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專題二十八 空間向量及其應用
知識歸納
一、空間向量及其加減運算
（1）空間向量
在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或．
（2）零向量與單位向量
規定長度為0的向量叫做零向量，記作．當有向線段的起點與終點重合時，．
模為1的向量稱為單位向量．
（3）相等向量與相反向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內的兩個向量．
與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．
（4）空間向量的加法和減法運算
①，．如圖所示．
②空間向量的加法運算滿足交換律及結合律
，
二、空間向量的數乘運算
（1）數乘運算
實數與空間向量的乘積稱為向量的數乘運算．當時，與向量方向相同；當時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．
（2）空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律
，．
（3）共線向量與平行向量
如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．
（4）共線向量定理
對空間中任意兩個向量，，的充要條件是存在實數，使．
（5）直線的方向向量
如圖8-153所示，為經過已知點且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點，點在直線上的充要條件是存在實數，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②
①和②都稱為空間直線的向量表達式，當，即點是線段的中點時，，此式叫做線段的中點公式．
（6）共面向量
如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（7）共面向量定理
如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使．
推論：①空間一點位于平面內的充要條件是存在有序實數對，使；或對空間任意一點，有，該式稱為空間平面的向量表達式．
②已知空間任意一點和不共線的三點，，，滿足向量關系式（其中）的點與點，，共面；反之也成立．
三、空間向量的數量積運算
（1）兩向量夾角
已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規定，如果，那么向量，互相垂直，記作．
（2）數量積定義
已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積，記作，即．零向量與任何向量的數量積為0，特別地，．
（3）空間向量的數量積滿足的運算律：
，（交換律）； （分配律）．
四、空間向量的坐標運算及應用
（1）設，，則；；
；；
； ．
（2）設，，則．
這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標．
（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式．
①已知，，則；；
；；
②已知，，則，
或者．其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式．
（4）向量在向量上的投影為．
五、法向量的求解與簡單應用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
幾點注意：
①法向量一定是非零向量；②一個平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內，則有．
第一步：寫出平面內兩個不平行的向；
第二步：那么平面法向量，滿足．
（2）判定直線、平面間的位置關系
①直線與直線的位置關系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．
若∥，即，則； 若，即，則．
②直線與平面的位置關系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．
若∥，即，則； 若，即，則．
（3）平面與平面的位置關系
平面的法向量為，平面的法向量為．
若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．
六、空間角公式．
（1）異面直線所成角公式：設，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．
（2）線面角公式：設為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為
與所成角的大小，則．
（3）二面角公式：
設，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據具體情況判斷相等或互補），其中．
七、空間中的距離
求解空間中的距離
（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質直接計算．
如圖，設兩條異面直線的公垂線的方向向量為，
這時分別在上任取兩點，則向量在上的正射影長
就是兩條異面直線的距離．則
即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點
的向量和公垂線方向向量的數量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．
（2）點到平面的距離
為平面外一點（如圖），為平面的法向量，
過作平面的斜線及垂線．
，
典例分析
題型一、空間向量的加法、減法、數乘運算
【例1-1】在下列命題中：
①若向量共線，則所在的直線平行；
②若向量所在的直線是異面直線，則向量一定不共面；
③若三個向量兩兩共面，則三個向量一定也共面；
④已知三個向量，則空間任意一個向量總可以表示為．
其中正確命題的個數為（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【例1-3】如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【例1-4】如圖，在正方體中，，，，O為底面ABCD的中心，G為的重心，則（ ）
A． B．
C． D．
【例1-5】已知是空間向量的一個基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為（ ）
A． B． C． D．
題型二、共線與共面問題
【例2-1】已知，，且 不共面，若，則___________．
【例2-2】已知，，，．若，則實數k的值為______．
【例2-3】如果三點共線，那么（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】（多選題）下列命題中正確的是（ ）
A．是，共線的充分條件
B．若，則
C．，，三點不共線，對空間任意一點，若，則，，，四點共面
D．若，，，為空間四點，且有（，不共線），則是，，三點共線的充分不必要條件
【例2-5】（多選題）若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-6】以下四組向量在同一平面的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【例2-7】，若三向量共面，則實數（ ）
A．3 B．2 C．15 D．5
【例2-8】已知P和不共線三點A，B，C，四點共面且對于空間任意一點O，都有，則λ＝________．
【例2-9】（多選題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，
底面，，、分別為線段、的中點，為線段上的動點（不含端點），則下列說法正確的是（ ）
A．對任意點，則有、、、四點共面
B．存在點，使得、、、四點共面
C．對任意點，則有平面
D．存在點，使得平面
【例2-10】如圖，在平行六面體中，，．
（1）求證：、、三點共線；
（2）若點是平行四邊形的中心，求證：、、三點共線．
【例2-11】已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：
（1）、、、四點共面，、、、四點共面；
（2）．
【例2-12】如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC，△BCD，△CDE均為邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．
求證：A，B，D，E四點共面；
【例2-13】如圖，四邊形為正方形，若平面平面，，，．
判斷點D與平面CEF的位置關系，并說明理由．
【例2-14】在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AC＝2AB＝2AD＝4，CD⊥AD，CB⊥AB，G為PC的中點，過AG的平面與棱PB、PD分別交于點E、F．若EF∥平面ABCD，則截面AEGF的面積為______．
題型三、空間向量的數量積運算
【例3-1】已知向量，，，若，則實數（ ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
【例3-2】已知，，且，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】已知空間向量，，，則（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】（多選題）設，為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【例3-5】（多選題）定義空間兩個非零向量的一種運算：，則關于空間向量上述運算的以下結論中恒成立的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．
【例3-6】在三棱錐中，已知，，，則___________
【例3-7】在三棱錐中，，，，則（ ）
A． B． C．1 D．
【例3-8】《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．在塹堵中，，M是的中點，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點H，則___________，___________．
【例3-9】（多選題）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（ ）
A． B．
C．的長為 D．
【例3-10】已知點為正四面體的外接球上的任意一點，正四面體的棱長為2，則的取值范圍為___________．
【例3-11】如圖，在棱長為2的正方體中，點是側面內的一個動點．若點滿足，則的最大值為__________，最小值為__________．
【例3-12】已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為和，是上底面的邊界上一點．若的最小值為，則該正四棱臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
題型四、證明直線和直線平行
【例4-1】已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．
【例4-2】在四棱連中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，，若M是棱PA的中點，則對于棱BC上是否存在一點F，使得MF與PC平行．
題型五、證明直線和平面平行
【例5-1】如圖，且，，且，且，平面ABCD，.若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：平面CDE；
【例5-2】如圖所示，在四棱錐中，平面，平面，，，又，，為中點.
