資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【壓軸攻略】2023-2024年高一數學上學期期中期末常考壓軸題專練
專題09 冪函數
一、單選題
1．給定一組函數解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如圖所示一組函數圖象．圖象對應的解析式號碼順序正確的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
2．若函數的值域為，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知冪函數的圖象關于y軸對稱，且在上單調遞減，則滿足的a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．已知x，，滿足，，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．已知 ，為個不同的冪函數，有下列命題：
① 函數 必過定點；
② 函數可能過點；
③ 若 ，則函數為偶函數；
④ 對于任意的一組數、、…、，一定存在各不相同的個數、、…、使得在上為增函數.其中真命題的個數為
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．已知函數是定義在上的偶函數且，當時，，若，則（ ）
A． B．
C． D．
7．下列比較大小中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知冪函數（且互質）的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數，且
B．q為偶數，p為奇數，且
C．q為奇數，p為偶數，且
D．q為奇數，p為偶數，且
9．已知函數，若當時，恒成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10．已知冪函數的圖象經過點，且，則的取值范圍為( )
A． B．
C． D．
11．若冪函數的圖象關于y軸對稱，解析式的冪的指數為整數, 在上單調遞減，則（ ）
A． B．或 C． D．或
12．已知函數是冪函數，且在上為增函數，若且則的值（ ）
A．恒等于 B．恒小于 C．恒大于 D．無法判斷
13．下列關于冪函數的命題中正確的有（ ）
A．冪函數圖象都通過點
B．當冪指數時，冪函數的圖象都經過第一、三象限
C．當冪指數時，冪函數是增函數
D．若，則函數圖象不通過點
14．已知冪函數在上單調遞增，函數時，總存在使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函數，若函數的值域為，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
16．定義新運算“”如下：，已知函數，則滿足的實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
17．已知冪函數的圖象為曲線，有下列四個性質：
①為偶函數；
②曲線不過原點；
③曲線C在第一象限呈上升趨勢；
④當時，.
寫出一個同時滿足上述四個性質中三個性質的一個函數 .
18．設冪函數的圖象過點，則：①的定義域為；②是奇函數；③是減函數；④當時，
其中正確的有 （多選、錯選、漏選均不得分）．
三、解答題
19．已知冪函數的圖象經過點.
(1)求實數的值，并用定義法證明在區間內是減函數.
(2)函數是定義在R上的偶函數，當時，，求滿足時實數的取值范圍.
20．已知冪函數是其定義域上的增函數．
(1)求函數的解析式；
(2)若函數，，是否存在實數使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
(3)若函數，是否存在實數，使函數在上的值域為？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．
21．設函數的定義域為D，如果存在，使得在上的值域也為，則稱為“A佳”函數．已知冪函數在內是單調增函數．
(1)求函數的解析式；
(2)若函數，當的最小值是0時，求m的值；
(3)若函數，且是“A佳”函數，試求出實數n的取值范圍．
22．若函數滿足：存在整數，使得關于的不等式的解集恰為（），則稱函數為函數.
(1)若函數為函數，請直接寫出（不要過程）；
(2)判斷函數是否為函數，并說明理由；
(3)是否存在實數使得函數為函數，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
23．已知冪函數．
(1)求函數的解析式；
(2)若函數，，是否存在實數使得的最小值為，若存在，求出實數m的值．
24．已知冪函數滿足．
(1)求函數的解析式；
(2)若函數，是否存在實數使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
(3)若函數，是否存在實數，使函數在上的值域為？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．
25．已知冪函數，滿足.
(1)求函數的解析式.
(2)若函數，，是否存在實數使得的最小值為0？
(3)若函數，是否存在實數，使函數在上的值域為？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由.
26．已知冪函數為偶函數.
（1）求的解析式；
（2）若函數在區間上恒成立，求實數a的取值范圍.
27．已知冪函數在區間上單調遞減，
（1）求冪函數的解析式及定義域
（2）若函數，滿足對任意的時，總存在使得，求k的取值范圍.
28．已知冪函數在上為增函數，，.
(1)求的值，并確定的解析式；
(2)對于任意，都存在，使得，，若，求實數的值；
(3)若對于一切成成立，求實數的取值范圍.
參考答案：
1．C
【分析】根據冪函數的圖象的性質判斷各圖象對應解析式的形式，即可得答案.
