資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題6.9 直線的相交
模塊1：學習目標
1、了解兩直線相交所成的角的位置和大小關系，理解對頂角概念，掌握對頂角的性質；
2、理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質；
3、理解點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離；
4、能依據(jù)對頂角及垂直的概念與性質，進行簡單的計算。
模塊2：知識梳理
1.如果兩條直線只有一個公共點，就說這兩條直線相交，該公共點叫做這兩條直線的交點。
2.對頂角的定義：一對角，如果它們的頂點重合，兩條邊互為反向延長線，我們把這樣的兩個角叫做互為對頂角，其中一個角叫做另一個角的對頂角。
注：對頂角是成對出現(xiàn)的，它們有公共的頂點；只有兩條直線相交時才能形成對頂角。
3.對頂角的性質：對頂角相等。
說明：如圖，∠1和∠4是對頂角，∠2和∠3是對頂角，即∠1=∠4，∠2=∠3
模塊3：核心考點與典例
考點1、相交線的相關概念
例1．（2023·新疆烏魯木齊·七年級校考期中）下列說法，正確的是( )
A．經過一點有且只有一條直線 B．兩條射線組成的圖形叫做角
C．兩條直線相交至少有兩個交點 D．兩點確定一條直線
【答案】D
【分析】根據(jù)直線的性質、角的定義、相交線的概念一一判斷即可．
【詳解】A、經過兩點有且只有一條直線，故錯誤；
B、有公共頂點的兩條射線組成的圖形叫做角，故錯誤；
C、兩條直線相交有一個交點，故錯誤；D、兩點確定一條直線，故正確，故選D．
【點睛】本題考查直線的性質、角的定義、相交線的概念，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.
變式1．（2023春·河北秦皇島·七年級統(tǒng)考期中）根據(jù)語句“直線與直線相交，點在直線上，直線不經過點．”畫出的圖形是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)直線與直線相交，點M在直線上，直線不經過點M進行判斷，即可得出結論．
【詳解】解：A．直線經過點M，故本選項不合題意；
B．點M不在直線上，故本選項不合題意；C．點M不在直線上，故本選項不合題意；
D．直線與直線相交，點M在直線上，直線不經過點M，故本選項符合題意；故選：D．
【點睛】本題主要考查了相交線以及點與直線的位置關系，兩條直線交于一點，我們稱這兩條直線為相交線．
變式2．（2023春·浙江七年級期中）按語句畫圖：點在直線上，也在直線上，但不在直線上，直線，，兩兩相交正確的是（　　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)相交線的概念、點與直線的位置關系進行判斷即可．
【詳解】解：A．符合條件， B．不符合點P不在直線c上；
C．不符合點P在直線a上；D．不符合直線a、b、c兩兩相交；故選：A．
【點睛】本題考查的是相交線、點與直線的位置關系，正確理解題意、認識圖形是解題的關鍵．
考點2、垂線的定義及相關作圖
例2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習）如圖，所有小正方形的邊長都為1個單位長度，、、都在格點上．(1)過點作直線的垂線，垂足為；(2)過點作直線，垂足為，直線交于點；(3)點到直線的距離等于__________個單位長度．

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2
【分析】（1）根據(jù)垂線的定義作出圖形即可；（2）根據(jù)垂線的定義作出圖形即可；
（3）線段的長即為點A到直線的距離．
【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求．
（2）解：如圖，直線即為所求．
（3）解：由（1）中圖可得：點A到直線的距離等于2個單位長度．
【點睛】本題考查作圖-應用與設計作圖，垂線，點到直線的距離等知識，解題的關鍵是理解垂線的定義，屬于中考常考題型．
例3．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，己知，，，則 （填度數(shù)）．

【答案】/52度
【分析】直接利用垂直的定義結合已知得出的度數(shù)，進而得出答案．
【詳解】∵，∴
∵∴．故答案為：．
【點睛】此題考查了角的計算，垂直的定義，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
變式1．（2023春·山西朔州·七年級?？茧A段練習）如圖，直線、相交于點，于，若，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)垂直的定義求出的度數(shù)，即可得解．
【詳解】解：∵于，，
∴°，∴，故選：A．
【點睛】本題考查了垂線的定義，求出的度數(shù)是解題的關鍵．
變式2．（2023·上海靜安·七年級?？计谥校┤鐖D所示，是鈍角.（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）。(1)畫出點A到的垂線段.(2)過點C畫的垂線.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；
【分析】（1）根據(jù)題意畫出點A到的垂線段即可；（2）根據(jù)題意過點C畫的垂線即可．
【詳解】（1）如圖，線段即為點A到的垂線段，
（2）如圖，線段即為所作的垂線，

【點睛】本題考查作圖-基本作圖，解題的關鍵是理解垂線段的概念及作法．
變式3．（2023春·甘肅隴南·七年級?？茧A段練習）如圖，按要求畫圖．
①畫出點到的垂線段；②過點畫的垂線；③畫出點到的垂線段．

