資源簡介

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專題5.3 一次函數
模塊1：學習目標
1、理解正比例函數、一次函數的概念；
2、會根據數量關系，求正比例函數、一次函數的表達式（待定系數法）；
3、會求一次函數的值。
模塊2：知識梳理
1）一次函數與正比例函數的概念
一般地，形如y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的函數，叫做一次函數，其中x是自變量，y是x的函數。
特別地，當b=0時，y=kx（k為常數，k≠0），y叫做x的正比例函數。k為比例系數。
故正比例函數是特殊一次函數。
2）函數圖象經過點的含義：函數圖象上的點是由適合函數解析式的一對x、y的值組成的，因此，若已知一個點在函數圖象上，那么以這個點的橫坐標代x，縱坐標代y，方程成立。
3）求一次函數解析式（待定系數法）
點+點:設函數的解析式為：y=kx+b，當已知兩點坐標，將這兩點分別代入（待定系數法），可得關于k、b的二元一次方程組，解方程得出k、b的值。
圖形:觀察圖形，根據圖形的特點，找出2點的坐標，利用待定系數法求解解析式。
模塊3：核心考點與典例
考點1. 正比例函數的辨別
例1．（2022·河南·鹿邑縣八年級期末）下列函數是正比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據正比例函數的定義進行判斷即可．
【詳解】A．，y不是x的正比例函數，故A不符合題意；
B．y＝-x，y是x的正比例函數，故B符合題意；
C．y＝x+1，y不是x的正比例函數，故C不符合題意；
D．，y不是x的正比例函數，故D不符合題意．故選：B．
【點睛】此題考查了正比例函數的定義，解題的關鍵是掌握形如y＝kx（k是常數，k≠0）的函數叫做正比例函數．
變式1．（2022·海南八年級期中）下列函數中，是正比例函數的是（ ）
A．y＝2x B． C．y＝x2 D．y＝2x－1
【答案】A
【分析】根據正比例函數的定義：（），逐項進行判斷即可．
【詳解】A．y＝2x是正比例函數的形式，故該選項正確，符合題意；
B．不是整式，故該選項錯誤，不符合題意；
C．x的指數是2，屬于二次函數，故該選項錯誤，不符合題意；
D．y＝2x－1是一次函數，不是正比例函數，故該選項錯誤，不符合題意．故選：A．
【點睛】本題考查了正比例函數的定義，理解正比例函數的條件是解題的關鍵．
變式2．（2022·吉林長春·八年級期末）下列各式中，表示正比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正比例函數的定義：形如y=kx（k為常數且k≠0），即可解答．
【詳解】解：A、y=-2x，是正比例函數，故該選項符合題意；
B、y=x+1，是一次函數，但不是正比例函數，故該選項不符合題意；
C、y2=x，不是正比例函數，故該選項不符合題意；
D、y=，不是正比例函數，故該選項不符合題意；故選：A．
【點睛】本題考查了正比例函數的定義，熟練掌握正比例函數的定義是解題的關鍵．
考點2. 一次函數的辨別
例2.（2023·浙江·八年級階段練習）下列函數：①；②；③；④；⑤，其中是一次函數的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】C
【分析】根據一次函數（ k、b為常數，）的定義解答即可．
【詳解】解：①是一次函數；②是一次函數；
③=3，沒有自變量，不是一次函數；
④，自變量次數不為1，故不是一次函數；
⑤，自變量次數不為1，故不是一次函數．
綜上所述，是一次函數的有2個．故選：C．
【點睛】本題考查一次函數的定義，解題關鍵是掌握一次函數的定義條件是：k、b為常數，，自變量次數為1．
變式1．（2022·湖南·衡陽市八年級階段練習）下列函數關系式：；；；，其中一次函數的個數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據一次函數的定義解答即可．
【詳解】解：是一次函數；是一次函數；
，自變量x次數為2，不是一次函數；
，自變量x不能做分母，不是一次函數．一次函數有個，故選：B．
【點睛】此題主要考查了一次函數的定義，正確把握定義是解題關鍵．一次函數的定義條件是：、為常數，，自變量次數為．
變式2．（2022·河北廊坊·八年級期末）下列函數中是一次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據一次函數的定義可直接排除選項．
【詳解】解：A、由可得不滿足一次函數的定義，故A錯誤，不符合題意；
B、由可知不是一次函數，故B錯誤，不符合題意；
C、由可得不是一次函數，故C錯誤，不符合題意；
D、由可得是一次函數，故D正確，符合題意．故選：D．
【點睛】本題主要考查一次函數的定義，熟練掌握一次函數的定義是解題的關鍵．
變式3．（2022·江蘇·八年級專題練習）下列函數中，是一次函數但不是正比例函數的為（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝
【答案】C
【分析】根據一次函數和正比例函數的概念解答即可．
【詳解】解：A．是一次函數，也是正比例函數，故選項不符合題意；
B．不是一次函數，故選項不符合題意；
C．是一次函數，但不是正比例函數，故選項符合題意；
D．不是一次函數，故選項不符合題意．故選：C．
