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排列組合問題的常見題型與解題策略
解決排列組合問題要講究策略，首先要認真審題，弄清楚是排列(有序)還是組合(無序)，還是排列與組合混合問題。其次，要抓住問題的本質特征，準確合理地利用兩個基本原則進行“分類與分步”。加法原理的特征是分類解決問題，分類必須滿足兩個條件：①類與類必須互斥(不相容)，②總類必須完備(不遺漏)；乘法原理的特征是分步解決問題，分步必須做到步與步互相獨立，互不干擾并確保連續性。分類與分步是解決排列組合問題的最基本的思想策略，在實際操作中往往是“步”與“類”交叉，有機結合，可以是類中有步，也可以是步中有類。
??? 以上解題思路分析，可以用順口溜概括為：審明題意，排（組）分清；合理分類，防漏防重；周密思考，用準加乘；直接間接，思路可循；先選后排，有條不紊；元素位置，特殊先行；一題多解，檢驗真偽。
（一）.兩個原則：
（1）特殊元素（特殊位置）的“優先安排法”
對于特殊元素的排列組合問題，一般先考慮特殊元素，再考慮其他元素的安排。多數情況下，其特征是某一個或幾個位置不能放置某一個或某幾個特殊元素。針對實際問題， 可采用“元素優先”或 “位置優先”。
例1-1? 0、2、3、4、5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有幾個？
解法一：(元素優先)分兩類：第一類，含0，0在個位有種，0在十位有種；
第二類，不含0，有種。 故共有（ ＋）＋＝３０種。
注：在考慮每一類時，又要優先考慮個位。
解法二：(位置優先)分兩類：第一類，0在個位有種；第二類，0不在個位，先從兩個偶數中選一個放個位，再選一個放百位，最后考慮十位，有 種。 故共有
（2）排列組合混合問題------先選后排
例1-2: 有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.
解: 第一步 從5個球中選出2個組成復合元共有 種方法.再把5個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內有 種方法
根據分步計數原理裝球的方法共有
解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?
（二）．合理分類與準確分步
解含有約束條件的排列組合問題，應按元素的性質（約束條件）進行分類，事情的發生的連續過程分步，做到分類標準明確，分布層次清楚，不重不漏．分類是高中數學中一種重要的思想方法
例2-1? 已知集合A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，求含有5個元素，且其中至少有兩個是偶數的子集的個數．
解法1：
解題思路是：從正面考慮分類，將含5個元素，且其中至少有兩個是偶數的子集分為三類：
解法2：
解題思路是：從反面考慮，全部子集個數為，減去不符合條件的兩類：
直接法、間接法是兩類很重要的思考方法和解題方法．
錯解：
解題思路是：先由4個偶數選2個偶數，再由剩下的7個數（2個偶數，5個奇數）選3個數，組成含有5個元素的集合且滿足至少有2
例2-2：（與上面例2是完全相同的題目）由12人組成文娛小組，其中5人只會唱歌，5人只會跳舞，2人又會唱歌又會跳舞。現從這12人中選派4人會唱歌4人會跳舞的去排練節目，共有多少種選法？2C52C54+2C21C53C54+2C53C53+C54C54=525
例2-3：1到100的自然數中，取兩個數，使這兩個數的乘積能被6整除，共有多少種選法
分析：100個數分四類：①只能被2整除34個元素 ②只能被3整除17個元素 ③ 既能被2整除也能被3整除（能被6整除）16個元素 ④既不能被2整除也不能被3整除33個元素
解：
例2-4：５個人從左到右站成一排，甲不站排頭，乙不站第二個位置，不同的站法有　　　　　　　　　
解法1：直接法 可先安排甲，并按甲進行分類討論：
（1）若甲在第二個位置上，則剩下的私四人可自由安排，有種方法；
（2）若甲在第三個或第四個位置上，則根據分布計數原理不同的站法有種站法；
再根據分類計數原理，不同的站法共有：＋＝７８種．
解法2：間接法
例2-5：從１到１００的自然數中，每次取出不同的兩個數，使他們的和大于１００，則不同的取法種數有　　　　　　　　　　　種。
解：此題的數字較多，情況也不一樣，需要分析摸索其規律。為方便，兩個加數中較小的為　　
101有１種； 10２有２種； ……149有49種，150有50種，151有49種……199有1種
故不同的區法有：（１＋２＋……５０）＋（４９＋４８＋……＋１）＝２５００種。
（三）.相鄰問題：捆綁法
對于某些元素要求相鄰排列的問題，先將相鄰元素捆綁成整體并看作一個元素（同時對相鄰元素內部進行自排），再與其它元素進行排列，。
例3-1：? 5個男生3個女生排成一列，要求女生排一起，共有幾種排法？
解：先把3個女生捆綁為一個整體再與其他5個男生全排列。同時，3個女生自身也應全排列。由乘法原理共有種。
例3-2: 對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團體”時，可先按制約條件“組團”并視為一個元素再與其它元素排列。四名男歌手與兩名女歌手聯合舉行一場演唱會，演出的出場順序要求兩名女歌手之間有兩名男歌手，則出場方案有幾種？
解：“小團體”排列，先“團體”后整體，先從四名男歌手中選2人排入兩女歌手之間進行“組團”有種（捆綁），把這個“女男男女”小團體視為1人再與其余2男進行排列有種，由乘法原理，共有種．