【答案】作圖見詳解
【分析】根據(jù)鈍角三角形中作垂線的方法即可求解．
【詳解】解：①畫出點到的垂線段，延長，過點作延長線于點，如圖所示，

∴線段即為點到的垂線段；
②過點畫的垂線，作于點，如圖所述，

∴即為點到的垂線；
③畫出點到的垂線段，延長，作延長線于點，如圖所示，

∴即為點到的垂線段．
【點睛】本題主要考查鈍角三角形作垂線段，垂線的知識，掌握垂線段，垂線的概念，作圖的方法是解題的關鍵．
考點3、垂線段最短的應用
例3．（2023春·廣東深圳·七年級校考期中）如圖，P是直線l外一點，從點P向直線l引，，，幾條線段，其中只有與l垂直，這幾條線段中長度最短的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)“直線外一點到直線上各點的所有線中，垂線段最短”進行解答．
【詳解】解：∵直線外一點到直線上各點的所有線中，垂線段最短，∴最短的是，故選：B．
【點睛】本題垂線段最短的性質，熟記性質是解題的關鍵．
變式1．（2022秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，斑馬線的作用是為了引導行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學依據(jù)是（ ）

A．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 B．垂線段最短
C．兩點之間，線段最短 D．兩點確定一條直線
【答案】B
【分析】由垂線的性質，可選擇．
【詳解】解：、該選項是垂線的一條性質，根據(jù)理解不符合題意，故A不符合題意；
B、直線外一點到這條直線上各點的連線中，垂線段最短，故B符合題意；
C、連接兩點的所有線中，線段最短，故C不符合題意；
D、兩點確定一條直線，是直線的性質，故D不符合題意．故選：B．
【點睛】本題考查垂線的性質，關鍵是掌握垂線的兩條性質，明白垂線段最短．
變式2．（2023春·安徽宿州·八年級?？计谥校┠炒迩fA為方便出行想向公路a修一條鄉(xiāng)村公路，為了盡可能的節(jié)省費用，選擇了如圖的方案，這樣做的原因是 ．

【答案】垂線段最短
【分析】根據(jù)垂線段最短的性質解答即可．
【詳解】解：為了盡可能的節(jié)省費用，選擇了如圖的方案，這樣做的原因是垂線段最短．
故答案為：垂線段最短．
【點睛】本題考查了垂線段最短的性質，熟練掌握垂線段最短是解題的關鍵．
考點4、點到直線的距離
例4．（2023·上海徐匯·七年級?？计谥校┤鐖D，，，垂足為，線段 的長表示點到直線的距離．

【答案】/
【分析】根據(jù)點到直線的距離為這一點到直線的垂線段的距離，即可求解．
【詳解】解：由題意可得：，
線段的長表示點到直線的距離，故答案為：．
【點睛】此題考查了點到直線的距離，解題的關鍵是理解點到直線的距離的概念．
變式1．（2023·四川雅安·七年級校考期中）如圖，是銳角三角形，過點作，垂足為，則點到直線的距離是線段 ．

【答案】的長
【分析】根據(jù)點到直線的距離的含義，可得點到直線的距離是線段的長．
【詳解】解：，垂足為，則點到直線的距離是線段的長，故答案為：的長．
【點睛】本題考查了點到直線的距離，熟練掌握點到直線的距離是垂線段的長是解題的關鍵．
變式2．（2023春·黑龍江佳木斯·七年級?？计谥校┤鐖D，于點，于點，其中長度能表示點到直線（或線段）的距離的線段有 條．

【答案】5
【分析】根據(jù)點到直線的距離理解判斷選擇即可．
【詳解】∵，，
∴線段是點B到直線距離的線段；線段是點A到直線距離的線段；
線段是點C到直線距離的線段；線段是點A到直線距離的線段；
線段是點B到直線距離的線段；故答案為：5．
【點睛】本題考查了點到直線的距離，熟練掌握定義是解題的關鍵．
考點5、對頂角的定義
例5．（2023秋·湖南衡陽·七年級?？茧A段練習）下列圖形中，與是對頂角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對頂角的概念解答即可．
【詳解】解：A，與不是對頂角，故不合題意；
B，與不是對頂角，故不合題意；
C，與不是對頂角，故不合題意；
D，與是對頂角，故符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查的是對頂角和鄰補角的概念和性質，掌握有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角是解題的關鍵．
變式1．（2023春·廣東深圳·七年級校考期中）圖中的，是對頂角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對頂角：有公共的頂點，角的兩邊互為反向延長線，根據(jù)定義逐一判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)對等角的定義，只有C選項符合題意，故選：C．
【點睛】本題考查了對頂角的定義，熟練掌握對頂角的定義是解題的關鍵．
變式2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習）下列各圖中，和是對頂角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對頂角的兩邊互為反向延長線對各圖形分析判斷后進行解答．
【詳解】解：根據(jù)對頂角的定義：
A．和的兩邊不是互為反向延長線，不是對頂角；
B．和的兩邊不是互為反向延長線，不是對頂角；
C．和的兩邊互為反向延長線，是對頂角；
D．和的頂點不同，不是對頂角；故選：C．
【點睛】本題主要考查了對頂角，正確把握對頂角的定義是解題關鍵．
變式3．（2023秋·四川綿陽·八年級校聯(lián)考開學考試）光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象，如圖①所示．小華為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設計了圖②所示的實驗：通過細管可以看見水底的物塊，但從細管穿過的直鐵絲，卻碰不上物塊．圖③是實驗的示意圖，點A，C，B在同一直線上，下列各角中，的對頂角是 （ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對頂角的定義：兩個角共用一個頂點，且兩個角的兩邊互為反向延長線，進行判斷即可．
【詳解】解：由對頂角的定義可知，的對頂角是；故選C．
【點睛】本題考查對頂角，熟知定義，是解題的關鍵．
考點6、對頂角相等
例6．（2022春·河北石家莊·七年級?？计谀┤鐖D，若，則（ ）

