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圓錐曲線中定點與定值專題
方法點撥
1. 通法：設而不求，韋達定理
2. 步驟：①設：設兩交點坐標 A( x1, y1 ),B( x2 , y2 )，設直線方程；
若直線過點(0,m),通常設為 y=kx+m.(需另外討論斜率不存在的情況)
直線過點(n,0),通常設為 x=ty+n(斜率為 0時，即 t=0 的情況)
②化：將斜率或向量的運算坐標化，出現 x1 x2 、 x1x2與 y1 y2或 y1y2 ；
③聯：聯立直線方程和曲線方法，得到關于 x或 y的方程；
④達：運用韋達定理；
⑤析：具體問題，個體分析.
3.優點：方程常規，程序性強；缺點：運算量較大.
一．直線過定點問題
常見四種模型，出現就說明直線過定點

(1) MA MB為定值 (3) kMA kMB為定值(不為 0)
(3) kMA kMB為定值(不為 0) (4) (0 )
例 1 A 2、B是拋物線 y 4x上的兩點，且滿足 OA⊥OB(O為坐標原點)，求證：直線 AB經過一個定點.
5
例 2 已知離心率為 的雙曲線 C的中心在坐標原點，左、右焦點 F1、F2在 x軸上，雙曲線 C的右支上一點
2

