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【核心突破】2024年高考數(shù)學(xué)一輪核心考點(diǎn)深度解析（新高考地區(qū)）
專題10 平面向量
【考點(diǎn)考向】
一、平面向量的概念及線性運(yùn)算
1.向量的有關(guān)概念
名稱 定義 備注
向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或模) 如a，
零向量 長度等于零的向量；其方向不確定 記作0
單位向量 給定一個(gè)非零向量a，與a同向且模為1的向量，叫做向量a的單位向量，可記作a0 a0＝
共線(平行)向量 如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行 向量a與b平行記作a∥b
相等向量 同向且等長的有向線段表示同一向量，或相等的向量 如＝a
相反向量 與向量a反向且等長的向量，叫做a的相反向量 記作－a
2.向量的線性運(yùn)算
向量運(yùn)算 定　義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律
加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 (1)交換律：a＋b＝b＋a. (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量 a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.
二、向量的分解與向量的坐標(biāo)運(yùn)算
1.平面向量的基本定理
如果e1和e2是一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a關(guān)于基底{e1，e2}的分解式.
2.平面向量的正交分解
把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x＋y).
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b x1y2－x2y1＝0.
平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
1.兩個(gè)向量的夾角
(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a，b〉.
(2)范圍：向量夾角〈a，b〉的范圍是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.
(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，則a與b垂直，記作a⊥b.
2.向量在軸上的正射影
已知向量a和軸l(如圖)，作＝a，過點(diǎn)O，A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1，A1，則向量叫做向量a在軸l上的正射影(簡(jiǎn)稱射影)，該射影在軸l上的坐標(biāo)，稱作a在軸l上的數(shù)量或在軸l的方向上的數(shù)量.
＝a在軸l上正射影的坐標(biāo)記作al，向量a的方向與軸l的正向所成的角為θ，則由三角函數(shù)中的余弦定義有al＝|a|cos__θ.
3.向量的數(shù)量積
(1)平面向量的數(shù)量積的定義：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.
①數(shù)量積：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝＝eq \r(x＋y).
③夾角：cos θ＝＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y)).
④兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立) |x1x2＋y1y2|≤ eq \r(x＋y)·eq \r(x＋y).
4.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a(交換律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【解題策略】
1.向量線性運(yùn)算的三要素
向量的線性運(yùn)算滿足三角形法則和平行四邊形法則，向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點(diǎn)”；向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合”.
2.三個(gè)常用結(jié)論
(1)O為△ABC的重心的充要條件是＋＋＝0；
(2)四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則＋＝2；
(3)對(duì)于平面上的任一點(diǎn)O，，不共線，滿足＝x＋y(x，y∈R)，則P，A，B共線 x＋y＝1.
注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別.
3.平面向量基本定理實(shí)際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).
4.平面向量一組基底是兩個(gè)不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組.
5.用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.
6.計(jì)算向量數(shù)量積的三種方法
定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活運(yùn)用，與圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用.
7.求向量模的常用方法
利用公式|a|2＝a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算.
8.利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧.
【考點(diǎn)解析】
一．向量的概念與向量的模
1．下列說法錯(cuò)誤的是　　
A．向量與的長度相同 B．單位向量的長度都相等
C．向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) D．零向量是沒有方向的向量
2．若非零不共線的向量，滿足，則　　
A． B． C． D．
3．以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是　　
A．若，則
B．若向量，則點(diǎn)與點(diǎn)不重合
C．方向?yàn)闁|偏南的向量與北偏西的向量是共線向量
D．若與是平行向量，則
二．向量相等與共線
4．若，，是三個(gè)互不相同的點(diǎn)，則“”是“，，三點(diǎn)共線”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則　　
A． B． C． D．
6．設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是　　
A．與的方向相同 B．與的方向相反
C． D．
三．向量的加法
7．在中，，，．若動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡與直線，所圍成的封閉區(qū)域的面積為　　
A．5 B．10 C． D．
8．若向量，，，，，則的值為　　
A． B． C．0 D．1
9．已知點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，則　　
