資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題5.1 常量與變量
模塊1：學習目標
1、通過實例體驗在一個過程中有些量固定不變，有些量不斷地變化；
2、了解常量、變量的概念，體驗在一個過程中常量與變量相對地存在；
3、會在簡單的過程中辨別常量和變量。
模塊2：知識梳理
1）常量與變量：在某個變化過程中，保持同一數值的量叫常量，可以取不同數值的量叫變量．
2）自變量與因變量：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與之對應，那么我們就說x是自變量，y是因變量．
注：自變量的取值范圍的確定方法：（1）當解析式是整式時，自變量的取值范圍是全體實數；（2）當解析式是分式時，自變量的取值范圍是使分母不為零的實數；（3）當解析式是二次根式時，自變量的取值范圍是使被開方數不小于零的實數；（4）當解析式中含有零指數冪或負整數指數冪時，自變量的取值應使相應的底數不為零；（5）當解析式表示實際問題時，自變量的取值必須使實際問題有意義.
模塊3：核心考點與典例
考點1. 常量、變量的相關概念
例1．（2023·山東濟南市·七年級期中）李師傅到單位附近的加油站加油，如圖是所用的加油機上的數據顯示牌，則其中的常量是（　　）
A．金額 B．數量 C．單價 D．金額和數量
【答案】C
【分析】根據常量與變量的定義即可判斷．
【詳解】解：常量是固定不變的量，變量是變化的量，單價是不變的量，而金額是隨著數量的變化而變化，故選：C．
【點睛】本題考查常量與變量，解題的關鍵是正確理解常量與變量，本題屬于基礎題型．
變式1．（2022·湖南長沙·八年級期中）把15本書隨意放入兩個抽屜（每個抽屜內都放），第一個抽屜放入x本，第二個抽屜放入y本，則下列判斷錯誤的是（　　）
A．15是常量 B．15是變量 C．x是變量 D．y是變量
【答案】B
【分析】一個變化的過程中，數值發生變化的量稱變量，數值始終不變的量稱為常量，據此判斷即可．
【詳解】解：把15本書隨意放入兩個抽屜（每個抽屜內都放），第一個抽屜放入x本，第二個抽屜放入y本．則x和y分別是變量，15是常量．故選：B．
【點睛】本題考查函數的基礎：常量與變量，熟練掌握常量與變量的定義是解題關鍵．
變式2．（2022·浙江八年級課時練習）指出下列問題中的變量和常量：
（1）某市的自來水價為4元/t．現要抽取若干戶居民調查水費支出情況，記某戶月用水量為噸，月應交水費為y元．（2）某地手機通話費為0.2元/．李明在手機話費卡中存入30元，記此后他的手機通話時間為，話費卡中的余額為w元．（3）水中漣漪（圓形水波）不斷擴大，記它的半徑為r，周長為C，圓周率（圓周長與直徑之比）為．（4）把10本書隨意放入兩個抽晝（每個抽屜內都放），第一個抽屜放入x本，第二個抽屜放入y本．
【答案】（1）變量x，y；常量4．（2）變量t，w；常量0.2，30．（3）變量r，C；常量．（4）變量x，y；常量10．
【分析】根據常量與變量的定義求解即可．
【詳解】解：(1)由題意可知，變量為x，y，常量為4；(2)由題意可知，變量為t，w，常量為0.2，30；
(3)由題意可知，變量為r，C，常量為；(4)由題意可知，變量為x，y，常量為10．
【點睛】本題考查常量與變量的定義，常量是指在變化過程中不隨時間變化的量；變量是指在變化過程中隨著時間變化的量．
考點2. 自變量、因變量的相關概念
例2．（2023·廣西七年級課時練習）某品牌豆漿機的成本為50元，銷售商對其銷量與定價的關系進行了調查，結果如下：（ ）
定價/元 70 80 90 100 110 120
銷量/個 80 100 110 100 80 60
A．定價是常量，銷量是變量 B．定價是變量，銷量是常量
C．定價與銷量都是變量，定價是自變量，銷量是因變量
D．定價與銷量都是變量，銷量是自變量，定價是因變量
【答案】C
【分析】根據某個過程中，變量和常量的定義，即可得到答案．
【詳解】由題意得：定價與銷量都是變量，定價是自變量，銷量是因變量．故選C．
【點睛】本題主要考查變量和常量的定義，掌握變量是在一個過程中，數值變化的量，是解題的關鍵．
變式1．（2022 成都市成華區七年級期中）汽車以每小時100千米的速度勻速行駛，行駛的路程隨時間的變化而變化，在這個變化過程中，自變量是　　
A．汽車 B．路程 C．速度 D．時間
【分析】根據自變量的定義判斷．
【解析】勻速行駛，速度不變，速度是常量，時間是自變量，路程是因變量，故選：．
變式2．（2022·安徽宣城·八年級期末）寒冷的冬天里我們在利用空調制熱調控室內溫度的過程中，空調的每小時用電量隨開機設置溫度的高低而變化，這個問題中自變量是（ ）
A．每小時用電量 B．室內溫度 C．設置溫度 D．用電時間
【答案】C
【分析】根據題意分析，自變量是設置溫度，因變量是空調的每小時用電量，據此分析即可．
【詳解】解：空調的每小時用電量隨開機設置溫度的高低而變化，這個問題中自變量是設置溫度，
故選：C．
【點睛】本題考查了自變量與函數關系，理解題意是解題的關鍵．
考點3. 列表法表示變量之間的關系
例3．（2022·陜西西安·九年級模擬預測）在實驗課上，小亮利用同一塊木板，測得小車從不同高度h（cm）下滑的時間t（s），得到如下數據：
支撐物高h（cm） 10 20 30 40 50 …
下滑時間t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
以下結論錯誤的是（　　）
A．當h＝10時，t為3.25秒 B．隨支撐物高度增加，下滑時間越來越短
C．估計當h＝80時，t一定小于2.56秒 D．高度每增加10cm，下滑時間就會減少0.24秒
【答案】D
【分析】根據表格中數量的變化情況，分別進行判斷即可．
【詳解】解：由表格知：h＝10，t＝3.25．故A結論正確．
由表格知：隨著高度的增加，下滑時間越來越短．故B，C結論正確．
當支撐物高度從10cm升高到20cm，下滑時間的減少0.24s，
從20cm升高到30cm時，下滑時間就減少0.2s，從30cm升高到40cm時，下滑時間就減少0.15s，
從40cm升高到50cm時，下滑時間就減少0.1s，
因此，“高度每增加了10cm，時間就會減少0.24秒”的說法是錯誤的，故選項D結論錯誤．故選：D．
【點睛】本題理解表格中兩個變量之間的變化關系是正確判斷的前提．
變式1．（2023·重慶七年級階段練習）在彈簧限度內，彈簧掛上物體后彈簧的長度與所掛物體的質量之間的關系如表：
所掛物體的質量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8
彈簧的長度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
在彈簧限度內，彈簧的長度是13cm時，所掛重物的質量是______kg．
【答案】2
【詳解】從表格中找到當彈簧的長度是13cm時，所掛物體的質量為2kg．
【解答】解：從表格中找到當彈簧的長度是13cm時，所掛物體的質量為2kg．故答案為：2．
【點評】本題考查了函數的概念，函數的表示方法，知道了函數值為13，找到自變量為2是解題的關鍵．
變式2．（2022·成都市七年級期中）根據心理學家研究發現，學生對一個新概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（分鐘）之間有如表所示的關系：
提出概念所用時間（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
對概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映的兩個變量之間的關系，哪個是自變量？哪個是因變量？
（2）根據表格中的數據，提出概念所用時間是多少分鐘時，學生的接受能力最強？
（3）學生對一個新概念的接受能力從什么時間開始逐漸減弱？
【答案】（1）“提出概念所用時間”是自變量，“對概念的接受能力”為因變量；（2）13分鐘；（3）從第13分鐘以后開始逐漸減弱
【分析】（1）根據表格中提供的數量的變化關系，得出答案；（2）根據表格中兩個變量變化數據得出答案；（3）提供變化情況得出結論．
