距離的定義進行判斷即可．
【詳解】解：A、角的大小與邊的長短無關，說法正確，故本選項符合題意；
B、從同一點引出的兩條射線所組成的圖形叫做角，原說法錯誤，故本選項不符合題意；
C、若點B在線段上，，則點B是的中點，原說法錯誤，故本選項不符合題意；
D、兩點之間的線段的長度叫做這兩點之間的距離，原說法錯誤，故本選項不符合題意；故選：A．
【點睛】本題主要考查的是線段的性質、角的概念、兩點之間的距離的定義，掌握相關概念和性質是解題的關鍵．
3．（2023秋·廣東七年級課時練習）如圖，下列說法中不正確的是（ ）

A．與是同一個角 B．也可以用表示
C． D．圖中有三個角
【答案】B
【分析】根據角的表示方法即可得出結果．
【詳解】解：與是同一個角，說法正確，故不符合題意．
也可以用表示，說法錯誤，故符合題意．
，說法正確，故不符合題意．
圖中有三個角，說法正確，故不符合題意．故選：
【點睛】本題主要考查了角的表示方法，熟練掌握角的表示方法是解此題的關鍵．
4．（2023秋·黑龍江·七年級統考期末）下列各圖中有關角的表示正確的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據角的表示方法，平角、射線、周角的定義分析判斷即可．
【詳解】解：圖1中，角的頂點為，應表示為；圖2表示正確；
圖3，射線和周角是兩個概念，射線不能表示周角；圖4表示正確．
所以表示正確的個數為2．故選：B．
【點睛】本題主要考查了角的表示方法、平角、射線、周角等知識，理解并掌握相關知識是解題關鍵．
5．（2022秋·浙江·七年級專題練習）下列各角中是鈍角的是（　　）
A．周角 B．平角 C．周角 D．2直角
【答案】B
【分析】根據大于直角（）小于平角（）的角叫做鈍角、等于的角叫周角、等于的角叫平角、等于的角叫直角來解答．
【詳解】解：A、，是銳角；B、，是鈍角；
C、，是直角；D、，是銳角．故選：B．
【點睛】此題考查了鈍角、直角、平角、周角的概念，屬于基礎題，難度不大，熟悉概念即可進行正確計算．
6．（2022·河北·七年級期末）在軍事上，往往對角的度量有更精密的要求，常常使用密位制，1密位等于周角的，即為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據一周角等于360°，列式即可求解．
【詳解】依題意可得1密位等于×360°=故選C．
【點睛】此題主要考查角度的求解，解題的關鍵是熟知一周角等于360°．
7．（2023·山西太原·七年級校考階段練習）已知，，，下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據度分秒的進制進行計算，可得，即可解答．
【詳解】解：∵，∴，∴，
∵，∴，故選：B．
【點睛】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關鍵．
8．（2022 延邊州期末）用量角器測量∠AOB的度數，操作正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【思路點撥】根據量角器的使用方法解答．
【答案】解：用量角器度量角的方法是：把量角器的中心與角的頂點重合，0刻度線與邊的一邊重合，角的另一邊所經過的量角器上所顯示的刻度就是被量角的度數．
觀察選項，只有選項C符合題意．故選：C．
【點睛】本題主要考查了角的概念，用量角器度量角的度數，量角器的正確、熟練使用是關鍵．
9．（2022 上虞區模擬）如圖所示，在10倍的放大鏡下看到的三角形與原三角形相比，下面各個備選答案的量中，保持不變的量是（　　）
A．角 B．邊長 C．周長 D．面積
【思路點撥】根據角的大小與角的兩邊的長短無關作出判斷．
【答案】解：將原三角形置于在10倍的放大鏡下看到的三角形各邊長均是原三角形10倍，
∴三角形的邊長，周長，面積都會發生變化，
又∵角的大小與角的兩邊的長短無關，∴三角形的角的大小保持不變，故選：A．
【點睛】本題考查角的概念，理解“角的大小與角的兩邊的長短無關”是解題關鍵．
10．（2023秋·浙江七年級課時練習）如圖，利用一副三角板比較與的大小，兩角頂點均與三角板某一頂點重合．已知圖1中射線經過角的一邊，圖2中射線經過角的一邊，則下列判斷正確的是（ ）

