資源簡(jiǎn)介

離心率問題
e c c
2 b2
1. 1 1, (a2 b2 2橢圓離心率 c )
a a2 a2
c c2 b2
2. 雙曲線離心率 e 2 1 2 1, (a
2 b2 c2 )
a a a
3. 常用二級(jí)結(jié)論：設(shè)圓錐曲線 C的焦點(diǎn) F在 x 軸上，過(guò)點(diǎn) F且斜率為 k的直線 l交曲線 C于 A、B兩點(diǎn)，若

AF FB( 0) 2 1 1 ，則 e 1 k | |，設(shè)直線傾斜角為 ，則有 | ecos | | | .特別地，對(duì)于拋物線
1 1
有 | cos | 1 | |
1
經(jīng)典舉例
x2 y2
例 1：已知橢圓 C： 2 2 1(a b 0)的左右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，點(diǎn) A是橢圓上一點(diǎn)，線段 AF1的垂直平a b

分線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為 B，若AB 3F2B，則橢圓 C的離心率為（ ）
1 3 2 6
A． B． C． D．
3 3 3 3

解：如上左圖，AB 3F2B得 A、F2、B共線，AF2 F2B 3F2B得AF2 2F2B，設(shè) BF2=m，則 AF2=2m,，
b
AB=3m,故BF1=3m,BF1+BF2=4m，得AF1=2m，AF1=AF2,故A為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn).如上右圖，作BD⊥x軸得BD= ，
2
c 3c , b c 3DF2= 即 B( )，代入橢圓方程得 ，選 B
2 2 2 a 3
點(diǎn)評(píng)：畫出草圖，利用向量關(guān)系、垂直平分線、橢圓的性質(zhì)得到點(diǎn) A處于特殊位置，利用相似得到點(diǎn) B坐標(biāo)，
進(jìn)而得到離心率.
x2 y2
例 2：已知橢圓 2 2 1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，P為橢圓上不與左、右頂點(diǎn)重合的任意一a b
點(diǎn)，I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心，當(dāng) IG⊥x軸時(shí)，橢圓的離心率為（ ）
1 1 3 6
A． B． C． D．
3 2 2 3
x0 , y0 (PF1 PF解：設(shè) P(x ,y )，重心 G( )，同時(shí) 2 F1F2 )r 1 2c y cy x cy0 0 0得 r 0 得 I( 0 , 0 )，在 PDI3 3 2 2 a c 3 a c
cy 1 2 2
中，PD2+DI2=PI2，即有 (a c)2 ( 0 )2 (x0 x )
2 cy x y
0 (y0 0 )
2
得 09
0
2 1又a c 3 a c (a c)2 b
4
x 2 20 y 02 2 1
2 9
得 a (a c)2 c 1得 ，故選 A
a b 4 a 3
點(diǎn)評(píng)：明顯此題對(duì)同學(xué)們的基本功底有一定的要求，例如重心坐標(biāo)公式、三角形內(nèi)切圓半徑的求解.
x2 y2 x2 y2
例 3：已知橢圓 C1： 2 2 1(a1 b1 0)與雙曲線 C2： 2 2 1(a2 0，b2 0)有相同的焦點(diǎn) F1，F(xiàn)2，a1 b1 a2 b2

點(diǎn) P是兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，且F1F2在F1P上的投影等于|F1P |，e1，e2分別是橢圓 C1和雙曲線 C2的離
心率，則 9e12+e22的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16