【詳解】（1）表格中反映的是：提出概念所用時間與對概念的接受能力這兩個變量，其中“提出概念所用時間”是自變量，“對概念的接受能力”為因變量；
（2）根據表格中的數據，提出概念所用時間是13分鐘時，學生的接受能力最強達到59.9；
（3）學生對一個新概念的接受能力從第13分鐘以后開始逐漸減弱．
【點睛】本題考查用表格表示變量之間的關系，理解自變量、因變量的意義及變化關系是解決問題的關鍵．
考點4. 關系式表示變量之間的關系
例4．（2023·河北承德·八年級期中）琪琪拿9元錢去買單價為元/只的筆芯，買筆芯所剩的錢數（元）與所買筆芯的數量（只）之間的關系式為______．
【答案】
【分析】根據總價等于單價乘以數量可以算出購買筆芯用掉的錢，再根據剩余的錢數等于總錢數減去用掉的錢數，即可得出關系式．
【詳解】解：由題知：買筆芯用去的錢數為：
所以買筆芯所剩的錢數為：故答案為：．
【點睛】本題主要考查列關系式，準確理解掌握“單價、數量和總價”以及“剩余錢數、用去的錢數與總錢數”之間的關系，是解決本題的關鍵．
變式1．（2022·廣東茂名市·七年級期中）在燒開水時，水溫達到水就會沸騰，下表是小紅同學做“觀察水的沸騰”實驗時所記錄的變量時間和溫度的數據：
0 2 4 6 8 10 12 14 …
30 44 58 72 86 100 100 100 …
在水燒開之前（即），溫度與時間的關系式及因變量分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】由表知開始時溫度為，每增加2分鐘，溫度增加，即每增加1分鐘，溫度增加，可得溫度與時間的關系式．
【詳解】∵開始時溫度為，每增加1分鐘，溫度增加
∴溫度與時間的關系式為：
∵溫度隨時間的變化而變化∴因變量為故答案選：A
【點睛】本題考查變量，關鍵是尋找兩個變量之間的關系，同時注意自變量與因變量的區分．
變式2．（2022·山東肥城·八年級期末）一輛客車以從85km/h的速度從肥城駛往北京，若肥城到北京的距離為470km，那么客車離北京的距離（km）與所用時間（h）的表達式為______．
【答案】
【分析】先求得的取值范圍，進而根據題意列出關系式即可．
【詳解】 根據題意可得
故答案為：
【點睛】本題考查了列解析式，理解題意是解題的關鍵．
考點5. 圖象法表示變量關系
例5．（2022·廣東羅湖·七年級期末）一輛公共汽車從車站開出，加速行駛一段時間后開始勻速行駛．過了一段時間，汽車到達下一車站．乘客上、下車后汽車開始加速，一段時間后又開始勻速行駛．下圖中近似地刻畫出汽車在這段時間內的速度變化情況的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
橫軸表示時間，縱軸表示速度，根據加速、勻速、減速時，速度的變化情況，進行選擇．
【詳解】解： 公共汽車經歷：加速，勻速，減速到站，加速，勻速，
加速：速度增加， 勻速：速度保持不變， 減速：速度下降， 到站：速度為0．
觀察四個選項的圖象：只有選項B符合題意；故選：B．
【點睛】本題主要考查了圖象的讀圖能力和與實際問題結合的應用．要能根據圖象的性質和圖象上的數據分析得出類型和所需要的條件，結合實際意義得到正確的結論．
變式1．（2022·云南迪慶藏族自治州·八年級期末）為積極響應黨和國家精準扶貧的號召，某扶貧工作隊步行前往扶貧點開展入戶調查。隊員們先勻速步行一段時間，途中休息幾分鐘后加快了步行速度，最終按原計劃時間到達目的地。設行進時間為t（單位：min），行進的路程為s（單位：m），則能近似刻畫s與t之間的函數關系的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據行進的路程和時間之間的關系，確定圖象即可得到答案．
【詳解】解：根據題意得，隊員的行進路程s（單位：m）與行進時間t（單位：min）之間函數關系的大致圖象是故選：A
【點睛】本題考查圖象，正確理解自變量與因變量的關系及其實際意義是解題的關鍵．
變式2．（2022·成都市七年級專題練習）如圖所示的是一游泳池斷面圖，分為深水區和淺水區，排空池里的水進行清理后，打開進水閥門連續向該池注水(此時已關閉排水閥門)．則游泳池的蓄水高度h(米)與注水時間t (時)之間的關系的大致圖象是 ( )
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
【答案】D
【解析】由游泳池的結構可知，先注入的是“深水區”，此時水面面積較小，水位上升較快；當水位上升到淺水區時，由于此時水面增大，水位上升變慢，所以上述四幅圖中，只有D中的圖象符合游泳池的蓄水高度h(米)與注水時間t (時)之間的關系.故選D.
考點6. 行程問題中的變量關系
例6．（2022·萊陽市期末）周末，小明騎車從家前往公園，中途休息了一段時間．他從家出發后所用時間為t（分鐘），所走的路程為s（米），s與t之間的函數關系如圖所示．對于下列說法：①小明中途休息了2分鐘；②小明休息前的騎車速度為每分鐘400米；③小明所走的路程為4400米；④小明休息前的騎車速度小于休息后的騎車速度．其中正確結論的序號是 　　．
【分析】根據函數圖象可知，小依4分鐘所走的路程為1600米，4～6分鐘休息，6～10分鐘騎車（2800﹣1600）米，騎車的總路程為2800米，根據路程、速度、時間的關系進行解答即可．
【解析】①根據圖象可知，在4～6分鐘，路程沒有發生變化，所以小依中途休息的時間為：6﹣4＝2分鐘，故①正確；②根據圖象可知，當t＝4時，s＝1600，所以小依休息前騎車的平均速度為：1600÷4＝400（米/分鐘），故②正確；③根據圖象可知，小依在上述過程中所走的路程為2800米，故③錯誤；
④小依休息后的騎車的平均速度為：（2800﹣1600）÷（10﹣6）＝300（米/分），小依休息前騎車的平均速度為：1600÷4＝400（米/分鐘），
400＞300，所以小依休息前騎車的平均速度大于休息后騎車的平均速度，故④錯誤；
綜上所述，正確的有①②2個．故答案為：①②．
變式1．（2022·臺州期末）小亮從家騎車上學，先經過一段平路到達A地后，再上坡到達B地，最后下坡到達學校，所行駛路程s（千米）與時間t（分鐘）的關系如圖所示．如果返回時，上坡、下坡、平路的速度仍然保持不變，那么他從學校回到家需要的時間是 　 　分鐘．
【分析】據圖象知：小明從家騎車上學，平路路程是1千米，用3分鐘；上坡的路程是1千米，用6分鐘，則上坡速度是千米/分鐘；下坡路程是2千米，用3分鐘，因而速度是千米/分鐘，由此即可求出答案．
【解析】根據圖象可知：小明從家騎車上學，上坡的路程是1千米，用6分鐘，
則上坡速度是千米/分鐘；下坡路長是2千米，用3分鐘，則速度是千米/分鐘，
他從學校回到家需要的時間為：2÷+1÷+3＝16.5（分鐘）．故答案為：16.5．
變式2．（2022 葉縣期末）新能源純電動汽車的不斷普及讓很多人感受到了它的好處，其中最重要的一點就是對環境的保護．如圖是某型號新能源純電動汽車充滿電后，蓄電池剩余電量y（千瓦時）與已行駛路程x（千米）之間關系的圖象．（1）圖中點A表示的實際意義是什么？求當0≤x≤150時，行駛1千米的平均耗電量是多少？當150≤x≤200時，行駛1千米的平均耗電量是多少？（2）當行駛了120千米時，求蓄電池的剩余電量；（3）求行駛多少千米時，剩余電量降至20千瓦時？
【分析】（1）由圖象可知，蓄電池剩余電量為35千瓦時時汽車已行駛了150千米，進而解答即可；
（2）根據（1）中當0≤x≤150時，行駛1千米的平均耗電量，即可求解；
（3）根據（1）中當150≤x≤200時，行駛1千米的平均耗電量，即可求解．
【解析】（1）由圖象可知，A點表示充滿電后行駛150千米時，剩余電量為35千瓦時；
當0≤x≤150時，行駛1千米的平均耗電量是＝（千瓦時）；
當150≤x≤200時，行駛1千米的平均耗電量是＝（千瓦時）；
答：A點表示充滿電后行駛150千米時，剩余電量為35千瓦時；求當0≤x≤150時，行駛1千米的平均耗電量是千瓦時；當150≤x≤200時，行駛1千米的平均耗電量是千瓦時；
（2）60﹣×120＝40（千瓦時），答：當行駛了120千米時，蓄電池的剩余電量是40千瓦時；
（3）+150＝180（千米），
答：汽車已行駛180千米時，剩余電量降至20千瓦時．
考點7. 打折銷售、水電費等類型中的變量關系
