資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版八年級數學上冊 14.2.2 完全平方公式 導學案
【知識清單】
完全平方公式：；
兩數和 (差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.
細節剖析
公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.
【典型例題】
考點1：運用完全平方公式進行運算
例1．下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據同底數冪的乘法，冪的乘方，合并同類項以及完全平方公式，對選項逐個判斷即可．
【詳解】解：A、，選項錯誤，不符合題意；
B、，選項錯誤，不符合題意；
C、，選項錯誤，不符合題意；
D、，選項正確，符合題意；
故選：D
【點睛】本題考查了同底數冪的乘法，冪的乘方，合并同類項以及完全平方公式，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎知識．
考點2：通過對完全平主公式變形求值
例2．若，則的值為（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先把原式化成，運用完全平方公式得到，然后整體代入即可．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
故選：C．
【點睛】本題考查了完全平方公式，解題的關鍵是掌握完全平方公式和整體代入求值．
考點3：求完全平方式中的字母系數
例3．若是一個完全平方式，則m的值為（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】．D
【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出的值．
【詳解】解：多項式是一個完全平方式，
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
考點4：完全平方式在幾何圖形中的應用
例4．如圖，長方形的周長是，分別以為邊向外作正方形和正方形．若長方形的面積是，則正方形和的面積之和為（ ）

A． B． C． D．
【答案】．C
【分析】用矩形的長和寬分別表示矩形的周長和面積，正方形的面積和，從而運用完全平方公式的變形計算即可．
【詳解】設，
∵長方形的周長是，長方形的面積是，
∴，，
∴，
故選C．
【點睛】本題考查了圖形的面積與完全平方公式，熟練掌握矩形的面積，周長的計算公式，正方形的面積的個數，兩數和的完全平方公式是解題的關鍵．
考點5：整式的混合運算
例5．如圖，有三張正方形紙片，，，它們的邊長分別為，，，將三張紙片按圖，圖兩種不同方式放置于同一長方形中，記圖中陰影部分周長為，面積為，圖中陰影部分周長為，面積為，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題目中的數據，設大長方形的寬短邊長為，表示出，，，，再代入，即可求解．
【詳解】解：設大長方形的寬為，
由圖知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值為．
故選：．
【點睛】本題主要考查整式的混合運算，明確整式的混合運算的計算方法是解題的關鍵．
考點6：完全平方公式在幾何圖形中的應用
例6．已知a、b、c是的三邊長，且滿足，那么據此判斷的形狀是（　?。?br/>A．等邊三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】．A
【分析】利用完全平方公式，實數的非負性，等邊三角形的判定計算選擇即可．
【詳解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故是等邊三角形，
故選A．
【點睛】本題考查了完全平方公式，實數的非負性，等邊三角形的判定，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．
【鞏固提升】
選擇題
1．下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列運算正確的是( )
A． B．
C． D．
3．已知且，則下列正確的是（ ）．
A． B． C． D．
4．若，，則（ ）
A．5 B．1 C．13 D．7
5．若多項式是一個完全平方式，則的值應是（ ）
A．或 B． C． D．或
6．下列式子中是完全平方式的是（　?。?br/>A． B． C． D．
7．如圖，邊長為的正方形紙片，剪出一個邊長為的正方形（陰影部分），再將剩余部分剪拼成一個長方形（不重疊無縫隙），若拼成長方形的一邊長為3，則另一邊長是（ ）

A． B． C． D．
8．如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為的正方形，剩余部分沿虛線剪下，拼成一個長方形（不重疊無縫隙），則此長方形的面積為（ ）

A． B．
C． D．
9．若，，則的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
10．下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如圖張長為a、寬為b（）的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．若，則（　?。?br/>
A． B． C． D．
12．把三張大小相同的正方形卡片A、B、C疊放在一個底面為正方形的盒底上，盒底底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．若按圖1擺放時，陰影部分的面積為，若按圖2擺放時，陰影部分的面積為，則與的大小關系為（ ）

A． B． C． D．不能確定
二、填空題
13．計算： ．
14．已知，，則的值為 ．
15．如果是一個完全平方式，那么的值為 ．
16．如圖1是一個長為、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個大正方形，如圖2所示，請直接寫出之間的等量關系 ．