A． B． C． D．無法判斷
【答案】B
【分析】根據兩個圖得到角在內，角在外，即可比較大小．
【詳解】解：由圖1可知：角在內，
由圖2可知：角在外，∴，∴，故選B．
【點睛】本題考查了角的大小比較，解題的關鍵是結合圖形，利用已知角作為中間量．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023秋·山東·七年級課堂例題）將圖中的角用不同方法表示出來，填寫下表：

【答案】．
【分析】根據角的表示即可得．
【詳解】解：
故答案為：．
【點睛】本題考查了角的表示，解題的關鍵是掌握角的表示．
12．（2023秋·七年級課時練習）周角= 平角= 直角．
【答案】 /0.5 1
【分析】根據周角、平角、直角的定義可知，1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度，據此即可求解．
【詳解】解：1周角度，1平角度，1直角度，
∴周角平角直角，故答案為：，1．
【點睛】本題主要考查周角和平角．直角的定義，是需要熟記的內容
13．（2022秋·北京西城·七年級校考階段練習）已知，那么 ．
【答案】/小于
【分析】利用角度的運算可得，然后問題可求解．
【詳解】解：由，，
．故答案為： ．
【點睛】本題主要考查角的運算，熟練掌握角度的運算是解題的關鍵．
14．（2022秋·山西臨汾·七年級統考期末）換算 度 分 秒．
【答案】 50， 14， 24．
【分析】根據度分秒的進制進行計算即可．
【詳解】解：，，，，
度14分24秒，故答案為：50，14，24．
【點睛】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關鍵．
15．（2023秋·浙江·七年級課堂例題）（1）1周角 平角 直角；
（2） ′= ″；（3） ′， ．
【答案】 2 4 60 3600 75 1.5
【分析】根據度、分、秒之間的關系直接換算即可．
【詳解】解：（1）1周角平角直角；
（2）；（3），．
故答案為：2；4；60；3600；75；1.5．
【點睛】本題考查周角、平角、直角，度、分、秒的換算，解題的關鍵是掌握．
16．（2023秋·八年級課時練習）在圖中所示的4×4的網格中，記，，，則，，從小到大的排列順序是 ．

【答案】
【分析】利用網格圖的特征，注意角的運用．
【詳解】解：由圖知，,
∴．∴．
∵，∴．∴ 故答案為：

【點睛】本題考查網格圖中角的計算，理解網格圖的特征，運用是解題的關鍵．
17．（2022·四川龍泉驛區·七年級期末）我們將圓形鐘面的時針和分針看作是兩條從圓心發出的射線，當時針和分針夾角180度時形成一條直線，這條直線剛好平分鐘面，我們將這樣的時刻稱為“平衡時刻”，如圖，6點整就是一個平衡時刻，請問從0時到24時共有_________個平衡時刻．
【答案】24
【分析】由題意易得每小時會出現一次時針與分針的夾角為180°的時刻，由此問題可求解．
【詳解】解：∵每小時會出現一次時針與分針的夾角為180°的時刻，
∴24×1=24（次），即從0時到24時共有24個平衡時刻；故答案為24．
【點睛】本題主要考查鐘面上的角度問題，熟練掌握鐘面上的角度問題是解題的關鍵．
18．（2022·湖南岳陽·七年級期末）如圖，在的內部從引出3條射線，那么圖中共有__________個角；如果引出5條射線，有__________個角；如果引出條射線，有____ 個角．
【答案】 10 21
【分析】先找以為始邊的角，然后再找依次以射線為始邊的角，依次找出相加即可．
【詳解】在的內部從引出3條射線，則圖中共有角的個數：；
如果引出5條射線，則圖中共有角的個數：；
如果引出條射線，則圖中共有角的個數：．
故答案為：10；21；．
【點睛】考查了角的概念，本題解決的關鍵是在數角的個數時，能按一定的順序計算，理清順序是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023春·浙江七年級課時練習）借助一副三角尺畫出15°角和105°角．
【答案】畫圖見解析
【分析】由 再利用三角板畫即可.
【詳解】解：如圖，畫出15°角和105°角如下：
【點睛】本題考查的是角的和差運算，掌握“利用三角板畫特殊角的方法”是解本題的關鍵.
20．（2023秋·江蘇七年級課時練習）如圖所示，寫出圖中符合下列條件的角．