證明：平面；
題型六、證明平面與平面平行
【例6-1】如圖，正方體中，、分別為、的中點．
用向量法證明平面平面；
【例6-2】如圖，在八面體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面平面，二面角與二面角的大小都是，，．
證明：平面平面；
題型七、證明直線與直線垂直
【例7-1】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC1，BC的中點，點P在直線A1B1上．
證明：PN⊥AM；
【例7-2】如圖，在棱長為a的正方體中，M為的中點，E為與的交點，F為與的交點．
（1）求證：，．
（2）求證：是異面直線與的公垂線段．
【例7-3】已知四棱錐中，底面為正方形，平面，，，、分別為、的中點.求證：；
【例7-4】如圖，四棱錐中，為矩形，，且．為上一點，且．
（1）求證：平面；
（2）分別在線段上的點，是否存在，使且，若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．
【例7-5】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD且，，，，點M為棱PC的中點．
證明：；
題型八、證明直線與平面垂直
【例8-1】如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E為棱上的點，且．
求證：平面；
【例8-2】如圖，在正方體中，，分別為，的中點．
求證：平面；
題型九、證明平面和平面垂直
【例9-1】如圖，在四棱錐中，平面PAB，平面PAB，．．
求證：平面平面ABCD；
【例9-2】如圖在邊長是2的正方體中，，分別為，的中點．
證明：平面平面；
【例9-3】在三棱臺ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O為AC的中點，P是C1C的中點．
證明：平面A1BC⊥平面POB；
題型十、求兩異面直線所成角
【例10-1】如圖，圓柱的軸截面為矩形，點，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【例10-2】如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱的長度為2，且．
（1）求的長；
（2）直線與所成角的余弦值．
【例10-3】已知正四面體ABCD，M為BC中點，N為AD中點，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【例10-4】如圖，在三棱錐中，平面，是邊長為的正三角形，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
【例10-5】如圖，在幾何體中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．
（1）證明：平面；
（2）若，設為棱上的點，且滿足，求當幾何體的體積取最大值時，與所成角的余弦值．
【例10-6】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面平面，，，，分別為，的中點，且.
（1）證明：；
（2）若四棱錐的體積為1，求異面直線與所成角的余弦值.
題型十一、求直線與平面所成角
【例11-1】如圖為一個四棱錐與三棱錐的組合體，C，D，E三點共線，已知三棱錐P－ADE四個面都為直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，則直線PC與平面PAE所成角的正弦值等于（ ）
A． B．
C． D．
【例11-2】已知正四面體，，點為線段的中點，則直線與平面所成角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【例11-3】如圖，在正方體中，為線段上的動點，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例11-4】已知四棱柱的底面是正方形，，，點在底面的射影為中點，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【例11-5】如圖，四面體中，，E為的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）設，點F在上，當的面積最小時，求與平面所成的角的正弦值．
【例11-6】如圖，在四棱錐中，底面，，點在棱上，，點在棱上，．
（1）若，為的中點，求證：，，，四點共面；
（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．
題型十二、求平面與平面所成角
【例12-1】如圖所示圓錐的正視圖是邊長為2的正三角形，AB為底面直徑，C為的中點，則平面SAC與底面ABC所成的銳二面角的正切值為（ ）．
A． B． C． D．
【例12-2】如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．
（1）證明：平面；
（2）若，當三棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值．
【例12-3】如圖，在多面體中，平面平面，平面，和均為正三角形，，.
（1）在線段上是否存在點F，使得平面 說明理由；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的正切值.
【例12-4】在四棱錐中,底面ABCD是等腰梯形,,,平面平面PCD,．
（1）求證:為直角三角形;
（2）若,求二面角的大小．
【例12-5】如圖，在圓臺中，分別為上、下底面直徑，且，， 為異于的一條母線．
（1）若為的中點，證明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
【例12-6】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，M為線段PC的中點，，N為線段BC上的動點．
（1）證明：平面平面
（2）當點N在線段BC的何位置時，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°？指出點N的位置，并說明理由．
【例12-7】如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，，．是中點，是上一點．
（1）是否存在點使得平面，若存在求的長．若不存在，請說明理由；
（2）二面角的余弦值為，求的值．
【例12-8】如圖，四棱錐中，平面，梯形滿足，，且，，為中點，，．
（1）求證：，，，四點共面；
（2）求二面角的正弦值．
【例12-9】如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，且底面ABCD，，點E是線段BC（包括端點）上的動點．
（1）探究點E位于何處時，平面平面PED；
（2）設二面角的平面角的大小為，直線AD與平面PED所成角為，求證：
題型十三、空間中的距離問題
（一）求點到點的距離
【例13-1】如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______．
（二）求點到直線的距離
【例13-2】在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點，是側面上的動點.且平面，則點的軌跡長為__________.點到直線的距離的最小值為__________.
【例13-3】某市在濱海文化中心有濱海科技館，其建筑有鮮明的后工業風格，如圖所示，截取其中一部分抽象出長方體和圓臺組合，如圖所示，長方體中，，圓臺下底圓心為的中點，直徑為2，圓與直線交于，圓臺上底的圓心在上，直徑為1．
（1）求與平面所成角的正弦值；
（2）圓臺上底圓周上是否存在一點使得，若存在，求點到直線的距離，若不存在則說明理由．
（三）求點到平面的距離
【例13-4】已知正三棱錐的底面邊長為3，側棱長為，點P為此三棱錐各頂點所在球面上的一點，則點P到平面SAB的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例13-5】在正方體中，E為的中點，過的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，F為棱上的動點．
（1）點H在棱BC上，當時，平面，試確定動點F在棱上的位置，并說明理由；
（2）若，求點D到平面AEF的最大距離．
【例13-6】如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為2的正方形，為中點，且．
（1）求證：平面；
（2）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離．
（四）求直線到直線的距離
【例13-7】如圖，在直三棱柱ABC—中， AB = 1，；點D、E分別在上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為3：5．求異面直線DE與的距離.
【例13-8】已知直三棱柱中，側面為正方形.，E，F分別為AC和的中點，.
（1）求四棱錐的體積；
（2）是否存在點D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1 若存在，求出此時線段DE的長；若不存在，請說明理由.
【例13-9】定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是（ ）
A． B． C． D．
（五）求直線到平面距離
【例13-10】如圖，直三棱柱中，，，，點是的中點，點是線段上一動點，點在平面上移動，則，兩點之間距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【例13-11】在四棱臺中，底面是正方形，且側棱底面分別是的中點.