例7．（2022·硚口區期末）某種瓜苗早期在農科所溫室中生長，長到20cm時，移至村莊的大棚內沿插桿繼續向上生長．研究表明，60天內，這種瓜苗的平均高度y（cm）與生長時間x（天）的函數關系的圖象如圖所示．當這種瓜苗長到大約80cm時，開始開花，則這種瓜苗移至大棚后，繼續生長至開始開花所用的時間是（　　）
A．33天 B．18天 C．35天 D．20天
【分析】利用圖象求出15＜x≤60時y與x之間的關系式，再把y＝80代入計算即可求解．
【解析】當15＜x≤60時， ∴y＝x﹣30，
當y＝80時，x﹣30＝80，解得x＝33，33﹣15＝18（天），
∴這種瓜苗移至大棚后，繼續生長至開始開花所用的時間是是18天．故選：B．
變式1．（2022 煙臺期末）某通訊公司就上寬帶網推出A，B，C三種月收費方式，這三種收費方式每月所需的費用y（元）與上網時間x（h）的函數關系如圖所示，則下列判斷錯誤的是（　　）
A．每月上網時間不足25h時，選擇A方式最省錢
B．每月上網費用為60元時，B方式可上網的時間比A方式多
C．每月上網時間為50h時，選擇A方式最省錢
D．每月上網費用為120元時，選擇C方式上網的時間最長
【分析】A、觀察函數圖象，可得出：每月上網時間不足25 h時，選擇A方式最省錢，結論A正確；
B、觀察函數圖象，可得出：當每月上網費用≥50元時，B方式可上網的時間比A方式多，結論B正確；
C、利用待定系數法求出：當x≥25時，yA與x之間的函數關系式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出當x＝50時yA的值，將其與50比較后即可得出結論C不正確；
D、由圖可知：當y＝120時，A方式可上網55h，B方式可上網h，而C方式上網任意小時，即可判斷D正確．
【解析】A、觀察函數圖象，可知：每月上網時間不足25 h時，選擇A方式最省錢，結論A正確，不符合題意；B、觀察函數圖象，可知：當每月上網費用≥50元時，B方式可上網的時間比A方式多，結論B正確，不符合題意；
C、設當x≥25時，根據圖象得yA＝3x﹣45（x≥25），當x＝50時，yA＝3x﹣45＝105＞50，
∴每月上網時間為50h時，選擇B方式最省錢，結論C不正確，符合題意；
D、由圖可知：當y＝120時，A方式可上網55h，B方式可上網h，而C方式上網任意小時，
∴結論D正確，不符合題意．故選：C．
變式2．（2022·山東濟陽·七年級期中）一輛汽車油箱內有油a升，從某地出發，每行駛1小時耗油6升，若設剩余油量為Q升，行駛時間為t/小時，根據以上信息回答下列問題：
（1）開始時，汽車的油量______升；
（2）在行駛了______小時汽車加油，加了______升，寫出加油前Q與t之間的關系式______；
（3）當這輛汽車行駛了9小時，剩余油量多少升？
【答案】（1）42；（2）5 ， 24 ，；（3）當這輛汽車行駛9小時，剩余油量12升．
【分析】（1）直接由圖象中的數據得出即可；（2）由加油前汽車每小時的耗油量，即可得出關系式；
（3）先求出加油后3小時的耗油量即可求得剩余量．
【詳解】解：（1）由圖象可知，開始時，汽車的油量42升，故答案為：42；
（2）由圖象可知，在行駛了5小時汽車加油，加了36﹣12=24升，
∵加油前汽車每小時的耗油6升，∴加油前汽車剩余油量Q=42﹣6t，
故答案為：5 ，24 ， ；
（3）由題意，加油后汽車每小時的耗油6升，∴加油后剩余油量Q=（升），
故當這輛汽車行駛了9小時，剩余油量12升．
【點睛】本題考查用圖象表示變量間的關系、有理數的混合運算，理解題意，能從圖象中獲取有效信息是解答的關鍵．
模塊四：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022 市中區八年級期末）司機王師傅在加油站加油，如圖是所用的加油機上的數據顯示牌，則其中的常量是（　　）
A．金額 B．數量 C．單價 D．金額和數量
【思路點撥】根據常量與變量的定義即可判斷．
【答案】解：常量是固定不變的量，變量是變化的量，
單價是不變的量，而金額是隨著數量的變化而變化，故選：C．
【點睛】本題考查常量與變量，解題的關鍵是正確理解常量與變量，本題屬于基礎題型．
2．（2023 成華區八年級期末）汽車以每小時100千米的速度勻速行駛，行駛的路程隨時間的變化而變化，在這個變化過程中，自變量是　　
A．汽車 B．路程 C．速度 D．時間
【分析】根據自變量的定義判斷．
【解析】勻速行駛，速度不變，速度是常量，時間是自變量，路程是因變量，故選：．
3．（2022·湖南長沙·八年級期中）把15本書隨意放入兩個抽屜（每個抽屜內都放），第一個抽屜放入x本，第二個抽屜放入y本，則下列判斷錯誤的是（　　）
A．15是常量 B．15是變量 C．x是變量 D．y是變量
【答案】B
【分析】一個變化的過程中，數值發生變化的量稱為變量，數值始終不變的量稱為常量，據此判斷即可．
【詳解】解：把15本書隨意放入兩個抽屜（每個抽屜內都放），第一個抽屜放入x本，第二個抽屜放入y本．則x和y分別是變量，15是常量．故選：B．
【點睛】本題考查函數的基礎：常量與變量，熟練掌握常量與變量的定義是解題關鍵．
4．（2022·天津·八年級期中）在圓的周長計算公式C＝2πR中，對于變量和常量的說法正確的是（　　）
A．2是常量，C，π，R是變量 B．2，π是常量，C，R是變量
C．2，C，π是常量，R是變量 D．2，π，R是常量，C是變量
【答案】B
【分析】常量就是在某個過程中不變的量，變量是指在變化過程中隨時可以發生變化的量．
【詳解】解：在圓的周長計算公式C＝2πR中，C和R是變量，2、π是常量，故選：B．
【點睛】本題考查了變量與常量的知識，屬于基礎題，正確理解變量與常量的概念是解題的關鍵．
5．（2022·廣東高州·七年級期末）根據市衛生防疫部門的要求，游泳池必須定期換水后才能對外開放，在換水時需要經排水﹣清洗﹣注水的過程，某游泳館從早上8：00開始對游泳池進行換水，已知該游泳池共蓄水2500m3，打開放水閘門勻速放水后，游泳池里的水量和放水時間的關系如表，下面說法不正確的是( )
放水時間(分鐘) 1 2 3 4 …
游泳池中的水量(m3) 2480 2460 2440 2420 …
A．每分鐘放水20 m3 B．游泳池中的水量是因變量，放水時間是自變量
C．放水10分鐘時，游泳池中的水量為2300 m3 D．游泳池中的水全部放完，需要124分鐘
【答案】D
【分析】據該游泳池共蓄水2500m3與每分鐘后游泳池中的剩余水量可得，每分鐘放水20m3，繼而判斷正誤．
【詳解】解：A．由表格可得每分鐘放水20m3，正確．
B．游泳池中的水量隨放水時間變化而變化，故放水時間是自變量，游泳池中的水量是因變量，正確．
C．放水十分鐘后，剩余水量2500﹣20×10＝2300（m3），正確．
D．全部放完需要2500÷20＝125（分鐘），錯誤．故選：D．
【點睛】本題主要考查變量的表示方法：表格法，另外還有圖象法和解析式法，解題關鍵是從實際應用中構建變量模型求解．
6．（2022 無錫·七年級期末）某商場為了增加銷售額，推出“七月銷售大酬賓”活動，其活動內容為：“凡七月份在該商場一次性購物超過100元以上者，超過100元的部分按9折優惠．”在大酬賓活動中，小王到該商場為單位購買單價為60元的辦公用品x件（x＞2），則應付貨款y（元）與商品件數x的函數關系式是（　　）
A．y＝54x（x＞2） B．y＝54x+10（x＞2） C．y＝54x+90（x＞2） D．y＝54x+100（x＞2）
【分析】容易知道y大于100，所以應付貨款分成兩部分，一部分原價付款，一部分按9折優惠．應付貨款y（元）＝100+超過100的部分．
【解析】∵x＞2，∴銷售價超過100元，超過部分為60x﹣100，
∴y＝100+（60x﹣100）×0.9＝54x+10（x＞2，且x為整數），故選：B．
7．（2022·山西九年級專題練習）用固定的速度向如圖所示形狀的杯子里注水，則能表示杯子里水面的高度和注水時間的關系的大致圖象是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】容器上粗下細，杯子里水面的高度上升應是先快后慢．故選C．