【點睛】本題考查一次函數和正比例函數的概念：若兩個變量x和y間的關系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）；一般地，兩個變量x，y之間的關系式可表示成形如y=kx（k為常數，且k≠0）的函數，那么y就叫做x的正比例函數．
考點3. 根據一次函數（正比例函數）求參數
例3．（2022·河北·八年級期中）若函數是正比例函數，則m的值為（ ）
A． B．2 C． D．0
【答案】A
【分析】根據正比例函數的定義即可求出結果．
【詳解】解：∵是正比例函數，
∴，解得，故選：A．
【點睛】本題考查正比例函數的定義，屬于基礎題目，熟悉正比例函數的定義是解題的關鍵，自變量x的系數不等于0是易錯點．
變式1．（2022·黑龍江·七年級期末）當為何值時，函數是一次函數（ ）
A．2 B．－2 C．－2和2 D．3
【答案】C
【分析】根據一次函數的定義列方程求解即可．
【詳解】∵函數是一次函數，
∴3-|m|=1且m-3≠0，∴m=±2且m≠3，∴m的值為2或-2，故選：C．
【點睛】本題考查了一次函數的定義，熟練掌握一次函數的定義是解題的關鍵．
變式2．（2023·貴州·八年級階段練習）已知函數，
(1)當m、n為何值時，此函數是一次函數？(2)當m、n為何值時，此函數是正比例函數？
【答案】(1)(2)n=1，m=-1
【分析】（1）根據一次函數的定義知，且，據此可以求得、的值；
（2）根據正比例函數的定義知，，據此可以求得、的值．
（1）解：當函數是一次函數時，
，且，解得，，；
（2）解：當函數是正比例函數時，
，解得，，．
【點睛】本題考查了一次函數、正比例函數的定義，解題的關鍵是掌握正比例函數是一次函數的一種特殊形式．
考點4. 實際背景下的一次函數（正比例函數）的辨別
例4．（2022·浙江臺州·八年級期末）下列變化過程中，y是x的正比例函數是（ ）
A．某村共有耕地，該村人均占有耕地y（單位：）隨該村人數x（單位：人）的變化而變化
B．一天內，溫嶺市氣溫y（單位：）隨時間x（單位：時）的變化而變化
C．汽車油箱內的存油y（單位：升）隨行駛時間x（單位：時）的變化而變化
D．某人一年總收入y（單位：元）隨年內平均月收入x（單位：元）的變化而變化
【答案】D
【分析】根據正比例函數的定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A.由題意得：，故y不是x的正比例函數；
B.因為溫嶺市一天的氣溫早晚較低，中午較高，故y不是x的正比例函數；
C.因為在行駛時間為零時汽車油箱內的存油y不是零，故y不是x的正比例函數；
D.由題意得：，故y是x的正比例函數；故選：D．
【點睛】本題考查了正比例函數的定義，一般地，兩個變量x、y之間的關系式可以表示成形如y=kx的函數(k為常數，且k≠0)，那么y就叫做x的正比例函數
變式1．（2022·江蘇·八年級專題練習）下列問題中，兩個變量之間成正比例關系的是（　　）
A．圓的面積S（cm2）與它的半徑r（cm）之間的關系
B．某水池有水15m3，現打開進水管進水，進水速度為5m3/h，xh后這個水池有水ym3
C．三角形面積一定時，它的底邊a（cm）和底邊上的高h（cm）之間的關系
D．汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程y與行駛時間x之間的關系
【答案】D
【分析】分別列出每個選項的解析式，根據正比例函數的定義判斷即可．
【詳解】解：A選項，S=πr2，故該選項不符合題意；
B選項，y=15+5x，故該選項不符合題意；
C選項，∵ah=S，∴a=，故該選項不符合題意；
D選項，y=60x，故該選項符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查了正比例函數的定義，掌握形如y=kx（k≠0）的函數是正比例函數是解題的關鍵．
變式2．（2022·山東濟南·中考真題）某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數關系是（ ）
A．正比例函數關系 B．一次函數關系 C．反比例函數關系 D．二次函數關系
【答案】B
【分析】根據矩形周長找出關于x和y的等量關系即可解答．
【詳解】解：根據題意得：，
∴，∴y與x滿足的函數關系是一次函數；故選：B．
【點睛】本題通過矩形的周長考查一次函數的定義，解題的關鍵是理清實際問題中的等量關系準確地列式．
考點5. 一次函數的函數值
例5．（2022·南寧市八年級期中）已知一次函數，當時，的值是（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】把代入解析式即可求得的值．
【詳解】解：把時代入一次函數，得到：．故選：．
【點睛】本題考查求一次函數的值，將已知自變量的值代入一次函數，化作代數式求值的問題．
變式1．（2022·吉林南關·八年級期末）已知函數，當函數值為0時，的值為______．
【答案】
【分析】令y＝0，則 5x＋2＝0，解之可得x的值．
【詳解】解：∵函數值為0，∴y＝0，即 5x＋2＝0，解得x＝．故答案為：．
【點睛】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是明白函數值為0，即y＝0．
變式2．（2022·河北·石家莊八年級階段練習）當時，函數的值是（ ）
A．－5 B．－1 C．0 D．1