A．50° B．40° C．140° D．10°
【答案】B
【分析】根據(jù)對頂角相等求解；
【詳解】解：∵互為對頂角；∴．故選：B
【點睛】本題考查對頂角相等；觀察圖形，明確角之間的位置關系是解題的關鍵．
變式1．（2023春·河北滄州·七年級?？茧A段練習）如圖，直線，，相交于點，，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得的對頂角的度數(shù)，結合平角的性質即可求得答案．
【詳解】如圖所示．∵與為對頂角，∴．
∴．故選：D．

【點睛】本題主要考查對頂角、平角，牢記對頂角的性質是解題的關鍵．
變式2．（2023·吉林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在所標識的角中，一定相等的兩個角是（ ）（多選題）

A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】AD
【分析】根據(jù)對頂角的定義和對頂角的性質即可得出答案．
【詳解】解：觀察圖形可知，互為對頂角的兩個角是和，和，
故，，故選：AD．
【點睛】本題考查了對頂角的定義和性質，熟練掌握對頂角的定義和性質是解題的關鍵．
考點7、直線的交點問題
例7．（2023·福建漳州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內，我們把兩條直線相交的交點個數(shù)記為，三條直線兩兩相交最多交點個數(shù)記為，四條直線兩兩相交最多交點個數(shù)記為條直線兩兩相交最多交點個數(shù)記為，則用含n的代數(shù)式表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，結合圖形，發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交有1個交點，3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點，據(jù)此規(guī)律即可得出結論．
【詳解】兩條直線相交有1個交點，即，
三條直線相交最多有個交點，即，
四條直線相交最多有個交點，即，
以此類推，條直線相交，最多有個交點，即，
∴，故選B．
【點睛】本題考查了相交線，此題著重培養(yǎng)學生的觀察、實驗和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法．
變式1．（2022秋·湖北襄陽·九年級校聯(lián)考自主招生）兩條直線相交，產生一個交點，已知9條直線相交最多產生36個交點，那么10條直線相交最多產生交點個數(shù)為（ ）
A．45 B．46 C．50 D．60
【答案】A
【分析】據(jù)三條直線交點最多為個，四條直線交點最多為個，五條直線交點最多為個，六條直線交點最多為個，然后得出規(guī)律，列式計算即可得解．
【詳解】解：兩條直線相交，只有1個交點，三條直線交點最多為個，四條直線交點最多為個，五條直線交點最多為個，六條直線交點最多為個；
10條直線交點最多為．故選A
【點睛】本題考查了直線、射線、線段，觀察得出最多交點的個數(shù)變化規(guī)律是解題的關鍵．
變式2．（2023秋·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）平面上10條直線兩兩相交，最多有m個交點，最少有n個交點，則 ．
【答案】46
【分析】由題意可得10條直線相交于一點時交點最少，任意兩直線相交都產生一個交點時交點最多，由此可得出m，n的值，從而得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：10條直線相交于一點時交點最少，此時交點為1個，即；
任意兩直線相交都產生一個交點時，交點最多，
∴此時交點為：，即；則．故答案為：．
【點睛】本題考查直線的交點問題，掌握直線相交于一點時交點最少，任意n條直線兩兩相交時交點最多為個是解題的關鍵．
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023春·安徽蕪湖·七年級統(tǒng)考期中）按下列語句畫圖：點在直線上，也在直線上，但不在直線上，且直線兩兩相交，下列圖形符合題意的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題中語句，結合直線與直線、點與直線關系逐項驗證即可得到答案．
【詳解】解：由點在直線上，也在直線上，可知直線與直線交于點；
A、C不符合題意；由點不在直線上，可知B不符合題意；
再由直線兩兩相交，即可確定D符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查直線與直線、點與直線的關系，熟記相關定義是解決問題的關鍵．
2．（2023春·陜西榆林·七年級?？计谥校┤鐖D，在三角形中，，，點可以在直線上自由移動，的長不可能是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根據(jù)垂線段最短，可得最小為，據(jù)此即可求解．
【詳解】依題意，，，∴最小為，故選：A．
【點睛】本題考查了點到直線的距離，垂線段最短，熟練掌握垂線段最短是解題的關鍵．
3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習）下列各圖中，與是對頂角的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)對頂角的定義判斷即可．
【詳解】解：A、的兩邊分別是的兩邊的反向延長線，與是對頂角，故該選項符合題意；
B、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故該選項不符合題意；
C、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故該選項不符合題意；
D、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故該選項不合題意．故選：A．
【點睛】本題考查了對頂角的定義．有一個公共點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角互為對頂角．
4．（2023春·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．點到的垂線段是線段 B．點到的垂線段是線段
C．線段是點D到的垂線段 D．線段是點到的垂線段
【答案】C
【分析】根據(jù)垂線段的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A、點到的垂線段是線段，正確，故此選項不符合題意；
B、點到的垂線段是線段，正確，故此選項不符合題意；
C、線段是點到的垂線段，原說法錯誤，故此選項符合題意；
D、線段是點到的垂線段，正確，故此選項不符合題意；故選：C．
【點睛】本題考查了垂線段的定義，熟練掌握過直線外一點作這條直線的垂線，這點與垂足構成的線段叫垂線段是解此題的關鍵．
5．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）如圖，，，為垂足，那么，，三點在同一條直線上，理由是（ ）

