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圓錐曲線綜合 1：焦半徑與焦點弦的三角形式
圓錐曲線焦半徑和焦點弦的三角形式及其性質(以焦點在 x 軸上的曲線為例)
設圓錐曲線的焦點弦 AB所在直線的傾斜角為 ，斜率為 k，離心率為 e，焦準距為 p(拋物線只需令 e=1)
ep b2 ep b2
性質 1：焦半徑 AF= | | | |，BF= | | | |
1 ecos a c cos 1 ecos a c cos
p p
拋物線：AF= | |，BF= | |
1 cos 1 cos
2ep 2ab2
性質 2：焦點弦 AB= |
1 e2
| | |，
cos2 a2 c2 cos2
拋物線：AB= | 2p
sin 2
|

1 1 2 2a
性質 3：
AF BF ep b2
；
1 1 2
拋物線：
AF BF p

AF FB e 1 k 2 | 1 | 1性質 4：若 ，則有 ， | ecos | | |
1 1
典型例題
x2 2
例 1：過橢圓 y 1的左焦點作傾斜角為 60°的直互，直線和橢圓交于 A、B兩點，則 AB=____
2
2
例 2：已知 F為拋物線 C： y 4x的焦點，過 F作兩條互相垂直的直線 l1和 l2，直線 l1與 C交于 A、B兩點，
直線 l2與 D、E交于兩點，則 AB+DE的最小值為_______
x2 y2
例 3：已知雙曲線 C： 2 2 1(a 0,b 0)的右焦點為 F，過 F且斜率為 3的直線交 C于 A、B兩點，a b

若AF 4FB，則 C的離心率為______.
例 4 2：已知 F是拋物線 C： y 4x的焦點，過 F且斜率為 1 的直線交 C于 A、B兩點，設 FA>FB，則 FA與
FB的比值等于___________
例 5: 已知橢圓 C的焦點為 F1(-1,0),F2(1，0)，過 F2的直線與 C交于 A、B兩點，若 AF2=2F2B，AB=BF1，則 C
的方程為________
例 6 設圓的圓心為 A，直線 l 過點 B(1,0)且與 x 軸不重合，l 交圓于 C、D兩點，過 B作 AC的平行線交 AD于
點 E.
(1)證明 EA+EB為定值，并寫出點 E的軌跡方程；
(2)設點 E的軌跡為曲線 C1，直線 l 交 C1于M、N兩點，過 B且與 l 垂直的直線與圓 A交于 P、Q兩點，求四
邊形MPNQ面積的取值范圍.
練習題
x2 y2
1. 設 F1、F2分別是 C: 2 a b2
1(a b 0)的左右焦點，M是 C上一點且MF2與 x 軸垂直，直線MF1與 C
的另一個交點為 N
3
(1)若直線MN的斜率為 ，求 C的離心率
4
(2)若直線MN在 y軸上的截距為 2，且MN=5F1N，求 a、b
2. 中心在原點 O的橢圓的右焦點為 F(3,0),右準線 l的方程為：x=12
(1)求橢圓的方程；
1 1 1
(2)在橢圓上任取三個不同點 P1、P2、P3，使得∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，證明: 為定值，并求
FP1 FP2 FP3
此定值.

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