【答案】A
【分析】把x=-3代入y=x 2計算即可．
【詳解】解：把x=-3代入y=x 2，得y=-3 2=-5，故選A．
【點睛】本題考查的是函數值的求法，函數值是指自變量在取值范圍內取某個值時，函數與之對應唯一確定的值．
考點6. 一次函數點的特征
例6．（2022·陜西西安市·九年級模擬）已知點和點都在正比例函數圖象上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意，A、B 兩點都在函數y=3x的圖象上，把這兩點的坐標分別代入函數解析式中，兩式相減即得結果．
【詳解】由題意，把A、B 兩點的坐標分別代入函數解析式y=3x中，得：b=3a，b’=3(a+1)
兩式相減得：b’-b=3(a+1)-3a=3故選：C
【點睛】本題考查了點與函數圖象的關系，當點在函數圖象上時，點的坐標滿足函數解析式，體現了數與形的關系．
變式1．（2022·北京朝陽·八年級期中）在平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+a﹣1（a為常數，且a≠0）的圖象一定經過的點是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
【答案】C
【分析】將一次函數解析式變形為y＝a（x+1）﹣1，代入x+1＝0可求出y值，此題得解．
【詳解】解：∵y＝ax+a﹣1，∴y＝a（x+1）﹣1，
∴當x+1＝0，即x＝﹣1時，y＝a（﹣1+1）﹣1＝﹣1，
∴一次函數y＝ax+a﹣1（a為常數，且a≠0）的圖象一定經過的點是（﹣1，﹣1）．故選：C．
【點睛】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，牢記直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式y=kx+b是解題的關鍵．
變式2．（2022·江蘇九年級專題練習）如圖，一次函數的圖象經過點和，則的值為（ ）
A． B． C．36 D．12
【答案】C
【分析】將P、Q兩點坐標代入一次函數解析式即可求出a+b和c+d的值，在將變形得，最后整體代入求值即可．
【詳解】解：將P、Q兩點坐標代入一次函數解析式得：，即．
∵，∴將代入上式得：．故選：C．
【點睛】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征以及代數式求值．掌握直線上點的坐標滿足其解析式是解答本題的關鍵．
考點7. 用待定系數法求一次函數的解析式
例7．（2022·湖南岳陽·八年級期末）已知y是x的一次函數，且當x＝4時，y＝9；當x＝6時，y＝﹣1．（1）求這個一次函數的表達式；（2）當x＝1時，求y的值．
【答案】（1）y=-5x+29；（2）24
【分析】（1）設y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得關于k和b的方程組，解方程組即可；
（2）把x=1代入函數表達式計算即可．
【詳解】解：（1）設y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得
，解得：，
∴此一次函數的表達式為y=-5x+29；
（2）將x=1代入y=-5x+29，得：y=-5×1+29=24．
【點睛】本題主要考查了待定系數法求一次函數解析式、一次函數圖象上點的坐標特征，解決這類問題一般先設函數的一般式，再代入兩個點構造方程組求解．
變式1．（2022·廣西·八年級期末）已知正比例函數的圖象經過點，求這個函數的表達式．
【答案】
【分析】利用待定系數法將點代入求解即可
【詳解】解：設這個正比例函數的表達式為
將點代入得：
∴這個正比例函數的表達式為．
【點睛】題目主要考查利用待定系數法求正比例函數的解析式，熟練掌握待定系數法是解題關鍵．
變式2．（2022·江蘇·八年級專題練習）已知y與x+1成正比例，且當x＝1時，y＝6；
(1)求出y與x之間的函數關系式；(2)當x＝﹣3時，求y的值．
【答案】(1)y＝3x+3(2)-6
【分析】（1）根據題意，可設y＝k（x+1），再把x＝1，y＝6代入，即可求解；
（2）把x＝﹣3代入函數關系式，即可求解．
（1）解：根據題意，可設y＝k（x+1），把x＝1，y＝6代入得：6＝2k，解得：k＝3，∴y＝3（x+1）＝3x+3， 即y與x之間的函數關系式為y＝3x+3；
（2）解：當x＝﹣3時，y＝3×（﹣3）+3＝﹣6．
【點睛】本題主要考查了待定系數法求函數關系式，正比例函數的定義，熟練掌握正比例函數的定義是解題的關鍵．
模塊四：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022·廣西河池·八年級期末）下列函數中，是正比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正比例函數的定義（一般地，形如（是常數，）的函數，叫做正比例函數）逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、是正比例函數，則此項符合題意；
B、不是正比例函數，則此項不符合題意；
C、不是正比例函數，則此項不符合題意；
D、不是正比例函數，則此項不符合題意；故選：A．
【點睛】本題考查了正比例函數，熟記定義是解題關鍵．