（1）求證：平面平面；
（2）求直線到平面的距離.
（六）求平面到平面距離
【例13-12】已知正方體的棱長為a，則平面與平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【例13-13】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點．求：
（1）直線與平面的距離；
（2）平面與平面的距離．
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專題二十八 空間向量及其應用
知識歸納
一、空間向量及其加減運算
（1）空間向量
在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或．
（2）零向量與單位向量
規定長度為0的向量叫做零向量，記作．當有向線段的起點與終點重合時，．
模為1的向量稱為單位向量．
（3）相等向量與相反向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內的兩個向量．
與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．
（4）空間向量的加法和減法運算
①，．如圖所示．
②空間向量的加法運算滿足交換律及結合律
，
二、空間向量的數乘運算
（1）數乘運算
實數與空間向量的乘積稱為向量的數乘運算．當時，與向量方向相同；當時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．
（2）空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律
，．
（3）共線向量與平行向量
如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．
（4）共線向量定理
對空間中任意兩個向量，，的充要條件是存在實數，使．
（5）直線的方向向量
如圖8-153所示，為經過已知點且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點，點在直線上的充要條件是存在實數，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②
①和②都稱為空間直線的向量表達式，當，即點是線段的中點時，，此式叫做線段的中點公式．
（6）共面向量
如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（7）共面向量定理
如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使．
推論：①空間一點位于平面內的充要條件是存在有序實數對，使；或對空間任意一點，有，該式稱為空間平面的向量表達式．
②已知空間任意一點和不共線的三點，，，滿足向量關系式（其中）的點與點，，共面；反之也成立．
三、空間向量的數量積運算
（1）兩向量夾角
已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規定，如果，那么向量，互相垂直，記作．
（2）數量積定義
已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積，記作，即．零向量與任何向量的數量積為0，特別地，．
（3）空間向量的數量積滿足的運算律：
，（交換律）； （分配律）．
四、空間向量的坐標運算及應用
（1）設，，則；；
；；
； ．
（2）設，，則．
這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標．
（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式．
①已知，，則；；
；；
②已知，，則，
或者．其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式．
（4）向量在向量上的投影為．
五、法向量的求解與簡單應用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
幾點注意：
①法向量一定是非零向量；②一個平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內，則有．
第一步：寫出平面內兩個不平行的向；
第二步：那么平面法向量，滿足．
（2）判定直線、平面間的位置關系
①直線與直線的位置關系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．
若∥，即，則； 若，即，則．
②直線與平面的位置關系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．
若∥，即，則； 若，即，則．
（3）平面與平面的位置關系
平面的法向量為，平面的法向量為．
若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．
六、空間角公式．
（1）異面直線所成角公式：設，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．
（2）線面角公式：設為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為
與所成角的大小，則．
（3）二面角公式：
設，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據具體情況判斷相等或互補），其中．
七、空間中的距離
求解空間中的距離
（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質直接計算．
如圖，設兩條異面直線的公垂線的方向向量為，
這時分別在上任取兩點，則向量在上的正射影長
就是兩條異面直線的距離．則
即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點
的向量和公垂線方向向量的數量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．
（2）點到平面的距離
為平面外一點（如圖），為平面的法向量，
過作平面的斜線及垂線．
，
典例分析
題型一、空間向量的加法、減法、數乘運算
【例1-1】在下列命題中：
①若向量共線，則所在的直線平行；
②若向量所在的直線是異面直線，則向量一定不共面；
③若三個向量兩兩共面，則三個向量一定也共面；
④已知三個向量，則空間任意一個向量總可以表示為．
其中正確命題的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】對于①，若共線，可能在同一條直線上，①錯誤；
對于②，向量可以自由平移，所在的直線是異面直線，但可平移到共面狀態，②錯誤；
對于③，三個向量兩兩共面，若，，交于一點，則垂直于所在平面，此時不共面，③錯誤；
對于④，只有當不共面時，空間任意一個向量才可以表示為，④錯誤．
【例1-2】在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由底面是正方形，E為的中點，且，
根據向量的運算法則，可得
．
【例1-3】如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得
．
【例1-4】如圖，在正方體中，，，，O為底面ABCD的中心，G為的重心，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在正方體中，，，，
O為底面ABCD的中心，G為的重心，連接OG，
則
．
【例1-5】已知是空間向量的一個基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵在基底下的坐標為 ∴
設在基底下的坐標為則
對照系數，可得： 解得：
∴在基底下的坐標為
題型二、共線與共面問題
【例2-1】已知，，且 不共面，若，則___________．
【答案】
【解析】根據，且 不共面可得，存在使得，根據向量相等可列出方程解出．
且，，即，
又 不共面，，則，，．
【例2-2】已知，，，．若，則實數k的值為______．
【答案】
【解析】因為，，所以，
因為，所以，解得
【例2-3】如果三點共線，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，又三點共線，所以，所以，所以，解得，所以
故選：B
【例2-4】（多選題）下列命題中正確的是（ ）
A．是，共線的充分條件
B．若，則
C．，，三點不共線，對空間任意一點，若，則，，，四點共面
D．若，，，為空間四點，且有（，不共線），則是，，三點共線的充分不必要條件
【答案】AC
【解析】由，可得向量，的方向相同，此時向量，共線，所以A正確；
若，則或A，B，，四點共線，所以B不正確；
由A，，三點不共線，對空間任意一點，若，
則，即有，，，四點共面，故C正確；
若，，，為空間四點，且有（，不共線），當時，即
可得，即，所以，，三點共線，反之也成立，
即是A，，三點共線的充要條件，所以D不正確.