A．兩點確定一條直線 B．過一點只能做一條垂線
C．垂線段最短 D．在同一平面內，經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
【答案】D
【分析】根據(jù)“在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，，三點在同一條直線上，其理由是：
在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．故選：D．
【點睛】本題考查的是垂線，熟知在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直是解答此題的關鍵．
6．（2023春·河北保定·七年級校聯(lián)考期中）如圖，若過點P畫直線l的垂線，則垂線經過的點是（ ）

A．點A B．點B C．點C D．點D
【答案】C
【分析】根據(jù)垂線的定義可直接得出答案．
【詳解】解：由垂線的定義可知，直線，因此垂線經過的點是點C，故選C．
【點睛】本題考查垂線，解題的關鍵是掌握垂線的定義：當兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角時，即兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一直線的垂線，交點叫垂足．
7．（2023春·福建廈門·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，點在直線上，用三角尺過點畫直線的垂線．下列選項中，三角尺擺放位置正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直角三角板畫垂線的步驟：一利用直角三角板的一直角邊貼在已知直線上，二移動三角板另一直角邊到已知點，三過已知點畫垂線，四畫出垂直符號對每一項判斷即可．
【詳解】解：∵三角尺過點畫直線的垂線：
一、利用直角三角板的一直角邊貼在已知直線上，
二、移動三角板另一直角邊到已知點，
三、過已知點畫垂線，
四、畫垂直符合，
∴項符合題意，不符合題意；故選．
【點睛】本題考查了利用直角三角板畫垂線的步驟：一利用直角三角板的一直角邊貼在已知直線上，二移動三角板另一直角邊到已知點，三過已知點畫垂線，四畫出垂直符號，熟記直角三角板畫垂線的步驟是解題的關鍵．
8．（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習）如圖，從小到大的順序為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平角為求出，根據(jù)對頂角相等求出，即可得到答案．
【詳解】解：由題意可知，，，，
∴，故選：D
【點睛】此題考查了平角、對頂角的性質等知識，熟練掌握對頂角的性質是解題的關鍵．
9．（2023·河南周口·淮陽?？寄M預測）如圖，直線相交于點，若，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對頂角相等，垂直的定義，結合已知條件得出，解方程，即可求解．
【詳解】解：∵，∴
∵，
∴解得：，故選：C．
【點睛】本題考查對頂角相等，垂直的定義，一元一次方程的應用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
10．（2022春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，相交于點O，且，下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對頂角的性質、平角的定義、垂線的性質等分別進行判斷即可
【詳解】解：A．∵與是對頂角，
∴，但無法得到，故選項錯誤，不符合題意；
B．∵，∴不正確，故選項錯誤，不符合題意；
C．∵，∴，
∴不正確，故選項錯誤，不符合題意；
D．∵與是對頂角，∴，故選項正確，符合題意．故選：D．
【點睛】此題考查了垂線、角的計算、平角、對頂角的性質等知識，熟練掌握垂線、對頂角的性質是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·吉林長春·?？寄M預測）長春市解放大路和新民大街分別是東西走向與南北走向，如交通圖所示，小致同學想從新民廣場盡快走到解放大路，他選擇沿新民大街走，小致這樣走的數(shù)學依據(jù) ．

【答案】垂線段最短
【分析】由垂線段的性質，垂線段最短，即可解得．
【詳解】解：由題意可得：小致這樣走的數(shù)學依據(jù) 垂線段最短，故答案為：垂線段最短．
【點睛】本題考查垂線段最短，正確理解垂線段最短的含義是關鍵．
12．（2022春·福建寧德·七年級?？计谥校┤鐖D，有一個破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個扇形零件的圓心角的度數(shù)，那么這個破損扇形零件的圓心角的度數(shù)是 °．