【詳解】圖象（1）關于原點對稱，為奇函數，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；
圖象（2）關于軸對稱，為偶函數，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；
圖象（3）非奇非偶函數，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；
圖象（4）關于軸對稱，為偶函數，且過原點、第一象限遞增，故滿足；
圖象（5）關于原點對稱，為奇函數，且過原點、第一象限遞增，故滿足；
圖象（6）非奇非偶函數，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞減，故滿足；
圖象（7）非奇非偶函數，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞增，故滿足；
故圖象對應解析式順序為⑥④③②⑦①⑤.
故選：C
2．B
【分析】由題意，根據復合函數的值域得函數的最小值要小于等于，進而結合二次函數性質求解即可．
【詳解】解：由題意：函數是一個復合函數，要使值域為，
則函數的值域要包括，即最小值要小于等于．
當時，顯然不成立，
所以，當時，則有，解得，
所以的取值范圍是.
故選：B．
3．D
【分析】由條件知，，可得m＝1．再利用函數的單調性，分類討論可解不等式.
【詳解】冪函數在上單調遞減，故，解得．又，故m＝1或2．
當m＝1時，的圖象關于y軸對稱，滿足題意；
當m＝2時，的圖象不關于y軸對稱，舍去，故m＝1．
不等式化為，
函數在和上單調遞減，
故或或，解得或．
故應選：D．
4．B
【分析】令，，易得為奇函數且為增函數，再由和，變形得到，求解．
【詳解】解：令，，則，
∴為奇函數．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵在R上單調遞增，
∴，即．
故選：B．
5．A
【分析】根據題目中的條件和冪函數的圖像與性質，對四個命題分別進行判斷，從而得到答案.
【詳解】命題①，因為 ，為個不同的冪函數，
且冪函數都經過點，
所以可得函數的圖像一定過點，所以正確;
命題②，冪函數，若定義域中可取負數時，則冪函數圖像一定過或者
，為個不同的冪函數，
若這個不同的冪函數都過，則函數的圖像過，
若這個不同的冪函數有一個不過，則這個冪函數必過，則函數的圖像過，
所以的圖像不可能過，所以錯誤；
命題③若，若這個數中出現分子為奇數，分母為偶數的分數，則函數的定義域為，不關于原點對稱，所以函數不為偶函數，所以錯誤.
命題④因為任意的一組數、、…、，一定存在各不相同的個數、、…、，
則當這個數中出現時，
，此時為常數函數，不是增函數，所以錯誤.
故選A.
【點睛】本題考查冪函數的圖像特點，冪函數的奇偶性和單調性，屬于中檔題.
6．C
【分析】根據偶函數的性質，結合已知等式可以判斷出函數的周期，再結合函數的單調性進行判斷即可.
【詳解】由得，，
而函數是偶函數，所以有，
所以，
所以的周期為4，
則，
．
當時，，
因為在上均為增函數，
所以在上為增函數，又，
所以，
即，
故選：C
【點睛】關鍵點睛：根據已知等式，結合偶函數的性質判斷出函數的周期是解題的關鍵.
7．C
【分析】利用函數的單調性進行判斷即可.
【詳解】解：對于A選項，因為在上單調遞增，所以，故A錯誤，
對于B選項，因為在上單調遞減，所以，故B錯誤，
對于C選項，為奇函數，且在上單調遞增，所以在上單調遞增，
因為，又，
所以，故C正確，
對于D選項，在上是遞增函數，
又，所以，所以，故D錯誤.
故選：C.
8．D
【分析】根據函數的單調性可判斷出；根據函數的奇偶性及，互質可判斷出為偶數，為奇數.
【詳解】因為函數的定義域為，且在上單調遞減，
所以0，
因為函數的圖象關于y軸對稱，
所以函數為偶函數，即p為偶數，
又p、q互質，所以q為奇數，
所以選項D正確，
故選：D.
9．C
【分析】由題知，在上為增函數且為奇函數，進而將問題轉化為在上恒成立，再求最值即可得答案.
【詳解】解：由題意，，
因為，所以為奇函數，
由冪函數的性質得在上單調遞增，
所以，在上的增函數，
因為在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，只需，即
所以實數a的取值范圍是.
故選：C
10．C
【分析】首先根據已知條件求出的解析式，再根據的單調性和奇偶性求解即可.
【詳解】由題意可知，，解得，，
故，易知，為偶函數且在上單調遞減，
又因為，
所以，解得，或.
故的取值范圍為.
故選：C.
