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【核心突破】2024年高考數學一輪核心考點深度解析（新高考地區）
專題11 復數
【考點考向】
1.復數的有關概念
內容 意義 備注
復數的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的數叫復數，其中實部為a，虛部為b 若b＝0，則a＋bi為實數；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數
復數相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共軛復數 a＋bi與c＋di共軛 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
復平面 建立平面直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫實軸，y軸叫虛軸 實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，各象限內的點都表示虛數
復數的模 設對應的復數為z＝a＋bi，則向量的長度叫做復數z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝
2.復數的幾何意義
復數集C和復平面內所有的點組成的集合是一一對應的，復數集C與復平面內所有以原點O為起點的向量組成的集合也是一一對應的，即
(1)復數z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R).
(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3.復數的運算
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0).
【解題策略】
1.復數的分類及對應點的位置都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.
2.解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部.
3.復數z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
4.由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀.
5.復數代數形式運算問題的常見類型及解題策略
(1)復數的乘法.復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.
(2)復數的除法.除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題時要注意把i的冪寫成最簡形式.
(3)復數的運算與復數概念的綜合題.先利用復數的運算法則化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結合相關定義解答.
(4)復數的運算與復數幾何意義的綜合題.先利用復數的運算法則化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結合復數的幾何意義解答.
【考點解析】
一．虛數單位i、復數
1．“”是“復數為純虛數”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．復數的虛部與實部的和為　　
A． B． C．1 D．7
3．已知復數的實部與虛部的和為12，則　　
A．1 B．2 C．3 D．4
4．的虛部為　　
A．1 B． C． D．
5．若復數，則實數　　
A．2 B．3 C．0 D．1
6．已知復數，，，，并且，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
二．純虛數
7．已知為虛數單位，復數為純虛數，則　　
A．0 B． C．2 D．5
8．已知為虛數單位，則下列說法中正確的個數是　　
①兩個復數不能比較大小；
②若和都是虛數，且它們的虛部相等，則；
③若，是兩個相等的實數，則必為純虛數．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．若復數為虛數單位，，且為純虛數，則　　
A． B． C． D．
10．若復數是純虛數，則實數的值是　　
A． B． C．0 D．1
11．已知為虛數單位）是純虛數，則　　
A． B．0 C．1 D．2
12．已知復數為純虛數，則實數　　
A．3 B． C． D．
三．共軛復數
13．已知復數滿足，其中為虛數單位，則的共軛復數在復平面內所對應的點在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．已知復數，，則　　