【答案】/30度
【分析】由題意知，一個破損的扇形零件的圓心角與其兩邊的反向延長線組的角是對頂角，根據(jù)對頂角的性質解答即可．
【詳解】解：由題意得，扇形零件的圓心角與其兩邊的反向延長線組的角是對頂角，
圖中的量角器顯示的度數(shù)是，∴扇形零件的圓心角；故答案為：．
【點睛】本題考查了對頂角的性質，題目比較簡單．掌握對頂角的性質：對頂角相等是解題的關鍵．
13．（2023春·內蒙古巴彥淖爾·七年級?？茧A段練習）同一平面內的三條直線，其交點個數(shù)的情況可能有 種
【答案】4
【分析】根據(jù)兩直線平行和相交的定義作出圖形即可得解．
【詳解】解：如圖，三條直線的交點個數(shù)可能是0或1或2或3，共4種．
故答案是：4．
【點睛】本題考查了直線相交的問題，難點在于考慮到直線的所有位置關系和交點的分布情況，作出圖形是解答此題的關鍵．
14．（2023春·河北石家莊·七年級?？计谥校┤鐖D，三角形ABC中，．

（1）點B到直線AC的距離是線段 的長度；
（2）三條邊AB、BC、AC，邊 最長，理由是 ．
【答案】 垂線段最短
【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離是指“該點到該直線的垂線段的長度”即可求解；
（2）根據(jù)垂線段最短即可求解．
【詳解】解：（1）∵，∴，∴點到直線的距離為線段的長；
（2）由點到直線的距離，垂線段最短可知：，，
∴三條邊，，中最長的邊為．故答案是：①；②；③垂線段最短．
【點睛】本題考查了點到直線距離垂線段的含義、垂線段最短等知識點，屬于基本概念題，熟練掌握點到直線垂線段的概念是解題的關鍵．
15．（2023·廣東七年級期中）如圖，，垂足為，則下面的結論正確有 ．
①與互相垂直；②與互相垂直；③點到的垂線段是線段；④線段的長度是點到的距離；⑤線段是點到的距離．
【答案】①④/④①
【分析】根據(jù)點到直線的距離和兩條直線互相垂直即可逐項判斷．
【詳解】解：，，①與互相垂直，正確；
，②與互相垂直，不正確；
③點到的垂線段是線段，而不是，不正確；
④線段的長度是點到的距離，正確；
⑤線段是點到的距離，不正確，應該是線段的長度是點到的距離．
①④正確．故答案為：①④．
【點睛】本題考查了點到直線的距離和兩直線垂直，解題的關鍵在于點到直線的距離是一個長度，即垂線段長度，而不是垂線段．
16．（2023·福建龍巖·七年級?？茧A段練習）如圖，直線，相交于點，，，則等于 度．

【答案】
【分析】根據(jù)垂直的定義，可得，根據(jù)對頂角相等可得，進而即可求解．
【詳解】解：∵，∴，
∵∴故答案為：．
【點睛】本題考查了垂直的定義，對頂角相等，熟練掌握垂直的定義是解題的關鍵．
17．（2023春·重慶開州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知直線和相交于O點，，平分，若，則的度數(shù)是 ．

【答案】110
【分析】利用垂線的性質和對頂角相等即角平分線的性質即可求解．
【詳解】解：，，
又，，，
又平分，，
，故答案為：110．
【點睛】本題考查了垂線的性質、角平分線的性質及對頂角，熟練掌握其基礎知識是解題的關鍵．
18．（2022春·廣東七年級期中）平面內兩兩相交的6條直線，其交點個數(shù)最少為 個，最多為 個，n條直線兩兩相交的直線最多有 個交點．
【答案】 1 15
【分析】根據(jù)相交直線的交點找出相應規(guī)律求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：6條直線相交于一點時交點最少，此時交點為1個；
若平面內有相交的2條直線，則最多有1個交點；（即：）；
若平面內有兩兩相交的3條直線，則最多有3個交點；（即：）；
若平面內有兩兩相交的4條直線，則最多有6個交點；（即：）；
若平面內有兩兩相交的5條直線，則最多有10個交點；（即：）；
則平面內兩兩相交的6條直線，其交點個數(shù)最多有15個交點；（即）；
若平面內有n條直線兩兩相交，則最多有個交點；故答案為：1，15，．
【點睛】題目主要考查直線交點問題及規(guī)律探索，找出相應規(guī)律是解題關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·黑龍江哈爾濱·八年級?？茧A段練習）如圖，所有小正方形的邊長都為1個單位長度，A、B、C都在格點上．

(1)過點A作直線的垂線，并注明垂足為G．(2)過點A作交于點H．
(3)點A到直線的距離等于_______個單位長度．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2
【分析】（1）根據(jù)垂線的定義作出圖形即可．（2）根據(jù)垂線的定義作出圖形即可．
（3）線段的長即為點A到直線的距離．
【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求．

（2）解：如圖，直線即為所求．

（3）解：由（1）中圖可得：點A到直線的距離等于2個單位長度．
【點睛】本題考查作圖-應用與設計作圖，垂線，點到直線的距離等知識，解題的關鍵是理解垂線的定義，屬于中考?？碱}型．
20．（2023春·河北滄州·七年級校考階段練習）如圖是一條河是河邊外一點，是河邊上一碼頭．(1)若要從走到碼頭，請在圖1中作出最短路線示意圖．
(2)現(xiàn)欲用水管從河邊將水引到處，請在圖2上作出所需水管最短的鋪設方案．