解：F1F2在F1P上的投影等于|F1P |，可知 PF1⊥PF2于是PF
2
1 PF
2 F 2 22 1F2 即有PF1 PF
2
2 4c
2
，同時(shí)
PF1 PF2 2a1,PF1 PF2 2a2兩邊同時(shí)平方得
PF 2 PF 2 2PF PF 4a 2 , PF 2 PF 2 2PF 1 11 2 1 2 1 1 2 1 PF2 4a
2
2 ,兩式相加得 2 2 2，于是e1 e2
2 2 2 2 2 2
9e2 e2 11 2 (9e
2
1 e
2 )( 1 1 ) 1 (10 e2 9e1 12 2 2 2 2 ) (10 2
e2 9e 1 ) 8 e 9e2 2 ，當(dāng)且僅當(dāng)
2
2
1 即
2 e1 e2 2 e1 e2 2 e1 e2 e1 e
2
2
e2 3e1時(shí)成立，故選 C
例 4：已知 F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，|OF1|為半徑的圓與雙曲線左支
的一個(gè)交點(diǎn)為 P，若 PF1與雙曲線右支有交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A． ( 5, ) B． (1, 5) C． ( 15, ) D． (1, 15)
x2 y2 2 2 2
1 x2 y2 c2 a b c b解：如圖，設(shè)雙曲線方程為 2 2 ，圓的方程為 ，聯(lián)立得 P( , ),PF1與雙曲線a b c c
b2
b b b
右支有交點(diǎn)，則 kPF ,即有 c ，整理可得 2，故 e 5 ，選 A.1 a a b2 c2 a a
c
c
精選好題
x2 y2
1．已知雙曲線 2 2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上一點(diǎn)，△PF1F2是以 F1Pa b
PF F 2 為底邊的等腰三角形，且 2 1 則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）3 3
3 1 3 1 3 1
A．（1，2） B． (1, ) C． ( ，2) D． ( ， )
2 2 2
x2 y2
2．已知雙曲線 2 2 1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為 F，過(guò)點(diǎn) F且斜率為 k（k≠0）的直線 l交雙曲線于 A、a b
B兩點(diǎn)，線段 AB的中垂線交 x軸于點(diǎn) D．若AB 3DF，則雙曲線的離心率取值范圍是（ ）
A． (1, 2 3 ] B． (1，3] [ 3, 2 3C． ) D．[ , )
3 3
x2 y2
3．設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線 2 2 1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，l1，l2為雙曲線的兩條漸近線，a b
F1A垂直 l1于 A，F(xiàn)1A的延長(zhǎng)線交 l2于 B，若|OA|+|OB|＝2|AB|，則雙曲線的離心率為（ ）
6 5
A． 6 B． 5 C． D．
2 2
4．已知 F1，F(xiàn)2是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且 F1P＞F2P，線段 F1P的垂直平分線過(guò)
2 e
F2.若橢圓的離心率為 e1，雙曲線的離心率為 e ，則 22 的最小值為（ ）
e1 2
A． 6 B．3 C．6 D． 3
x2 y2
5．已知雙曲線 C： 2 2 1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為 F，若以 OF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓被雙曲線a b
C的一條漸近線所截得的弦長(zhǎng)等于雙曲線 C的虛軸長(zhǎng)，則雙曲線 C的離心率為（ ）
5 5
A． B． 2 C． D．2
2 4
x2 y2
6．已知 F1、F2分別是雙曲線 C： 2 2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) F1向一條漸近線作垂線，a b
交雙曲線右支于點(diǎn) P，直線 F2P與 y軸交于點(diǎn) Q（P，Q在軸同側(cè)），連接 QF1，若△PQF1的內(nèi)切圓圓心恰
好落在以 F1F2為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ）
A． 3 B． 2 C． 5 D．2
x2 y2
7．已知雙曲線 C： 2 2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），過(guò)點(diǎn) F1的直a b
8
線 l（斜率存在）交雙曲線 C 的漸近線于 A，B 兩點(diǎn)，若 |F2A|＝ |F2B|， S AF F S c
2
＝
1 2 BF1F2 5
（S AF 、S 表示△AF1F2，△BF1F2的面積），則雙曲線 C的離心率為（ ）1F2 BF1F2
6
A． 3 B． C． 5 15D．
2 3
x2 y2
8．已知雙曲線 C： 2 2 1（a＞0，b＞0），若雙曲線不存在以點(diǎn)（2a，a）為中點(diǎn)的弦，則雙曲線離心率a b