A． B． C． D．
四．向量的減法
10．　　
A． B． C． D．
11．下列各式化簡(jiǎn)正確的是　　
A． B．
C． D．
12．已知向量，則　　
A． B． C． D．
五．向量的三角形法則
13．已知向量、、，滿足，已知、成角，且、的大小分別為2和4，則的大小為　　
A．6 B．2 C． D．
14．下列結(jié)論一定正確的是　　
A． B．C． D．
六．向量加減混合運(yùn)算
15．化簡(jiǎn)：　　
A． B． C． D．
16．　　
A． B． C． D．
17．已知邊長為1的正五邊形，則　　
A． B． C． D．
七．兩向量的和或差的模的最值
18．已知向量，，都是單位向量，若，則的最大值為　　
A． B．2 C． D．
19．已知向量的夾角為，，與共線，則的最小值為　　
A． B． C． D．1
20．若向量，滿足，，，則的最小值為　　
A． B． C． D．
八．向量數(shù)乘和線性運(yùn)算
21．如圖，平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，若，，則　　
A． B． C． D．
22．點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，下列正確的是　　
A． B． C． D．
23．如圖正六邊形，設(shè)，，為的中點(diǎn)，則　　
A． B． C． D．
九．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義
24．已知平面內(nèi)三點(diǎn)，，，則向量在的方向上的投影為　　
A． B． C． D．
25．已知向量，則在方向上的投影為　　
A． B． C．1 D．
26．已知，，則在方向上的投影為　　
A． B． C． D．
十．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
27．若且，則　　
A． B． C． D．10
28．在梯形中，，，，，為的中點(diǎn)，則　　
A．3 B． C． D．
29．已知空間向量，則下列說法正確的是　　
A．若，則 B．若，則與共線
C．若，則 D．
十一．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角
30．已知單位向量，的夾角為，則　　．
31．在平行四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，若向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的模　　．
32．已知，則的取值范圍是 　　．
33．若平面向量的夾角是，且等于　　．
十二．向量的投影
34．在中，已知，，，則在方向上的投影數(shù)量為 　　．
35．，，與的夾角為，則向量在向量方向上的投影是 　　．
36．已知，若向量在向量方向上的數(shù)量投影為，則實(shí)數(shù)的值為 　　．
十三．投影向量
37．已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為 　　．
38．如果平面向量，，則向量在 上的投影向量為 　　．
39．如圖，在斜坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，軸軸相交成角，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)為向量的坐標(biāo)，記作，在此坐標(biāo)系中，已知向量，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)為 　　．
十四．平面向量的基本定理
40．已知，且，則實(shí)數(shù)　　．
41．在中，，，是線段上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為 　　．
42．如圖，在平行四邊形中，，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為 　　．
十五．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
43．已知兩點(diǎn)，，則與同向的單位向量是　 　．
44．點(diǎn)按向量平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則　　．
45．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知、兩個(gè)互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標(biāo)表示　　．
十六．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示
46．已知向量，，若，則　　．
47．已知向量，．若，則　　．
48．已知平面向量，，．若，則　　．
十七．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角
49．已知空間向量，，滿足，，，，則與夾角為　　
A． B． C． D．
50．已知向量，，，則向量，的夾角為　　
A． B． C． D．
51．若向量、滿足，則向量與向量的夾角為　　
A． B． C． D．
十八．向量在物理中的應(yīng)用
52．已知三個(gè)力，，同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個(gè)力，則等于　　
A． B． C． D．
53．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力，，的作用而處于平衡狀態(tài)．已知與的夾角為，且，的大小分別為和，則的大小為　　
A． B． C． D．
十九．平面向量的綜合題
54．在內(nèi)使的值最小的點(diǎn)是的　　
A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心
55．如圖，在中，、、分別是各邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列各式能表示向量的有①，②，③，④　　
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
56．將函數(shù)的圖象按向量平移后，得到函數(shù)的圖象，則，的值分別為　　
A． B． C． D．
參考答案
一．向量的概念與向量的模
1．【解析】對(duì)于選項(xiàng)中，向量與互為相反向量，則，所以正確的；
對(duì)于選項(xiàng)中，單位向量的長度都是1，所以正確的；
對(duì)于選項(xiàng)中，根據(jù)向量的模的定義，可知向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，所以正確的；
對(duì)于選項(xiàng)中，零向量方向是任意的，所以“零向量是沒有方向的向量”是錯(cuò)誤的，所以錯(cuò)誤．
故選：．
2．【解析】，
，是非零向量，必有，上式中等號(hào)不成立，
，
故選：．
3．【解析】對(duì)于選項(xiàng)，若，則，則，故說法正確；
對(duì)于選項(xiàng)，若向量，則兩向量的起點(diǎn)都是，點(diǎn)與點(diǎn)不重合，故說法正確；
對(duì)于選項(xiàng)，方向?yàn)闁|偏南的向量與北偏西的向量可知，兩個(gè)向量方向相反，是共線向量，故說法正確；
對(duì)于選項(xiàng)，若與是平行向量，則，兩向量的模長不一定相等，故說法錯(cuò)誤．
故選：．
二．向量相等與共線
4．【解析】因?yàn)椋侨齻€(gè)互不相同的點(diǎn)，
所以均不為零向量，
若，則，，三點(diǎn)共線，反之亦成立，
故“”是“，，三點(diǎn)共線”的充要條件．
故選：．