(1)能用一個大寫字母表示的角．(2)以為頂點的角．(3)圖中所有小于平角的角．
(4)若，，請比較與的大小．
【答案】(1)， (2)（或），（或）．
(3)，，，，，，(4)
【分析】（1）根據角的表示即可得解；（2）根據角的表示即可得解；
（3）根據平角定義及角的表示即可得解；（4）將、的大小化為同單位后比較即可．
【詳解】（1）解：因為影圖中以，為頂點的角各只有一個，
所以能用一個大寫字母表示的角有，．
（2）解：以為頂點的角有個．分別為（或），（或）．
（3）解：題圖中所有小于平角的角有，，，，，，．
（4）解：，所以．
【點睛】本題考查的是角的表示方法，熟知角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．角還可以用一個希臘字母（如，，、）表示，或用阿拉伯數字（，表示
21．（2023春·山東七年級課時練習）如圖是正方形網格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖．
(1)在圖1中，延長線段AB至C，使；(2)在圖2中，作．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）根據要求作出圖形即可；
（2）利用網格特征解決問題即可，注意有兩種情形．
【詳解】（1）解：線段即為所作；
（2）如圖，或即為所作．
【點睛】本題考查作圖—應用與設計作圖，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
22．（2023秋·浙江七年級課時練習）如圖，

(1)用不同的方法表示圖中以為頂點的角；(2)寫出以為頂點的角與邊；
(3)畫出，使成平角，寫出它的邊．
【答案】(1)或或(2)角為（或或），邊是，
(3)圖見解析，邊是，
【分析】（1）根據角的表示方法即可得到答案；（2）根據角的表示方法和邊的定義即可得到答案；
（3）根據平角的定義和邊的定義即可得到答案．
【詳解】（1）解：由圖可得：
用三個字母表示以為頂點的角為：，
用一個字母表示以為頂點的角為：，
用數字表示以為頂點的角為：，
故答案為：或或．
（2）解：解：由圖可得：
用三個字母表示以為頂點的角為：，
用一個字母表示以為頂點的角為：，
用數字表示以為頂點的角為：，
以為頂點邊是，，
故答案為：角為（或或），邊是，．
（3）解：如圖，是射線的反向延長線，

則成平角，的邊是，．
【點睛】本題考查角的概念，熟練掌握角的概念與表示方法是解題的關鍵．
23．（2022秋·重慶南岸·七年級統考期末）如圖，已知直線與射線相交于點O，點C是上一點，且. 用尺規完成作圖：
(1)在射線上截取，使；在射線上取一點E，，連接、；比較線段與的大小，并直接寫出結論；(2)在射線上取一點Q(不同于點O，E)，連接、，比較與的大小，并直接寫出結論.
【答案】(1)
(2)當點Q在線段上時，，當點Q在射線上時，
【分析】（1）按照作一條線段等于已知線段的作法作圖即可.
（2）分兩種情況：①Q點在線段上，②Q點在線段上，作出圖形即可比較大小.
【詳解】（1）如圖，點D、E即為所求，且.
（2）如圖，當Q點在線段OE上時，，
當點Q在射線上時，.
【點睛】本題主要考查了比較線段的大小和比較角的大小，解題的關鍵是根據題意正確的作出圖形.
24．（2023秋·河南駐馬店·七年級統考期末）如圖，線段、點在正方形網格中，所有小正方形的邊長都相等．

