資源簡介

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【核心突破】2024年高考數學一輪核心考點深度解析（新高考地區）
專題09 解三角形
【考點考向】
一、正弦定理和余弦定理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C
常見變形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝；cos B＝；cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形內切圓的半徑)，并可由此計算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的個數 一解 兩解 一解 一解 無解
二、解三角形的實際應用
1.仰角和俯角
在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).
SHAPE \* MERGEFORMAT
2.方位角
指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖2).
3.方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.
【解題策略】
1.正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關系轉化為角的關系或邊的關系.
2.在已知關系式中，既含有邊又含有角，通常的解題思路是：先將角都化成邊或邊都化成角，再結合正弦定理、余弦定理即可求解.
3.在△ABC中，若a2＋b24.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內角之間的關系弄混.
5.解決與平面幾何有關的計算問題關鍵是找清各量之間的關系，從而應用正、余弦定理求解.
【考點解析】
2023年11月01日985794074的高中數學組卷
一．正弦定理
1．在中，，，分別是角，，的對邊，，那么　　
A． B． C．或 D．
2．已知中，角，，所對的邊分別為，，，若，則　　
A．2 B．1 C． D．
3．已知的角，，的對邊分別為，，，且，，，則　　
A．4 B．6 C． D．
4．在中，，則　　
A． B． C． D．
5．若，，的面積為，則　　
A． B．1 C． D．2
6．的內角，，的對邊分別為，，，滿足．若為銳角三角形，且，則當面積最大時，其內切圓面積為　　
A． B． C． D．
7．已知滿足，，則面積的最大值為　　
A． B． C． D．
8．已知的內角，，的對邊分別為，，，滿足，則　　
A．2 B．1
C． D．前三個答案都不對
9．已知的內角，，所對的邊分別是，，，且，則角　?。?br/>10．在中，內角，，的對邊分別是，，，若，且，則　　．
11．已知的三個內角，，的對邊分別為，，，，且，則面積的取值范圍為 　　．
12．在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．
問題：在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足_____．
（1）求角的大?。?br/>（2）若為線段延長線上的一點，且，求的面積．
13．在①，，；②，，；③，，這三個條件中選一個，補充在下面問題中，使該三角形解的個數為2，并加以解答．
問題：在中，角，，所對的邊分別為，，，已知 ____，解三角形．
14．已知中，角，，所對邊分別為，，，若滿足．
（1）求角的大??；
（2）若，求面積的取值范圍．
15．在中，，，．
（1）求；
（2）求的面積．
二．余弦定理
16．在中，，為上一點，且，若，則的長度為　　
A． B． C． D．3
17．在中，三內角，，所對的邊分別為，，，若，，則　　
A． B． C． D．
18．在中，，，，則等于　　
A．1 B．2 C．1或2 D．2或3
19．如圖，在中，，垂足為，，則的度數是　　
A． B． C． D．
20．已知中，角，，的對邊分別為，．．若，且則邊　　
A． B． C．2 D．
21．在中，若，，，則的最大角與最小角之和是　　