11．D
【分析】由題意知是偶函數，在上單調遞減,可得為正偶數，再根據的范圍可得答案.
【詳解】由題意知是偶函數，因為在上單調遞減,
所以為正偶數，
又，
∴，解得或．
故選：D．
12．C
【分析】根據函數是冪函數，且在上為增函數，得到，確定函數為奇函數，單調遞增，故，得到答案.
【詳解】函數是冪函數，則，解得或.
當時，，在上為減函數，排除；
當時，，在上為增函數，滿足；
，函數為奇函數，故在上單調遞增.
，故，，故.
故選：.
【點睛】本題考查了冪函數的定義，根據函數的奇偶性和單調性比較函數值大小，意在考查學生對于函數性質的綜合應用.
13．B
【分析】根據冪函數的性質，結合取值的情況，一一判斷各選項的正誤，可得答案.
【詳解】對于A，當時，冪函數圖象不通過點，A錯誤；
對于B，冪指數時，冪函數分別為 ，三者皆為奇函數，
圖象都經過第一、三象限，故B正確；
對于C，當時，冪函數在上皆單調遞減，C錯誤；
對于D，若，則函數圖象不通過點，通過點，D錯誤，
故選：B
14．D
【詳解】試題分析：由已知，得或．當時，，當時，．又在單調遞增，∴．∴在上的值域為，在上的值域為，∴，∴，即．故選D.
考點：1、冪函數的定義和性質；2、函數的單調性及值域.
【方法點睛】本題主要考查冪函數的定義和性質，函數的單調性及函數的值域的求法，屬于難題.求函數值域的常見方法有 ①配方法：若函數為一元二次函數，常采用配方法求函數求值域，其關鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；②換元法：常用代數或三角代換法，用換元法求值域時需認真分析換元參數的范圍變化；③不等式法：借助于基本不等式 求函數的值域，用不等式法求值域時，要注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”；④單調性法：首先確定函數的定義域，然后準確地找出其單調區間 ，最后再根據其單調性求凼數的值域，⑤圖象法：畫出函數圖象，根據圖象的最高和最低點求最值，本題主要是利用方法④求出兩函數值域后再根據題意解答的.
15．D
【分析】求出分段函數在各段上的函數值集合，再根據給定值域，列出不等式求解作答.
【詳解】函數在上單調遞減，其函數值集合為，
當時，的取值集合為，的值域，不符合題意，
當時，函數在上單調遞減，其函數值集合為，
因函數的值域為，則有，解得，
所以實數的取值范圍為.
故選：D
16．C
【解析】根據新定義，得到的表達式，判斷函數在定義域的單調性，可得結果.
【詳解】當時，
；
當時，
；
所以，
易知，在單調遞增，
在單調遞增，
且當時，，
當時，，
則在上單調遞增，
所以
得，解得.
故選：C
【點睛】本題考查對新定義的理解，以及分段函數的單調性，重點在于寫出函數以及判斷單調性，難點在于滿足的不等式，屬中檔題.
17．
【分析】根據冪函數的性質可得函數只能同時滿足性質①③④，可取，證明即可.
【詳解】解：設冪函數的解析式為，
若曲線不過原點，則，
此時函數在，故②不成立，
則當時，，故③不成立，
所以冪函數不能滿足②性質，
不妨取，
函數為偶函數，曲線C在第一象限呈上升趨勢，當時，，
所以冪函數滿足性質①③④.
故答案為：.（答案不唯一）
18．②④
【分析】根據待定系數法求出冪函數，由冪函數的性質，即可判斷各項的真假．
【詳解】設，因為函數的圖象過點，所以，解得，
根據冪函數的圖象，可知①不正確，②正確，③說法有誤，應該是在上是減函數，在上是減函數，但在整個定義域上不是減函數；
對于④，設點，，點為線段的中點，點，由圖可知，點在點的下方，所以．
故答案為②④．
【點睛】本題主要考查冪函數的求法和冪函數的性質的判斷與應用．
19．(1)，證明見解析；
(2)
【分析】（1）將點的坐標代入即可求得的值，再利用單調性的定義證明即可；
（2）函數在內是減函數，結合函數單調性及奇偶性，解不等式即可得解.
【詳解】（1）由冪函數的圖象經過點
，解得
證明：任取，且
，，
，即
所以在區間內是減函數.