利用畫圖工具畫圖：
(1)①畫線段、；②延長線段到點，使；③畫直線．
(2)線段與線段的大小關系是：______；(3)與的大小關系是：______．
【答案】(1)見解析(2)(3)
【分析】（1）①連接、即可；②延長線段，截取；③所作直線經過、即可；
（2）量出線段與線段的長度即可得到答案；（3）量出與的大小即可得到答案．
【詳解】（1）解：作圖如圖下：

（2）測量可得：，故答案為：；
（3）測量可得：，故答案為：．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，比較線段的長短和角的大小比較.作兩點之間的線段，連接兩點即可，由兩點作直線，連接兩點并向兩個方向延長即可得這兩點確定的直線．
25．（2022秋·湖北孝感·七年級統考期末）如圖1，從點分別引兩條射線，則得到一個角．（圖中的角均指不大于平角的角）
(1)探究：①如圖2，從點分別引三條射線，則圖中得到________個角；
②如圖3，從點分別引四條射線，則圖中得到________個角；
③依此類推，從點分別引條射線，則得到________個角（用含的式子表示）；
(2)應用：利用③中發現的規律解決問題：某校七年級共有16個班進行足球比賽，準備進行單循環賽（即每兩隊之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？
【答案】(1)①3；②6；③(2)
【分析】（1）①②根據角的概念求出即可；③根據①②分析得出的規律求解即可；
（2）將代入求解即可．
【詳解】（1）①由題意可得，從點分別引三條射線，圖中的角有，
，∴圖中得到3個角；
②由題意可得，從點分別引四條射線，圖中的角有，
，∴圖中得到6個角；
③由①②可得，當從點分別引條射線，
，∴得到個角；
（2）根據題意可得，當時，．
∴全部賽完共需120場比賽．
【點睛】本題考查了角的定義及其應用，掌握角的定義以及歸納規律是解題的關鍵．
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專題6.5 角與角的度量+專題6.6 角的大小比較
模塊1：學習目標
1．掌握角的概念及角的表示方法；
2. 借助三角尺畫一些特殊角，掌握角的分類；
3．掌握角度制并能進行角度的互換；
4.借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法。
模塊2：知識梳理
1．角的概念及其表示
（1）角的定義：從一點引出的兩條射線所形成的圖形叫做角，這個點叫做角的頂點，這兩條射線是角的邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形.
(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數字表示.例如下圖：
注意：①角的兩種定義是從不同角度對角進行的定義；
②當一個角的頂點有多個角的時候，不能用頂點的一個大寫字母來表示。角的度量：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.
度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角時要注意：（1）對中（頂點對中心）；（2）重合（一邊與刻度尺上的零度線重合）； （3）讀數（讀出另一邊所在線的刻度數）。
注意：①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.
②度分秒之間的轉化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉化)時用乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉化)時用除法逐級進行.
③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一成60.
3.角的分類
∠β 銳角 直角 鈍角 平角 周角
范圍 0＜∠β＜90° ∠β＝90° 90°<∠β<180° ∠β＝180° ∠β＝360°
4.角的比較方法
(1)度量法：如圖4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．
(2)疊合法：比較∠ABC與∠DEF的大小，先讓頂點B、E重合，再讓邊BA和邊ED重合，使另一邊EF和BC落在BA(DE)的同側．如果EF和BC也重合(如圖4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．記作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如圖4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，記作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的內部(如圖4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，記作∠DEF＜∠ABC. 提示：疊合法可歸納為“先重合，再比較”.
（3）估計法。
模塊3：核心考點與典例
考點1、角的概念理解
例1．（2023秋·浙江七年級課時練習）下列說法中，正確的是（ ）
A．兩條射線組成的圖形叫做角 B．有公共端點的兩條線段組成的圖形叫做角
C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形 D．角的邊越長，角越大
變式1．（2023·河北承德·七年級階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．平角就是一條直線 B．周角就是一條射線
C．平角的兩條邊在同一條直線上 D．周角的終邊與始邊重合，所以周角的度數是0°
變式2．（2023春·河北承德·七年級校考開學考試）下列說法中，正確的是（ ）
A．一個周角就是一條射線 B．平角是一條直線
C．角的兩邊越長，角就越大 D．也可以表示為
變式3．（2023·浙江七年級課時練習）下列語句中不正確的個數是（ ）．
①由兩條射線組成的圖形叫做角；②角可以看作是一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置形成的圖形；③；④鈍角的一半是銳角．
A．1 B．2 C．3 D．4
考點2、角的表示方法
例2．（2023春·山東聊城·七年級統考期末）下列四個圖中，能用三種方法表示同一個角的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023秋·浙江七年級課時練習）下列圖形中，能表示的是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023秋·浙江七年級課時練習）如圖，下列表示角的方法，錯誤的是（ ）