A． B． C．1 D．2
15．已知復數為虛數單位），為的共軛復數，若復數，則的虛部為　　
A． B． C． D．
16．已知，則的虛部為　　
A． B．5 C． D．
17．寫出一個同時滿足①②的復數　　①；②．
18．已知復數滿足，則　　．
19．已知為虛數單位，復數在復平面內對應的點在直線上，則的共軛復數　　．
20．已知復數滿足，則　　．
四．復數的模
21．在復平面內，向量，分別與復數，對應，其中為坐標原點，為虛數單位，則　　
A． B．4 C． D．
22．已知，則　　
A． B．0 C． D．1
23．已知是虛數單位，，，，則　　
A． B． C．2 D．
24．已知復數是虛數單位），則　　
A． B． C． D．1
25．已知復數為虛數單位），則　　
A． B．2 C． D．5
五．復數的代數表示法及其幾何意義
26．在復平面上，復數的共軛復數對應的向量是　　
A． B．
C． D．
27．復數與復平面內的點一一對應，則復平面內的點對應的復數是　　
A． B． C． D．
28．已知，則復數在復平面內對應的點位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
29．設復數滿足，在復平面內對應的點為，則　　
A． B．
C． D．
30．在復平面內，復數對應的點位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
31．已知復數，其中為虛數單位，則復數在復平面內所對應的點位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
32．設，滿足，其中為虛數單位．則在復平面內，表示的點的軌跡不經過的象限是　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
33．在復平面內表示的點為，滿足，則點所組成圖形的面積為 　　．
34．已知復數滿足，則在復平面中對應的點所構成的圖形的面積為 　　．
35．若復數在復平面內所對應的點在直線上．請寫出一個滿足上述條件的復數　　．
36．若復數在復平面上對應的點位于第二象限，則的取值范圍是 　　．
37．在復平面內，對應的復數是，對應的復數是，則對應的復數的模長是 　　．
38．把復數對應的向量繞原點沿順時針方向旋轉，所得向量對應的復數是 　　．
39．已知復數滿足，則在復平面的對應點的坐標為 　　．
40．已知，復平面內表示復數的點位于第三象限內，則的取值范圍是 　　．
六．復數的運算
41．設復數滿足，則它的共軛復數的虛部為　　
A． B．1 C． D．
42．復數　　
A． B． C． D．1
43．若復數滿足，則復數的虛部是　　
A． B． C．2 D．
44．若復數，則的實部為　　
A． B． C．1 D．
45．已知為虛數單位，則復數的虛部為　　
A． B． C． D．
46．已知，則　　
A． B． C．0 D．1
47．復數滿足，則　　．
48．設和是關于的方程的兩個虛數根，若、、在復平面上對應的點構成直角三角形，則實數　　．
49．已知關于的實系數方程的一個虛根為，則　　．
50．若為虛數單位，則復數　　．
51．已知，是實數，且，其中是虛數單位，則　　．
52．已知復數，．
（1）求；
（2）求．
53．已知是虛數單位，設復數，．
（1）若，求實數的值；
（2）若在復平面上對應的點位于右半平面（不包括虛軸），求實數的取值范圍．
54．（1）在復數范圍內解方程；
（2）若復數為純虛數，求．
七．復數的三角表示
55．復數的輻角的主值為　　
A． B． C． D．
56．復數的三角形式是　　
A． B．
C． D．
57．復數的三角形式是　　
A． B．
C． D．
58．設復數，，則的輻角的主值是 　　．
59．任何一個復數為虛數單位，，都可以表示為，的形式，通常稱之為復數的三角形式．瑞士著名數學家歐拉首先發現為自然對數的底數），此結論被稱為“歐拉公式”，它將指數函數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數和指數函數的關系．因此可得．由復數相等可知對，存在一個關于的次多項式，，，使得，這樣的多項式被稱為“切比雪夫多項式”，由知，則　　；運用探求切比雪夫多項式的方法可得　　．
60．復數的輻角主值是　　．
參考答案
一．虛數單位i、復數
1．【解析】為純虛數的充要條件為，
因此應為復數為純虛數的充分不必要條件．
故選：．
2．【解析】，其虛部與實部的和為．
故選：．
3．【解析】，
所以復數的實部與虛部分別為，，
則，得．
故選：．
4．【解析】，
的虛部為1．
故選：．
5．【解析】復數，
則，解得．
故選：．
6．【解析】由得，
，，當時，；當時，，．
故選：．
二．純虛數
7．【解析】因為為純虛數，
所以，則，
故，
所以．
故選：．