8．（2022 雁塔區校級期末）為增強居民的節水意識，某市自來水公司采用以戶為單位分段計費的方式：即每月用水量不超過10噸時，每噸收費a元；若超過10噸，則10噸水按每噸a元收費，超過10噸的部分按每噸b元收費．如圖是自來水公司繪制的水費y（元）與當月用水量x（噸）之間的圖象，則下列結論不正確的是（　　）
A．a＝1.5 B．b＝2 C．若小明家當月用水量為14噸，則應繳水費23元
D．若小紅家6月份繳水費30元，則當月用水量為18.5噸
【分析】利用（10，15），（20，35）兩點求出a，b的值即可．
【解析】由圖象可知，a＝15÷10＝1.5；b＝＝2；
用水14噸，則應繳水費：1.5×10+2×（14﹣10）＝15+8＝23（元）；
繳水費30元，則該用戶當月用水為：10+（30﹣15）÷2＝17.5（噸）．故結論錯誤的是選項D．故選：D．
9．（2023·山東七年級期中）某科研小組在網上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關系的一些數據（如下表）：
溫度/℃ ﹣20 ﹣10 　0 10 20 30
聲速/m/s 318 324 330 336 342 348
下列說法不正確的是（　　）
A．在這個變化中，自變量是溫度，因變量是聲速 B．溫度越高，聲速越快
C．當空氣溫度為20℃時，聲音5s可以傳播1740m D．當溫度每升高10℃，聲速增加6m/s
【答案】C
【分析】根據自變量、因變量的含義，以及聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關系逐一判斷即可．
【詳解】解：∵在這個變化中，自變量是溫度，因變量是聲速，∴選項正確；
∵根據數據表，可得溫度越高，聲速越快，∴選項正確；
∵，∴當氣溫為時，聲音可以傳播，∴選項C不正確；
∵，，，，
∴當溫度每升高，聲速增加，∴選項正確．故選C．
【點睛】本題考查了自變量、因變量的含義和判斷．熟練掌握自變量、因變量的含義是解題的關鍵．
10．（2022 沙坪壩區校級開學）春節前，某加工廠接到面粉加工任務，要求5天內加工完220噸面粉．加工廠安排甲、乙兩組共同完成加工任務．乙組加工中途停工一段時間維修設備，然后提高加工效率繼續加工，直到與甲隊同時完成加工任務為止．設甲、乙兩組各自加工面粉數量y（噸）與甲組加工時間x（天）之間的關系如圖所示，結合圖象，下列結論錯誤的是（　　）
A．乙組中途休息了1天 B．甲組每天加工面粉20噸
C．加工3天后完成總任務的一半 D．3.5天后甲乙兩組加工面粉數量相等
【分析】根據圖象的橫縱坐標表示的意義，進行計算即可得出答案．
【解析】由圖象可得：2﹣1＝1，即乙組加工中途停工1天，故選項A是正確的，
甲組每天加工面粉數量為：＝20（噸），故選項B是正確的，
甲組加工3天的面粉數量為20×3＝60（噸），
乙組第一天加工15噸，第三天加工面粉數量為：＝35（噸），
∴加工3天后面粉數量為：60+15+35＝110（噸），完成總任務的一半，故C選項正確，
3.5天后甲組加工面粉數量為20×3.5＝70（噸），乙組加工面粉數量為15+35×1.5＝67.5（噸），D選項錯誤，故選：D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·河南中原·七年級期末）一輛汽車油箱中原有汽油90升，若汽車勻速行使100km耗油9升，則該汽車油箱中的剩余油量Q（升）與汽車勻速行駛的距離s（km）之間的關系式是____________．
【答案】
【分析】剩余的油量等于油箱中原有的油量減去總消耗的油量，由勻速行駛100km耗油9升可得出均速行駛1km消耗的油量為0.09升，再乘以路程就是總消耗的油量．
【詳解】解：∵汽車勻速行駛100km耗油9升，∴每千米消耗9÷100＝0.09升，∴Q＝90﹣0.09s，
故答案為：Q＝90﹣0.09s．
【點睛】本題主要考查列關系式，關鍵是要知道剩余的油量等于原有的油量減去消耗的油量，然后才能列出關系式．
12．（2022·浙江杭州·八年級階段練習）如果用總長為60m的籬笆圍成一個長方形場地，設長方形的面積為S（m2），周長為p（m），一邊長為a（m），那么在，，中是變量的是______．
【答案】和
【分析】由題意根據籬笆的總長確定，即可得到周長、一邊長及面積中的變量．
【詳解】解：籬笆的總長為60米，周長是定值，而面積和一邊長是變量，故答案為：和．
【點睛】本題考查常量與變量的知識，解題的關鍵是能夠根據籬笆總長不變確定定值，然后確定變量．
13．（2022·江蘇徐州市·張雙樓礦校八年級月考）直角三角形兩銳角的度數分別為，，其關系式為，其中變量為________，常量為________．
【答案】x，y -1，90
【分析】據在一個變化過程中，數值發生變化的量稱為變量，數值始終不變的量稱為常量，即可解答．
【詳解】關系式中，變量為：x，y，常量為：-1，90，故答案為：x，y；-1，90．
【點睛】本題考查常量與變量的認識，熟記基本定義是解題關鍵．
14．（2023·山東聊城市·七年級期末）如圖是2020年1月15日至2月2日全國（除湖北省）新冠肺炎新增確診人數的變化曲線，則下列說法：①自變量為時間，確診總人數是時間的函數；②1月23號，新增確診人數約為150人；③1月25號和1月26號，新增確診人數基本相同；④1月30號之后，預測新增確診人數呈下降趨勢，其中正確的是____________．（填上你認為正確的說法的序號）
【答案】②③④
【分析】觀察圖中曲線中的數據變化，分析數據即可解題．
【詳解】由圖象信息得，自變量為時間，因變量為新增確診人數，新增確診人數是時間的函數，故①錯誤；1月23號，新增確診人數約為150人，故②正確；
1月25號和1月26號，新增確診人數基本相同，故③正確；
1月30號之后，預測新增確診人數呈下降趨勢，故④正確，
故正確的有②③④，故答案為：②③④．
【點睛】本題考查常量與變量，圖象等知識，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
15．（2022·重慶七年級階段練習）在彈簧限度內，彈簧掛上物體后彈簧的長度與所掛物體的質量之間的關系如表：
所掛物體的質量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8
彈簧的長度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
在彈簧限度內，彈簧的長度是13cm時，所掛重物的質量是______kg．
【答案】2
【詳解】從表格中找到當彈簧的長度是13cm時，所掛物體的質量為2kg．
【解答】解：從表格中找到當彈簧的長度是13cm時，所掛物體的質量為2kg．故答案為：2．
【點評】本題考查了函數的概念，函數的表示方法，知道了函數值為13，找到自變量為2是解題的關鍵．
16．（2022 豐臺區校級期中）2021年5月15日07時18分，“天問一號”火星探測器成功登陸火星表面，開啟了中國人自主探測火星之旅．已知華氏溫度與攝氏溫度之間的關系滿足如表：
攝氏（單位 0 10 20 30
華氏（單位 14 32 50 68 86
若火星上的平均溫度大約為，則此溫度換算成華氏溫度約為 　　．
【分析】根據表格中“攝氏（單位”與“華氏（單位”之間的變化關系得出函數關系式，再將代入計算即可．
【解析】由表格中兩個變量的變化關系可得，，
當時，，故答案為：．
17．（2022 光明區期末）小明騎單車上學，當他騎了一段路時，想起要買某本書，于是又折回到剛經過的某書店，買到書后繼續去學校．以下是他本次上學所用的時間與離家距離的關系示意圖．
根據圖中提供的信息回答下列問題：（1）小明家到學校的路程是 　　米．（2）本次上學途中，小明一共行駛了 　　米．一共用了 　　分鐘．（3）在整個上學的途中最快的速度是 　　米/分．（4）小明當出發 　　分鐘離家1200米．
【分析】（1）根據函數圖象可以解答本題；（2）根據函數圖象可以解答本題；（3）由函數圖象可以得到哪段的速度最快，進而求得相應的速度；（4）根據函數圖象和圖象中的數據，可以解答本題．
【解析】（1）由圖象可得，小明家到學校的路程是1500米，故答案為：1500；
（2）本次上學途中，小明一共行駛了：1500+（1200﹣600）×2＝2700（米），一共用了14（分鐘），
