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高考中的數列綜合題選講
1.（2006陜西文、理）已知正項數列，其前n項和Sn滿足10Sn=＋5an＋6，且a1，a3，a15成等比數列，求數列的通項an.
解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).
當a1=3時,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比數列∴a1≠3;
當a1=2時,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
2.（2007山東理）設數列滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=. (Ⅰ)求數列的通項；
（Ⅱ）設bn=，求數列的前n項和Sn.
解: (I)
驗證時也滿足上式，
(II) ，
，
3.（2006全國Ⅰ卷理）設數列的前項的和，，
（Ⅰ）求首項與通項；（Ⅱ）設，，證明：
解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.
再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…
將①和②相減得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …
整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … ,
因而數列{ an+2n}是首項為a1+2=4,公比為4的等比數列,即 :
an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,
(Ⅱ)將an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 +  = ×(2n+1－1)(2n+1－2)
= ×(2n+1－1)(2n－1)
Tn= = × = ×( － )
所以, =  － ) = ×( － ) < 
4．（2005湖北文）設數列的前n項和為Sn=2n2，為等比數列，且
（Ⅰ）求數列和的通項公式； （Ⅱ）設，求數列的前n項和Tn.
解：（1）：當
故{an}的通項公式為的等差數列.
設{bn}的公比為
故
（II）
兩式相減得
5.(1994全國文)設數列｛an｝的前n項和為Sn,若對于所有的自然數n,都有
證明｛an｝是等差數列.
證法一：令d=a2－a1.
下面用數學歸納法證明an=a1+(n－1)d(n∈N).
(1)當n=1時上述等式為恒等式a1= a1.
當n=2時，a1+(2－1)d= a1+( a2－a1)= a2，等式成立.
(2)假設當n=k(k≥2)時命題成立，ak=a1+(k－1)d.由題設，有
Sk=，Sk+1=，又Sk+1= Sk +ak+1
∴(k+1)
把ak = a1+(k－1)d代入上式，得
(k+1)( a1+ ak+1)=2ka1+k(k－1)d+2ak+1.
整理得(k－1)ak+1=(k－1)a1+k(k－1)d.
∵ k≥2，∴ ak+1= a1+kd.即當n=k+1時等式成立.
由(1)和(2)，等式對所有的自然數n成立，從而{an}是等差數列.
證法二：當n≥2時，由題設，
，.
所以an= Sn－Sn－1= －
同理有
an+1= －.
從而an+1－an=－n(a1+an)+ ，
整理得 an+1－an= an－an－1=…= a2－a1
從而{an}是等差數列.
6.（2006福建文）已知數列滿足
（I）證明：數列是等比數列； （II）求數列的通項公式；
（Ⅲ）若數列滿足證明是等差數列。
（I）證明：

是以為首項，2為公比的等比數列。
（II）解：由（I）得

　　
（III）證明：

　　　　　　　　 ①
　　②
②－①，得
即　　　　　③
　　　　　④
④－③，得
即

是等差數列。
7．（2004全國Ⅰ卷理）已知數列，且 a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,….
（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通項公式.
解：（I）a2=a1+(－1)1=0,
a3=a2+31=3.
a4=a3+(－1)2=4,
a5=a4+32=13,
所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k
= a2k－1+(－1)k+3k,
所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,
同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,
……
a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)
=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],
由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],
于是a2k+1=
a2k= a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k－1.
{an}的通項公式為：
當n為奇數時，an=
當n為偶數時，
8.（2006安徽理）數列的前項和為，已知
（Ⅰ）寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；
（Ⅱ）設，求數列的前項和。
解：由得：，即，，…，相加得：，又，所以，當時，也成立。
（Ⅱ）由，得。
而，所以，對成立。
由，
，
9.(2007廣東理).已知函數f(x)=x2+x-1,α、β是方程f(x)=0的兩個根（α>β）.f′(x)是f(x)的導數.設a1＝1，an+1=an-(n=1,2,…). (1)求α、β的值；
(2)證明：任意的正整數n，都有an>a; (3)記bn=(n=1,2,…),求數列{bn}的前n項和Sn.
解:(1) 由 得
(2)(數學歸納法)①當時,命題成立;
②假設當時命題成立,即
,又等號成立時
時,時命題成立;由①②知對任意均有.
(3)
同理
又
數列是一個首項為 ,公比為2的等比數列;
.
10.（2005山東文）已知數列的首項前項和為，且
（I）證明數列是等比數列；
（II）令，求函數在點處的導數
解：由已知
可得兩式相減得
，即
從而
當時,，所以
又所以，從而
故總有，
又，從而,
即數列是以為首項，2為公比的等比數列；
（II）由（I）知
因為所以
從而=
=-=.
11．（2007遼寧文）已知數列，滿足，，且（）
（I）令，求數列的通項公式；（II）求數列的通項公式及前項和公式．
（Ⅰ）解：由題設得，即，
所以數列是公差為2的等差數列，又c1=3,
其通項公式為
（Ⅱ）解：由題設得，令，則
。
易知z4q9dkh是首項，公比為的等比數列，通項公式為
d＝
由于解得
a＝。
求和得。
12.(2005上海文、理)假設某市2004年新建住房面積400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房。預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%。另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米。那么，到哪一年底，
（1）該市歷年所建中低價層的累計面積（以2004年為累計的第一年）將首次不少于4780萬平方米？
（2）當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？
[解](1)設中低價房面積形成數列{an},由題意可知{an}是等差數列, 其中a1=250,d=50,
則Sn=250n+=25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整數, ∴n≥10.
∴到2013年底,該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米.
(2)設新建住房面積形成數列{bn},由題意可知{bn}是等比數列,其中b1=400,q=1.08,
則bn=400·(1.08)n-1.
由題意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.
由計算器解得滿足上述不等式的最小正整數n=6.
∴到2009年底,當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.

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