【例2-5】（多選題）若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】選項A，因為，所以共面；
選項B，因為，所以共面；
選項C，在構成的平面內，不在這個平面內，不符合．
選項D，因為共線，所以共面．
【例2-6】以下四組向量在同一平面的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】B
【解析】對于A選項，設，所以，，無解；
對于B選項，因為，故B選項中的三個向量共面；
對于C選項，設，所以，，無解；
對于D選項，設，所以，，矛盾．
【例2-7】，若三向量共面，則實數（ ）
A．3 B．2 C．15 D．5
【答案】D
【解析】∵，∴與不共線，
又∵三向量共面，則存在實數m，n使即，解得．
【例2-8】已知P和不共線三點A，B，C，四點共面且對于空間任意一點O，都有，則λ＝________．
【答案】－2
【解析】由四點共面的充分必要條件可得：，解得：．
故答案為．
【例2-9】（多選題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點，為線段上的動點（不含端點），則下列說法正確的是（ ）
A．對任意點，則有、、、四點共面
B．存在點，使得、、、四點共面
C．對任意點，則有平面
D．存在點，使得平面
【答案】BD
【解析】因為底面，四邊形為正方形，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
設，則、、、、
、、，
設，其中，
則，
，，設，
則，解得，故存在點，使得、、、四點共面，B對；
，，，
設，所以，，解得，不合乎題意，A錯；
，，
若平面，平面，則，解得，C錯；
設平面的法向量為，，，
則，取，則，
，
若平面，則，解得，
故當點與點重合時，平面，D對．
【例2-10】如圖，在平行六面體中，，．
（1）求證：、、三點共線；
（2）若點是平行四邊形的中心，求證：、、三點共線．
【解析】（1）由題意，，，
故，
，
故，由于有公共點A，故A、、三點共線；
（2）由題意，點是平行四邊形的中心，
故，
故，因為有公共點D，故、、三點共線．
【例2-11】已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：
（1）、、、四點共面，、、、四點共面；
（2）．
【解析】（1）因為，所以，、、為共面向量，
因為、、有公共點，故、、、四點共面，
因為，則、、為共面向量，
因為、、有公共點，故、、、四點共面；
（2），，，
，
，因為、無公共點，故．
【例2-12】如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC，△BCD，△CDE均為邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．
求證：A，B，D，E四點共面；
【解析】取的中點，連接，取的中點，連接，
因為平面平面，且平面平面，
而為等邊三角形，所以，因此平面，
因為平面平面，且平面平面，
又因為為等邊三角形，所以，因此平面，
又因為平面，因此，
又因為為等邊三角形，所以，
因此兩兩垂直，
從而以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，
所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
又因為均為邊長為2的等邊三角形，所以，，，
設，則，，，
由于，所以，解得，
因此，所以，，，
所以，由空間向量基本定理可知：四點共面；
【例2-13】如圖，四邊形為正方形，若平面平面，，，．
判斷點D與平面CEF的位置關系，并說明理由．
【解析】點在平面外，證明如下，連接ED，
因為，，，
設，則，即，
顯然此方程組無解，所以四點，，，不共面，即點在平面外．
【例2-14】在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AC＝2AB＝2AD＝4，CD⊥AD，CB⊥AB，G為PC的中點，過AG的平面與棱PB、PD分別交于點E、F．若EF∥平面ABCD，則截面AEGF的面積為______．
【答案】
【解析】∵AC＝2AB＝2AD，CD⊥AD，CB⊥AB，∴∠DAC=∠BAC=60°，
則根據向量加法法則易知，，
即，則．
根據共面向量定理的推論知，，其中x＋y＋z＝1．連接BD，
∵EF∥平面ABCD，EF平面PBD，平面PBD∩平面ABCD=BD，∴EF∥BD，
設，則，又G為PC的中點，
∴，
則，，解得，
AB=2，BD=2×ABsin60°=，則．
連接AG，∵PA＝AC＝4，G為PC的中點，故．
易知BD⊥AC，BD⊥PA，，故BD⊥平面PAC，
又平面PAC，∴BD⊥AG，∴AG⊥EF，
因此．
解法二：連接BD，設AC與BD交于點K，連接AG、PK，
設AG與PK交于點L，
由題易得BD∥EF，則，
作KN∥AG交PC于N，易知CK＝3AK，
則CN＝3GN，從而PG＝4GN，
故，即．以下解法同上．
題型三、空間向量的數量積運算
【例3-1】已知向量，，，若，則實數（ ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
【答案】B
【解析】，因為，所以，
所以，所以2．
【例3-2】已知，，且，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設向量與的夾角為，因為，，且，所以，得，
所以，所以，因為，所以，
【例3-3】已知空間向量，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，空間向量，，，
可得，則．
【例3-4】（多選題）設，為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】對于A：，故A正確；
對于B：因為向量不能做除法，即無意義，故B錯誤；
對于C：，故C錯誤；
對于D：，故D正確；
【例3-5】（多選題）定義空間兩個非零向量的一種運算：，則關于空間向量上述運算的以下結論中恒成立的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．
【答案】BD
【解析】對于A，若為負數，可知，故A錯誤，
對于B，由定義知B正確，
對于C，若，則，共線，故C錯誤，
對于D，由定義知，故D正確．
【例3-6】在三棱錐中，已知，，，則___________
【答案】
【解析】設，顯然，
則，即，
而，即，
于是得，，
，
則有，所以．
【例3-7】在三棱錐中，，，，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】因為三棱錐中，，，，
所以，
【例3-8】《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．在塹堵中，，M是的中點，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點H，則___________，___________．
【答案】6 -42
【解析】如圖，延長MG，交的延長線于K，連接KN，
顯然平面，平面，
因此，平面MNG與AB的交點H，即為KN與AB交點，
在塹堵中，，
則，即，又，則，而，
于是得，所以，
因，，所以．
【例3-9】（多選題）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（ ）
A． B．
C．的長為 D．
【答案】BD
【解析】根據題意，依次分析選項：
對于A選項，，A錯誤，
對于B選項，，B正確：
對于C選項，，則，
則，C錯誤：
對于，則，D正確．
【例3-10】已知點為正四面體的外接球上的任意一點，正四面體的棱長為2，則的取值范圍為___________．
【答案】
【解析】如圖，將正四面體放在正方體內，并建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵正四面體的棱長為2，則正方體的棱長為，
正四面體ABCD的外接球即為圖中正方體的外接球，其半徑為R，
則，
則，，
設，則，則，
∵，，
∴．
【例3-11】如圖，在棱長為2的正方體中，點是側面內的一個動點．若點滿足，則的最大值為__________，最小值為__________．
【答案】
【解析】如圖建立空間直角坐標系，則，，，
設，，所以，，
因為，所以，即，，，
則動點的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，
將其放到平面直角坐標系中如下圖所示：
則，，，所以，所以；
顯然當點在時（即立體圖形中的點）取得最大值，
因此的最大值為，最小值為；
故答案為：；
【例3-12】已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為和，是上底面的邊界上一點．若的最小值為，則該正四棱臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示
，，由對稱性，點在是相同的，
故只考慮在上時，設正四棱臺的高為，則
，，設，，，
因為在上，所以，則，
，
，
所以
由二次函數的性質知，當時，取得最小值為，
又因為的最小值為，所以，解得（負舍），
故正四棱臺的體積為：．
題型四、證明直線和直線平行
【例4-1】已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．
【解析】以點D為原點，分別以、與的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系．
則、、、、
、、、，
由題意知、、、，
∴，．
∴，又，不共線，∴．
【例4-2】在四棱連中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．
若M是棱PA的中點，則對于棱BC上是否存在一點F，使得MF與PC平行．
【解析】（1）在平面內過點作，交于點，
因為平面平面，且平面平面，
可得平面，
又由，所以兩兩垂直，
以為原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，由，，，
可得，
假設上存在點，使得，
設，其中，
因為是棱的中點，可得，
又由，
所以，
設，可得，此方程組無解，所以假設不成立，
所以對于上任意一點，與都不平行，
即在線段上不存在點，使得與平行．
題型五、證明直線和平面平行
【例5-1】如圖，且，，且，且，平面ABCD，.若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：平面CDE；
【解析】因為，，平面ABCD，
而AD 平面ABCD，所以，，
因此以D為坐標原點，分別以 的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系.
