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人教版八年級數(shù)學上冊 14.2.1 平方差公式 導學案
【知識清單】
平方差公式：
兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.
細節(jié)剖析
在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.
平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.
【典型例題】
考點1：運用平方差以式進行運算
例1．下列各式中能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平方差公式，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、含的項和含的項的符號均相反，不能用平方差公式計算，不符合題意；
B、兩個常數(shù)的符號相反，兩個含的項的符號也相反，不能用平方差公式計算，不符合題意；
C、，能用平方差公式計算，符合題意；
D、兩項的符號均相同，不能用平方差公式計算，不符合題意；
故選C．
【點睛】本題考查平方差公式，熟練掌握平方差公式，是解題的關(guān)鍵．
考點2：平方差公式與幾何圖形
例2．在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（）（如圖甲），把余下的部分拼成一個長方形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分別求出兩個圖形中陰影部分的面積，根據(jù)陰影部分面積相等得出答案．
【詳解】解：圖甲中陰影面積為，
圖乙中陰影面積為，
根據(jù)面積相等可得：，
故可以驗證等式，
故選：C．
【點睛】此題考查了平方差公式與幾何圖形，正確計算兩個陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．
【鞏固提升】
選擇題
1．下列各式能用平方差公式計算的是( )
A． B． C． D．
2．下列各式中，不能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，則（ ）
A．5 B．6 C．10 D．15
4．下列能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果實數(shù)，滿足方程組，則的值為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的正方形．剩余部分沿虛線又剪拼成一個長方形（不重疊無縫隙）則長方形的面積為（ ）

A． B． C． D．
7．如圖，在邊長為的正方形中央剪去一邊長為的小正方形()，將剩余部分剪開密鋪成一個平行四邊形，則該平行四邊形的面積為（　?。?br/>
A． B． C． D．
8．如圖①，從一個大正方形的一角剪去一個小正方形，然后將剩余部分沿虛線剪開，拼成一個長方形如圖②，根據(jù)圖形的面積能夠說明的公式是（ ）

A． B．
C． D．
9．下面給出的三幅圖都是將陰影部分通過割，拼，形成新的圖形，其中不能驗證平方差公式的是（ ）

A．① B．②③ C．①③ D．③
10．如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則矩形的面積為（　?。?br/>
A． B． C． D．
二、填空題
11．已知，則 ．
12．計算： ．
13．如圖，正方形的面積比正方形的面積小6，則陰影部分的面積是 ．

14．如圖，將邊長為a的大正方形剪去一個邊長為2的小正方形，并將剩余部分（陰影部分）沿虛線開，得到兩個梯形，再將這兩個梯形拼成一個長方形，利用這兩個圖，通過表示陰影部分的面積，能解釋一個等式是 ．

三、解答題
15．用乘法公式計算：
(1)
(2)
16．如圖，這是一道例題的部分解答過程，其中，是兩個關(guān)于，的二項式．

請仔細觀察上面的例題及解答過程，完成下列問題：
(1)多項式為______，多項式為______，例題的化簡結(jié)果為______；
(2)求多項式與的積．
17．如圖，將邊長為m的正方形紙板沿虛線剪成兩個小正方形和兩個長方形，拿掉邊長為n的小正方形紙板后，將剩下的三塊拼成一個新長方形．

(1)用含m，n的代數(shù)式表示拼成的長方形的周長；
(2)若，，求拼成的長方形的面積（紙板的厚度忽略不計）
18．如圖①，在邊長為的大正方形的一角裁掉一個邊長為的小正方形．

(1)圖①中陰影部分的面積_____________；___________；___________．
(2)如圖②，若把圖①中下面的小長方形拼到右邊的位置，此時陰影部分的面積可以表示為____________與_____________的積．
根據(jù)以上問題的探究過程，可以得到的一個乘法公式是____________．
19．從邊長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．

(1)上述操作能驗證的等式是______．（請選擇正確的選項）
A．
B．
C．
(2)若，，求的值；
(3)用簡便方法計算：．
20．從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．