A． B． C． D．
22．的內角，，的對邊分別為，，，若，則　　
A．2 B． C．3 D．
23．在中，，，，則　　．
24．在中，，，，則　??；若為中點，則　　．
25．在中，角，，的對邊分別是，，，，，，那么　　
26．在中，內角，，所對的邊分別為，，，且，的面積為，，則　　．
27．在中，角，，的對應邊分別為，，，且，，且．
（Ⅰ）求邊的長；
（Ⅱ）求角大小及的面積．
28．如圖在四邊形中，，，．
（1）若，求的面積；
（2）若，，求的長．
29．已知，，是的內角，，，分別是角，，的對邊，且滿足．
（1）求角的大??；
（2）若，的面積為，為的中點，求．
三．三角形中的幾何計算
30．中，，是角的平分線，且，則的最小值為　　
A． B． C． D．
31．如圖，是邊長為2的正三角形，在平面上且滿足，則面積的最大值為　　
A． B．4 C． D．
32．在中，點是的中點，點在邊上，且，與交于點，若，則長是　　
A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4
33．記的內角，，的對邊分別為，，，，，，則邊上的高為　　
A． B． C． D．
34．如圖，為正方形，，點在上，點在射線上，且，則　　
A． B． C． D．不確定
35．“萊洛三角形”是機械學家萊洛研究發現的一種曲邊三角形，轉子發動機的設計就是利用了萊洛三角形，轉子引擎只需轉一周，各轉子便有一次進氣、壓縮、點火與排氣過程，相當于往復式引擎運轉兩周，因此具有小排氣量就能成就高動力輸出的優點．另外，由于轉子引擎的軸向運動特性，它不需要精密的曲軸平衡就可以達到非常高的運轉轉速．“萊洛三角形”是分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段囫弧組成的曲邊三角形（如圖所示）．設“萊洛三角形”曲邊上兩點之間的最大距離為4，則該“萊洛三角形”的面積為　　
A． B． C． D．
36．已知的三邊上高的長度比分別為，若的最短邊與最長邊的長度和為6，則面積為　　
A． B． C． D．2
37．在中，，內角，，的對邊分別為，，，且，，若點為邊上的動點，線段的中垂線分別交直線、于、兩點，則的最小值是 　　．
38．中，的角平分線交于點，若且，則面積的最小值為 　?。?br/>39．如圖，在平面四邊形中，，．
（1）若，，，求的面積；
（2）若，求的最大值．
40．如圖，在平面四邊形中，，于點，，且的面積為面積的2倍．
（1）求的值；
（2）當時，求線段的長．
四．解三角形
41．符合下列條件的三角形有且只有一個的是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，
42．如圖是一塊空曠的土地，準備在矩形區域內種菊花，區域內種桂花，區域內種茶花．若面積是面積的3倍，，，，則當取最小值時，菊花的種植面積為　　
A． B． C． D．
43．在邊長為的正三角形的邊、上分別取、兩點，沿線段折疊三角形，使頂點正好落在邊上，則的長度的最小值為　　
A． B． C． D．
44．如圖，據氣象部門預報，在距離某碼頭南偏東方向處的熱帶風暴中心正以的速度向正北方向移動，距風暴中心以內的地區都將受到影響．據以上預報估計，從現在起經過 　　后該碼頭將受到熱帶風暴影響，影響時間大約 　?。ň_到
45．明孝陵位于江蘇省南京市玄武區紫金山南麓獨龍阜玩珠峰下，東毗中山陵，南臨梅花山，位于鐘山風景名勝區內，其占地面積達170余萬平方米，是中國規模最大的帝王陵寢之一．明孝陵景區共有8個門，1號門位于植物園路，4號門在1號門的南偏東的處，8號門在4號門的東偏北方向，且1號門在8號門的西偏南方向，則1號門到8號門的距離約為 　?。ńY果精確到整數部分，參考數據：取，，，
46．一船以的速度向正北航行，在處看燈塔在船的北偏東，1小時30分后航行到處，在處看燈塔在船的南偏東，則燈塔與之間的距離為 　　．
47．山西應縣木塔（如圖是世界上現存最古老、最高大的木塔，是中國古建筑中的瑰寶，是世界木結構建筑的典范．如圖2，某校數學興趣小組為測量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高為米，塔頂在地面上的射影為，在地面上再確定一點，，三點共線），測得約為58米，在點，處測得塔頂的仰角分別為和，則該小組估算的木塔的高度為 　　米．