因為且，且，，
所以，，，，，，，，.
設為平面CDE的法向量，，，
則，不妨令，可得；
又，所以.
又∵直線平面CDE，∴平面CDE；
【例5-2】如圖所示，在四棱錐中，平面，平面，，，又，，為中點.
證明：平面；
【解析】過點作的垂線交于，以為原點，
以，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.
如圖所示，因為，所以,又，
所以點到軸的距離為，到軸的距離為，則有
,
所以
設平面的法向量為，則
，即，令，則，
所以，
所以，即，
又平面，
所以平面.
題型六、證明平面與平面平行
【例6-1】如圖，正方體中，、分別為、的中點．
用向量法證明平面平面；
【解析】如圖建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為，
則，，，，，，
故，，，，
設平面的法向量，
則，即，令，則，
設平面的法向量，
則，即，令，則，所以，即，
故平面平面；
【例6-2】如圖，在八面體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面平面，二面角與二面角的大小都是，，．
(1)證明：平面平面；
【詳解】（1）因為為正方形，所以，又，，平面，
所以平面，所以為二面角的平面角，即，
又平面平面，，
所以平面，即為二面角的平面角，即，
如圖建立空間直角坐標系，則，，，，
所以，，即，所以，
因為平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
因為，平面，
所以平面平面.
題型七、證明直線與直線垂直
【例7-1】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC1，BC的中點，點P在直線A1B1上．
證明：PN⊥AM；
【解析】由題意兩兩垂直．
所以以分別作為軸正方向建立空間直角坐標系，如圖，則．
∵M是的中點，N是的中點，∴，
設，∴，則，
則，所以．
【例7-2】如圖，在棱長為a的正方體中，M為的中點，E為與的交點，F為與的交點．
（1）求證：，．
（2）求證：是異面直線與的公垂線段．
【解析】（1）以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系．
則，，，，，，，
EMBED Equation.DSMT4 ，，，．
所以，，．
因為，所以，即；
因為，所以，即；
（2）因為，，．
所以，所以，即；
，所以，即．
又，
所以是異面直線與的公垂線段．
【例7-3】已知四棱錐中，底面為正方形，平面，，，、分別為、的中點.求證：；
【解析】連接FC，∵面，面，∴
又，面，，
∴平面
即平面，∴
∴以為坐標原點，
以、、方向分別為，，軸正向建立空間直角坐標系，
則，，，
∴，，
∴，∴.
【例7-4】如圖，四棱錐中，為矩形，，且．為上一點，且．
（1）求證：平面；
（2）分別在線段上的點，是否存在，使且，若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．
【解析】（1），且平面
又平面，
矩形中，
又，則與相似，則
．；
又，平面；
（2），且平面．又，
則可以D為原點分別以DA、DC、DS為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題意可知
，
假設存在滿足且．
在線段上，可設
的坐標
在線段上，可設
則．
要使且，則，
又，
可得，解得．
故存在使且，
其中是線段靠近的四等分點，是線段靠近的四等分點．
【例7-5】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD且，，，，點M為棱PC的中點．
證明：；
【解析】解法一：因為，所以．
如圖，以A為原點，分別以，為x軸，y軸的正方向，
過點A作∥，則⊥平面，
以為軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，4，0），P（0，4，2），
因為點M為棱PC的中點，所以M（1，3，）．
于是，
所以．
所以，即．
題型八、證明直線與平面垂直
【例8-1】如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E為棱上的點，且．
求證：平面；
【解析】因為平面，平面，
所以，而，
因此可以建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則有，
，，，
因為，
所以，而平面，所以平面；
【例8-2】如圖，在正方體中，，分別為，的中點．
求證：平面；
【解析】如圖示：以D為原點，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
不妨設正方體的邊長為2，則，，，，
，，，，，．
所以，，，，．
因為，所以．
同理可證：．
又，平面，平面，
所以平面．
題型九、證明平面和平面垂直
【例9-1】如圖，在四棱錐中，平面PAB，平面PAB，．．
求證：平面平面ABCD；
【解析】取的中點，取的中點，連接，因為，所以，
又因為，且平面，所以平面，
所以兩兩垂直，故以為原點，
以所在直線為軸，所在直線為軸，
所在直線為軸建立空間直角坐標系，
因為．，
所以，，，
所以
，
設平面的一個法向量為，
，
，即，取，則；
設平面的一個法向量為，
，
，即，取，則；
因為，故平面平面；
【例9-2】如圖在邊長是2的正方體中，，分別為，的中點．
證明：平面平面；
【解析】據題意，建立如圖空間直角坐標系．
于是：，，，，，
∴，，，
因為，
∴，即，
又，
∴，即，
又∵，平面且，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面．
【例9-3】在三棱臺ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O為AC的中點，P是C1C的中點．
證明：平面A1BC⊥平面POB；
【解析】證明：連接A1O設A1B1=1，則AB=BC=C1C=2，
AC=，A1C1=
因為C1C⊥平面ABC，O為AC的中點，所以A1O⊥平面ABC，
因為AB=BC，所以BO⊥AC．
以O為坐標原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系O－，
則A（0，－，0），B（，0，0），C（0，，0），
（0，0，2），（，，2），（0，，2），P（0，，1）．
因為，
所以，所以A1C⊥OB，A1C⊥OP．
因為，所以A1C⊥平面POB．
因為平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面POB．
題型十、求兩異面直線所成角
【例10-1】如圖，圓柱的軸截面為矩形，點，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖（1），在上取點，使，連接，，，，．
易知四邊形為矩形，則，且．
連接，．因為，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，且．
連接，則，且，
所以四邊形為平行四邊形，則，
所以或其補角是異面直線與所成的角．
在中，，，所以．
在中，，，所以．又，
所以．故選：D．
【例10-2】如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱的長度為2，且．
（1）求的長；
（2）直線與所成角的余弦值．
【解析】（1）由題意，，，
．
（2），，，
所以，
所以直線與所成角的余弦值為．
【例10-3】已知正四面體ABCD，M為BC中點，N為AD中點，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設該正面體的棱長為，因為M為BC中點，N為AD中點，所以，
因為M為BC中點，N為AD中點，所以有，
，
根據異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，
【例10-4】如圖，在三棱錐中，平面，是邊長為的正三角形，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】以A為坐標原點，AC，AM所在直線分別為
y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，
易知，，，
所以，，
則，
∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為．
【例10-5】如圖，在幾何體中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．
（1）證明：平面；
（2）若，設為棱上的點，且滿足，求當幾何體的體積取最大值時，與所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）證明：過點作交與點，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
又，且，平面，
平面；
（2）過點作交于點，連接，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又因為平面，所以．
平面，到平面的距離相等，
且，四邊形是平行四邊形，,
，又平面，平面，平面，
.