2．（2022·河北廊坊·八年級期末）下列函數中是一次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據一次函數的定義可直接排除選項．
【詳解】解：A、由可得不滿足一次函數的定義，故A錯誤，不符合題意；
B、由可知不是一次函數，故B錯誤，不符合題意；
C、由可得不是一次函數，故C錯誤，不符合題意；
D、由可得是一次函數，故D正確，符合題意．故選：D．
【點睛】本題主要考查一次函數的定義，熟練掌握一次函數的定義是解題的關鍵．
3．（2022 裕華區校級期末）下列說法中不正確的是（　　）
A．一次函數不一定是正比例函數 B．不是一次函數就一定不是正比例函數
C．正比例函數是特殊的一次函數 D．不是正比例函數就一定不是一次函數
【思路點撥】根據一次函數與正比例函數的定義解答即可．
【答案】解：A、正確，一次函數y＝kx+b，當b≠0時函數不是正比例函數；
B、正確，因為正比例函數一定是一次函數；
C、正確，一次函數y＝kx+b，當b＝0時函數是正比例函數；
D、錯誤，一次函數y＝kx+b，當b≠0時函數不是正比例函數．故選：D．
【點睛】解題關鍵是掌握一次函數與正比例函數的定義及關系：
一次函數不一定是正比例函數，正比例函數是特殊的一次函數．
4．（2022·河北·原競秀學校八年級期中）若函數是正比例函數，則m的值為（ ）
A． B．2 C． D．0
【答案】A
【分析】根據正比例函數的定義即可求出結果．
【詳解】解：∵是正比例函數，∴，解得，故選：A．
【點睛】本題考查正比例函數的定義，屬于基礎題目，熟悉正比例函數的定義是解題的關鍵，自變量x的系數不等于0是易錯點．
5．（2022·江蘇·八年級專題練習）已知函數是一次函數，則m的取值范圍是（ ）
A．m≠-3 B．m≠1 C．m≠0 D．m為任意實數
【答案】A
【分析】根據一次函數的定義進行解答．
【詳解】解：根據題意，，解得．故選：A．
【點睛】本題考查一次函數的定義，解題關鍵是熟練掌握一次函數的定義．
6.（2022·重慶八年級期末）一次函數y＝（m+3）x+m2﹣9的圖象經過原點，則m的值為（　　）
A．m＝﹣3 B．m＝3 C．m＝±3 D．m＝4
【答案】B
【分析】把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9求解，注意m的取值范圍．
【詳解】解：把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9得m2﹣9＝0，
解得m＝3或m＝﹣3，∵m+3≠0，∴m＝3．故選：B．
【點睛】本題考查一次函數的性質，解題關鍵是掌握一次函數與方程的關系，注意一次函數一次項系數不為0．
7．（2022·福建八年級期中）下列函數的圖像經過原點的是（　　）
A．y＝﹣2x+2 B． C．y＝4x D．y＝x2+5
【答案】C
【分析】把原點（0,0）代入檢驗即可，或者利用正比例函數的定義判斷
【詳解】解法一：代入檢驗只有選項C滿足
解法二：正比例函數過原點故選：C．
【點睛】本題考查點在圖像上點的坐標適合函數解析式，代入正確驗算是關鍵．
8．（2022·浙江臺州·八年級期末）下列變化過程中，y是x的正比例函數是（ ）
A．某村共有耕地，該村人均占有耕地y（單位：）隨該村人數x（單位：人）的變化而變化
B．一天內，溫嶺市氣溫y（單位：）隨時間x（單位：時）的變化而變化
C．汽車油箱內的存油y（單位：升）隨行駛時間x（單位：時）的變化而變化
D．某人一年總收入y（單位：元）隨年內平均月收入x（單位：元）的變化而變化
【答案】D
【分析】根據正比例函數的定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A.由題意得：，故y不是x的正比例函數；
B.因為溫嶺市一天的氣溫早晚較低，中午較高，故y不是x的正比例函數；
C.因為在行駛時間為零時汽車油箱內的存油y不是零，故y不是x的正比例函數；
D.由題意得：，故y是x的正比例函數；故選：D．
【點睛】本題考查了正比例函數的定義，一般地，兩個變量x、y之間的關系式可以表示成形如y=kx的函數(k為常數，且k≠0)，那么y就叫做x的正比例函數
9．（2022 蚌埠月考）已知y﹣1與x成正比例，當x＝3時，y＝2．則當x＝﹣1時，y的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．
【思路點撥】設y﹣1＝kx（k≠0），把x＝3，y＝2代入求出k的值，把x＝﹣1代入函數關系式即可得到相應的y的值；
【答案】解：設y﹣1＝kx（k≠0），則由x＝3時，y＝2，得到：2﹣1＝3k，解得k＝．
則該函數關系式為：y＝x+1；把x＝﹣1代入y＝x+1得到：y＝﹣+1＝；故選：D．
【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式．解決本題的關鍵是得到y與x的函數關系式．
10．（2022·江蘇·八年級專題練習）新定義：為一次函數（a，b為常數，且）關聯數．若關聯數所對應的一次函數是正比例函數，則關于x的方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先依據題意得到函數關系式，然后依據正比例函數的定義求得m的值，最后解一元一次方程即可．
【詳解】解：∵[a，b]為一次函數y=ax+b（a，b為實數，且a≠0）的關聯數，
∴關聯數[1，m+2]所對應的一次函數是y=x+m+2．