48．如圖是梁思成研究廣濟寺三大士殿的手稿，它是該建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁與該截面的交點，，分別是兩房檐與該截面的交點，該建筑關于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對稱，，均視作線段，記，，是的四等分點，，，是的四等分點，記，為測量單位），測得，的長度為 　　．用含的式子表示）
49．在中，內角，，所對的邊分別為，，，，則的最大值為 　?。?br/>50．在一次海上聯合作戰演習中，紅方一艘偵察艇發現在北偏東方向，相距12公里的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10公里的速度沿南偏東方向前進，若偵察艇以每小時14公里的速度，沿北偏東方向攔截藍方的小艇．若要在最短的時間內攔截住，則紅方偵察艇所需的時間為 　　小時，角的正弦值為 　?。?br/>五．三角形的形狀判斷
51．在中，若，則一定是　　
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形
52．在中，角，，所對的邊分別是，，，，，則是　　
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
53．在中，若，，則的形狀是　　
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
54．在，其內角，，的對邊分別為，，，若，則的形狀是　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
55．在中，已知，且，則該三角形的形狀是　　
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形
56．若點是所在平面內的一點，且滿足，則的形狀為 　?。?br/>57．已知的三邊，，既成等差數列，又成等比數列，則的形狀是　　．
58．在中，，，所對的邊分別是，，，已知，則的形狀是　　．
59．如圖所示，點在線段上，，．給出下列三組條件（已知線段的長度）
①，；②，；③，．
其中，使唯一確定的條件的所有序號為　　．
60．已知函數（其中，若的一條對稱軸離最近的對稱中心的距離為．
（1）求解析式；
（2）在中，角，，的對邊分別是，，，滿足，且（B）恰是的最大值，試判斷的形狀．
參考答案
一．正弦定理
1．【解析】因為，
由正弦定理，
則，
又因為，所以，
故，所以．
故選：．
2．【解析】若，
則．
故選：．
3．【解析】，由余弦定理可得，
整理得，
，即，而，
．
又，，
由余弦定理可得，
，．
故選：．
4．【解析】由正弦定理為三角形外接圓半徑）可得：
，，，
所以可化為，
即，
，
又，．
故選：．
5．【解析】因為，，
的面積，
則，
由余弦定理得，，
所以．
故選：．
6．【解析】，則，
整理得，則，
為銳角三角形，則，故，
由面積為，
可得當面積取到最大值，即為取到最大值，
，即，即，
當且僅當，即為等邊三角形時等號成立，
故當為等邊三角形時，面積取到最大值，
設的內切圓半徑為，則，解得，
故內切圓面積為．
故選：．
7．【解析】設，，
所以，
又由余弦定理得，
所以，
由三角形的三邊關系可得，解得，
所以當時，面積有最大值為．
故選：．
8．【解析】由射影定理，得．
又因為，
聯立解得，
因此．
故選：．
9．【解析】由正弦定理及，
得，
，
，
，
，
，，
，
，．
故答案為：．
10．【解析】若，
則，
所以，
因為，
所以，
由為三角形內角得，
因為，
所以，．
故答案為：．
11．【解析】因為，
則由正弦定理得：，化簡得，
因為，代入化簡得，，則，
所以，面積；
又，解得，當且僅當時，等號成立，
所以，故三角形面積的取值范圍是．
故答案為：．
12．【解析】（1）若選擇①，．
，
，
，
即，
；
若選擇②，，
，
，
，，
；
若選擇③，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（2）設，，，