e的取值范圍是（ ）
2 3 5 2 3
A．(1， ] B．[ , ] 2 3C．[ , ) D．[ 5， ]
3 2 3 3 2
x2 y2
9．設(shè)橢圓 C： 2 2 1(a b 0)的右焦點(diǎn)為 F，橢圓 C上的兩點(diǎn) A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足FA FB 0，a b
|FB|≤|FA|≤2|FB|，則橢圓 C的離心率的取值范圍是（ ）
2 5 5
A．[ , ] B．[ ,1) [ 2C. , 3 1] D.[ 3 1,1)
2 3 3 2
x2 y2
10．已知直線 y＝kx（k≠0）與雙曲線 2 2 1（a＞0，b＞0）交于 A，B兩點(diǎn)，以 AB為直徑的圓恰好經(jīng)a b
過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn) F，若△ABF的面積為 4a2，則雙曲線的離心率為（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
11．如圖，α，β，γ是由直線 l引出的三個(gè)不重合的半平面，其中二面角α﹣l﹣β大小為 60°，γ在二面角α﹣l
﹣β內(nèi)繞直線 l旋轉(zhuǎn)，圓 C在γ內(nèi)，且圓 C在α，β內(nèi)的射影分別為橢圓 C1，C2．記橢圓 C1，C2的離心率分
別為 e1，e2，則 e12+e22的取值范圍是（ ）
1 3 1 5 1 3 1 5
A．[ , ) B．[ , ) C．[ , ) D．[ , )
3 4 3 4 2 4 2 4
x2 y2
12．已知橢圓 2 2 1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，P為橢圓上不與左、右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，a b
I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心，當(dāng) IG⊥x軸時(shí)，橢圓的離心率為（ ）
1 1 3 6
A． B． C． D．
3 2 2 3
13．橢圓的焦點(diǎn)F1( 2 2,0)，F(xiàn)2 (2 2,0)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 2a，在橢圓上存在點(diǎn) P，使∠F1PF2＝90°，對(duì)于直線 y＝
a，在圓 x2+（y﹣1）2＝2 上始終存在兩點(diǎn) M，N使得直線上有點(diǎn) Q，滿足∠MQN＝90°，則橢圓的離心率
的取值范圍是（ ）
2 2
A．[ ,1) [ 2 ,1) [ 2 , 2 2 ] 2 2B． C． D． (0, ]
3 2 2 3 3
x2 y2
14.過(guò)雙曲線 C： 2 2 1（a＞0，b＞0）右焦點(diǎn) F的直線 l與 C交于 P，Q兩點(diǎn)，，若QP 2PF，QP FQ 0，a b
則 C的離心率為（ ）
A． 2 B．2 C． 7 D． 10
x2 y2 1
15．已知雙曲線 E： 2 2 1（a＞0，b＞0），斜率為 的直線與 E的左右兩支分別交于 A，B兩點(diǎn)，點(diǎn) Pa b 8
1
的坐標(biāo)為（﹣1，2），直線 AP交 E于另一點(diǎn) C，直線 BP交 E于另一點(diǎn) D．若直線 CD的斜率為 ，則 E
8
的離心率為（ ）
6 3 5 5
A． B． C． D．
2 2 2 2
x2 y2
16．設(shè)橢圓 C： 2 2 1(a b 0)的左，右頂點(diǎn)為 A，B．P是橢圓上不同于 A，B的一點(diǎn)，設(shè)直線 AP，a b
a
BP的斜率分別為 m，n，則當(dāng) +ln|m|+ln|n|取得最小值時(shí)，橢圓 C的離心率為（ ）
b
1 2 4 3
A． B． C． D．
5 2 5 2
x2 y2
17．設(shè)橢圓 C： 2 2 1(a b 0)的左，右頂點(diǎn)為 A，B．P是橢圓上不同于 A，B的一點(diǎn)，設(shè)直線 AP，a b
a 2 2
BP的斜率分別為 m，n，則當(dāng) （3﹣ ）+ +3（ln|m|+ln|n|）取得最小值時(shí)，橢圓 C的離心率為（ ）
b 3mn mn
1 2 4 3
A． B． C． D．
5 2 5 2
x2 y2
18．設(shè) F1，F(xiàn)2為雙曲線 2 2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P（x0，2a）為雙曲線上的一點(diǎn)，若△a b
PF1F2的重心和內(nèi)心的連線與 x軸垂直，則雙曲線的離心率為（ ）
6 5
A． B． C． 6 D． 5
2 2
x2 y2
19．過(guò)雙曲線 C： 2 2 1（a＞0，b＞0）左焦點(diǎn) F的直線 l與 C交于 M，N兩點(diǎn)，且FN 3FM，若 OMa b
⊥FN，則 C的離心率為（ ）
A．2 B． 7 C．3 D． 10
x2 y2
20．已知橢圓 C： 2 1(a b 0)的左右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，點(diǎn) A是橢圓上一點(diǎn)，線段 AF1的垂直平a b2