故答案為：2700，14；
（3）由圖象可知，在整個上學的途中，12分鐘至14分鐘小明騎車速度最快，最快的速度為：（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450米/分鐘，故答案為：450；
（4）設t分鐘時，小明離家1200米，則t＝6或t﹣12＝（1200﹣600）÷450，得t＝13，
即小明出發6分鐘或13分鐘離家1200米．故6或13．
18．（2022 徐匯區校級期末）某空軍加油飛機接到命令，立即給另一架正在飛行的運輸機進行空中加油．在加油過程中，設運輸飛機的油箱余油量為Q1噸，加油飛機的加油箱余油量為Q2噸，加油時間為t（分），Q1、Q2與t之間的函數圖象如圖所示，結合圖象回答下列問題：
（1）加油之前，加油飛機的加油油箱中裝載了 　 　噸油；運輸飛機的油箱有余油量 　 　噸油；
（2）這些油全部加給運輸飛機需 　 　分鐘；（3）運輸飛機的飛行油耗為每分鐘 　 　噸油；
（4）運輸飛機加完油后，以原速繼續飛行，如果每分鐘油耗相同，最多能飛行 　　小時．
【分析】（1）通過觀察線段Q1，Q2段圖象，不難得到加油飛機的加油油箱中裝載了30噸油，運輸飛機的油箱有余油量為40噸油．（2）將這些油全部加給運輸飛機中需10分鐘．
（3）首先根據運輸飛機在10分鐘時間內，加油29噸，但加油飛機消耗了30噸，求出每小時耗油量．
（4）根據（3）中的耗油量，可直接得出最多飛行時間．
【解析】（1）由題意及圖象得
加油飛機的加油油箱中裝載了30噸油，運輸飛機的油箱有余油量為40噸油．故答案為：30；40．
（2）將這些油全部加給運輸飛機中需10分鐘；故答案為：10；
（3）∵運輸飛機在10分鐘時間內，加油29噸，但加油飛機消耗了30噸，
所以說10分鐘內運輸飛機耗油量為1噸，∴運輸飛機每分鐘耗油量為0.1噸；故答案為：0.1；
（4）由（3）知運輸飛機每小時耗油量為＝6（噸），∴69÷6＝11.5（小時），故答案為：11.5．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·成都市七年級期中）根據心理學家研究發現，學生對一個新概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（分鐘）之間有如表所示的關系：
提出概念所用時間（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
對概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映的兩個變量之間的關系，哪個是自變量？哪個是因變量？
（2）根據表格中的數據，提出概念所用時間是多少分鐘時，學生的接受能力最強？
（3）學生對一個新概念的接受能力從什么時間開始逐漸減弱？
【答案】（1）“提出概念所用時間”是自變量，“對概念的接受能力”為因變量；（2）13分鐘；（3）從第13分鐘以后開始逐漸減弱
【分析】（1）根據表格中提供的數量的變化關系，得出答案；（2）根據表格中兩個變量變化數據得出答案；（3）提供變化情況得出結論．
【詳解】（1）表格中反映的是：提出概念所用時間與對概念的接受能力這兩個變量，其中“提出概念所用時間”是自變量，“對概念的接受能力”為因變量；
（2）根據表格中的數據，提出概念所用時間是13分鐘時，學生的接受能力最強達到59.9；
（3）學生對一個新概念的接受能力從第13分鐘以后開始逐漸減弱．
【點睛】本題考查表格表示變量之間的關系，理解自變量、因變量的意義及變化關系是解決問題關鍵．
20.（2023·陜西岐山·七年級期中）在燒開水時，水溫達到就會沸騰，下表是某同學做“觀察水的沸騰”實驗時記錄的數據：
時間（分）
溫度（P）
（1）上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？
（2）水的溫度是如何隨著時間的變化而變化的？（3）時間推移分鐘，水的溫度如何變化？
（4）時間為分鐘時，水的溫度為多少？你能得出時間為分鐘時，水的溫度嗎？
【答案】（1）上表反映了水的溫度與時間的關系，時間是自變量，水的溫度是因變量；（2）水的溫度隨著時間的増加而增加，到時恒定；（3）時間推移分鐘，水的溫度增加，到分鐘時恒定；（4）時間為分鐘時，水的溫度是，時間為分鐘時，水的溫度是．
【分析】（1）給一個變量a一個值，另一個變量y就有對應的值，則c是自變量，y是因變量，據此即可判斷即可；（2）根據表格中數據得出水的溫度變化規律即可；（3）運用表格中數據得出水的溫度變化規律解答即可；（4）根據表格中數據得出8分鐘時的水溫，然后根據變化規律解答即可．
【詳解】解：（1）上表反映了水的溫度與時間的關系，時間是自變量，水的溫度是因變量；
（2）水的溫度隨著時間的增加而增加，到100℃時恒定；
（3）時間推移2分鐘，水的溫度增加14度，到10分鐘時恒定；
（4）由表格可知：時間為分鐘時，水的溫度為86℃；在9分鐘時，水的溫度為86+=93℃．
【點睛】本題主要考查了常量與變量，自變量與因變量等知識點，根據表格中數據分別分析得出規律是解答本題的關鍵．
21．（2023·山東歷下·七年級期中）如圖，某品牌自行車每節鏈條的長度為2.5cm，交叉重疊部分的圓的直徑為0.8cm．
（1）觀察圖形，填寫下表：
鏈條節數/x（節） 2 3 4 …
鏈條長度/y（cm） 4.2 　 　 　 　 …
（2）上表的兩個變量中，自變量是　 　；因變量是　 　；（3）請你寫出y與x之間的關系式；（4）如果一輛自行車的鏈條（安裝前）共由60節鏈條組成，那么鏈條的總長度是多少？
【答案】（1）5.9，7.6；（2）鏈條節數；鏈條長度；（3）y＝1.7x+0.8；（4）這輛自行車鏈條的總長為102cm．
【分析】（1）根據圖形找規律，即可求得；（2）根據變量的知識，鏈條的長度隨著鏈條的節數變化而變化，即可求得；（3）根據（1）的結論寫出解析式即可；（4）根據（3）解析式代入求解，最后根據實際情況，減去一個交叉重疊部分的圓的直徑．
【詳解】（1）根據圖形可得：2節鏈條的長度為2.5×2﹣0.8＝4.2（cm），
3節鏈條的長度為2.5×3﹣0.8×2＝5.9（cm），4節鏈條的長度為2.5×4﹣0.8×3＝7.6（cm），
故答案為：5.9，7.6；
（2）鏈條的長度隨著鏈條的節數變化而變化自變量是鏈條節數，因變量是鏈條長度；
故答案為：鏈條節數；鏈條長度；
（3）由（1）可得x節鏈條長為：y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8，
∴y與x之間的關系式為y＝1.7x+0.8；
（4）∵自行車上的鏈條為環形，在展直的基礎上還要減少0.8cm，
∴這輛自行車鏈條的總長為1.7×60+0.8﹣0.8＝102（cm）．
【點睛】本題考查變量的表示方法，求變量的解析式，變量的定義，掌握變量的相關知識是解題關鍵．
22．（2022 龍鳳區校級期末）如圖是一騎自行車者和一騎摩托車者沿相同路線由甲地到乙地行駛過程的圖象，兩地間的距離是80km，請你根據圖象解決下面的問題．（1）誰出發較早？早多長時間？誰到達乙地較早？早到多長時間？（2）兩人在途中行駛的速度分別是多少？（3）若用y表示自行車行駛過的路程，用x表示自行車行駛過的時間，寫出y與x的關系．
【分析】（1）觀察圖象解答即可；（2）根據圖中信息找出路程，時間，再求出速度；
（3）根據“路程＝速度×時間”可得結果．
【解析】（1）由圖象可知，騎自行車者出發較早，早3小時，騎摩托者到達乙地較早，早3小時；
（2）騎自行車者速度：80÷8＝10（km/h），騎摩托者速度：80÷2＝40（km/h），
答：自行車的速度是10 km/h，摩托車的速度是40 km/h；
（3）由自行車的速度是10 km/h可得，y＝10x．
23．（2022·河北保定·七年級期中）巴蜀中學的小明和朱老師一起到一條筆直的跑道上鍛煉身體，到達起點后小明做了一會準備活動，朱老師先跑．當小明出發時，朱老師已經距起點200米了．他們距起點的距離s(米)與小明出發的時間t(秒)之間的關系如圖所示(不完整)．據圖中給出的信息，解答下列問題：(1)在上述變化過程中，自變量是______，因變量是______；(2)朱老師的速度為_____米/秒，小明的速度為______米/秒；(3)當小明第一次追上朱老師時，求小明距起點的距離是多少米？