在中，用余弦定理可得，
即①，
又在中，，
即．即，即②，
在中，用余弦定理可得，
即③，③①可得，
將②式代入上式可得，，．
13．【解析】選①，，，
由正弦定理得，，
所以，
因為，
所以，
所以，只有一解，不符合題意；
②，，，
由正弦定理得，，
所以，
因為，
所以，
所以或，有兩解，符合題意；
③，，，
由正弦定理得，，
所以，
所以，只有一解，不符合題意；
故只能選②
14．【解析】（1）中，角，，所對邊分別為，，，若滿足，
由正弦定理知，，
，，
，
化簡得，
，（其中舍去），即；
（2）由（1）知，則，
那么的面積（當且僅當時等號成立），
則面積的取值范圍為，．
15．【解析】（1）因為，，，
由正弦定理，即，解得，
又，所以，所以；
（2）由（1）可得，
所以，
所以．
二．余弦定理
16．【解析】在中，，為上一點，且，
則，
因為，
設，
則，，
由余弦定理可得，
即，
解得，
故．
故選：．
17．【解析】，
則由余弦定理可得，，
，
，
，
則由正弦定理可得，，
，
．
故選：．
18．【解析】，，，
則，即，
則，解得或．
故選：．
19．【解析】，，
，，
則，
又，
則；
故選：．
20．【解析】根據兩角和公式可得，
根據題意可知，，三角形內角和為，可得，，
根據正弦定理，
所以．故選：．
21．【解析】根據三角形中大角對大邊，小角對小邊的原則，
所以由余弦定理可知，
所以7所對的角為．
所以三角形的最大角與最小角之和為：．
故選：．
22．【解析】由余弦定理得，
得．
故選：．
23．【解析】因為在中，，，，
所以．
故答案為：．
24．【解析】因為，，，
由余弦定理可得：，
解得，
為中點，則，兩邊同時平方可得，
，
則．
故答案為：7；．
25．【解析】在中，，，，
由余弦定理得，．
故答案為：．
26．【解析】因為，的面積為，，
所以的面積，
可得，
可得，
由余弦定理可得，
則或，經檢驗滿足構成三角形．
所以或．
故答案為：或．
27．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：，變形得：，
因為，所以．
又，可得；（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得：
．
因為為三角形的內角，所以，
則．（12分）
28．【解析】（1），，，
由余弦定理可得，
可得，解得，
．
（2）設，，則，
在中，由正弦定理，可得，
在中，由正弦定理，可得，
所以，化簡可得，
所以，
所以，，
在中，由余弦定理，可得，解得．
29．【解析】（1）因為，
由正弦定理可得，，
由余弦定理可得，，
所以，
（2）由，結合（1）可知，即，
所以，
所以，，，
所以，中由余弦定理可得，，
所以
三．三角形中的幾何計算
30．【解析】根據題意，設，，，如圖，
，是角的平分線，則，
因為，
所以，
即，
所以，則，即，
所以，
當且僅當，即，時，等號成立，
所以的最小值為．
故選：．
31．【解析】設，，
則在中，由正弦定理得，解得，
，
故當，即時，此時面積最大值為．
故選：．
32．【解析】設，，
則，，
因為，，和，，分別共線，
所以存在實數，，使，，
所以，
又，
所以，解得，
所以，
即．
故選：．
33．【解析】的內角，，的對邊分別為，，，，，，
設邊上的高為，由，得．
因為，所以．
故選：．
34．【解析】在取，連接，
由于，，所以，
又，所以，
由于，，，，
所以，
所以，，
故，
所以，
故，
故選：．
35．【解析】由題意可知等邊三角形的邊長為4，即，
所以扇形的面積等于以為圓心，為半徑的圓的面積的，
故扇形的面積，
又，
該“萊洛三角形”的面積為．
故選：．
36．【解析】設中三個角為，，，角，，所對的邊分別為，，，
設，、、邊上的高分別為，，，
則，
根據題意可得，則，
設，則，解得，
，
由余弦定理可得，，
又為內角，
，
．
故選：．
37．【解析】因為，
由正弦定理可得，
整理得，
所以，
又，故，則．
設線段的中點為，則且，
設，則，
又，所以，即，
所以，又，
所以
，
因為，所以，
所以，所以當，
即時取得最小值，即．
故答案為：．
38．【解析】因為中，的角平分線交于點，，
所以，
又，，
所以，可得，
所以，解得，當且僅當時等號成立，