　　　（四）不相鄰問題用“插空法”
對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可（注意有時候兩端的空隙的插法是不符合題意的）. （先做空再插空）　
例4-1：? 5個男生3個女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法？
解：先排無限制條件的男生，女生插在5個男生間的4個空隙，由乘法原理共有種。
注意：①分清“誰插入誰”的問題。要先排無限制條件的元素，再插入必須間隔的元素；　　
　　　②數清可插的位置數；③插入時是以組合形式插入還是以排列形式插入要把握準。
例4-2：馬路上有編號為1、2、3、…、9的9盞路燈，現要關掉其中的三盞，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關兩端的路燈，則滿足要求的關燈方法有幾種？
解：由于問題中有6盞亮3盞暗，又兩端不可暗，故可在6盞亮的5個間隙中插入3個暗的即可，有種。
（五）順序固定問題（或選位不排或先定后插）用“除法”
對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列，然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數。或先在總位置中選出順序一定元素的位置而不參加排列，然后對其它元素進行排列。也可先放好順序一定元素，再一一插入其它元素。
例5-1：? 5人參加百米跑，若無同時到達終點的情況，則甲比乙先到有幾種情況？
解法一：先5人全排有種，由于全排中有甲、乙的全排種數，而這里只有1種是符合要求的，故要除以定序元素的全排列種，所以有 / =60種。
解法二：先在5個位置中選2個位置放定序元素(甲、乙)有種，再排列其它3人有，　
　　　　由乘法原理得共有 =60種。
解法三：先固定甲、乙，再插入另三個中的第一人有3種方法，接著插入第二人有4種
　　　　方法，最后插入第三人有5種方法。由乘法原理得共有 =60種。
例5-2：單詞banana拼寫錯誤的方式有幾種？
解：， 60-1＝59 另解： 60-1＝59
例5-3：在一次文藝演出時，原計劃有7個節目，演出前有增加了3個節目，現要把這3個節目插入到原有的7個節目中去，有多少種方法？
解：， 另解：
　　　　（六）分排問題用“直排法”
把n個元素排成若干排的問題，若沒其他的特殊要求，可用統一排成一排的方法來處理．
例6：７個人坐兩排座位，第一排坐３人，第二排坐４人，則有　　　　種排法．
解：７個人，可以在前后兩排隨意就座，沒有其他的限制條件，故兩排可以看成一排來處理，
　所以不同的坐法有．
　　　（七）“住店”問題―――映射
解決“允許重復排列”的問題要注意區分兩類元素：象（店）元素可重復，原象（客人）元素不能重復。把不能重復的元素看著“客”，能重復的元素看著“店”，再利用分步計數原理直接求解的方法稱為“住店法”，也可稱“郵信問題”，“車站問題”。
例7：７名學生爭奪五項冠軍，獲得冠軍的可能種數是　　　　　　　　種。
解：應同一學生可同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將７名學生看著７家“店”，　　　
五項冠軍看著５名“客”，每個客有７種住宿方法，由分步計數原理得Ｎ＝種。
（八）相同元素進盒，檔板分隔
例8-1：? 10張參觀公園的門票分給5個班，每班至少1張，有幾種選法？
解：這里只是票數而已，與順序無關，故可把10張票看成10個相同的小球放入5個不同的盒內，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9個間隔中選4個位置插入4塊“檔板”分成5格(構成5個盒子)有 種方法。
例8-2：? 10張參觀公園的門票分給5個班，有幾種選法？
解：10個空位加4個擋板位，共有14個放擋板的位置，有種方法。
例8-3：個數不少于盒子編號數，先填滿再分隔
15個相同的球放入編號為1、2、3的盒子內，盒內球數不少于編號數，有幾種不同的放法？
解：先用6個球按編號數“填滿”各盒(符合起碼要求),再把9個球放入3個盒內即可,可用2塊檔板與9個球空一起排列(即為兩類元素的排列問題),有 種。
注：檔板分隔模型專門用來解答同種元素（所有的元素都是相同的）的分配問題。
（九）不同元素進盒，先分組再排列
對于不同的元素放入幾個不同的盒內，當有的盒內有不小于2個元素時，不可分批進入，必須先分組再排入。 通常分為兩步：（一） 分組 （二 ）排列
分組有兩種：（1）平均分組 （2）非平均分組
例9-1：6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？
1 平均分給甲乙丙三人
2平均分成三堆
3一堆1本，一堆2本，一堆3本
4 一人得1本，一人得2本，一人得3本
5甲得1本，乙得2本，丙得3本
6一堆1本，一堆1本，一堆4本
7甲得1本，乙得1本，丙得4本
8一人得1本，一人得1本，一人得4本
9-1全部分給3個人 （映射）
9-2全部分給10個人 （映射）
10 全部分給3個人，每人至少一本。
11 6本相同的書全部分給3個人每人至少1本（擋板1）
12 6本相同的書全部分給3個人（擋板2）
13 6本相同的書全部分給10個人每人至多1本 （選6人即可，每人一本）
14 6本相同的書全部分給10個人 （擋板3） （6本書6個空，10個板，取10個板位）
先選定人數，再根據人數定擋板數目。

法二： （6本書10個板，其中有6個位置是書）
例9-2：? 5個老師分配到3個班搞活動，每班至少一個，有幾種不同的分法？ ?