由得.
由，得，
，
又，令，
則，，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
即，當且僅當時取得最大值．
如圖所示，以點為原點建立空間直角坐標系，
則，
所以．
設與所成角為，則，
即當幾何體體積最大時，與所成角的余弦值為．
【例10-6】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面平面，，，，分別為，的中點，且.
（1）證明：；
（2）若四棱錐的體積為1，求異面直線與所成角的余弦值.
【解析】（1）如圖，連接，因為，為中點，
所以，由平面，平面平面，
平面平面，
故平面；因為平面，所以；
因為，，且，平面
所以平面；
而平面，所以.
（2）由（1），且為平行四邊形，所以，
因為，所以
由于四棱錐的體積為，
故，解得；
如圖，以為坐標原點，
，方向為，軸正方向建立空間直角坐標系，
則，，，
因為為的中點，且，所以，
所以，
設異面直線與所成角為，，
則，
所以異面直線與所成角的余弦值為
題型十一、求直線與平面所成角
【例11-1】如圖為一個四棱錐與三棱錐的組合體，C，D，E三點共線，已知三棱錐P－ADE四個面都為直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，則直線PC與平面PAE所成角的正弦值等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如圖建立空間直角坐標系，，，，
則有：，，
設平面PAE的法向量，則有，
令，則，即
∴，
即直線PC與平面PAE所成角的正弦值為．
【例11-2】已知正四面體，，點為線段的中點，則直線與平面所成角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，過點向底面作垂線，垂足為，連接，
過點作于G，連接，
由題意可知：且，
因為平面，所以平面，
則即為直線與平面所成角的平面角，
設正四面體的棱長為2，則，，
所以，則，
在中，由余弦定理可得：，
在中，，
所以，
所以直線與平面所成角的正切值是.
【例11-3】如圖，在正方體中，為線段上的動點，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】連接，
因為平面，所以直線與平面所成角為，
其正弦值為，
，
當時，，
所以，則，
所以直線與平面所成角正弦值的取值范圍是.
【例11-4】已知四棱柱的底面是正方形，，，點在底面的射影為中點，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為點在底面的射影為中點，則平面，
又因為四邊形為正方形，以點為坐標原點，
EMBED Equation.DSMT4 、、的方向分別為、、軸的
正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，
因為平面，平面，則，
因為，，則，
則、、、，
所以，，
易知平面的一個法向量為，
，
因此，直線與平面所成角的正弦值為.
【例11-5】如圖，四面體中，，E為的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）設，點F在上，當的面積最小時，求與平面所成的角的正弦值．
【解析】（1）因為，E為的中點，所以；
在和中，因為，
所以，所以，又因為E為的中點，所以；
又因為平面，，所以平面，
因為平面，所以平面平面．
（2）連接，由（1）知，平面，因為平面，
所以，所以，
當時，最小，即的面積最小．
因為，所以，
又因為，所以是等邊三角形，
因為E為的中點，所以，，
因為，所以，
在中，，所以．
以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，所以，
設平面的一個法向量為，
則，取，則，
又因為，所以，
所以，
設與平面所成的角的正弦值為，
所以，
所以與平面所成的角的正弦值為．
【例11-6】如圖，在四棱錐中，底面，，點在棱上，，點在棱上，．
（1）若，為的中點，求證：，，，四點共面；
（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．
【解析】（1）以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，，
則，，，
設，則，解得，
則，即，，，四點共面．
（2）由（1）中的空間直角坐標系，
可得，，，
設，（其中），且，
則，解得，
可得
設平面的法向量為，由，
取，可得，所以
設直線與平面所成角為，則，當且僅當時等號成立．
直線與平面所成角的正弦的最大值為．
題型十二、求平面與平面所成角
【例12-1】如圖所示圓錐的正視圖是邊長為2的正三角形，AB為底面直徑，C為的中點，則平面SAC與底面ABC所成的銳二面角的正切值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取AB的中點O，連接OC，AB為底面直徑，C為的中點，
所以三角形ABC是等腰直角三角形；
易知OA⊥OC．過O作OH垂直AC于H，連接SH，OS．
因為SO⊥底面，所以SO⊥AC. 且,
所以AC⊥平面SAC；所以AC⊥SH;
所以∠SHO為平面SAC與底面ABC所成的銳二面角的平面角，
可求得，;
所以.
【例12-2】如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．
（1）證明：平面；
（2）若，當三棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值．
【解析】（1）證明：如圖，連接，由題意知為的直徑，所以．
因為是圓柱的母線，
所以且，所以四邊形是平行四邊形．
所以，所以．因為是圓柱的母線，所以平面，
又因為平面，所以．又因為，
平面，所以平面．
（2）由（1）知是三棱錐底面上的高，
由（1）知，所以，
即底面三角形是直角三角形．
設，則在中有：，
所以，
當且僅當時等號成立，
即點E，F分別是，的中點時，三棱錐的體積最大，
（另等積轉化法：
易得當F與距離最遠時取到最大值，此時E、F分別為、中點）
下面求二面角的正弦值：
法一：由（1）得平面，因為平面，所以．
又因為，所以平面．
因為平面，所以，所以是二面角的平面角，
由（1）知為直角三角形，則．
故，所以二面角的正弦值為．
法二：由（1）知兩兩相互垂直，
如圖，以點E為原點，所在直線
為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則．
由（1）知平面，故平面的法向量可取為．
設平面的法向量為，
由，
得，即，即，取，得．
設二面角的平面角為，
，所以二面角的正弦值為
【例12-3】如圖，在多面體中，平面平面，平面，和均為正三角形，，.
（1）在線段上是否存在點F，使得平面 說明理由；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的正切值.