所以，當且僅當時等號成立，
則面積的最小值為．
故答案為：．
39．【解析】（1）在中，由余弦定理可得，
因為，所以，
所以的面積；
（2）設，，則，．
在中，由正弦定理可得，則，
在中，由正弦定理可得，則，
所以，
當時，取得最大值；
綜上，的面積為，的最大值．
40．【解析】（1）的面積為面積的2倍，，
，，，
，
又，則；
（2）在中，則，即，
在中，由正弦定理得，即，
，
，
當時，
在中，由余弦定理得，即，
當時，
在中，由余弦定理得，即．
四．解三角形
41．【解析】對于，，，，由兩邊之和大于第三邊，，可知符合的三角形不存在；
對于，由，，，可得或，符合條件的三角形有2個，不符合題意；
對于，，，，可得，不符合題意；
對于，，，符合條件的三角形有一個是等腰三角形．
故選：．
42．【解析】因為面積是面積的3倍，
設，
由題意，可得，
在中，，
在中，，
故，
所以，當時，即時取“”，
所以，
所以當取最小值時，菊花的種植面積．
故選：．
43．【解析】顯然，兩點關于折線對稱，
連接，圖（2）中，可得，則有，
設，，
再設，則有，
在中，，
，
又，
在中，由正弦定理知，
即，
，
，
，
當，即時，．
此時取得最小值，且（舍去）．
則的最小值為．
故選：．
44．【解析】如圖所示：
設風暴中心最初在處，經后到達處，向軸作垂線，垂足為，
若在點處受到風暴的影響，
則，，，，
因為，
所以，
即，
解得，，
又，
故答案為：13.7；15．
45．【解析】記1號門的位置為，4號門的位置為，8號門的位置為，
由題意知，，，，
在中，由正弦定理得，，
所以．
故答案為：2112．
46．【解析】作出示意圖，如圖所示，
則，
，
由正弦定理得，即，解得，
故答案為：．
47．【解析】過點作于點，如圖所示：
由題意得，，米，米，
設米，則米，米，
在中，，則，解得，
在中，則米．
故答案為：米．
48．【解析】根據題意作出示意圖，如圖所示，
由題意，，，
在△中，，
即，
，
又，
解得，
，
在△中，，
．
故答案為：．
49．【解析】因為，
所以，可得，
由正弦定理可得
，
因為，
則，
當，即時，取到最大值．
故答案為：．
50．【解析】設紅方偵察艇經過小時后在處追上藍色小艇，
則，，，
由題意可知，，
由余弦定理可知，，即，解得，
則，，
由正弦定理可知，．
故答案為：2，．
五．三角形的形狀判斷
51．【解析】法一：因為，
整理得，
故為等腰三角形；
法二：因為，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
故為等腰三角形．
故選：．
52．【解析】由邊化角可得，
因為，
所以，即，
所以，
因為，所以，所以，
所以解得，所以，
所以是直角三角形．
故選：．
53．【解析】，，
又，
，即，得，
，再結合得是等邊三角形．
故選：．
54．【解析】，
由余弦定理可得：，整理可得：，
，則的形狀為等腰三角形．
故選：．
55．【解析】由條件知：，
，
，
，
，，由余弦定理得，
，，
又，是等邊三角形．
故選：．
56．【解析】，
，
由此可得以、為鄰邊的平行四邊形為矩形，
，得的形狀是直角三角形．
故答案為：直角三角形．
57．【解析】由于三角形的三邊、、成等差數列，可得：，①
又成等比數列，可得：，②
聯立可得：，解得：，可得：，
則是等邊三角形．
故答案為：等邊三角形．
58．【解析】由，
根據正弦定理得：
，
由為三角形的內角，得到或，
當，，，與三角形的內角和定理矛盾，舍去，
，，
則，即的形狀是直角三角形．
故答案為：直角三角形
59．【解析】，．，．
①在中，知道，的長度及角，由，求得，與的大小不定，角不一定唯一，則不一定唯一．
②在中，知道長及各角度，由正弦定理可得出長度．長度已知，長度可求，唯一確定．
③同②可知，中，已知一邊及各角度，在中，已知一角及其夾邊唯一確定．
故答案為：②③．
60．【解析】（1）由于函數，
的對稱軸離最近的對稱中心的距離為，
，
，
故，
；
（2）由于，由正弦定理得，
，
，，
，
，
，
；
，
，
根據正弦函數的性質可知，（B）是的最大值1，
此時，即，
，
為等邊三角形．
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