【答案】(1)t，s；(2)2，6；(3)小明距起點的距離為300米．
【分析】(1)觀察函數圖象即可找出誰是自變量誰是因變
(2)根據速度=路程÷時間,即可分別算出朱老師以及小明的速度;
(3)設t秒時，小明第一次追上朱老師,列出關系式即可解答
【詳解】解：(1)在上述變化過程中，自變量是t，因變量是s；
(2)朱老師的速度＝2(米/秒)，小明的速度為＝6(米/秒)；故答案為t，s；2，6；
(3)設t秒時，小明第一次追上朱老師根據題意得6t＝200+2t，解得t＝50(s)，則50×6＝300(米)，
所以當小明第一次追上朱老師時，小明距起點的距離為300米．
【點睛】此題考查一次函數的應用，解題關鍵在于看懂圖中數據
24．（2022·河南·鎮平縣七年級期末）綜合與實踐：制作一個無蓋長方形盒子．
用一張正方形的紙片制成一個如圖的無蓋長方體紙盒．如果我們按照如圖所示的方式，將正方形的四個角減掉四個大小相同的小正方形，然后沿虛線折起來，就可以做成一個無蓋的長方體盒子．
(1)如果原正方形紙片的邊長為a cm，剪去的正方形的邊長為b cm，則折成的無蓋長方體盒子的高為_______cm，底面積為_____cm2，請你用含a，b的代數式來表示這個無蓋長方體紙盒的容積______cm3；
(2)如果a=20cm，剪去的小正方形的邊長按整數值依次變化，即分別取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm時，折成的無蓋長方體的容積分別是多少？請你將計算的結果填入下表；
剪去正方形的邊長/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
容積/cm3 324 512 _____ _____ 500 384 252 128 36 0
(3)觀察繪制的統計表，你發現，隨著減去的小正方形的邊長的增大，所折無蓋長方體盒子的容積如何變化？（ ）
A．一直增大 B．一直減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大
(4)分析猜想當剪去圖形的邊長為____時，所得的無蓋長方體的容積最大，此時無蓋長方體的容積是____cm3．
(5)對（2）中的結果，你覺得表格中的數據還有什么要改進的地方嗎？
【答案】(1)b；(a-2b)2；b(a-2b)2 (2)588；576 (3)C (4)3；588
(5)表格中正方形的邊長數據可以再精確一些，可以精確到小數點后一位或兩位
【分析】（1）根據截去的小正方形邊長，得出無蓋長方體盒子的高為bcm，然后求出底面邊長，再求底面積，和體積即可；（2）根據截去的邊長，求出底面邊長，再求出無蓋的長方體盒子的體積即可；（3）根據表格的信息可得隨著減去的小正方形的邊長的增大，得出無蓋長方體盒子的容積變化規律；（4）根據表格得出截去小正方形邊長為整數3時，體積最大，計算即可；
（5）根據精確度要求越高，無蓋長方體盒子的容積會更大些．
(1)解：無蓋長方體盒子的高就是截去的小正方形邊長，無蓋長方體盒子的高為bcm，底面邊長（a-2b）cm,底面面積為（a-2b）2cm2, 做成一個無蓋的長方體盒子的體積為b（a-2b）2cm3，
故答案為：b；（a-2b）2；b（a-2b）2．
(2)解：當b=3cm， a-2b=20-6=14cm，b（a-2b）2=3×142=588cm3，
當b=4，a-2b=20,8=12cm，b（a-2b）2=4×122=576cm3，故答案為：588；576．
(3)解：隨著減去的小正方形的邊長的增大，所折無蓋長方體盒子的容積先變大，再變小．故選擇C．
(4)根據無蓋長方體盒子的容積的變化，截去的正方形邊長在3cm時，無蓋長方體盒子的容積最大588cm3．故答案為3,588．
(5)根據無蓋長方體盒子的容積的變化，截去的正方形邊長在3與4之間時，無蓋長方體盒子的容積最大；當x=3,5時，b（a-2b）2=3.5×（20-2×3.5）2=591.5cm3,
當時，b（a-2b）2=3.25×（20-2×3.25）2=592.3125cm3,
當時，b（a-2b）2=3.375×（20-2×3.375）2=592.5234375cm3,
當剪去圖形的邊長為3.3cm時，所得的無蓋長方體的容積最大，此時無蓋長方體的容積是592.548cm3．
因此表格中正方形的邊長數據可以再精確一些，可以精確到小數點后一位或兩位．
【點睛】本題考查無蓋盒子的邊長與體積關系探究，列代數式，從表格獲取信息處理信息，應用信息解決問題，掌握無蓋盒子的邊長與體積關系探究，列代數式，從表格獲取信息處理信息，應用信息解決問題是解題關鍵．
25．（2023·山東青島市·七年級期中）用水平線和豎直線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點，叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形.設格點多邊形的面積為，它各邊上格點的個數之和為.
探究一：圖中①—④的格點多邊形，其內部都只有一個格點，它們的面積與各邊上格點的個數之和的對應關系如表：
多邊形的序號 ① ② ③ ④ …
多邊形的面積 2 2.5 3 4 …
各邊上格點的個數和 4 5 6 8 …
與之間的關系式為：________.
探究二：圖中⑤—⑧的格點多邊形內部都只有2個格點，請你先完善下表格的空格部分（即分別計算出對應格點多邊形的面積）：
多邊形的序號 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ …
多邊形的面積 …
各邊上格點的個數和 4 5 6 8 …
與之間的關系式為：________.
猜想：當格點多邊形內部有且只有個格點時，與之間的關系式為：_______.
【答案】探究一：；探究二：完整的表格信息見詳解，；猜想：.
【分析】探究一：通過觀察可以看出多邊形的面積等于各邊上格點個數的一半，即；
探究二：用“切割法”將⑤—⑧中圖形分割成幾個三角形或者矩形即可求出其面積，
通過觀察可以發現多邊形的面積等于各邊上格點的個數和的一半加1，即，
猜想：觀察可發現⑤—⑧多邊形內部都有2個格點，面積在探究一的基礎上加1，結合探究一、二可得出解析式
【詳解】探究一：當S=2時，x=4；當S=2.5時，x=5；…..通過觀察多邊形的面積等于各邊上格點個數的一半，即；
探究二：表格填寫如下
多邊形的序號 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ …
多邊形的面積 3 3.5 4 5 …
各邊上格點的個數和 4 5 6 8 …
通過觀察可以發現多邊形的面積等于各邊上格點個數的一半再加1，即；
猜想：比較探究二與探究一，圖形面積加1，圖形內部格點個數加2，也就是多邊形內部格點數每增加n個，面積就比原來多了n-1，故S與x的關系式為.
【點睛】本題主要考查變量之間的關系中的用表格表示變量之間的關系和用關系式表示變量之間的關系，解答本題的關鍵是要理解原圖（表格）的變化規律，然后將它用關系式表示出來.
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專題5.1 常量與變量
模塊1：學習目標
1、通過實例體驗在一個過程中有些量固定不變，有些量不斷地變化；
2、了解常量、變量的概念，體驗在一個過程中常量與變量相對地存在；
3、會在簡單的過程中辨別常量和變量。
模塊2：知識梳理
1）常量與變量：在某個變化過程中，保持同一數值的量叫常量，可以取不同數值的量叫變量．
2）自變量與因變量：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與之對應，那么我們就說x是自變量，y是因變量．
注：自變量的取值范圍的確定方法：（1）當解析式是整式時，自變量的取值范圍是全體實數；（2）當解析式是分式時，自變量的取值范圍是使分母不為零的實數；（3）當解析式是二次根式時，自變量的取值范圍是使被開方數不小于零的實數；（4）當解析式中含有零指數冪或負整數指數冪時，自變量的取值應使相應的底數不為零；（5）當解析式表示實際問題時，自變量的取值必須使實際問題有意義.