【解析】（1）記中點為M，連結，為正三角形，,則，且.
因為平面平面，平面平面，平面ACD,
所以平面，
又因為平面，所以.
延長交于點G，則為平面與平面的交線，
因為，故，所以B為的中點，
取中點F，連結，則，
因為平面 ，平面，所以平面.
即線段上存在點F，當時，平面.
（2）連結，則為平面與平面的交線，
在平面內，過點B作的垂線，垂足為H.
連結，因為平面，平面，故,
平面，故平面，
平面，故,
則為平面與平面所成的二面角的平面角.
為正三角形，，故，則,
且,
故在中，，
故，而，
故,又因為，所以，
即平面與平面所成的銳二面角的正切值為.
【例12-4】在四棱錐中,底面ABCD是等腰梯形,,,平面平面PCD,．
（1）求證:為直角三角形;
（2）若,求二面角的大小．
【解析】（1）證明:在等腰梯形ABCD,,,
過點做,E為垂足,連接,如圖所示:
所以,即，
在中,由余弦定理可得：，
解得:,所以,
因為,平面平面PCD,
平面平面,
所以平面ADP,所以,
因為,平面ACP,平面ACP,
所以平面ACP,所以,即,故為直角三角形;
（2）由（1）知,平面ADP,所以,
在直角三角形中,,,所以,
在直角三角形中,,,所以,
過A作于F,則平面PCD,
因為,所以為直角三角形,
根據等面積法:,所以,
以P為原點PC,PD分別為x,y軸,過點P做的平行線為軸,建立如圖坐標系,
則
,,
在平面PAB中,設其法向量為,
,,
則，取,則,
在平面ACP中,設其法向量為,,,
則有,取,則,
令,則,
由圖可知二面角為銳角，故其大小為.
【例12-5】如圖，在圓臺中，分別為上、下底面直徑，且，， 為異于的一條母線．
（1）若為的中點，證明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）如圖，連接．
因為在圓臺中，上、下底面直徑分別為，且，
所以為圓臺母線且交于一點P，所以四點共面.
在圓臺中，平面平面，
由平面平面，平面平面，得.
又，所以，
所以，即為中點．
在中，又M為的中點，所以．
因為平面，平面，
所以平面；
（2）以為坐標原點，分別為軸，過O且垂直于平面的直線為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系．
因為，所以．
則．
因為，所以．
所以，所以．
設平面的法向量為，
所以，所以，
令，則，所以，
又，
設平面的法向量為，
所以，所以，
令，則，所以，
所以．
設二面角的大小為，則，
所以．
所以二面角的正弦值為.
【例12-6】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，M為線段PC的中點，，N為線段BC上的動點．
（1）證明：平面平面
（2）當點N在線段BC的何位置時，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°？指出點N的位置，并說明理由．
【解析】（1）證明：因為底面ABCD，底面ABCD，所以，
因為，，所以平面，
因為平面，所以，
因為四邊形為正方形，，所以，
因為在中，，M為線段PC的中點，所以，
因為，所以平面，
因為平面，所以平面平面，
（2）當點N在線段BC的中點時，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°，理由如下：
因為底面，平面，所以，
因為，所以兩兩垂直，
所以以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
設，則，
設，則，
設為平面的法向量，
則，令，則，
設為平面的法向量，
則，令，則，
因為平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°，
所以，
化簡得，得，
所以當點N在線段BC的中點時，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°
【例12-7】如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，，．是中點，是上一點．
（1）是否存在點使得平面，若存在求的長．若不存在，請說明理由；
（2）二面角的余弦值為，求的值．
【解析】（1）存在．理由如下：
方法一：如圖，在上取點，且滿足，
再過作的平行線交于點，
則，且，
又，且是的中點，，
，是平行四邊形，
，不在面內，平面，
平面且，
在中，，．
方法二：，，，
連接并延長至于交于點，
，在中，，
在中，在上取點，使得，
而，則，
又不在面內，平面，平面，
在中，，．
方法三：在上取點，在上取點，
使得，則，平面，
故平面，而
而，故是平行四邊形，
故平面，
故平面，而，
故平面平面，而平面，
得平面平面，
在中，，．
（2）如圖建立空間直角坐標系,以A為坐標原點,AB為x軸,AD為y軸,過點A作面ABCD的垂線為z軸，
則，，，
設是平面的一個法向量，
則，
取，則，故是平面的一個法向量，
設，，
，
設是平面的一個法向量，
則，
取，則是平面的一個法向量，
則，解得或（舍去）．
所以．
【例12-8】如圖，四棱錐中，平面，梯形滿足，，且，，為中點，，．
（1）求證：，，，四點共面；
（2）求二面角的正弦值．
【解析】（1）證明：以點為坐標原點，向量 方向分別為 軸的正方向建立坐標系，
則，，，，，，
所以，因為，設，則，
所以，解得，
所以，同理可得，
∴，，，
令，則，
∴，∴，∴，∴ 四點共面．
（2）由（1）可知，，，∴，．
設平面的一個法向量為，則，即，則，令，則．
取平面的一個法向量為，
則，所以，
∴二面角的正弦值為．
【例12-9】如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，且底面ABCD，，點E是線段BC（包括端點）上的動點．
（1）探究點E位于何處時，平面平面PED；
（2）設二面角的平面角的大小為，直線AD與平面PED所成角為，求證：
【解析】（1）過點A作直線，交直線BC于點M，則，
，
以點A為原點，直線AM AD AP分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系，
則，
設點，，
設平面PEA的一個法向量為，
則，取，得，
設平面PED的一個法向量為，
則，取，得，
若平面平面PED，則，，
解得：或．
故點E是BC中點或與點C重合時，平面平面PED．
（2）平面ADE的一個法向量為，
，
，均為銳角，．
題型十三、空間中的距離問題
（一）求點到點的距離
【例13-1】如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______．
【答案】
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則有：
，，，，，可得：
設，且則有：，
可得：
則有：
故
則當且僅當時，
（二）求點到直線的距離
【例13-2】在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點，是側面上的動點.且平面，則點的軌跡長為__________.點到直線的距離的最小值為__________.
【答案】；
【解析】在正方體中，連接，
如圖，對角面為矩形，
因為點分別是棱的中點，
則，而，
即平面截正方體所得截面為梯形，
顯然過點與平面平行的平面交平面、平面
分別于，因此，連，
平面、平面與平面分別交于，，
因此，而，即四邊形為平行四邊形，
于是，即點M為的中點，
同理為中點，，因為動點始終滿足平面，
于是平面，又在側面上，
所以點的軌跡是線段，軌跡長為；
以點D為原點建立空間直角坐標系，則，
則，令，
則有，，
于是點到直線的距離
，
當且僅當時取等號，所以點到直線的距離的最小值為.