（2）當時，，在區間內是減函數，
所以在區間內是減函數，在區間內是增函數，
又，所以等價于
函數是定義在R上的偶函數，則，解得：或
所以實數的取值范圍是
20．(1)
(2)存在
(3)
【分析】（1）因為是冪函數，所以；
（2）考慮函數中x的次數，換元成二次函數解題；
（3）因為在定義域范圍內為減函數，故有，相減后得，進而，換元成二次函數解題.
【詳解】（1）因為是冪函數，所以，
解得或
當時，，在為減函數，當時，，
在為增函數，所以.
（2），令，因為，所以，
則令，，對稱軸為．
①當，即時，函數在為增函數，
，解得．
②當，即時，，
解得，不符合題意，舍去．
當，即時，函數在為減函數，，
解得．不符合題意，舍去．
綜上所述：存在使得的最小值為.
（3），則在定義域范圍內為減函數，
若存在實數，使函數在上的值域為，
則，
②-①得：，
所以，
即③．
將③代入②得：．
令，因為，，所以．
所以，在區間單調遞減，
所以
故存在實數，使函數在上的值域為，
實數的取值范圍且為．
21．(1)；
(2)-1；
(3)
【分析】（1）由冪函數的定義及性質即可求解的值；
（2）求得，，，令，則函數轉化為則，，，對分類討論，求出最小值，即可求得的值；
（3）在，上單調遞減，由“佳”函數的概念可得，利用換元法可求得，再利用換元法及二次函數的性質即可求解的取值范圍．
【詳解】（1）（1）因為冪函數在內是單調增函數，
所以，解得，
所以函數的解析式為．
（2），，，
令，則，，則，，，
當，即時，的最小值為（1），
所以，解得；
當，即時，的最小值為，
所以，解得（舍；
當，即時，的最小值為（2），
所以，解得（舍．
綜上，的值為．
（3），，則在，上單調遞減，
因為是“佳”函數，
所以，
令，，
則，，所以，
所以，
所以，
因為，所以，所以，，
所以，代入，
得，
因為，所以，得，
令，，，
所以，該函數在，上單調遞減，
所以，
所以實數的取值范圍是.
【點睛】關鍵點點睛：關于函數新定義問題，一般需要理解定義的內容，根據定義直接處理比較簡單問題，加深對新定義的理解，本題中，需要根據是“A佳”函數，及函數的單調性轉化為，換元后求出的關系，利用函數值域求解.
22．(1)
(2)不是，理由見解析
(3)存在，
【分析】（1）結合函數的定義列方程、不等式，由此求得的值.
（2）結合函數的定義以及反證法進行判斷.
（3）結合函數的定義列方程、不等式，由此求得的值，從而確定正確答案.
【詳解】（1）函數為二次函數，對稱軸為，開口向上，
若函數為函數，
所以，即，
解得.
（2）函數不是P函數，理由如下：
在上遞增，
因為m，n為整數，由題意可知，即，
令，即，解得，
假設函數為P函數，
則，即，與已知矛盾，所以不存在這樣的m，n，
所以函數不是P函數；
（3）函數為二次函數，對稱軸為，開口向上，
因為關于x的不等式的解集恰為
所以，即
將①代入③得，，
又m，n為整數，，所以，解得，此時，滿足題意，
綜上所述，存在實數使得函數為P函數.
【點睛】對于函數新定義的題目，解題的關鍵點在于將“新定義”的問題轉化為所學過的知識進行求解.本題中，第（1）（3）兩問是二次函數，函數圖象有對稱性；第（2）問是單調函數.這兩種情況列式不一樣，但也是圍繞 “新定義”去列式.
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用冪函數的概念可求得，進而可求得的解析式；
（2）結合（1）中結論，利用換元法得到，，從而將問題轉化為是否存在實數使得，利用二次函數軸動區間定分類討論求得，進而可算出并驗證實數是否滿足題意.
【詳解】（1）因為是冪函數，
所以，解得或（舍去）
所以.
（2）假設存在實數使得的最小值為，即，
由（1）得，
令，則因為，所以，則，即，此時，
所以可化為，此時，即，
則開口向上，對稱軸為，
當，即時，在上單調遞增，故，
所以由得，即，不滿足題意，舍去；
當，即時，易知，
由得或（舍去），故；
當，即時，在上單調遞減，故，
由得，不滿足題意，舍去；
綜上：存在使得的最小值為，故.