8．【解析】對于①，兩個復數若是實數，可以比較大小，故①錯誤；
對于②，和都是虛數，且它們的虛部相等，但是實部不一定相等，故②錯誤；
對于③，當時，則必為實數，故③錯誤．
故選：．
9．【解析】為純虛數，
則，即，
故．
故選：．
10．【解析】是純虛數，
，解得：．
故選：．
11．【解析】為純虛數，
則，解得．
故選：．
12．【解析】因為為純虛數，
所以，解得，
所以．
故選：．
三．共軛復數
13．【解析】，
則，
故的共軛復數在復平面內所對應的點在第四象限．
故選：．
14．【解答】解；因為，則，
所以，所以．
故選：．
15．【解析】復數為虛數單位），，
則
，
所以的虛部為．
故選：．
16．【解析】，設，，，
，
則，
故，解得．
故選：．
17．【解析】因為，不妨設，則，
解得，即符合．
故答案為：（或．
18．【解析】．
故答案為：2．
19．【解析】復數在復平面內對應的點在直線上，
則，即，
故，即．
故答案我：．
20．【解析】設，，
，
，
，
，
，
故答案為：1．
四．復數的模
21．【解析】向量，分別與復數，對應，
則，，
，即．
故選：．
22．【解析】，
則，
故，
所以．
故選：．
23．【解析】由，，，可得，解得，，
則．
故選：．
24．【解析】，
故．
故選：．
25．【解析】，
則．
故選：．
五．復數的代數表示法及其幾何意義
26．【解析】由復數，
則其共軛復數，即復數對于的向量．
故選：．
27．【解析】復平面內的點對應的復數為．
故選：．
28．【解析】由題意可得：，
所以復數對應的點為，位于第四象限．
故選：．
29．【解析】復數滿足，
則，
．
故選：．
30．【解析】，
復數在復平面內對應的點的坐標為，位于第四象限．
故選：．
31．【解析】由，
可得復數在復平面內所對應的點所在的象限為第四象限．
故選：．
32．【解析】解法一、設，，，則，
所以，
則該直線過點和，所以表示的點的軌跡不經過的象限是第三象限．
解法二、考慮向量意義意思是說，2023， 共線，
而過點，的直線過第一、二、四象限，不過第三象限，
所以表示的點的軌跡不經過的象限是第三象限．
故選：．
33．【解析】的解集是以為圓心，1為半徑的圓及其內部所有點組成的集合，
其面積．
故答案為：．
34．【解析】根據題意可知復數滿足，
則由復數模的幾何意義知對應的點所構成的圖形為半徑為2和的兩個同心圓所圍成的圓環，
則其面積為．
故答案為：．
35．【解析】設，
則在復平面內所對應的點為，
所以，
滿足上式的有無數個，不妨取．
故答案為：（答案不唯一）．
36．【解析】在復平面內對應的點在第二象限，
可得，解得，
故答案為：．
37．【解析】對應的復數是，對應的復數是，
則，，
故，
所以對應的復數為，．
故答案為：2．
38．【解析】把復數對應的向量繞原點沿順時針方向旋轉，
則所得向量對應的復數是．
故答案為：．
39．【解析】，，，，轉化為一般形式得
．即，
從得知，在復平面的對應點的坐標為．
故答案為：．
40．【解析】由題意可知，復數對應點的坐標為的點位于第三象限內，
則滿足得，解得，
故的取值范圍為．
故答案為：．
六．復數的運算
41．【解析】復數滿足，
，
，
它的共軛復數的虛部為．
故選：．
42．【解析】根據題意，，
則，
故選：．
43．【解析】由題意，，則．
故復數的虛部是2．
故選：．
44．【解析】，
的實部為，
故選：．
45．【解析】因為，
所以復數的虛部為．
故選：．
46．【解析】，
則，
故．
故選：．
47．【解析】由題意可得：，
所以．
故答案為：1．
48．【解析】設，，，由實系數一元二次方程虛根成對定理可得，
由根與系數的關系可得，，
整理得，，
設、、在復平面上對應的點分別為、、，
則，
可知，關于軸對稱，
若復平面上、、對應點構成直角三角形，則，
即，解得，
所以．
故答案為：13．
49．【解析】關于的實系數方程的一個虛根為，
則該方程的另一個根為，
故，解得．
故答案為：1．
50．【解析】
故答案為：．
51．【解析】由，是實數，且，
可得，即，
可得且，
故．
故答案為：．
52．【解析】（1）設，，，
，，
，
故，解得：，
故；
（2）由（1），
故．
53．【解析】（1），，
則，即，解得；
（2），，
則，
在復平面上對應的點位于右半平面（不包括虛軸），
，解得，
故實數的取值范圍為．
54．【解析】（1）由，
可得，則，
解得；
（2）因為，
且為純虛數，所以，
解得，
故．
七．復數的三角表示
55．【解析】，，，
．
所以復數的輻角的主值為：．
故選：．
56．【解析】
．
復數的三角形式是．
故選：．
57．【解析】
．
復數的三角形式是．
故選：．
58．【解析】，，
，
的輻角的主值是．
故答案為：．
59．【解析】
，
所以，
取，則，
所以，
所以，則且，解得：．
故答案為：；．
60．【解析】的輻角主值
．
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