又∵該函數為正比例函數，∴m+2=0，解得m=-2．
∴方程可變形為：，解得：x=1，∴方程的解為x=1．故選：C．
【點睛】本題主要考查的是正比例函數的定義，解一元一次方程，求得m的值是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022·浙江麗水·八年級期末）一次函數y＝10－2x的比例系數是________．
【答案】
【分析】先化為標準形式，再根據一次函數的定義解答．
【詳解】解：一次函數變形為：，
故其比例系數是．
故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數的定義，解題的關鍵是掌握一次函數的定義：一般地，形如，、是常數）的函數，叫做一次函數．
12．（2022·河北張家口·八年級期中）若函數為正比例函數，則a的值為_______．
【答案】1
【分析】根據正比例函數的概念求解即可，形如的函數為正比例函數．
【詳解】解：由題意可得：
解得
故答案為：1．
【點睛】此題考查了正比例函數的概念，熟練掌握正比例函數的概念是解題的關鍵．
13．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級期末）若y與x成正比例，當x＝5時，y＝6，則y與x的函數解析式為________．
【答案】
【分析】根據正比例的概念設出解析式，利用待定系數法計算．
【詳解】解：設y＝kx，當x＝5時，y＝6，可得：5k＝6，解得：k＝ ，
則y與x的函數解析式為y＝x，故答案為：y＝x．
【點睛】本題考查的是待定系數法求一次函數解析式，掌握待定系數法求一次函數解析式的一般步驟是解題的關鍵．
14．（2022·廣東惠州·八年級期末）若關于的函數是一次函數，則=______．
【答案】0、
【分析】根據一次函數的定義可知，時，關于的函數是一次函數來求解．
【詳解】解：∵關于的函數是一次函數，
∴當時，，符合題意；
當時，，，符合題意；
所以或．故答案為：0、．
【點睛】本題主要考查了一次函數的定義，理解一次函數的定義是解答關鍵．
15．（2022·河北·雄縣八年級階段練習）下列函數：①；②；③；④；⑤．其中，是的正比例函數的有______個．
【答案】2
【分析】根據正比例函數的定義逐項判斷即可．
【詳解】①是正比例函數，符合要求；②是一次函數，不符合要求；
③是反比例函數，不符合要求，④是二次函數，不符合要求，
⑤是正比例函數，符合要求；則是正比例函數的有2個，故答案為：2．
【點睛】本題主要考查了正比例函數的定義．正比例函數的定義：一般地，形如（k是常數，k≠0）的函數叫做正比例函數，其中k叫做比例系數．注意：正比例函數的定義是從解析式的角度出發的，注意定義中對比例系數的要求：k是常數，k≠0，k是正數也可以是負數，也可以是分數．
16．說出下面兩個問題中兩個量的函數關系，并指出它們是不是正比例函數，是不是一次函數．
①汽車以40千米/小時的平均速度從A站出發，行駛了t小時，那么汽車離開A站的距離s（千米）和時間t（小時）之間的函數關系式為 　，它是　 　函數；
②汽車離開A站4千米，再以40千米/小時的平均速度行駛了t小時，那么汽車離開A站的距離s（千米）與時間t（小時）之間的函數關系式為　 　，它是　 　函數．
【思路點撥】根據題意列出式子，再根據一次函數和正比例函數的定義確定是什么函數．
【答案】解：①汽車以40千米/小時的平均速度從A站出發，行駛了t小時，
則汽車離開A站的距離 s＝40t，它是正比例函數；故兩空應分別填 s＝40t，正比例；
②汽車離開A站4千米，再以40千米/小時的平均速度行駛了t小時，
則汽車離開A站的距離 s＝40t+4，它是一次函數；故兩空應分別填 s＝40t+4，一次．
【點睛】本題主要考查了一次函數的定義，一次函數y＝kx+b的定義條件是：k、b為常數，k≠0，自變量次數為1．還要掌握正比例函數的定義：一般地，兩個變量x，y之間的關系式可以表示成形如y＝kx（k為常數，且k≠0）的函數，那么y就叫做x的正比例函數
17．（2022··米易八年級階段練習）對于關系式，下列說法：①是自變量，是因變量；②的數值可以任意選擇；③是變量，它的值與無關；④這個關系式表示的變量之間的關系不能用圖象表示；⑤與的關系還可以用表格和圖象表示，其中正確的是_____．（只需填寫序號）
【答案】①②⑤
【分析】根據一次函數的定義可知，x為自變量，y為函數，也叫因變量；x取全體實數；y隨x的變化而變化；可以用三種形式來表示函數：解析法、列表法和圖象法．
【詳解】解：①x是自變量，y是因變量；故正確；②x的數值可以任意選擇；故正確；
③y是變量，它的值與x有關； y隨x的變化而變化，故錯誤；
④用關系式表示的可以用圖象表示，故錯誤；
⑤y與x的關系還可以表格和圖象表示，故正確. 故答案為：①②⑤.
【點睛】本題考查了一次函數的定義，是基礎知識，比較簡單．
18．（2022·重慶八年級期末）已知y是關于自變量x的函數，當x≥2時，；當x＜2時，y＝2x﹣m．已知當x＝3時，y＝0，則x＝﹣5時，y的值為 。
【答案】﹣13
【分析】把x＝3，y＝0代入求得m＝3，再把x＝﹣5代入y＝2x﹣3即可求得y的值．
【詳解】解：把x＝3，y＝0代入得，，∴m＝3，
把x＝﹣5代入y＝2x﹣m得，y＝2×（﹣5）﹣3＝﹣1．
【點睛】本題主要考查求一次函數解析式，然后求函數值，解題的關鍵在于能夠讀懂題意，代值求解.
