資源簡介

數(shù)學“存在性”問題的解題策略
存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強，題意構思非常精巧，解題方法靈活，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年來各地中考的“熱點”。這類題目解法的一般思路是：假設存在→推理論證→得出結論。若能導出合理的結果，就做出“存在”的判斷，導出矛盾，就做出不存在的判斷。
由于“存在性”問題的結論有兩種可能，所以具有開放的特征，在假設存在性以后進行的推理或計算，對基礎知識，基本技能提出了較高要求，并具備較強的探索性，正確、完整地解答這類問題，是對我們知識、能力的一次全面的考驗。
【典型例題】
例1.
理由。
分析：這個題目題設較長，分析時要抓住關鍵，假設存在這樣的m，滿足的條件有m是整數(shù)，一元二次方程兩個實數(shù)根的平方和等于Rt△ABC斜邊c的平方，隱含條件判別式Δ≥0等，這時會發(fā)現(xiàn)先抓住Rt△ABC的斜邊為c這個突破口，利用題設條件，運用勾股定理并不難解決。
解：
∴設a=3k，c=5k，則由勾股定理有b=4k，
∴存在整數(shù)m=4，使方程兩個實數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊c的平方。
例2.
（1）求二次函數(shù)的最小值（用含k的代數(shù)式表示）
（2）若點A在點B的左側，且x1·x2<0
①當k取何值時，直線通過點B；
②是否存在實數(shù)k，使S△ABP=S△ABC？如果存在，求出拋物線的解析式；如果不存在，請說明理由。
分析：本題存在探究性體現(xiàn)在第（2）問的后半部分。認真觀察圖形，要使S△ABP=S△ABC，由于AB=AB，因此，只需兩個三角形同底上的高相等就可以。OP顯然是△ABP的高線，而△ABC的高線，需由C作AB的垂線段，在兩個高的長中含有字母k，就不難找到滿足條件的k值。
解：
∵點A在點B左側，
∴A（2k，0），B（2，0），
（2）過點C作CD⊥AB于點D
∴OP=CD
例3. 已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點，P為直線AB上一點，過點P作BC的平行線交直線BT于點E，交直線AC于點F。
（1）當點P在線段AB上時，求證：PA·PB=PE·PF
（2）當點P為線段BA延長線上一點時，第（1）題的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由。
分析：第（1）問是一個常規(guī)性等積式的證明問題，按一般思路，需要把它轉化為比例式，再轉化為證明兩個三角形相似的問題，同學們不會有太大的困難。難點在于讓P點沿BA運動到圓外時，探究是否有共同的結論，符合什么共同的規(guī)律。首先需要按題意畫出圖形，并沿用原來的思路、方法去探索，看可否解決。第（3）問，從題意出發(fā)，由條
條件和結論顯現(xiàn)出來。
證明：（1）（如圖所示）
∵BT切⊙O于B，∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，∴∠AFP=∠C
∠AFP=∠EBA
又∵∠APF=∠EPB
∴△PFA∽△PBE
∴PA·PB=PE·PF
（2）（如圖所示）
當P為BA延長線上一點時，第（1）問的結論仍成立。
∵BT切⊙O于點B，
∴∠EBA=∠C
∵EP∥BC，∴∠PFA=∠C
∴∠EBA=∠PFA
又∵∠EPA=∠BPE
∴△PFA∽△PBE
∴PA·PB=PE·PF
（3）作直徑AH，連結BH，∴∠ABH=90°，
∵BT切⊙O于B，∴∠EBA=∠AHB
又∵∠AHB為銳角
∴⊙O的半徑為3。
例4.
（1）求證：它的圖象與x軸必有兩個不同的交點；
（2）這條拋物線與x軸交于兩點A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），與y軸交于點C，且AB=4，⊙M過A、B、C三點，求扇形MAC的面積S。
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使△PBD（PD⊥x軸，垂足為D）被直線BC分成面積比為1：2的兩部分？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。
分析：本題的難點是第（3）個問題。
我們應先假設在拋物線上存在這樣的點P，然后由已知條件（面積關系）建立方程，如果方程有解，則點P存在；如果方程無解，則這樣的點P不存在，在解題中還要注意面積比為1：2，應分別進行討論。
解：
∴它的圖象與x軸必有兩個不同的交點。
∵AB=4，OA=1，
∵C（0，－3），∴OC=OB，∴∠ABC=45°
∴∠AMC=90°，設M（1，b），由MA=MC，得：
∴b=－1，∴M（1，－1）
（3）設在拋物線上存在這樣的點P（x，y），則過B（3，0），C（0，－3）的直線BC的解析式為：
①當S△PBE：S△BED=2：1時，
PE=2DE，∴PD=3DE
PD的長是P點縱坐標的相反數(shù)，DE的長是E點縱坐標的相反數(shù)，且P、E兩點橫坐標相同
∴P（2，－3）
②當S△PBE：S△BED=1：2時，
例5.