24．(1)
(2)存在使得的最小值為0
(3)存在，
【分析】（1）由題意可得，從而可求出，再由可知冪函數為增函數，從而可確定出函數解析式，
（2）由（1）可得，令，則，，然后分，和三種情況求函數的最小值，
（3），由題意可得，令，，則得，求得， ，從而可求出范圍
【詳解】（1）∵為冪函數，∴，∴或．
當時，在上單調遞減，
故不符合題意．
當時，在上單調遞增，
故，符合題意．∴．
（2），令．∵，∴，
∴，．
當時，時，函數有最小值，∴，．
②當時，時，函數有最小值．∴，（舍）．
③當時，時，函數有最小值，
∴，（舍）．
∴綜上．
（3），易知在定義域上單調遞減，
∴，即，
令，，
則，，
∴，∴，
∴．
∵，∴，
∴，∴，
∴．
∵，∴，∴，
∴ ．
∴．
【點睛】關鍵點點睛：此題考查冪函數的解析式的求法，考查二次函數的性質的應用，考查函數值域的求法，考查數學分類思想，第（3）問解題的關鍵是由題意得，換元令，，進一步轉化為求解得，從而可得，再利用二次函數的性質可求得結果，屬于較難題
25．(1)
(2)存在使得的最小值為0
(3)存在，
【分析】（1）根據冪函數的定義結合即可得解；
（2）由函數，即，令，記，分，，三種情況討論即可得出答案；
（3）由函數在定義域內為單調遞減函數，若存在實數，（），使函數在上的值域為，則，消元可得，令，求出的范圍，即可得解.
【詳解】（1）解：∵是冪函數，∴得，解得：或，
當時，，不滿足，
當時，，滿足，
∴故得，函數的解析式為；
（2）解：由函數，即，
令，∵，∴，
記，其對稱軸在，
①當，即時，則，解得：；
②當時，即，則，解得：，不滿足，舍去；
③當時，即時，則，解得：，不滿足，舍去；
綜上所述，存在使得的最小值為0；
（3）解：由函數在定義域內為單調遞減函數，
若存在實數，（），使函數在上的值域為，則，
②-①可得：
，
∴③，
將③代入②得，，令，
∵，，即，
，，即，∴，
得：.故得實數的取值范圍.
【點睛】本體考查了冪函數的定義，及二次函數的最值問題，以及函數的值域，考查了換元思想及分類討論思想，難度較大.
26．（1）；（2）.
【解析】(1)由冪函數概念及偶函數性質求解析式
(2)由(1)知，再由在上恒成立，即的最小值恒大于等于0，應用函數思想分類討論，求a的范圍
【詳解】（1）由為冪函數知，得或
為偶函數
∴當時，，符合題意；
當時，，不合題意，舍去
所以
（2），令在上的最小值為
①當，即時，，所以
又，所以a不存在；
②當，即時，
所以.又，所以
③當，即時，
所以.又
所以.
綜上可知，a的取值范圍為
【點睛】本題考查了冪函數，并綜合了偶函數、及根據不等式恒成立求參數范圍，應用了分類討論、函數的思想，屬于較難的題
27．（1），；（2）
【解析】（1）利用冪函數的定義及函數的單調性列出關于t的方程，求解即可.
（2）分別求出的值域A，的值域B，由題設將問題轉化為，利用集合的包含關系求出k的取值范圍.
【詳解】為冪函數，且在區間上單調遞減，
，即，解得或（舍去）
所以冪函數的解析式為
，且，所以函數的定義域為
（2）由（1）知在區間上單調遞減，所以當，，即，令；
，由指數函數性質知，單調遞增，所以當，，即，令；
因為對任意的時，總存在使得，則
結合數軸可知，解得，即k的取值范圍
【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化：
一般地，已知函數，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集 ．
28．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據冪函數定義求解；
（2）求出與的最大值，由它們相等可得；
（3）不等式分離參數轉化為求新函數的最值．
【詳解】（1）由冪函數的定義可知：即，
解得：，或，
∵在上為增函數，
∴，解得，
綜上：，
∴；
（2），
據題意知，當時，，，
∵在區間上單調遞增，
∴，即，
又∵，
∴函數的對稱軸為，
∴函數在區間上單調遞減，
∴，即，
由，得，
∴；
（3）當時，等價于
即，
∵，∴，
令，，下面求的最大值：
∵，∴，
∴的最大值為-5，
故的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：函數不等式恒成立問題，常常利用分離參數法轉化分離參數，構造新函數，然后求出新函數的最值，從而得參數范圍．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