【例13-3】某市在濱海文化中心有濱海科技館，其建筑有鮮明的后工業風格，如圖所示，截取其中一部分抽象出長方體和圓臺組合，如圖所示，長方體中，，圓臺下底圓心為的中點，直徑為2，圓與直線交于，圓臺上底的圓心在上，直徑為1．
（1）求與平面所成角的正弦值；
（2）圓臺上底圓周上是否存在一點使得，若存在，求點到直線的距離，若不存在則說明理由．
【解析】（1）（1）由長方體可知，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，
則，，，．
所以．
設平面的一個法向量為，
則有，即，
令，則，，故，
所以，
故與平面所成角的正弦值為；
（2）由（1）可知，，，所以，
假設存在這樣的點P，設，由題意可知，
所以，因為，
則有，所以，又，
所以，解得（舍），，
所以當時，，此時點到直線的距離為．
（三）求點到平面的距離
【例13-4】已知正三棱錐的底面邊長為3，側棱長為，點P為此三棱錐各頂點所在球面上的一點，則點P到平面SAB的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖1，設正三棱錐的底面外接圓的圓心為，外接球的球心為，
為的中點，的外接圓的圓心為，
所以在正三棱錐中有：平面，平面，
因為為等邊三角形，
所以為的重心，且邊長為3，
所以，
因為平面，平面，所以，
所以在中，，
設，
所以在中，，所以，
在中，，
所以，
由正弦定理得：，
又平面，平面，所以，
所以在中，，
由圖2：當共線時，點P到平面SAB的距離有最大值為.
【例13-5】在正方體中，E為的中點，過的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，F為棱上的動點．
（1）點H在棱BC上，當時，平面，試確定動點F在棱上的位置，并說明理由；
（2）若，求點D到平面AEF的最大距離．
【解析】（1）設平面與平面的交線為，
因為平面，平面平面，平面
所以．
由正方體知，平面平面，
又因為平面平面，平面平面，
所以，所以
取中點，連接，易知，所以，
又因為為中點，所以為中點．
以點為原點，分別為軸，軸，軸的正方向，
建立空間直角坐標系，
則有，其中
設平面的法向量為
則有，不妨取，
則
所以，
當，即點與點重合時，取等．
所以點D到平面AEF的最大距離為．
【例13-6】如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為2的正方形，為中點，且．
（1）求證：平面；
（2）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離．
【解析】（1）證明：由題知，
因為，所以，
又，所以，
又，所以平面，
又平面，所以，
在正三角形中，為中點，于是，
又，所以平面
（2）取中點為中點為，則，
由（1）知平面，且平面，所以，
又，所以，所以平面，
于是兩兩垂直
如圖，以為坐標原點，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系
則
所以
設平面的法向量為，
則，即令，則，于是
設，則
由于直線與平面所成角的正弦值為
于是，
即，整理得，
由于，所以，于是
設點到平面的距離為，
則
所以點到平面的距離為
（四）求直線到直線的距離
【例13-7】如圖，在直三棱柱ABC—中， AB = 1，；點D、E分別在上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為3：5．求異面直線DE與的距離.
【答案】
【解析】因，且，故面，
從而，又，故是異面直線與的公垂線．
設的長度為，則四棱椎的體積為
．
而直三棱柱的體積為．
由已知，故，解之得．
從而．
在直角三角形中，，
又因，故．
所以異面直線DE與的距離為.
【例13-8】已知直三棱柱中，側面為正方形.，E，F分別為AC和的中點，.
（1）求四棱錐的體積；
（2）是否存在點D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1 若存在，求出此時線段DE的長；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）1；（2）存在，或
【解析】（1）∵側面為正方形，∴，
又，且，面，
∴平面，又，
∴平面，取BC中點G，
則，∴平面.
∴.
（2）以為原點，分別以BA，BC，所在直線建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，
設，則，，.
設與，均垂直的向量為，
則，即，取，
∴異面直線BF，DE的距離，
解得或.∴或.
故存在點D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1，
且此時或.
【例13-9】定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設為直線上任意一點，過作，垂足為，可知此時到直線距離最短
設，，
則，，
EMBED Equation.DSMT4 ，，
即，
，即，，
，
當時，取得最小值，
故直線與之間的距離是．
（五）求直線到平面距離
【例13-10】如圖，直三棱柱中，，，，點是的中點，點是線段上一動點，點在平面上移動，則，兩點之間距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】連接交于點，連接，
∵分別為的中點，則，
且平面，平面，∴平面，
則點到平面的距離相等，設為，
則，兩點之間距離的最小值為，
即點到平面的距離為，
∵的中點在上，則點到平面的距離為，
由題意可得為，
由，則，解得，
故，兩點之間距離的最小值為.
【例13-11】在四棱臺中，底面是正方形，且側棱底面分別是的中點.
（1）求證：平面平面；
（2）求直線到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）如下圖所示，
連接，則O是AC的中點，E是的中點 ，
∴，平面， 平面，平面，
又F是 的中點， ，
平面， 平面， 平面 ，
又 ， 平面OEF， 平面OEF ，
∴平面OEF 平面 ；
（2）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，為y軸，
建立空間直角坐標系如上圖，
則有 ，
由于 平面，
直線EF與平面 距離就是E點到平面的距離，
設直線 與平面法向量的夾角為，
，
設平面的一個法向量為 ，
則有 ，即 ，令，則，；
，點E到平面的距離為 ；
綜上，直線EF到平面的距離為 .
（六）求平面到平面距離
【例13-12】已知正方體的棱長為a，則平面與平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正方體的性質，∥，∥，
，，
易得平面平面，
則兩平面間的距離可轉化為點B到平面的距離．
以D為坐標原點，DA，DC，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸
建立空間直角坐標系，
則，，，，，
所以，，，．
連接，由，，且，可知平面，
得平面的一個法向量為，則兩平面間的距離．
【例13-13】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點．求：
（1）直線與平面的距離；
（2）平面與平面的距離．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為平面，四邊形為正方形，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建
立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、，
因為、分別為、的中點，則，
平面，平面，平面，
因為且，、分別為、的中點，
則且，
所以，四邊形為平行四邊形，，
平面，平面，平面，
，、平面，
平面平面，
平面，平面，
設平面的法向量為，，，
則，取，可得，，
所以，直線與平面的距離為.
（2）因為平面平面，
則平面與平面的距離為.
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