分線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為 B，若AB 3F2B則橢圓 C的離心率為（ ）
1 3 2 6
A． B． C． D．
3 3 3 3
x2 y2
21．已知 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B分別是橢圓 C： 2 2 1(a b 0)的左，右頂點(diǎn)，拋物線 E：y
2＝2px（p
a b

OP'
＞0）與橢圓 C在第一象限交于點(diǎn) P，點(diǎn) P在 x軸上的投影為 P’，且有OP ＝c（其中 c2＝a2﹣b2），
| OP'|
AP的連線與 y軸交于點(diǎn) M，BM與 PP'的交點(diǎn) N恰為 PP'的中點(diǎn)，則橢圓 C的離心率為（ ）
3 2 2 1
A． B． C． D．
2 2 3 3
x2 y2
22．已知點(diǎn) P（x0，y0）（x0≠±a）在橢圓 C： 2 2 1(a b 0)上，若點(diǎn) M為橢圓 C的右頂點(diǎn)，且 POa b
⊥PM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓 C的離心率 e的取值范圍是（ ）
3 3 2 2
A．（0， ） B．（ ，1） C．（ ，1） D．（0， ）
3 3 2 2
23．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，P點(diǎn)為它們?cè)诘谝幌笙薜囊粋€(gè)交點(diǎn)，
1 1
且∠F1PF2＝ ，設(shè) e1，e2分別為橢圓雙曲線離心率，則 的最大值為（ ）
4 e1 e2
A． 2 B．2 2 C．3 2 D．4 2
x2 y2
24．已知 F1，F(xiàn)2是橢圓 E： 2 2 1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)，若 E上存在不同兩點(diǎn) A，B，使得 Fa b 1
A 3 F2B
則該橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．（ 3﹣1，1） B．（0， 3﹣1） C．（2﹣ 3，1） D．（0，2﹣ 3）
x2
25．點(diǎn) A 2是橢圓 2 y 1（a＞1）的上頂點(diǎn)，B、C是該橢圓的另外兩點(diǎn)，且△ABC是以點(diǎn) A為直角頂點(diǎn)的a
等腰直角三角形，若滿足條件的△ABC只有一個(gè)，則橢圓的離心率 e的范圍是（ ）
3 3 6 6
A． ≤e＜1 B．0＜e≤ C．0＜e≤ D． ≤e＜1
3 3 3 3
x2 y2
26．已知 F1，F(xiàn)2是橢圓 C： 2 2 1(a b 0)的焦點(diǎn)，P是橢圓 C上一點(diǎn)，若 I是△PF1F2的內(nèi)心，且滿a b

足 2 IF1 3IF2 4 IP 0則 C的離心率 e的值是（ ）
2 2 1 4
A． B． C． D．
9 7 2 5
參考答案
1. D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.C 7.D 8.B 9.A 10.D 11.C 12.A 13.A
14.C 15.C 16.D 17.A 18.A 19.B 20.B 21.D 22.C 23.B 24.C
25.C 26.D

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