【答案】(1)見解析 (2)見解析
【分析】（1）根據(jù)兩點之間線段最短，連接即可得到答案；
（2）根據(jù)垂線段最短，作即可得到答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意畫出圖，如圖所示：
； ．
（2）解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：
【點睛】本題考查了兩點之間線段最短以及垂線段最短，熟練掌握兩點之間線段最短以及垂線段最短是解題的關鍵．
21．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）請按要求完成下列問題；
(1)在圖1中作線段；(2)在圖1中作射線；(3)在圖1中找一點P，使得點P到點A、點B、點C、點D四個點的距離之和最??；(4)為探索平面內相交直線的交點個數(shù)，小方進行了如下研究：如圖2，直線和相交于點A，兩條線交點個數(shù)為1；過點B和點C作直線，與直線l1和l2相交，新增2個交點；過點D作直線，與直線、和相交，新增3個交點……按照此規(guī)律，若平面內有10條直線，則最多共有______個交點．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)45
【分析】（1）根據(jù)題意，畫出線段即可；（2）根據(jù)題意，畫出射線即可；
（3）連接交于點P，則點P即為所求；
（4）根據(jù)題意得：2條直線相交最多有1個交點，3條直線相交最多有個交點，4條直線相交最多有個交點，……，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，作線段即為所求；
（2）解：如圖，射線即為所求；
（3）解：如圖，連接交于點P，則點P即為所求；
理由：∵，
∴當?shù)闹底钚r，點P到點A、點B、點C、點D四個點的距離之和最小，
此時點P位于線段上；
（4）解：根據(jù)題意得：2條直線相交最多有1個交點，
3條直線相交最多有個交點，4條直線相交最多有個交點，……，
由此發(fā)現(xiàn)，n條直線相交最多有個交點，
∴10條直線相交最多有個交點，故答案為：45．
【點睛】本題主要考查了畫線段，射線，最短距離問題，相交線的交點問題，明確題意，熟練掌握兩點之間，線段最短；（4）問中根據(jù)題意得到規(guī)律是解題的關鍵．
22．（2023春·云南昆明·七年級?？茧A段練習）如圖，直線與相交于點O，，平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．

【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)對頂角得，根據(jù)角平分線的性質得，根據(jù)得，可得，即可得；（2）根據(jù)得，即可得，根據(jù)平分得，根據(jù)得，進行計算即可得．
【詳解】（1）解：∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
即，
∵平分，∴，
∵，∴，
，，．
【點睛】本題考查了對頂角，角平分線的性質，解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點．
23．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線，相交于點，且．

(1)圖中，的對頂角是 ，的鄰補角是 ；
(2)若：＝：，求的度數(shù)．
【答案】(1)，和(2)
【分析】（1）根據(jù)對頂角的定義與鄰補角的定義，結合圖形，即可求解；
（2）根據(jù)題意得出，，進而即可求的度數(shù)．
【詳解】（1）解：如圖所示

的對頂角是，的鄰補角是和；
故答案為：，和．
（2）解：，，，
，，∴
【點睛】本題主要考查垂線、對頂角與鄰補角的定義,角的和差關系，熟練掌握垂線的定義、角的和差關系是解決本題的關鍵．
24．（2023春·福建莆田·七年級?？计谥校┤鐖D，直線，相交于點O，且．

(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)的度數(shù)為(2)的度數(shù)為
【分析】（1）利用垂直的定義和對頂角相等即可求解；（2）利用平角的定義和垂直的定義即可求解．
【詳解】（1）∵，∴，
∴，∴．
（2）∵，且，∴，
∵，∴∴．
【點睛】本題考查了垂線、對頂角相等、鄰補角互補等知識，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形分析是解題的關鍵．
25．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習）已知：直線、相交于點．