（1）求m的值；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）在x軸下方的拋物線上有一動點D，是否存在點D，使△DAO的面積等于△PAO的面積？若存在，求出D點坐標；若不存在，說明理由。
解：（1）作PH⊥x軸于H，在Rt△PAH中
∵P（1，m）在拋物線上，m=1+b+c，
∵OH=1，∴AH－AO=1
（3）假設在x軸下方的拋物線上存在點D（x0，y0），
∴滿足條件的點有兩個：
例6. 如圖，在平面直角坐標系O—XY中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A和B，且12a+5c=0。
（1）求拋物線的解析式；
（2）如果點P由點A沿AB邊以2cm/秒的速度向點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以1cm/秒的速度向點C移動，那么：
①移動開始后第t秒時，設S=PQ2（cm2），試寫出S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；
②當S取最小值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點R的坐標；若不存在，請說明理由。
解：（1）根據(jù)題意，A（0，－2），B（2，－2）
（2）①移動開始后第t秒時，AP=2t，BQ=t
∴P（2t，－2），Q（2，t－2）
假設在拋物線上存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形，
若以PR為一條對角線，使四邊形PBRQ為平行四邊形
若為PB為一條對角線，使四邊形PRBQ為平行四邊形
為頂點的四邊形是平行四邊形。
練習
一、單項選擇題（每題3分，共42分）
1. （ ）
A. 1 B. －1 C. －2 D. 2
2. 下列計算正確的是（ ）
A. ；B. ；C. ；D.
3. 1納米=0.000000001米，則3.14納米用科學計數(shù)表示為（ ）
A. 3.14×109米； B. 3.14×米； C. 3.14×米； D.
4. 李明沿著坡角為β的斜坡前進200米，則他上升的最大高度是（ ）
A. 米； B. 米； C. 米； D. 米
5. 如圖，⊙O的直徑AB⊥CD弦于E，若OB=5，CD=8，則BE長為（ ）
A. 3 ； B. 2.5； C. 2； D. 1
6. 今年學校有n件科技小作品參賽，比去年增加了40%還多5件，設去年有m件作品參賽，則m=（ ）
A. ； B. ； C. ； D.
7. 兩圓直徑分別為14和6，圓心距為8，則這兩圓公切線最多有（ ）條。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 在直角坐標系中，點A（m，n）且，則點A一定不在（ ）的圖象上。
A. ； B. ； C. ； D.
9. 如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=EC：AE，則DE：BC=（ ）
A. 1：3； B. 1：1； C. 2：1； D. 1：2
10. 是中心對稱但不是軸對稱的圖形是（ ）
A. 正三角形 ； B. 梯形； C. 平行四邊形； D. 直線
11. 三峽工程在6月1日——6月10日下閘蓄水期間，水庫水位由106米升至135米，高峽出平湖初現(xiàn)人間。假設水庫水位保持均勻上升，能正確反映水位h(米)與時間t（天）變化的是（ ）