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2022·成都市·八年級專題練習）已知y與x成正比例，且x＝2時，y＝4
(1)求y關于x的函數表達式；(2)當x＝﹣時，求y的值．
【答案】(1)y＝2x(2)-1
【分析】（1）設出解析式，待定系數法求解即可；（2）將x的值代入解析式計算即可．
（1）解：設y＝kx（k≠0），把x＝2，y＝4代入得：4＝2k，解得：k＝2，
即y與x的函數關系式為y＝2x；
（2）解：把x＝﹣代入y＝2x得：y＝﹣1．
【點睛】本題考查正比例函數的解析式．用待定系數法求出解析式是解題的關鍵．
20．（2022·成都市八年級月考）已知關于的函數。（1）和取何值時，該函數是關于的一次函數？（2）和取何值時，該函數是關于的正比例函數？
【答案】（1），為任意實數；（2），
【分析】（1）如果函數關系式是關于自變量的一次式，則稱為一次函數，用字母表示為y=kx+b，其中k≠0，且k、b為常數；根據一次函數的定義及表示形式完成即可；
（2）若一次函數表達式中b=0，即y=kx，其中k≠0，則稱此函數為正比例函數，根據正比例函數的解析式完成即可．
【詳解】（1）由題意知：，則m=±1
當m=－1時，m+1=0∴m=1 n可為任意實數 即當m=1，n為任意實數時，函數為一次函數．
（2）由（1）知，m=1但n－3=0，所以n=3 即當m=1，n=3時，函數是正比例函數．
【點睛】本題考查了一次函數與正比例函數的定義及解析式，關鍵是掌握兩種函數的定義，另外要清楚一次函數與正比例函數是一般與特殊的關系．
21．寫出下列各題中y關于x的函數關系式，并判斷y是否為x的一次函數，是否為正比例函數．
（1）長方形的面積為20，長方形的長y與寬x之間的關系；
（2）剛上市時西瓜每千克3.6元，買西瓜的總價y元與所買西瓜x千克之間的關系；
（3）倉庫內有粉筆400盒，如果每個星期領出36盒，倉庫內余下的粉筆盒數y與星期數x之間的關系；（4）小林的爸爸為小林存了一份教育儲蓄，首次存入10 000元，以后每個月存入500元，存入總數y元與月數x之間的關系．
【思路點撥】（1）根據長方形的面積公式列出函數關系式；
（2）根據“總價＝單價×數量”列出函數關系式；
（3）根據“剩余的數量＝總量﹣取出的數量”列出函數關系式；
（4）根據“總儲蓄＝10 000+x月存入的金額”列出函數關系式．
【答案】解：（1）依題意得 xy＝20，則y＝，y是x的反比例函數；
（2）依題意得 y＝3.6x，y是x的正比例函數；
（3）依題意得 y＝400﹣36x，y是x的一次函數；
（4）依題意得 y＝10 000+500x，y是x的一次函數．
【點睛】本題考查了一次函數、正比例函數的定義．一次函數y＝kx+b的定義條件是：k、b為常數，k≠0，自變量次數為1．
22．已知y與x+2成正比例，z與y﹣1成正比例．
（1）z是x的一次函數嗎？請說明理由；（2）在什么條件下，z是x的正比例函數？
【思路點撥】（1）根據正比例函數定義分別設出y、z的函數解析式，再表示出z與x間的關系即可判斷；
（2）根據正比例函數的定義由常數項為0可得．
【答案】解：（1）根據題意，設y＝m（x+2），z＝n（y﹣1）
∴z＝n[m（x+2）﹣1]＝n（mx+2m﹣1）＝mnx+n（2m﹣1）∴z是x的一次函數；
（2）根據題意，n（2m﹣1）＝0
∵m≠0，n≠0，∴m＝，故當m＝時，z是x的正比例函數．
【點睛】此題主要考查了一次函數、正比例函數的定義，在一次函數解析式y＝kx+b（k≠0）中，特別注意不要忽略k≠0這個條件，當b＝0時，該函數為正比例函數．
23．（2022·湖南岳陽·八年級期末）已知y是x的一次函數，且當x＝4時，y＝9；當x＝6時，y＝﹣1．（1）求這個一次函數的表達式；（2）當x＝1時，求y的值．
【答案】（1）y=-5x+29；（2）24
【分析】（1）設y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得關于k和b的方程組，解方程組即可；
（2）把x=1代入函數表達式計算即可．
【詳解】解：（1）設y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得
，解得：，∴此一次函數的表達式為y=-5x+29；
（2）將x=1代入y=-5x+29，得：y=-5×1+29=24．
【點睛】本題主要考查了待定系數法求一次函數解析式、一次函數圖象上點的坐標特征，解決這類問題一般先設函數的一般式，再代入兩個點構造方程組求解．
24．（2022·江蘇·八年級專題練習）已知y與x+1成正比例，且當x＝1時，y＝6；
(1)求出y與x之間的函數關系式；(2)當x＝﹣3時，求y的值．
【答案】(1)y＝3x+3(2)-6
【分析】（1）根據題意，可設y＝k（x+1），再把x＝1，y＝6代入，即可求解；
（2）把x＝﹣3代入函數關系式，即可求解．
（1）解：根據題意，可設y＝k（x+1），把x＝1，y＝6代入得：6＝2k，解得：k＝3，∴y＝3（x+1）＝3x+3， 即y與x之間的函數關系式為y＝3x+3；
（2）解：當x＝﹣3時，y＝3×（﹣3）+3＝﹣6．
【點睛】本題主要考查了待定系數法求函數關系式，正比例函數的定義，熟練掌握正比例函數的定義是解題的關鍵．
25．（2022·浙江八年級專題練習）已知一次函數
（1）若自變量的范圍是，求函數值的范圍．
（2）若函數值的范圍是，求自變量的范圍．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先用y的代數式表示x，即，然后由，得到，解不等式組即可； （2）由得到，解不等式組，即可得出自變量x的取值范圍．
【詳解】解：（1）∵，又
∴∴即且解得：
（2）∵∴解得：．
【點睛】此題考查了一次函數解析式的變形，同時考查了解不等式組的方法，同學們要熟練掌握．