(1)如圖1，，求的度數(shù)．(2)如圖2，射線、在直線的上方，且，作平分，求與的數(shù)量關系．(3)如圖3，在（2）的條件下，當于，在下方作于，射線在的內部，平分，若，，求的度數(shù)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根據(jù)已知條件和鄰補角的定義，得出，再利用對頂角相等，即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線的定義，得到，，再利用角度計算，
即可得出與的數(shù)量關系；（3）根據(jù)垂直和角平分線的定義，得到，進而得到，再根據(jù)，求得，，然后利用垂直和角平分線的定義，得到，再結合，求得，即可求出的度數(shù)．
【詳解】（1）解：，，
，，；
（2）解：，，
平分，，
，，
，
，即；
（3）解：，，
，，
，，
，，，
，，
，，，
，，，
平分，，
，
，
，，
．
【點睛】本題考查了角度的計算，垂線的定義，角平分線的定義，補角和余角的性質，根據(jù)題意正確找出角度之間的數(shù)量關系是解題關鍵．
1
2
3
4
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題6.9 直線的相交
模塊1：學習目標
1、了解兩直線相交所成的角的位置和大小關系，理解對頂角概念，掌握對頂角的性質；
2、理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質；
3、理解點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離；
4、能依據(jù)對頂角及垂直的概念與性質，進行簡單的計算。
模塊2：知識梳理
1.如果兩條直線只有一個公共點，就說這兩條直線相交，該公共點叫做這兩條直線的交點。
2.對頂角的定義：一對角，如果它們的頂點重合，兩條邊互為反向延長線，我們把這樣的兩個角叫做互為對頂角，其中一個角叫做另一個角的對頂角。
注：對頂角是成對出現(xiàn)的，它們有公共的頂點；只有兩條直線相交時才能形成對頂角。
3.對頂角的性質：對頂角相等。
說明：如圖，∠1和∠4是對頂角，∠2和∠3是對頂角，即∠1=∠4，∠2=∠3
模塊3：核心考點與典例
考點1、相交線的相關概念
例1．（2023·新疆烏魯木齊·七年級校考期中）下列說法，正確的是( )
A．經過一點有且只有一條直線 B．兩條射線組成的圖形叫做角
C．兩條直線相交至少有兩個交點 D．兩點確定一條直線
變式1．（2023春·河北秦皇島·七年級統(tǒng)考期中）根據(jù)語句“直線與直線相交，點在直線上，直線不經過點．”畫出的圖形是（ ）
A．B．C． D．
變式2．（2023春·浙江七年級期中）按語句畫圖：點在直線上，也在直線上，但不在直線上，直線，，兩兩相交正確的是（　　?。?br/>A． B． C． D．
考點2、垂線的定義及相關作圖
例2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）如圖，所有小正方形的邊長都為1個單位長度，、、都在格點上．(1)過點作直線的垂線，垂足為；(2)過點作直線，垂足為，直線交于點；(3)點到直線的距離等于__________個單位長度．

例3．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，己知，，，則 （填度數(shù)）．

變式1．（2023春·山西朔州·七年級校考階段練習）如圖，直線、相交于點，于，若，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
變式2．（2023·上海靜安·七年級?？计谥校┤鐖D所示，是鈍角.（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）。(1)畫出點A到的垂線段.(2)過點C畫的垂線.

變式3．（2023春·甘肅隴南·七年級?？茧A段練習）如圖，按要求畫圖．
①畫出點到的垂線段；②過點畫的垂線；③畫出點到的垂線段．

考點3、垂線段最短的應用
例3．（2023春·廣東深圳·七年級?？计谥校┤鐖D，P是直線l外一點，從點P向直線l引，，，幾條線段，其中只有與l垂直，這幾條線段中長度最短的是（ ）

A． B． C． D．
變式1．（2022秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，斑馬線的作用是為了引導行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學依據(jù)是（ ）

A．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 B．垂線段最短
C．兩點之間，線段最短 D．兩點確定一條直線
變式2．（2023春·安徽宿州·八年級?？计谥校┠炒迩fA為方便出行想向公路a修一條鄉(xiāng)村公路，為了盡可能的節(jié)省費用，選擇了如圖的方案，這樣做的原因是 ．

考點4、點到直線的距離
例4．（2023·上海徐匯·七年級?？计谥校┤鐖D，，，垂足為，線段 的長表示點到直線的距離．

變式1．（2023·四川雅安·七年級校考期中）如圖，是銳角三角形，過點作，垂足為，則點到直線的距離是線段 ．

變式2．（2023春·黑龍江佳木斯·七年級?？计谥校┤鐖D，于點，于點，其中長度能表示點到直線（或線段）的距離的線段有 條．

考點5、對頂角的定義
例5．（2023秋·湖南衡陽·七年級校考階段練習）下列圖形中，與是對頂角的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023春·廣東深圳·七年級?？计谥校﹫D中的，是對頂角的是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）下列各圖中，和是對頂角的是（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2023秋·四川綿陽·八年級校聯(lián)考開學考試）光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象，如圖①所示．小華為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設計了圖②所示的實驗：通過細管可以看見水底的物塊，但從細管穿過的直鐵絲，卻碰不上物塊．圖③是實驗的示意圖，點A，C，B在同一直線上，下列各角中，的對頂角是 （ ）

A． B． C． D．
考點6、對頂角相等
例6．（2022春·河北石家莊·七年級?？计谀┤鐖D，若，則（ ）

A．50° B．40° C．140° D．10°
變式1．（2023春·河北滄州·七年級校考階段練習）如圖，直線，，相交于點，，，則（ ）

A． B． C． D．
變式2．（2023·吉林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在所標識的角中，一定相等的兩個角是（ ）（多選題）