A．與表示同一個角 B．也可用來表示
C．圖中共有三個角：，， D．表示的是
考點3、角的分類
例3．（2023·江蘇·七年級專題練習）角可以分為 、 、 三類．
變式1.（2023·廣東七年級專題練習）下列四個角中，鈍角是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023秋·浙江七年級課時練習）下列說法中，正確的有 個
①小于的角是銳角；②等于的角是直角；③大于的角是鈍角；
④平角等于；⑤周角等于．
考點4、畫特殊角
例4．（2023春·浙江七年級課前預習）下列各度數的角，能借助一副三角尺畫出的是（　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
變式1．（2023春·廣東七年級課時練習）用一副三角板不能畫出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
變式2．（2023·浙江七年級課時練習）借助一副三角尺畫出的角．
考點5、角的單位與角度制
例5．（2023秋·廣東七年級課時練習） 度 分 秒， ．
變式2．（2023秋·山東七年級課時練習）等于 '，等于 ''，等于 °
變式2．（2023秋·山東七年級課時練習）計算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
.考點6、角的度數大小比較
例6．（2023秋·浙江·七年級課堂例題）已知，則的大小關系為 ．
變式1．（2023秋·江蘇·七年級課堂例題）比較與的大小時，把它們的頂點和邊重合，把和放在的同一側，如圖所示，則 ．
變式2．（2022秋·北京西城·七年級校考階段練習）如圖，網格為正方形網格，則 ．

考點7、角的計數問題
例7．（2023秋·浙江·七年級課堂例題）觀察圖，完成下列問題：

(1)如圖①，內部有一條射線，則圖中有 個角；
(2)如圖②，內部有兩條射線，，則圖中有___________個角；
(3)如果內部有10條射線，那么圖中有________________個角．
變式1．（2023秋·湖北七年級課時練習）根據圖示，完成以下各題

(1)寫出圖中能用一個字母表示的角；(2)寫出圖中以為頂點小于平角的角；
(3)圖中小于平角的角共有幾個？請寫出來
變式2．（2022·成都市七年級期中）解答下列各題
（1）如圖，在中，以O為頂點引射線，填表：
內射線的條數 1 2 3 4
角的總個數 ______ ______ ______ ______
（2）若內射線的條數是n，請用關于n的式子表示出上面的結論．
（3）若內有射線條數是2020，則角的總個數為多少？
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023秋·浙江·七年級課堂例題）下列說法中正確的是（ ）
A．平角就是一條直線 B．小于平角的角是鈍角
C．平角的兩條邊在同一條直線上 D．周角的終邊與始邊重合，所以周角的度數是
2．（2023·河北滄州·校考模擬預測）如圖，射線繞端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形是（ ）
A．扇形 B．圓弧 C．角 D．三角形
2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．角的大小與邊的長短無關 B．由兩條射線組成的圖形叫做角
C．如果，那么點B是的中點 D．連接兩點間的線段叫做這兩點的距離
3．（2023秋·廣東七年級課時練習）如圖，下列說法中不正確的是（ ）