5．【解析】向量與向量共線，
存在實(shí)數(shù)，使，
即，
，解得．
故選：．
6．【解析】因?yàn)椋耘c的方向相同，故選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，與的方向相同，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤
；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
三．向量的加法
7．【解析】設(shè)，
，，三點(diǎn)共線．
點(diǎn)軌跡為直線．
在中，，，，
，
．
故選：．
8．【解析】，
，，，，
可得：，，解得．
．
故選：．
9．【解析】延長，交于，畫出圖形，如圖所示；
，
又，
，
；
又是的中點(diǎn)，
，
．
故選：．
四．向量的減法
10．【解析】根據(jù)題意，；
故選：．
11．【解析】因?yàn)椋叔e(cuò)；
，故對(duì)；
，故錯(cuò)；
，故錯(cuò)；
故選：．
12．【解析】，
，，，，
故選：．
五．向量的三角形法則
13．【解析】由題意得：
，
故，
故選：．
14．【解析】，故錯(cuò)誤；
，故正確；
，故錯(cuò)誤；
與不一定同向，，故錯(cuò)誤．
故選：．
六．向量加減混合運(yùn)算
15．【解析】
．
故選：．
16．【解析】．
故選：．
17．【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，如圖所示：
由正五邊形的性質(zhì)可得：，
．
故選：．
七．兩向量的和或差的模的最值
18．【解析】由，得，即．
設(shè)，則，顯然，
所以，
又，所以，
所以，即的最大值為．
故選：．
19．【解析】根據(jù)與共線，
令
則
向量的夾角為，，
，
則的最小值為
故選：．
20．【解析】，
，
，
，
故選：．
八．向量數(shù)乘和線性運(yùn)算
21．【解析】平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，
，，
故選：．
22．【解析】由題，點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，
，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，所以選項(xiàng)和選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)正確．
故選：．
23．【解析】由題意，
．
故選：．
九．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義
24．【解析】，
，，
在方向上的投影為：．
故選：．
25．【解析】設(shè)向量與的夾角為，則在方向上的投影為．
故選：．
26．【解析】，，；
在方向上的投影為；
故選：．
十．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
27．【解析】根據(jù)題意，若，
則，解可得．
故選：．
28．【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
則：，，，，，．
，，
則．
故選：．
29．【解析】對(duì)，若，則，不能得出，故錯(cuò)誤；
對(duì)，若，則，
當(dāng)與存在零向量時(shí)，與共線成立；
當(dāng)與均不為零向量時(shí)，，
故夾角為或，則與共線，故正確；
對(duì)，若，則，不能得出，故錯(cuò)誤；
對(duì)，由數(shù)量積的定義可知：，，
因?yàn)榕c不一定相等，故不一定成立，故錯(cuò)誤．
故選：．
十一．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角
30．【解析】單位向量，的夾角為，
則，
所以．
故答案為：．
31．【解析】根據(jù)題意：，
．
故答案為：．
32．【解析】由于；
所以；
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
故的取值范圍是，．
故答案為：，．
33．【解析】的夾角是
共線，
設(shè)，
，
，
，
的夾角是
故答案為：
十二．向量的投影
34．【解析】因?yàn)樵谥校?br/>所以，即，所以，
則，
所以在方向上的投影數(shù)量為．
故答案為：．
35．【解析】已知，，與的夾角為，
則向量在向量方向上的投影是，
故答案為：．
36．【解析】，
，，
向量在向量方向上的數(shù)量投影為，
解得．
故答案為：3．
十三．投影向量
37．【解析】因?yàn)椋桥c向量方向相同的單位向量，
所以向量在向量上的投影向量為，
解得，又，，
所以與的夾角．
故答案為：．
38．【解析】，，
則，，
，
所以向量 在上的投影向量為．
故答案為：．
39．【解析】根據(jù)題意，，，
，且，
，且，
在上的投影向量的坐標(biāo)為：．
故答案為：．
十四．平面向量的基本定理
40．【解析】，
，
．
故答案為：．
41．【解析】因?yàn)椋裕?br/>所以，
又因?yàn)槭蔷€段上一點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線，
所以，所以．
故答案為：．
42．【解析】，為的中點(diǎn)，
，，
，，三點(diǎn)共線，
設(shè)
，
又，
由平面向量基本定理得：，
解得：．
故答案為：．
十五．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
43．【解析】，，，
與同向的單位向量是
，，．
故答案為：，．
44．【解析】點(diǎn)按向量平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，
是一個(gè)以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的向量，
，，
故答案為：
45．【解析】由于，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且，
所以向量用坐標(biāo)表示為．
故答案為：．
十六．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示
46．【解析】因?yàn)橄蛄浚?br/>所以，解得．
故答案為：．
47．【解析】因?yàn)橄蛄浚?br/>所以有，或．
故答案為：1或．
48．【解析】，，，
則，
，
，解得．
故答案為：．
十七．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角
49．【解析】設(shè)與的夾角為，
由，得，
兩邊同時(shí)平方得：，
所以，
解得，
又因?yàn)椋?br/>所以．
故選：．
50．【解析】向量，
，
，，
又，
，
，
．
故選：．
51．【解析】向量、滿足，
所以，
又，
所以，
，
，
又，
所以，，
又，所以，
所以向量與向量的夾角為．
故選：．
十八．向量在物理中的應(yīng)用
52．【解析】為使物體平衡，
即合外力為零，
即4個(gè)向量相加等于零向量，
，，．
故選：．
53．【解析】如圖，根據(jù)題意，得：
．
的大小為．
故選：．
十九．平面向量的綜合題
54．【解析】令，，設(shè)，則，，
于是．
所以當(dāng)時(shí)，最小，
此時(shí)，
則點(diǎn)為的重心．
故選：．
55．【解析】、、分別是各邊的中點(diǎn)，
四邊形是平行四邊形，
，①正確；
，故②正確；
，故③正確；
，故④正確．
故選：．
56．【解析】
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位可得的圖象
即，
故選：．
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