(1)上述操作能驗證的等式是________；（請選擇正確的一個）
①；
②；
③．
(2)應用你從（1）選出的等式，完成下列各題：
已知，，求的值．
參考答案
1．C
【分析】運用平方差公式時，關(guān)鍵要找相同項和相反項，其結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方．據(jù)此分析判斷即可．
【詳解】解：A.中不存在互為相反數(shù)的項，所以不能用平方差公式計算，故本選項不合題意；
B.，故不存在互為相反數(shù)的項，所以不能用平方差公式計算，故本選項不合題意；
C.符合平方差公式，故本選項符合題意；
D.中不存在互為相反數(shù)的項，所以不能用平方差公式計算，故本選項不合題意．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了平方差公式的知識，解題關(guān)鍵要找到相同項和相反項，其結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方．
2．D
【分析】注意平方差公式的特征：兩個二項式相乘，其中一項相等，另一項互為相反數(shù)即可運用平方差公式．
【詳解】解：，
∴不能運用平方差公式．
故選：D.
【點睛】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解題的關(guān)鍵．
3．A
【分析】根據(jù)平方差公式即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．
4．B
【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：A、應為，故本選項不符合題意；
B、，故本選項符合題意；
C、，故本選項不符合題意；
D、，故本選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題主要考查平方差公式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．
5．D
【分析】方程組中第二個方程整理后求出的值，原式利用平方差公式變形，將各自的值代入計算即可求出值．
【詳解】解：，
∴，
，
，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，以及平方差公式，將原式進行適當?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．
6．C
【分析】根據(jù)題意，可得長方形的面積等于兩個正方形的面積差，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：由題意，得：長方形的面積為；
故選C．
【點睛】本題考查平方差公式與圖形的面積．解題的關(guān)鍵是理清題意，正確的識圖，得到長方形的面積等于兩個正方形的面積差．
7．A
【分析】直接用大正方形的面積，減去小正方形的面積，進行計算即可．
【詳解】解：該平行四邊形的面積為；
故選A．
【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)拼接前后的圖形的面積相等列式是解題的關(guān)鍵．
8．A
【分析】分別表示出兩種情況下的面積，而面積是相等的，故可得到結(jié)果．
【詳解】解：將邊長為a的正方形剪去一個邊長為b的正方形，剩下的圖形的面積是，右圖的面積為，故得到的公式是．
故選：D．
【點睛】本題考查了平方差公式幾何意義的理解，將整式運算與幾何圖形結(jié)合，注意各個量的變化．
9．D
【分析】根據(jù)各個圖形中陰影部分面積的“算兩次”，進而判斷是否驗證平方差公式即可．
【詳解】解：圖①中，將陰影部分沿著虛線裁剪，可以拼成右側(cè)的平行四邊形，
陰影部分面積可以看作兩個正方形的面積差，即，所拼成的是底為，高為的平行四邊形，因此面積為，所以有，
所以圖①可以驗證平方差公式，不符合題意；
圖②中陰影部分面積可以看作兩個正方形的面積差，即，所拼成的長方形的長為，款為，因此面積為，所以有，
因此圖②可以驗證平方差公式，不符合題意；
圖③中陰影部分可以看作是邊長為的正方形，因此面積為，所拼成的圖形中陰影部分的面積可以看作四個小正方形的面積和，，因此不能驗證平方差公式，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提，用代數(shù)式表示圖形中陰影部分的面積是解決問題的關(guān)鍵．
10．D
【分析】利用大正方形的面積減去小正方形的面積即可，解題時注意平方差公式的運用．
【詳解】解：矩形的面積
．
故選：D．
【點睛】此題考查平方差公式的幾何背景，解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意列出式子．
11．