12. 如果圓錐的母線長是高的2倍，側面展開圖的面積是π，則圓錐的高是（ ）
A. 1 ； B. 1.5； C. 2 ； D.
13. 某商品的價格是按利潤的50%計算銷售價，為了促銷，采取打折優(yōu)惠方式出售。若每件商品打折后仍能獲利20%，則商家是按銷售價的（ ）折出售
A. 七五； B. 八； C. 八五； D. 九
14. 已知圖象上有點A，，，則的值（ ）
A. 小于0； B. 等于0； C. 大于0 ； D. 正負不確定
二、填空題
15. 函數(shù)的自變量x的取值范圍是__________。
16. 分解因式：__________。
17. 已知梯形下底長是上底長的2倍，且中位線是，則下底長是__________cm。
18. 如果__________。
19. 如圖，在直角坐標系中，Rt△OAB∽Rt△OCD，相似比為1：2，且B（1，1），則D的坐標是（_____，_____）。
20. 小明預算4月份家庭用電開支。四月初連續(xù)8天早上電表顯示的讀數(shù)見下表，如果每度電收取電費0.42元，估計小明家四月份這個月（按30天計）的電費是__________元。（注：電表計數(shù)器上先后兩次顯示的讀數(shù)的差就是這段時間內(nèi)所消耗電能的度數(shù)）
日期 1 2 3 4 5 6 7 8
電報顯示讀數(shù) 21 24 28 33 39 42 46 49
三、（每題5分，共15分）
21. 如果一個角的補角是155°，求這個角的余角。
22. 計算：。
23. 如圖，是一塊由長方形ABCG割去長方形EFGD而成的金屬板。請你畫一條直線，將金屬板ABCDEF分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡，不寫作法，不要證明）
∴__________為所求作的直線。
四、解答題（24題7分，其余每題8分，共39分）
24. 已知等腰梯形ABCD的周長是15，AD∥BC，AD25. 某球迷協(xié)會組織36名球迷乘車前往比賽場地為中國隊加油助威，現(xiàn)可租用兩種車輛：一種每輛車可乘坐8人，另一種每輛車可乘坐4人，要求每輛車既不超載也不空座位
（1）請你給出三種不同的租車方案
（2）若8個座位的車是每輛280元/天，4個座位的車是每輛200元/天，寫出租車費用S（元）與租8人座位車x（輛）的函數(shù)解析式，并求自變量x取值范圍。
（3）請確定租車總費用最小的方案，這時費用是多少元？
26. 已知：如圖，塔AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂C處及樓底D處測得塔頂A的仰角分別45°和60°，試求塔高和樓高。（精確到0.01米，1.732）
27. 如圖，已知BC是⊙O的直徑，延長CB至A，使，割線APM交⊙O于點M，使3PM=2AP，過M作⊙O的另一直徑MN，連結PN交AC于E，切線PF切⊙O于P，交AB于F。
（1）求證：MN⊥BC于O；（2）求△BFP的面積。
28. 已知：拋物線與x軸交于兩點A（x1，0），B（x2，0），它的對稱軸交x軸于點N（x3，0），若A，B兩點距離不大于6，（1）求m的取值范圍；（2）當AB=5時，求拋物線的解析式；（3）試判斷，是否存在m的值，使過點A和點N能作圓與y軸切于點（0，1），或過點B和點N能作圓與y軸切于點（0，1），若存在找出滿足條件的m的值，若不存在試說明理由。
試題答案
一、單項選擇題：（每題3分，共42分）
1. B 2. C 3. C 4. C 5. C
6. C 7. B 8. A 9. D 10. C
11. D 12. C 13. B 14. A
二、填空題
15.
16.
17.
18. 0或2
19. D（2，2）
20. 50.4元
三、（每題5分，共15分）
21. 65°
22.
23. 如圖：MN為所求作的直線。
24. 對角線AC的長為，梯形面積S為
25. 解：（1）設租用8座車x輛，租用4座車y輛，
則
∴
∴三種不同的租車方案是：租用4座車9輛；租用8座車一輛，4座車7輛；租用8座車兩輛，4座車5輛
（2）
即
當x=4時，
∴租車總費用最小的方案是：租用8座車4輛，租用4座車1輛，這時費用為1320元。
26. 塔高：138.56米，樓高：58.56米
27. 證明：（1）∵
∵
設AP=3m，則PM=2m，
由切割線定理：AP·AM=AB·AC
∴
∴
又∵
∴
∴△AOM是直角三角形，∴MN⊥BC
（2）作PH⊥AC于H，∵PH∥MN
∴
設BF=x，則AF=，∵PF為切線，
∴∠APF=∠TPM=∠N
即∠APF=∠N
∵∠A+∠M=90°，∠N+∠M=90°，∴∠A=∠N
∴∠A=∠APF，∴PF=AF=
由切割線定理：
∴
∴
28. 解：（1）令y=0，則
∵
∴
∴
∴
由AB≤6，且，得：
∴
（2）當AB=5時，
∴拋物線的解析式為：
（3）N（x3，0）是拋物線與x軸的交點
∴
①若N在x軸的正半軸上，
則
由切割線定理：
∴
②若N在x軸的負半軸上，
則
由切割線定理：
∴
∴
∵
∴
∴
∴m的值為1或。
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