模塊3：核心考點與典例
考點1. 常量、變量的相關概念
例1．（2023·山東濟南市·七年級期中）李師傅到單位附近的加油站加油，如圖是所用的加油機上的數據顯示牌，則其中的常量是（　　）
A．金額 B．數量 C．單價 D．金額和數量
變式1．（2022·湖南長沙·八年級期中）把15本書隨意放入兩個抽屜（每個抽屜內都放），第一個抽屜放入x本，第二個抽屜放入y本，則下列判斷錯誤的是（　　）
A．15是常量 B．15是變量 C．x是變量 D．y是變量
變式2．（2022·浙江八年級課時練習）指出下列問題中的變量和常量：
（1）某市的自來水價為4元/t．現要抽取若干戶居民調查水費支出情況，記某戶月用水量為噸，月應交水費為y元．（2）某地手機通話費為0.2元/．李明在手機話費卡中存入30元，記此后他的手機通話時間為，話費卡中的余額為w元．（3）水中漣漪（圓形水波）不斷擴大，記它的半徑為r，周長為C，圓周率（圓周長與直徑之比）為．（4）把10本書隨意放入兩個抽晝（每個抽屜內都放），第一個抽屜放入x本，第二個抽屜放入y本．
考點2. 自變量、因變量的相關概念
例2．（2023·廣西七年級課時練習）某品牌豆漿機的成本為50元，銷售商對其銷量與定價的關系進行了調查，結果如下：（ ）
定價/元 70 80 90 100 110 120
銷量/個 80 100 110 100 80 60
A．定價是常量，銷量是變量 B．定價是變量，銷量是常量
C．定價與銷量都是變量，定價是自變量，銷量是因變量
D．定價與銷量都是變量，銷量是自變量，定價是因變量
變式1．（2022 成都市成華區七年級期中）汽車以每小時100千米的速度勻速行駛，行駛的路程隨時間的變化而變化，在這個變化過程中，自變量是　　
A．汽車 B．路程 C．速度 D．時間
變式2．（2022·安徽宣城·八年級期末）寒冷的冬天里我們在利用空調制熱調控室內溫度的過程中，空調的每小時用電量隨開機設置溫度的高低而變化，這個問題中自變量是（ ）
A．每小時用電量 B．室內溫度 C．設置溫度 D．用電時間
考點3. 列表法表示變量之間的關系
例3．（2022·陜西西安·九年級模擬預測）在實驗課上，小亮利用同一塊木板，測得小車從不同高度h（cm）下滑的時間t（s），得到如下數據：
支撐物高h（cm） 10 20 30 40 50 …
下滑時間t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
以下結論錯誤的是（　　）
A．當h＝10時，t為3.25秒 B．隨支撐物高度增加，下滑時間越來越短
C．估計當h＝80時，t一定小于2.56秒 D．高度每增加10cm，下滑時間就會減少0.24秒
變式1．（2023·重慶七年級階段練習）在彈簧限度內，彈簧掛上物體后彈簧的長度與所掛物體的質量之間的關系如表：
所掛物體的質量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8
彈簧的長度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
在彈簧限度內，彈簧的長度是13cm時，所掛重物的質量是______kg．
變式2．（2022·成都市七年級期中）根據心理學家研究發現，學生對一個新概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（分鐘）之間有如表所示的關系：
提出概念所用時間（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
對概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映的兩個變量之間的關系，哪個是自變量？哪個是因變量？
（2）根據表格中的數據，提出概念所用時間是多少分鐘時，學生的接受能力最強？
（3）學生對一個新概念的接受能力從什么時間開始逐漸減弱？
考點4. 關系式表示變量之間的關系
例4．（2023·河北承德·八年級期中）琪琪拿9元錢去買單價為元/只的筆芯，買筆芯所剩的錢數（元）與所買筆芯的數量（只）之間的關系式為______．
變式1．（2022·廣東茂名市·七年級期中）在燒開水時，水溫達到水就會沸騰，下表是小紅同學做“觀察水的沸騰”實驗時所記錄的變量時間和溫度的數據：
0 2 4 6 8 10 12 14 …
30 44 58 72 86 100 100 100 …
在水燒開之前（即），溫度與時間的關系式及因變量分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
變式2．（2022·山東肥城·八年級期末）一輛客車以從85km/h的速度從肥城駛往北京，若肥城到北京的距離為470km，那么客車離北京的距離（km）與所用時間（h）的表達式為______．
考點5. 圖象法表示變量關系
例5．（2022·廣東羅湖·七年級期末）一輛公共汽車從車站開出，加速行駛一段時間后開始勻速行駛．過了一段時間，汽車到達下一車站．乘客上、下車后汽車開始加速，一段時間后又開始勻速行駛．下圖中近似地刻畫出汽車在這段時間內的速度變化情況的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2022·云南迪慶藏族自治州·八年級期末）為積極響應黨和國家精準扶貧的號召，某扶貧工作隊步行前往扶貧點開展入戶調查。隊員們先勻速步行一段時間，途中休息幾分鐘后加快了步行速度，最終按原計劃時間到達目的地。設行進時間為t（單位：min），行進的路程為s（單位：m），則能近似刻畫s與t之間的函數關系的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2022·成都市七年級專題練習）如圖所示的是一游泳池斷面圖，分為深水區和淺水區，排空池里的水進行清理后，打開進水閥門連續向該池注水(此時已關閉排水閥門)．則游泳池的蓄水高度h(米)與注水時間t (時)之間的關系的大致圖象是 ( )
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
考點6. 行程問題中的變量關系
例6．（2022·萊陽市期末）周末，小明騎車從家前往公園，中途休息了一段時間．他從家出發后所用時間為t（分鐘），所走的路程為s（米），s與t之間的函數關系如圖所示．對于下列說法：①小明中途休息了2分鐘；②小明休息前的騎車速度為每分鐘400米；③小明所走的路程為4400米；④小明休息前的騎車速度小于休息后的騎車速度．其中正確結論的序號是 　　．
變式1．（2022·臺州期末）小亮從家騎車上學，先經過一段平路到達A地后，再上坡到達B地，最后下坡到達學校，所行駛路程s（千米）與時間t（分鐘）的關系如圖所示．如果返回時，上坡、下坡、平路的速度仍然保持不變，那么他從學校回到家需要的時間是 　 　分鐘．
變式2．（2022 葉縣期末）新能源純電動汽車的不斷普及讓很多人感受到了它的好處，其中最重要的一點就是對環境的保護．如圖是某型號新能源純電動汽車充滿電后，蓄電池剩余電量y（千瓦時）與已行駛路程x（千米）之間關系的圖象．（1）圖中點A表示的實際意義是什么？求當0≤x≤150時，行駛1千米的平均耗電量是多少？當150≤x≤200時，行駛1千米的平均耗電量是多少？（2）當行駛了120千米時，求蓄電池的剩余電量；（3）求行駛多少千米時，剩余電量降至20千瓦時？
考點7. 打折銷售、水電費等類型中的變量關系
例7．（2022·硚口區期末）某種瓜苗早期在農科所溫室中生長，長到20cm時，移至村莊的大棚內沿插桿繼續向上生長．研究表明，60天內，這種瓜苗的平均高度y（cm）與生長時間x（天）的函數關系的圖象如圖所示．當這種瓜苗長到大約80cm時，開始開花，則這種瓜苗移至大棚后，繼續生長至開始開花所用的時間是（　　）
A．33天 B．18天 C．35天 D．20天
變式1．（2022 煙臺期末）某通訊公司就上寬帶網推出A，B，C三種月收費方式，這三種收費方式每月所需的費用y（元）與上網時間x（h）的函數關系如圖所示，則下列判斷錯誤的是（　　）
A．每月上網時間不足25h時，選擇A方式最省錢
B．每月上網費用為60元時，B方式可上網的時間比A方式多
C．每月上網時間為50h時，選擇A方式最省錢
D．每月上網費用為120元時，選擇C方式上網的時間最長
變式2．（2022·山東濟陽·七年級期中）一輛汽車油箱內有油a升，從某地出發，每行駛1小時耗油6升，若設剩余油量為Q升，行駛時間為t/小時，根據以上信息回答下列問題：
（1）開始時，汽車的油量______升；
（2）在行駛了______小時汽車加油，加了______升，寫出加油前Q與t之間的關系式______；
（3）當這輛汽車行駛了9小時，剩余油量多少升？
模塊四：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022 市中區八年級期末）司機王師傅在加油站加油，如圖是所用的加油機上的數據顯示牌，則其中的常量是（　　）
A．金額 B．數量 C．單價 D．金額和數量
2．（2023 成華區八年級期末）汽車以每小時100千米的速度勻速行駛，行駛的路程隨時間的變化而變化，在這個變化過程中，自變量是　　
A．汽車 B．路程 C．速度 D．時間
3．（2022·湖南長沙·八年級期中）把15本書隨意放入兩個抽屜（每個抽屜內都放），第一個抽屜放入x本，第二個抽屜放入y本，則下列判斷錯誤的是（　　）
A．15是常量 B．15是變量 C．x是變量 D．y是變量
4．（2022·天津·八年級期中）在圓的周長計算公式C＝2πR中，對于變量和常量的說法正確的是（　　）
A．2是常量，C，π，R是變量 B．2，π是常量，C，R是變量
C．2，C，π是常量，R是變量 D．2，π，R是常量，C是變量
5．（2022·廣東高州·七年級期末）根據市衛生防疫部門的要求，游泳池必須定期換水后才能對外開放，在換水時需要經排水﹣清洗﹣注水的過程，某游泳館從早上8：00開始對游泳池進行換水，已知該游泳池共蓄水2500m3，打開放水閘門勻速放水后，游泳池里的水量和放水時間的關系如表，下面說法不正確的是( )
放水時間(分鐘) 1 2 3 4 …
游泳池中的水量(m3) 2480 2460 2440 2420 …
A．每分鐘放水20 m3 B．游泳池中的水量是因變量，放水時間是自變量
C．放水10分鐘時，游泳池中的水量為2300 m3 D．游泳池中的水全部放完，需要124分鐘
6．（2022 無錫·七年級期末）某商場為了增加銷售額，推出“七月銷售大酬賓”活動，其活動內容為：“凡七月份在該商場一次性購物超過100元以上者，超過100元的部分按9折優惠．”在大酬賓活動中，小王到該商場為單位購買單價為60元的辦公用品x件（x＞2），則應付貨款y（元）與商品件數x的函數關系式是（　　）