17．對于實數a、b，定義一種新運算：，例如：，那么 ．
18．如圖所示的圖形驗證了一個等式，則這個等式是 ．

三、解答題
19．用簡便方法計算
(1)；
(2)．
20．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
21．已知常數、、是的三條邊長．
(1)若是完全平方式，求的值；
(2)在（1）的條件下，若，滿足，試判斷的形狀．
22．小思同學學習了教材45頁用圖來解釋完全平方公式．回家后看到家里裝修后裁下的瓷磚，他便揀了五塊如圖所示的瓷磚，其中四塊是大小相同的長方形，另外一塊是正方形．想利用這些廢瓷磚（不再裁）在院子的地面鋪個正方形圖案，鋪好后，發現圖案也剛好能解釋完全平方公式，你能在網格圖中幫小思同學還原他的圖案嗎？并在下方推導說明對應的完全平方公式．

23．先化簡再求值，其中
30．如圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成正方形．

(1)觀察圖2，試猜想式子，，mn之間的數量關系，并證明你的結論；
(2)根據（1）中的數量關系，解決問題：已知，，求的值．
參考答案
1．A
【分析】根據平方差公式和完全平方公式，逐個進行判斷即可．
【詳解】解：A、，故A正確，符合題意；
B、，故B不正確，不符合題意；
C、，故C不正確，不符合題意；
D、，故D不正確，不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題主要考查根據平方差公式和完全平方公式，解題的關鍵是掌握平方差公式和完全平方公式．
2．D
【分析】分別依據合并同類項、同底數冪的乘法、積的乘方和完全平方公式的法則進行求解，然后判斷正誤即可．
【詳解】解：、，本選項錯誤，不符合題意；
、，本選項錯誤，不符合題意；
、，本選項錯誤，不符合題意；
、，本選項正確，符合題意．
故選：．
【點睛】本題考查了合并同類項、完全平方公式以及同底數冪的乘法、積的乘方，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
3．A
【分析】將變為，兩邊平方后都加即可求出答案．
【詳解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故選A．
【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關鍵．
4．B
【分析】根據進行求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
故選B．
【點睛】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，熟練掌握完全平方公式及其變形是解題的關鍵．
5．D
【分析】根據完全平方式得出，再求出即可．
【詳解】解：是完全平方式，
，
解得：，
故選D．
【點睛】本題考查了完全平方式，能熟記完全平方式的特點是解此題的關鍵，注意：完全平方式有兩個：和．
6．A
【分析】式子稱為完全平方式，據此即可判斷．
【詳解】解：A、，故是完全平方式；
B、，不是完全平方式；
C、，不是完全平方式；
D、，不是完全平方式；
故選：A．
【點睛】本題考查了完全平方式，熟知完全平方式的形式是關鍵，注意：與都是完全平方式．
7．A
【分析】由于邊長為的正方形紙片剪出一個邊長為a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），那么根據正方形的面積公式，可以求出剩余部分的面積，而矩形一邊長為3，利用矩形的面積公式即可求出另一邊長即可．
【詳解】解：設拼成的矩形一邊長為x，
則依題意得：，
解得，，故A正確．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了整式混合運算的應用，解題的關鍵是熟練掌握整式混合運算法則，準確計算．
8．A
【分析】根據剩余部分面積等于長方形的面積即可求．
【詳解】解：根據題意得剩余部分面積為：
則長方形的面積為．
故選：A．
【點睛】本題考查了圖形剪拼問題中的列代數式，整式乘法的混合運算，完全平方公式，關鍵明確剩余部分面積等于長方形面積．
9．D
【分析】先化簡，后代入求值即可．
【詳解】
，
，時，
原式，
故選D．
【點睛】本題考查了求代數式的值，熟練運用平方差公式等運算化簡是解題的關鍵．
10．D
【分析】根據整式的乘法運算，乘法公式（平方差公式，完全平方公式）的運用即可求解．
【詳解】解：、，原選項錯誤，不符合題意；
、，原選項錯誤，不符合題意；
、，原選項錯誤，不符合題意；
、，原選項正確，符合題意；
故選：．
【點睛】本題主要考查乘法公式的運用，掌握整式的乘法運算，平方差公式，完全平方公式的運算是解題的關鍵．
11．C
【分析】如下圖，先求出空白部分的面積，然后求出陰影部分的面積，利用，可得出a、b之間的關系．
【詳解】如下圖