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專題5.3 一次函數
模塊1：學習目標
1、理解正比例函數、一次函數的概念；
2、會根據數量關系，求正比例函數、一次函數的表達式（待定系數法）；
3、會求一次函數的值。
模塊2：知識梳理
1）一次函數與正比例函數的概念
一般地，形如y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的函數，叫做一次函數，其中x是自變量，y是x的函數。
特別地，當b=0時，y=kx（k為常數，k≠0），y叫做x的正比例函數。k為比例系數。
故正比例函數是特殊一次函數。
2）函數圖象經過點的含義：函數圖象上的點是由適合函數解析式的一對x、y的值組成的，因此，若已知一個點在函數圖象上，那么以這個點的橫坐標代x，縱坐標代y，方程成立。
3）求一次函數解析式（待定系數法）
點+點:設函數的解析式為：y=kx+b，當已知兩點坐標，將這兩點分別代入（待定系數法），可得關于k、b的二元一次方程組，解方程得出k、b的值。
圖形:觀察圖形，根據圖形的特點，找出2點的坐標，利用待定系數法求解解析式。
模塊3：核心考點與典例
考點1. 正比例函數的辨別
例1．（2022·河南·鹿邑縣八年級期末）下列函數是正比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2022·海南八年級期中）下列函數中，是正比例函數的是（ ）
A．y＝2x B． C．y＝x2 D．y＝2x－1
變式2．（2022·吉林長春·八年級期末）下列各式中，表示正比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
考點2. 一次函數的辨別
例2.（2023·浙江·八年級階段練習）下列函數：①；②；③；④；⑤，其中是一次函數的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
變式1．（2022·湖南·衡陽市八年級階段練習）下列函數關系式：；；；，其中一次函數的個數是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2022·河北廊坊·八年級期末）下列函數中是一次函數的是（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2022·江蘇·八年級專題練習）下列函數中，是一次函數但不是正比例函數的為（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝
考點3. 根據一次函數（正比例函數）求參數
例3．（2022·河北·八年級期中）若函數是正比例函數，則m的值為（ ）
A． B．2 C． D．0
變式1．（2022·黑龍江·七年級期末）當為何值時，函數是一次函數（ ）
A．2 B．－2 C．－2和2 D．3
變式2．（2023·貴州·八年級階段練習）已知函數，
(1)當m、n為何值時，此函數是一次函數？(2)當m、n為何值時，此函數是正比例函數？
考點4. 實際背景下的一次函數（正比例函數）的辨別
例4．（2022·浙江臺州·八年級期末）下列變化過程中，y是x的正比例函數是（ ）
A．某村共有耕地，該村人均占有耕地y（單位：）隨該村人數x（單位：人）的變化而變化
B．一天內，溫嶺市氣溫y（單位：）隨時間x（單位：時）的變化而變化
C．汽車油箱內的存油y（單位：升）隨行駛時間x（單位：時）的變化而變化
D．某人一年總收入y（單位：元）隨年內平均月收入x（單位：元）的變化而變化
變式1．（2022·江蘇·八年級專題練習）下列問題中，兩個變量之間成正比例關系的是（　　）
A．圓的面積S（cm2）與它的半徑r（cm）之間的關系
B．某水池有水15m3，現打開進水管進水，進水速度為5m3/h，xh后這個水池有水ym3
C．三角形面積一定時，它的底邊a（cm）和底邊上的高h（cm）之間的關系
D．汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程y與行駛時間x之間的關系
變式2．（2022·山東濟南·中考真題）某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數關系是（ ）
A．正比例函數關系 B．一次函數關系 C．反比例函數關系 D．二次函數關系
考點5. 一次函數的函數值
例5．（2022·南寧市八年級期中）已知一次函數，當時，的值是（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．0
變式1．（2022·吉林南關·八年級期末）已知函數，當函數值為0時，的值為______．
變式2．（2022·河北·石家莊八年級階段練習）當時，函數的值是（ ）
A．－5 B．－1 C．0 D．1
考點6. 一次函數點的特征
例6．（2022·陜西西安市·九年級模擬）已知點和點都在正比例函數圖象上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2022·北京朝陽·八年級期中）在平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+a﹣1（a為常數，且a≠0）的圖象一定經過的點是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
變式2．（2022·江蘇九年級專題練習）如圖，一次函數的圖象經過點和，則的值為（ ）
A． B． C．36 D．12
考點7. 用待定系數法求一次函數的解析式
例7．（2022·湖南岳陽·八年級期末）已知y是x的一次函數，且當x＝4時，y＝9；當x＝6時，y＝﹣1．（1）求這個一次函數的表達式；（2）當x＝1時，求y的值．