A．y＝54x（x＞2） B．y＝54x+10（x＞2） C．y＝54x+90（x＞2） D．y＝54x+100（x＞2）
7．（2022·山西九年級專題練習）用固定的速度向如圖所示形狀的杯子里注水，則能表示杯子里水面的高度和注水時間的關系的大致圖象是
A． B． C． D．
8．（2022 雁塔區校級期末）為增強居民的節水意識，某市自來水公司采用以戶為單位分段計費的方式：即每月用水量不超過10噸時，每噸收費a元；若超過10噸，則10噸水按每噸a元收費，超過10噸的部分按每噸b元收費．如圖是自來水公司繪制的水費y（元）與當月用水量x（噸）之間的圖象，則下列結論不正確的是（　　）
A．a＝1.5 B．b＝2 C．若小明家當月用水量為14噸，則應繳水費23元
D．若小紅家6月份繳水費30元，則當月用水量為18.5噸
9．（2023·山東七年級期中）某科研小組在網上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關系的一些數據（如下表）：
溫度/℃ ﹣20 ﹣10 　0 10 20 30
聲速/m/s 318 324 330 336 342 348
下列說法不正確的是（　　）
A．在這個變化中，自變量是溫度，因變量是聲速 B．溫度越高，聲速越快
C．當空氣溫度為20℃時，聲音5s可以傳播1740m D．當溫度每升高10℃，聲速增加6m/s
10．（2022 沙坪壩區校級開學）春節前，某加工廠接到面粉加工任務，要求5天內加工完220噸面粉．加工廠安排甲、乙兩組共同完成加工任務．乙組加工中途停工一段時間維修設備，然后提高加工效率繼續加工，直到與甲隊同時完成加工任務為止．設甲、乙兩組各自加工面粉數量y（噸）與甲組加工時間x（天）之間的關系如圖所示，結合圖象，下列結論錯誤的是（　　）
A．乙組中途休息了1天 B．甲組每天加工面粉20噸
C．加工3天后完成總任務的一半 D．3.5天后甲乙兩組加工面粉數量相等
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·河南中原·七年級期末）一輛汽車油箱中原有汽油90升，若汽車勻速行使100km耗油9升，則該汽車油箱中的剩余油量Q（升）與汽車勻速行駛的距離s（km）之間的關系式是____________．
12．（2022·浙江杭州·八年級階段練習）如果用總長為60m的籬笆圍成一個長方形場地，設長方形的面積為S（m2），周長為p（m），一邊長為a（m），那么在，，中是變量的是______．
13．（2022·江蘇徐州市·張雙樓礦校八年級月考）直角三角形兩銳角的度數分別為，，其關系式為，其中變量為________，常量為________．
14．（2023·山東聊城市·七年級期末）如圖是2020年1月15日至2月2日全國（除湖北省）新冠肺炎新增確診人數的變化曲線，則下列說法：①自變量為時間，確診總人數是時間的函數；②1月23號，新增確診人數約為150人；③1月25號和1月26號，新增確診人數基本相同；④1月30號之后，預測新增確診人數呈下降趨勢，其中正確的是__________．（填上你認為正確的說法的序號）
15．（2022·重慶七年級階段練習）在彈簧限度內，彈簧掛上物體后彈簧的長度與所掛物體的質量之間的關系如表：
所掛物體的質量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8
彈簧的長度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
在彈簧限度內，彈簧的長度是13cm時，所掛重物的質量是______kg．
16．（2022 豐臺區校級期中）2021年5月15日07時18分，“天問一號”火星探測器成功登陸火星表面，開啟了中國人自主探測火星之旅．已知華氏溫度與攝氏溫度之間的關系滿足如表：
攝氏（單位 0 10 20 30
華氏（單位 14 32 50 68 86
若火星上的平均溫度大約為，則此溫度換算成華氏溫度約為 　　．
17．（2022 光明區期末）小明騎單車上學，當他騎了一段路時，想起要買某本書，于是又折回到剛經過的某書店，買到書后繼續去學校．以下是他本次上學所用的時間與離家距離的關系示意圖．
根據圖中提供的信息回答下列問題：（1）小明家到學校的路程是 　　米．（2）本次上學途中，小明一共行駛了 　　米．一共用了 　　分鐘．（3）在整個上學的途中最快的速度是 　　米/分．（4）小明當出發 　　分鐘離家1200米．
18．（2022 徐匯區校級期末）某空軍加油飛機接到命令，立即給另一架正在飛行的運輸機進行空中加油．在加油過程中，設運輸飛機的油箱余油量為Q1噸，加油飛機的加油箱余油量為Q2噸，加油時間為t（分），Q1、Q2與t之間的函數圖象如圖所示，結合圖象回答下列問題：
（1）加油之前，加油飛機的加油油箱中裝載了 　 　噸油；運輸飛機的油箱有余油量 　 　噸油；
（2）這些油全部加給運輸飛機需 　 　分鐘；（3）運輸飛機的飛行油耗為每分鐘 　 　噸油；
（4）運輸飛機加完油后，以原速繼續飛行，如果每分鐘油耗相同，最多能飛行 　　小時．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·成都市七年級期中）根據心理學家研究發現，學生對一個新概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（分鐘）之間有如表所示的關系：
提出概念所用時間（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
對概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映的兩個變量之間的關系，哪個是自變量？哪個是因變量？
（2）根據表格中的數據，提出概念所用時間是多少分鐘時，學生的接受能力最強？
（3）學生對一個新概念的接受能力從什么時間開始逐漸減弱？
20.（2023·陜西岐山·七年級期中）在燒開水時，水溫達到就會沸騰，下表是某同學做“觀察水的沸騰”實驗時記錄的數據：
時間（分）
溫度（P）
（1）上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？
（2）水的溫度是如何隨著時間的變化而變化的？（3）時間推移分鐘，水的溫度如何變化？
（4）時間為分鐘時，水的溫度為多少？你能得出時間為分鐘時，水的溫度嗎？
21．（2023·山東歷下·七年級期中）如圖，某品牌自行車每節鏈條的長度為2.5cm，交叉重疊部分的圓的直徑為0.8cm．
（1）觀察圖形，填寫下表：
鏈條節數/x（節） 2 3 4 …
鏈條長度/y（cm） 4.2 　 　 　 　 …
（2）上表的兩個變量中，自變量是　 　；因變量是　 　；（3）請你寫出y與x之間的關系式；（4）如果一輛自行車的鏈條（安裝前）共由60節鏈條組成，那么鏈條的總長度是多少？
22．（2022 龍鳳區校級期末）如圖是一騎自行車者和一騎摩托車者沿相同路線由甲地到乙地行駛過程的圖象，兩地間的距離是80km，請你根據圖象解決下面的問題．（1）誰出發較早？早多長時間？誰到達乙地較早？早到多長時間？（2）兩人在途中行駛的速度分別是多少？（3）若用y表示自行車行駛過的路程，用x表示自行車行駛過的時間，寫出y與x的關系．
23．（2022·河北保定·七年級期中）巴蜀中學的小明和朱老師一起到一條筆直的跑道上鍛煉身體，到達起點后小明做了一會準備活動，朱老師先跑．當小明出發時，朱老師已經距起點200米了．他們距起點的距離s(米)與小明出發的時間t(秒)之間的關系如圖所示(不完整)．據圖中給出的信息，解答下列問題：(1)在上述變化過程中，自變量是______，因變量是______；(2)朱老師的速度為_____米/秒，小明的速度為______米/秒；(3)當小明第一次追上朱老師時，求小明距起點的距離是多少米？
24．（2022·河南·鎮平縣七年級期末）綜合與實踐：制作一個無蓋長方形盒子．
用一張正方形的紙片制成一個如圖的無蓋長方體紙盒．如果我們按照如圖所示的方式，將正方形的四個角減掉四個大小相同的小正方形，然后沿虛線折起來，就可以做成一個無蓋的長方體盒子．
(1)如果原正方形紙片的邊長為a cm，剪去的正方形的邊長為b cm，則折成的無蓋長方體盒子的高為_______cm，底面積為_____cm2，請你用含a，b的代數式來表示這個無蓋長方體紙盒的容積______cm3；
(2)如果a=20cm，剪去的小正方形的邊長按整數值依次變化，即分別取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm時，折成的無蓋長方體的容積分別是多少？請你將計算的結果填入下表；
剪去正方形的邊長/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
容積/cm3 324 512 _____ _____ 500 384 252 128 36 0
(3)觀察繪制的統計表，你發現，隨著減去的小正方形的邊長的增大，所折無蓋長方體盒子的容積如何變化？（ ）
A．一直增大 B．一直減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大
(4)分析猜想當剪去圖形的邊長為____時，所得的無蓋長方體的容積最大，此時無蓋長方體的容積是____cm3．
(5)對（2）中的結果，你覺得表格中的數據還有什么要改進的地方嗎？
25．（2023·山東青島市·七年級期中）用水平線和豎直線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點，叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形.設格點多邊形的面積為，它各邊上格點的個數之和為.
探究一：圖中①—④的格點多邊形，其內部都只有一個格點，它們的面積與各邊上格點的個數之和的對應關系如表：
多邊形的序號 ① ② ③ ④ …
多邊形的面積 2 2.5 3 4 …
各邊上格點的個數和 4 5 6 8 …
與之間的關系式為：________.
探究二：圖中⑤—⑧的格點多邊形內部都只有2個格點，請你先完善下表格的空格部分（即分別計算出對應格點多邊形的面積）：
多邊形的序號 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ …
多邊形的面積 …
各邊上格點的個數和 4 5 6 8 …
與之間的關系式為：________.
猜想：當格點多邊形內部有且只有個格點時，與之間的關系式為：_______.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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