A．和 B．和 C．和 D．和
考點7、直線的交點問題
例7．（2023·福建漳州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內，我們把兩條直線相交的交點個數(shù)記為，三條直線兩兩相交最多交點個數(shù)記為，四條直線兩兩相交最多交點個數(shù)記為條直線兩兩相交最多交點個數(shù)記為，則用含n的代數(shù)式表示為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2022秋·湖北襄陽·九年級校聯(lián)考自主招生）兩條直線相交，產生一個交點，已知9條直線相交最多產生36個交點，那么10條直線相交最多產生交點個數(shù)為（ ）
A．45 B．46 C．50 D．60
變式2．（2023秋·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）平面上10條直線兩兩相交，最多有m個交點，最少有n個交點，則 ．
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023春·安徽蕪湖·七年級統(tǒng)考期中）按下列語句畫圖：點在直線上，也在直線上，但不在直線上，且直線兩兩相交，下列圖形符合題意的是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2023春·陜西榆林·七年級?？计谥校┤鐖D，在三角形中，，，點可以在直線上自由移動，的長不可能是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習）下列各圖中，與是對頂角的為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．點到的垂線段是線段 B．點到的垂線段是線段
C．線段是點D到的垂線段 D．線段是點到的垂線段
5．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）如圖，，，為垂足，那么，，三點在同一條直線上，理由是（ ）

A．兩點確定一條直線 B．過一點只能做一條垂線
C．垂線段最短 D．在同一平面內，經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
6．（2023春·河北保定·七年級校聯(lián)考期中）如圖，若過點P畫直線l的垂線，則垂線經過的點是（ ）

A．點A B．點B C．點C D．點D
7．（2023春·福建廈門·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，點在直線上，用三角尺過點畫直線的垂線．下列選項中，三角尺擺放位置正確的是（ ）

A． B． C． D．
8．（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習）如圖，從小到大的順序為（ ）

A． B． C． D．
9．（2023·河南周口·淮陽校考模擬預測）如圖，直線相交于點，若，則（ ）

A． B． C． D．
10．（2022春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，相交于點O，且，下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·吉林長春·?？寄M預測）長春市解放大路和新民大街分別是東西走向與南北走向，如交通圖所示，小致同學想從新民廣場盡快走到解放大路，他選擇沿新民大街走，小致這樣走的數(shù)學依據(jù) ．

12．（2022春·福建寧德·七年級?？计谥校┤鐖D，有一個破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個扇形零件的圓心角的度數(shù)，那么這個破損扇形零件的圓心角的度數(shù)是 °．

13．（2023春·內蒙古巴彥淖爾·七年級?？茧A段練習）同一平面內的三條直線，其交點個數(shù)的情況可能有 種
14．（2023春·河北石家莊·七年級?？计谥校┤鐖D，三角形ABC中，．

（1）點B到直線AC的距離是線段 的長度；
（2）三條邊AB、BC、AC，邊 最長，理由是 ．
15．（2023·廣東七年級期中）如圖，，垂足為，則下面的結論正確有 ．
①與互相垂直；②與互相垂直；③點到的垂線段是線段；④線段的長度是點到的距離；⑤線段是點到的距離．
16．（2023·福建龍巖·七年級?？茧A段練習）如圖，直線，相交于點，，，則等于 度．

17．（2023春·重慶開州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知直線和相交于O點，，平分，若，則的度數(shù)是 ．

18．（2022春·廣東七年級期中）平面內兩兩相交的6條直線，其交點個數(shù)最少為 個，最多為 個，n條直線兩兩相交的直線最多有 個交點．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·黑龍江哈爾濱·八年級?？茧A段練習）如圖，所有小正方形的邊長都為1個單位長度，A、B、C都在格點上．(1)過點A作直線的垂線，并注明垂足為G．(2)過點A作交于點H．
(3)點A到直線的距離等于_______個單位長度．

20．（2023春·河北滄州·七年級校考階段練習）如圖是一條河是河邊外一點，是河邊上一碼頭．(1)若要從走到碼頭，請在圖1中作出最短路線示意圖．
(2)現(xiàn)欲用水管從河邊將水引到處，請在圖2上作出所需水管最短的鋪設方案．

21．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）請按要求完成下列問題；
(1)在圖1中作線段；(2)在圖1中作射線；(3)在圖1中找一點P，使得點P到點A、點B、點C、點D四個點的距離之和最?。?4)為探索平面內相交直線的交點個數(shù)，小方進行了如下研究：如圖2，直線和相交于點A，兩條線交點個數(shù)為1；過點B和點C作直線，與直線l1和l2相交，新增2個交點；過點D作直線，與直線、和相交，新增3個交點……按照此規(guī)律，若平面內有10條直線，則最多共有______個交點．
22．（2023春·云南昆明·七年級?？茧A段練習）如圖，直線與相交于點O，，平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．

23．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線，相交于點，且．
(1)圖中，的對頂角是 ，的鄰補角是 ；
(2)若：＝：，求的度數(shù)．

24．（2023春·福建莆田·七年級校考期中）如圖，直線，相交于點O，且．

(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求的度數(shù)．
25．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習）已知：直線、相交于點．

(1)如圖1，，求的度數(shù)．(2)如圖2，射線、在直線的上方，且，作平分，求與的數(shù)量關系．(3)如圖3，在（2）的條件下，當于，在下方作于，射線在的內部，平分，若，，求的度數(shù)．
1
2
3
4
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