A．與是同一個角 B．也可以用表示
C． D．圖中有三個角
4．（2023秋·黑龍江·七年級統考期末）下列各圖中有關角的表示正確的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．（2022秋·浙江·七年級專題練習）下列各角中是鈍角的是（　　）
A．周角 B．平角 C．周角 D．2直角
6．（2022·河北·七年級期末）在軍事上，往往對角的度量有更精密的要求，常常使用密位制，1密位等于周角的，即為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山西太原·七年級校考階段練習）已知，，，下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022 延邊州期末）用量角器測量∠AOB的度數，操作正確的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2022 上虞區模擬）如圖所示，在10倍的放大鏡下看到的三角形與原三角形相比，下面各個備選答案的量中，保持不變的量是（　　）
A．角 B．邊長 C．周長 D．面積
10．（2023秋·浙江七年級課時練習）如圖，利用一副三角板比較與的大小，兩角頂點均與三角板某一頂點重合．已知圖1中射線經過角的一邊，圖2中射線經過角的一邊，則下列判斷正確的是（ ）

A． B． C． D．無法判斷
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023秋·山東·七年級課堂例題）將圖中的角用不同方法表示出來，填寫下表：

12．（2023秋·七年級課時練習）周角= 平角= 直角．
13．（2022秋·北京西城·七年級校考階段練習）已知，那么 ．
14．（2022秋·山西臨汾·七年級統考期末）換算 度 分 秒．
15．（2023秋·浙江·七年級課堂例題）（1）1周角 平角 直角；
（2） ′= ″；（3） ′， ．
16．（2023秋·八年級課時練習）在圖中所示的4×4的網格中，記，，，則，，從小到大的排列順序是 ．

17．（2022·四川龍泉驛區·七年級期末）我們將圓形鐘面的時針和分針看作是兩條從圓心發出的射線，當時針和分針夾角180度時形成一條直線，這條直線剛好平分鐘面，我們將這樣的時刻稱為“平衡時刻”，如圖，6點整就是一個平衡時刻，請問從0時到24時共有_________個平衡時刻．
18．（2022·湖南岳陽·七年級期末）如圖，在的內部從引出3條射線，那么圖中共有__________個角；如果引出5條射線，有__________個角；如果引出條射線，有____ 個角．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023春·浙江七年級課時練習）借助一副三角尺畫出15°角和105°角．
20．（2023秋·江蘇七年級課時練習）如圖所示，寫出圖中符合下列條件的角．
(1)能用一個大寫字母表示的角．(2)以為頂點的角．(3)圖中所有小于平角的角．
(4)若，，請比較與的大小．

21．（2023春·山東七年級課時練習）如圖是正方形網格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖．
(1)在圖1中，延長線段AB至C，使；(2)在圖2中，作．
22．（2023秋·浙江七年級課時練習）如圖，(1)用不同的方法表示圖中以為頂點的角；(2)寫出以為頂點的角與邊；(3)畫出，使成平角，寫出它的邊．

23．（2022秋·重慶南岸·七年級統考期末）如圖，已知直線與射線相交于點O，點C是上一點，且. 用尺規完成作圖：(1)在射線上截取，使；在射線上取一點E，，連接、；比較線段與的大小，并直接寫出結論；(2)在射線上取一點Q(不同于點O，E)，連接、，比較與的大小，并直接寫出結論.
24．（2023秋·河南駐馬店·七年級統考期末）如圖，線段、點在正方形網格中，所有小正方形的邊長都相等．

利用畫圖工具畫圖：
(1)①畫線段、；②延長線段到點，使；③畫直線．
(2)線段與線段的大小關系是：______；(3)與的大小關系是：______．
25．（2022秋·湖北孝感·七年級統考期末）如圖1，從點分別引兩條射線，則得到一個角．（圖中的角均指不大于平角的角）
(1)探究：①如圖2，從點分別引三條射線，則圖中得到________個角；
②如圖3，從點分別引四條射線，則圖中得到________個角；
③依此類推，從點分別引條射線，則得到________個角（用含的式子表示）；
(2)應用：利用③中發現的規律解決問題：某校七年級共有16個班進行足球比賽，準備進行單循環賽（即每兩隊之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？
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