【分析】根據(jù)平方差公式求解即可．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平方差公式，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的乘積等于兩數(shù)平方的差，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
12．/
【分析】根據(jù)平方差公式求解即可．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了整式運算，熟練掌握平方差公式是解題關(guān)鍵．
13．3
【分析】設正方形與正方形的邊長分別為和，根據(jù)兩者面積差為6，可得．利用含、的代數(shù)式表示出陰影部分的面積，將整體代入即可求解．
【詳解】解：設正方形與正方形的邊長分別為和，
由題意得：．
由圖形可得：
．
故答案為3．
【點睛】本題考查平方差公式在幾何圖形中的應用，解題的關(guān)鍵是用含、的代數(shù)式表示出陰影部分的面積．
14．
【分析】根據(jù)圖形的面積相等，列式表示．
【詳解】解：第一個圖形中陰影部分的面積，
第二個圖形中陰影部分的面積，
∵兩個圖形的陰影部分面積相等，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平方差的幾何背景，掌握矩形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
15．(1)1
(2)
【分析】（1）原式變形后，利用平方差公式計算即可求出值；
（2）利用平方差公式和完全平方公式進行解答．
【詳解】（1）解：
．
（2）解：
．
【點睛】此題考查了平方差公式，以及完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差、完全平方公式．
16．(1)，，
(2)
【分析】（1）由題意得：，，即可得到多項式及多項式，再化簡即可解答；
（2）根據(jù)平方差公式計算即可解答．
【詳解】（1）解：由題意得：，
兩邊同除以y得：，
同理，得：，
兩邊同除以得：，
例題的化簡結(jié)果為：，
故答案為：，，；
（2）解：多項式與的積為：．
【點睛】本題考查了整式的乘除，熟練運用計算法則和乘法公式是解題關(guān)鍵．
17．(1)
(2)39
【分析】（1）根據(jù)題意和長方形的周長公式列出代數(shù)式解答即可．
（2）根據(jù)題意列出長方形的面積，然后把，代入進行計算即可求得．
【詳解】（1）解：長方形的長為：，
長方形的寬為：，
長方形的周長為：；
（2）解：長方形的面積為，
當，時，．
【點睛】本題主要考查了長方形的周長與面積、列代數(shù)式問題、平方差公式等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意和矩形的性質(zhì)列出代數(shù)式解答．
18．(1)，，
(2)，，
【分析】（1）根據(jù)長方形的面積公式及整式的混合運算法則求解即可得解；
（2）根據(jù)長方形的面積公式即可得解．
【詳解】（1）解：，，
∴，
故答案為：，，；
（2）解：由圖得大長方形的長，寬為，
∴陰影部分的面積可以表示為，
∵圖陰影部分的面積等于圖陰影部分的面積，
∴，
故答案為，，
【點睛】本題考查平方差公式的幾何背景，根據(jù)拼圖表示兩個圖形中陰影部分的面積是得出正確答案的關(guān)鍵．
19．(1)A
(2)3
(3)1
【分析】（1）用代數(shù)式表示出圖1中剩余部分的面積及圖2中長方形的面積，根據(jù)這兩部分面積相等即可得出答案；
（2）利用（1）中的結(jié)論代入進行計算即可；
（3）利用（1）中的公式進行計算即可．
【詳解】（1）解：從邊長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形，剩余部分的面積為兩個正方形的面積差，即，
將剩余的部分拼成一個長方形，則長方形的長為，寬為，因此面積為，
有，
故答案為：A；
（2）解：，，
，
，
的值為3；
（3）解：
．
【點睛】本題主要考查了平方差公式的幾何背景，運用平方差公式進行計算，熟練掌握平方差公式：是解題的關(guān)鍵．
20．(1)②
(2)
【分析】（1）分別用代數(shù)式表示圖1、圖2陰影部分的面積即可；
（2）①根據(jù)平方差公式將化為，再整體代入計算即可．
【詳解】（1）解：圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為，
因此可以得出的等式，故②正確；
故答案為：②．
（2）解：∵，
∵，
∴．
【點睛】本題主要考查了平方差公式的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．
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