A使AF1 AF2 0且△AF1F2的面積為 1.
(1)求雙曲線 C的標準方程；
(2)若直線 l：y=kx+m與雙曲線 C相交于 E、F兩點(E、F不是左右頂點)，且以 EF為直徑的圓過雙曲線 C的右
頂點 D，求證：直線 l過定點，并求出該定點的坐標.
例 3 已知拋物線 C y2： 2px( p 0)的焦點為 F，準線為 l，拋物線上一點 P的橫坐標為 1，且到焦點 F的距
離為 2.
(1)求拋物線 C的方程；
(2)設 A、B是拋物絲上異于原點 O的兩個不同點，直線 OA和 OB的傾斜角分別為ɑ和β，當ɑ、β變化且ɑ+β
為定值 ( tan 2 )時，證明直線 AB恒過定點，并求出該定點的坐標.
1 2
例 4 已知 F( ，0 )為拋物線 y 2px( p 0)的焦點，點 N (x0 , y0 )(y0 0)為其上的一點，點M與點 N關于 x2
5
軸對稱，直線 l與拋物線交于異于M、N的 A、B兩點，且 NF= ， kNA k2 NB
2
(1) 求拋物線的方程和 N點坐標；
(2) 判斷直線 l中，是否存在使得△MAB 面積最小的直線 l′，若存在，求出 l′的方程和MAB面積的最小值；若
不存在，說明理由.
二．斜率為定值
kMA kMB 0 直線 AB 斜率為定值問題
例 5 2如圖，過拋物線 y 4x上一定點 P(1,2),作兩條直線分別交拋物線于 A (x1, y1)、B (x2 , y2 )，
當 PA與 PB斜率存在且傾斜角互補時，證明：直線 AB的斜率為定值.
3
例 6 已知橢圓 C過點 A(1， ),兩個焦點為(-1,0),(1,0)
2
(1)求橢圓的方程；
(2)E、F是橢圓 C上的兩個動點，如果直線 AE的斜率與 AF的斜率互為相反數，證明直線 EF的斜率為定值，
并求出這個定值.
練習
1. 2 2已知圓M： x y 2y 7 0和點 N(0,1),動圓 P經過點 N且與圓M相切，圓心 P的軌跡為曲線 E
(1)求曲線 E的方程；
(2)點 A是曲線 E與 x軸正半軸的交點，點 B、C在曲線 E上，若直線 AB、AC的斜率 k1、k2滿足 k1k2=4,求△ABC
面積的最大值.
參考答案
例 1：設 AB：x=ty+m，A( x1, y1 ),B( x , y ) y
2 2
2 2 ，與拋物線 4x聯立得 y 4ty 4m 0得
y1y2 4m, y1 y2 4t同時 x1x2 (ty1 m)(ty2 m) t
2 y1y2 tm(y1 y2 ) m
2
4mt 2 4mt 2 m2 m2 ，由 OA⊥OB 2得 x1x2 y1y2 0即有m 4m 0得 m=4 或 m=0(舍去),AB方程為
x=ty+4，故 AB經過定點(4,0)
例 2(1)由已知得AF 2 2 21 AF2 2a，AF1 AF2 4c ,AF
c 5
1 AF2 2 , 得 a2=4,c2=5,故雙曲線標準方程為a 2
x2
y2 1
4
x2
(2)設 E( x , y ),F( x 2 2 2 21 1 2 , y2 )，聯立 y=kx+m和 y 1得 (1 4k )x 8kmx 4m 4 0得4
x x 8km , x x 4m
2 4 m2 4k 2
1 2 y y (kx m)(kx
2 2
2 1 2 2 得 1 2 1 2 m) k x1x2 km(x x) m 1 4k 1 4k 1 4k 2
以 EF為直徑的圓過右頂點 D(2,0),所在 DE⊥DF，由此可得 (x1 2)(x2 2) y1y2 0，代入得
20k 2 16km 3m2 0即 (10k 3m)(2k m) 0 m 2k m 10k 得 或 代入直線方程得
3
y k(x 2) y k(x 10) 10 10 或 故直線過定點(2,0)(舍去)或( ,0)，故直線 EF為定點( ,0)
3 3 3
p
例 3：(1)PF=1 2得 p=2 2，故拋物線方程為 y 4x
2
(2)設直線 AB 2 2的方程為 x=ty+m， A( x1, y1 ),B( x2 , y2 )與拋物線 y 4x 聯立得 y 4ty 4m 0 得
y y y1y2 4m, y1 y2 4t ，OA、OB 傾斜角的正切值 tan 1 ， tan 2 ，而 tan( ) 2, 即有x1 x2
y1 y 2
x1 x2 x1y2 x2 y1 2 x y
2 y 2
y y ，同時
1 , x 21 2 代入整理得 2(y1 y2 ) y1y2 16得m 2t 4代入直
1 1 2 x1x2 y1y2 4 4
x1x2
線方法 x=ty-2t-4=t(y-2)-4,過定點(-4,2)
1 5
例 4：(1)由已知得 p=1 2，拋物線方程為 y 2x，NF= x0 = 得 x0=2得 N(2,2)2 2
(2)設直線 AB的方程為 x=ty+m，A( x1, y1 ),B( x2 , y2 )
2
與拋物線 y 2x聯立得
y2 2ty 2m 0得 y1y2 2m, y1 y2 2t，
k k y1 2 y2 2 y1 2 y2 2 4NA NB 2 2 2 ,代入整理得 m=2t+3，代入直線方程得x1 2 x2 2 y1 2 y 2 2 (y1 2)(y2 2)
2 2
x=ty+2t+3=t(y+2)+3,直線 AB過定點(3,-2),而M(2,-2),ME||x軸ME=1，
S 1 MAB 1 | y1 y2 |
1
(y1 y
2
2 ) 4y1y2 (t 2)
2 2 ，當 t=-2時，MAB面積取最小值 2 此時直線
2 2
方程為 x=-2y-1
例 5：設 AB：x=ty+m，A( x1, y1 ),B( x
2 2
2 , y2 )，與拋物線 y 4x聯立得 y 4ty 4m 0得 y1y2 4m,
y y 4t k k 0 y1 2 y2 2 y
2 y 2
1 2 ，PA、PB傾斜角互補，故 PA PB 即有 0， x 1 , x 2 得x1 1 x2 1
1 4 2 4
4 4
0得 t=-1，故直線 AB的斜率為-1
y1 2 y2 2
x2 y2
例 6：(1)AF1+AF2=4=2a得 a=2,c=1,b= 3 ,故橢圓方程為 1
4 3
3
(3) 設直線 AE 2 2 2 2的解析式為 y=k(x-1)+ ,，與橢圓聯立得 (3 4k )x (8k 12k)x 4k 12k 3 0 ,
2
x 1 4k
2 12k 3 12k 2 6k 3 2 2 1
E ，2 yE 同理得3 4k 2 2 x
4k 12k 3
， y 12k 6k 3由此可得 k 3 4k F 3 4k 2 F EF3 4k 2 2 2
y2
練習(1)PM+PN=2 2 >MN 2，點 P的軌跡為橢圓，方程為 x 1
2
y2
(2) 設 BC解析式為 x=ty+m，C( x1, y1 ),C( x
2
2 , y2 )與橢圓 x 1聯立得 (1 2t
2 )y2 4mty 2m2 2 0，
2
y y 4mt
2
, y y 2m 2
2
， x x 2m m 2t
2
A(1,0),1 2 1 2 1 2 k k
y1 y 2 4整理得 m=3
1 2t 2 1 2t 2 1 2t 2
, x1x2 1 2t 2 1 2 x1 1 x2 1
2 2
直線 BC過定點(3,0),S 1 ABC 2 | y1 y2 | (y y )2 4y y
4 t 4
= 4 t 4 4 2
2 1 2 1 2 1 2t 2 9 2( t 2 4)2 9 2 t 2 4 3
t 2 4
2 17 2
當且僅當 t 時取等號，△ABC面積的最大值為
2 3

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