解：先把5位老師分3堆，有兩類：3、1、1分布有 種和1、2、2分布有 種，再排列到3個班里有 種，故共有 。
注意：不同的老師不可分批進入同一個班，須一次到位(否則有重復計數)。即“同一盒內的元素必須一次進入”。
（十）兩類元素的排列，組合“選位法”
例10-1：?10級樓梯，要求7步走完，每步可跨一級，也可跨兩級，問有幾種不同的跨法？
解：分兩類：第一類：跨單級，有4步 第二類：跨兩級，有3步
所以只要在7步中任意選3步跨兩級即可。故有 種跨法。
注意：兩類元素的排列問題涉及面很廣，應予重視。
例10-2：? 沿圖中的網格線從頂點A到頂點B，最短的路線有幾條？
解：每一種最短走法，都要走三段“|”線和四段“—”線，
這是兩類元素不分順序的排列問題。故有 或 種走法。
例10-3：某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數為（ ）
解：4次沒有命中，則有5個空，故
注意：怎樣把問題等價轉化為“兩類元素的排列”問題是解題的關鍵。
（十一）環排問題線排
例11-1. 5人圍桌而坐,共有多少種坐法?
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線其余4人共有____24種排法即（5-1)！
一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有
例11-2. 6根稻草，首首連接，尾尾連接，則使其連接后成為一個圓環的連接方法有多少種？
解：連首： 連尾：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
如圖：若連首：1 ，2連接，3，4連接，5，6連接，則連尾：取1（或2）可連3，4，5，6，共有種連法，若連3，則4只能連5或6，共有種連法。
（十二）幾何問題
例12-1：把圓9等分，以這些分點為頂點，作出的鈍角三角形有多少個？
解：順次查找，一個點作為鈍角頂點有6個，共有
例12-2：把半圓9等分，以這些分點及半圓的直徑的兩個端點為頂點，作出的鈍角三角形有多少個？
解：
例12-3：正方體的8個頂點可連成多少對異面直線
解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構成四面體共有 6 對異面直線,正方體中的8個頂點可連成 共有 6*58=174 對異面直線
(十三)逐步試驗(窮舉法)
如果題中附加條件增多,直接解決困難,用試驗法尋找規律有時也是行之有效的方法．
例13-1：將數字１、２、３、４填入標號為１、２、３、４的四個方格內，每個方格填一個，　　
　　則每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法種數有　　　　種。（實際是連線問題）
解：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為復雜，可用試驗法逐步解決．
第一方格內可填２或３或４．種，如填２，則相應的第二方格內可填１或３或４，第二方格內不論填上任何一個數，其余兩個只能唯一確定。因而第一方格填２共有３種方法。同理，第一格填３或４也各有３種，所以一共有９種方法。
1 2 3 4
1 2 3 4
（十四）圖色問題
方法一：確定圖幾種顏色，根據顏色種數進行分組，再按照顏色排列。
方法二：順次圖色。
例14-1：給圖中區域涂色,要求相鄰區域不同色,現有4種可選顏色,則不同的著色方法有____種
法二：涂2：種；涂1：種；涂3：種；
涂5：分兩類：若與1同色，則涂4就有3種；若與1不同色，即涂5有1種，則涂4有1種涂法。所以共有 4*3*2*（1*2+1*1）=72種
法一：涂4種顏色，故把5個區域分成4組，且相鄰的不能同組，則2為一組，1與5 或3與4為一組，（若1與5為一組，則剩下的3，4就各為一組，）所以分組方式為涂色有種，
涂3種顏色，分3組，只有一種分法：2 , 1和5 , 3和4，涂色共有種，
故，共有涂色方法 72 種
（十五）化歸策略
例15-1:25人排成5×5方隊,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？
解：將這個問題退化成9人排成3×3方隊,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，
如此繼續下去.從3×3方隊中選3人的方法有種。再從5×5方隊選出3×3方隊便可解決問題，從5×5方隊中選取3行3列有選法，所以從5×5方隊選不在同一行也不在同一列的3人有選法。
以上介紹了排列組合應用題的幾種常見求解策略，這些策略不是彼此孤立的,而是相互依存的，相互為用的。有時解決某一問題時要綜合運用幾種求解策略。
排列組合的問題各種各樣，千差萬別，這里只是列舉了一些常見的題型和方法，更重要的是要掌握正確的解排列組合的問題的思路，才能舉一反三，融會貫通。

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