變式1．（2022·廣西·八年級期末）已知正比例函數的圖象經過點，求這個函數的表達式．
變式2．（2022·江蘇·八年級專題練習）已知y與x+1成正比例，且當x＝1時，y＝6；
(1)求出y與x之間的函數關系式；(2)當x＝﹣3時，求y的值．
模塊四：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022·廣西河池·八年級期末）下列函數中，是正比例函數的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北廊坊·八年級期末）下列函數中是一次函數的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022 裕華區校級期末）下列說法中不正確的是（　　）
A．一次函數不一定是正比例函數 B．不是一次函數就一定不是正比例函數
C．正比例函數是特殊的一次函數 D．不是正比例函數就一定不是一次函數
4．（2022·河北·原競秀學校八年級期中）若函數是正比例函數，則m的值為（ ）
A． B．2 C． D．0
5．（2022·江蘇·八年級專題練習）已知函數是一次函數，則m的取值范圍是（ ）
A．m≠-3 B．m≠1 C．m≠0 D．m為任意實數
6.（2022·重慶八年級期末）一次函數y＝（m+3）x+m2﹣9的圖象經過原點，則m的值為（　　）
A．m＝﹣3 B．m＝3 C．m＝±3 D．m＝4
7．（2022·福建八年級期中）下列函數的圖像經過原點的是（　　）
A．y＝﹣2x+2 B． C．y＝4x D．y＝x2+5
8．（2022·浙江臺州·八年級期末）下列變化過程中，y是x的正比例函數是（ ）
A．某村共有耕地，該村人均占有耕地y（單位：）隨該村人數x（單位：人）的變化而變化
B．一天內，溫嶺市氣溫y（單位：）隨時間x（單位：時）的變化而變化
C．汽車油箱內的存油y（單位：升）隨行駛時間x（單位：時）的變化而變化
D．某人一年總收入y（單位：元）隨年內平均月收入x（單位：元）的變化而變化
9．（2022 蚌埠月考）已知y﹣1與x成正比例，當x＝3時，y＝2．則當x＝﹣1時，y的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．
10．（2022·江蘇·八年級專題練習）新定義：為一次函數（a，b為常數，且）關聯數．若關聯數所對應的一次函數是正比例函數，則關于x的方程的解為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022·浙江麗水·八年級期末）一次函數y＝10－2x的比例系數是________．
12．（2022·河北張家口·八年級期中）若函數為正比例函數，則a的值為_______．
13．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級期末）若y與x成正比例，當x＝5時，y＝6，則y與x的函數解析式為________．
14．（2022·廣東惠州·八年級期末）若關于的函數是一次函數，則=______．
15．（2022·河北·雄縣八年級階段練習）下列函數：①；②；③；④；⑤．其中，是的正比例函數的有______個．
16．說出下面兩個問題中兩個量的函數關系，并指出它們是不是正比例函數，是不是一次函數．
①汽車以40千米/小時的平均速度從A站出發，行駛了t小時，那么汽車離開A站的距離s（千米）和時間t（小時）之間的函數關系式為 　，它是　 　函數；
②汽車離開A站4千米，再以40千米/小時的平均速度行駛了t小時，那么汽車離開A站的距離s（千米）與時間t（小時）之間的函數關系式為　 　，它是　 　函數．
17．（2022··米易八年級階段練習）對于關系式，下列說法：①是自變量，是因變量；②的數值可以任意選擇；③是變量，它的值與無關；④這個關系式表示的變量之間的關系不能用圖象表示；⑤與的關系還可以用表格和圖象表示，其中正確的是_____．（只需填寫序號）
18．（2022·重慶八年級期末）已知y是關于自變量x的函數，當x≥2時，；當x＜2時，y＝2x﹣m．已知當x＝3時，y＝0，則x＝﹣5時，y的值為 。
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2022·成都市·八年級專題練習）已知y與x成正比例，且x＝2時，y＝4
(1)求y關于x的函數表達式；(2)當x＝﹣時，求y的值．
20．（2022·成都市八年級月考）已知關于的函數。（1）和取何值時，該函數是關于的一次函數？（2）和取何值時，該函數是關于的正比例函數？
21．寫出下列各題中y關于x的函數關系式，并判斷y是否為x的一次函數，是否為正比例函數．
（1）長方形的面積為20，長方形的長y與寬x之間的關系；
（2）剛上市時西瓜每千克3.6元，買西瓜的總價y元與所買西瓜x千克之間的關系；
（3）倉庫內有粉筆400盒，如果每個星期領出36盒，倉庫內余下的粉筆盒數y與星期數x之間的關系；（4）小林的爸爸為小林存了一份教育儲蓄，首次存入10 000元，以后每個月存入500元，存入總數y元與月數x之間的關系．
22．已知y與x+2成正比例，z與y﹣1成正比例．
（1）z是x的一次函數嗎？請說明理由；（2）在什么條件下，z是x的正比例函數？
23．（2022·湖南岳陽·八年級期末）已知y是x的一次函數，且當x＝4時，y＝9；當x＝6時，y＝﹣1．（1）求這個一次函數的表達式；（2）當x＝1時，求y的值．
24．（2022·江蘇·八年級專題練習）已知y與x+1成正比例，且當x＝1時，y＝6；
(1)求出y與x之間的函數關系式；(2)當x＝﹣3時，求y的值．
25．（2022·浙江八年級專題練習）已知一次函數
（1）若自變量的范圍是，求函數值的范圍．
（2）若函數值的范圍是，求自變量的范圍．
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