則空白部分的面積+
化簡得：
∵
∴
化簡得：
∴，
即，
故選：C．
【點睛】本題考查完全平方公式的計算與化簡，解題關鍵是先求出和的面積．
12．C
【分析】根據正方形的性質，可以把兩塊陰影部分合并后計算面積，然后，比較與的大?。?br/>【詳解】解：設底面的正方形的邊長為a，正方形卡片A，B，C的邊長為b，
由圖1，得，
由圖2，得，
∴．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，利用正方形四條邊相等的性質分別得出S1和S2的面積是解題關鍵．
13．
【分析】直接根據完全平方公式進行解答即可．
【詳解】解：
．
故答案為：．
【點睛】此題考查的是完全平方公式，應用完全平方公式時，要注意：公式中的，可是單項式，也可以是多項式；對形如兩數和或差的平方的計算，都可以用這個公式；對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．
14．
【分析】利用完全平方公式之間的轉化進行計算，即可解答；
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：
【點睛】本題考查了完全平方公式應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．
15．/10和/和10
【分析】先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式的乘積二倍項即可確定m的值．
【詳解】解：∵，
∴，
解得．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了完全平方式，根據平方項確定出這兩個數是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要．
16．
【分析】分別求出圖2中大正方形，陰影及小長方形的面積，即可得到等式．
【詳解】解：圖2中大正方形的面積為，陰影圖形的面積為，四個小長方形的面積為，
∴，
故答案為：．
【點睛】此題考查了完全平方公式與幾何圖形，正確理解圖形的構成及計算每部分的面積是解題的關鍵．
17．/
【分析】根據定義新運算的法則，進行計算即可．
【詳解】解：由題意，得：
；
故答案為：．
【點睛】本題考查整式的混合運算．解題的關鍵是掌握定義新運算的法則．
18．
【分析】根據圖形中面積兩種求法驗證即可．
【詳解】解：大長方形的面積，
大長方形的面積，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查整式與圖形的面積關系，解題的關鍵是正確用兩種方法表示出矩形的面積．
19．(1)8099
(2)400
【分析】（1）運用平方差公式進行計算即可；
（2）運用完全平方公式進行計算即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【點睛】本題主要考查了運用平方差公式和完全平方公式進行計算，理解并掌握平方差公式和完全平方公式是解題關鍵．
20．(1)17
(2)16
【分析】（1）根據完全平方公式變形，再代入求出即可；
（2）根據完全平方公式變形求值即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵
，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵
，
∴．
【點睛】本題主要考查了完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式，能正確根據公式進行變形，是解此題的關鍵．
21．(1)5
(2)等腰三角形
【分析】（1）利用完全平方公式的結構特征判斷即可得到的值；
（2）將已知等式變形為：，然后利用非負數的性質求得、的值；然后等腰三角形的判定方法推知為等腰三角形．
【詳解】（1）解： 是完全平方式，
，
解得或（舍去）．
故的值是5；
（2）由，得，
則：，，
故，．
由（1）知，．
故．
所以為等腰三角形．
【點睛】本題主要考查了配方法的應用，等腰三角形的判定以及完全平方公式等知識點，解題時，需要注意：常數、、是的三條邊長，所以它們都是正數．
22．見解析
【分析】將五塊瓷磚如圖擺放可得，整個圖形為正方形，其邊長為，根據正方形面積公式，可將整個圖形面積表示出來；再根據整個圖形面積=四個小長方形面積加上+小正方形面積，也可將整個圖形面積表示出來，最后根據兩種方法表示面積相等，列出等式，再根據整式的混合運算法則進行推導即可．
【詳解】解：如圖所示進行擺放，

由圖可知，大正方形邊長為，
∴大正方形面積；
又∵大正方形面積，
∴，
∵，
∴①的左邊，
∴．
【點睛】本題主要考查了完全平方公式和幾何圖形，解題的關鍵是正確拼出圖形，根據圖形和整式的混合運算法則推導出完全平方公式．
23．，
【分析】先根據整式的混合運算法則進行化簡，再代值計算即可．
【詳解】解：原式
；
當時，原式．
【點睛】本題考查整式的混合運算．解題的關鍵是掌握相關運算法則，正確的計算．
24．(1)
(2)
【分析】（1）由組合圖形求面積，在圖1，圖2中，分別求出4個小長方形面積之和，得出結論；
（2）由（1）知，，將已知代數式代入求解．．
【詳解】（1）解：關系：；
由圖1，4個小長方形面積之和，
由圖2，4個小長方形面積之和，
∴．
（2）解：由（1）知，，
∴．
∴．
【點睛】本題考查完全平方公式，掌握數形結合的思想是解題的關鍵．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