資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版八年級數學上冊 14.3.1 提公因式法 導學案
【知識清單】
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分組分解法, 十字相乘法, 添、拆項法等.
細節剖析
落實好方法的綜合運用：
首先提取公因式，然后考慮用公式；
兩項平方或立方，三項完全或十字；
四項以上想分組，分組分得要合適；
幾種方法反復試，最后須是連乘式；
因式分解要徹底，一次一次又一次.
【典型例題】
考點1：判斷是否是因式分解
例1．下列從左到右的變形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．B
【分析】根據因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式乘積的形式，可得答案．
【詳解】解：A、，等式左邊不是多項式，不是因式分解，不符合題意；
B、，是因式分解，符合題意；
C、，這是整式的乘法，不是因式分解，不符合題意；
D、，等式右邊不是積的形式，不是因式分解，不符合題意；
故選B．
【點睛】本題難度較低，主要考查學生對因式分解知識點知識點的掌握．因式分解與整式的乘法互為逆運算，并且因式分解是等式的恒等變形，變形前后一定相等．
考點2：已知因式分解的結果求參數
例2．若二次三項式可分解為，則m的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】．C
【分析】根據題意得到，再根據多項式乘多項式的乘法法則化簡，進而求得．
【詳解】解：由題意得，，
．
．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了因式分解與多項式乘法之間的關系，熟練掌握多項式乘多項式的乘法法則是解決本題的關鍵．
考點3：公因式
例3．多項式分解因式時，應提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公因數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的，進而得出公因式．
【詳解】解：
多項式分解因式時，應提取的公因式
故選：D
【點睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵．
考點4：提公因式法分解因式
例4．分解因式的結果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】．A
【分析】提取公因式即得答案.
【詳解】解：；
故選：A.
【點睛】本題考查了多項式的因式分解，屬于基本題型，正確提取公因式是解題的關鍵.
【鞏固提升】
選擇題
1．下列從左到右的變形中是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若多項式因式分解的結果為，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．9
4．若，則的值為（　　）
A． B． C．10 D．
5．將多項式因式分解時，應提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
6．多項式的公因式是，則等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，則的值為（　　）
A． B． C． D．2
8．多項式因式分解的結果是（　　）
A． B． C．a D．
二、填空題
9．根據下邊圖形寫一個關于因式分解的等式 ．

10．若多項式因式分解得，則的值為 ．
11．多項式：與的公因式是 ．
12．分解因式： ．
三、解答題
13．如圖，用一張如圖A的正方形硬紙板、三張如圖B的長方形硬紙板、兩張如圖C的正方形硬紙板拼成一個長方形（如圖D）．
(1)請用不同的式子表示圖D的面積（寫出兩種即可）；
(2)根據（1）所得結果，寫出一個表示因式分解的等式．
14．仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及m的值． 解：設另一個因式為，則， 即，∴，解得． 故另一個因式為，m的值為．
仿照上面的方法解答下面問題：
已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及k的值．
15．已知整式，整式．
(1)若，求的值；
(2)若可以分解為，求的值．
20．分解因式：
(1)
(2)
16．已知
（1）求的值
（2）化簡代數式
17．你能很快算出嗎
為了解決這個問題，我們考察個位上的數字為的自然數的平方，任意一個個位數為的自然數都可以寫成（為自然數），即求的值，試分析，，，……這些簡單情形，從中探索規律，并歸納猜想出的結論（在下面空格上填上你探索結果）．
(1)通過計算，探索規律
可以寫成；
可以寫成；
可以寫成；
可以寫成；……
，可以寫成，
，可以寫成
(2)從（1）題的結果，猜想，歸納，得 ，并利用整式運算的知識給予說明：
(3)根據上面的歸納猜想，計算出
參考答案
1．C
【分析】因式分解就是將一個多項式化成幾個整式積的形式，據此進行判斷即可．
【詳解】、等號右邊不是整式與整式的積，它不是因式分解，
則不符合題意；
、它是整式乘法運算，不是因式分解，
則不符合題意；
、它符合因式分解的定義，
則符合題意；
、等號右邊不是積的形式，它不是因式分解，
則不符合題意，
故選：．
【點睛】本題考查因式分解的定義，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
2．D
【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，即為因式分解．
【詳解】解：變形后是多項式與單項式的和的形式，故A不符合題意；
，等號的左側不是多項式，故B不符合題意；
是單項式乘多項式的運算，故C不符合題意；
是因式分解，故D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的定義，能區分整式的乘方和因式分解的形式是解題的關鍵．
3．A
【分析】將展開，得到p，q的值即可得到答案；
【詳解】解：∵，
∴，，
∴，
故選A．
【點睛】本題考查因式分解得逆運算，解題的關鍵是得出p，q的值．
4．A
【分析】把右邊利用多項式乘法化成多項式乘法展開，再根據對應系數相等求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故選A．
【點睛】本題考查了分解因式與多項式乘法是互逆運算，利用系數對應相等求解是解題的關鍵．
5．D
【分析】根據因式分解的方法即可求解．
【詳解】解：與與的公因式為，
故把分解因式時應該提取公因式是．
故選：D．
【點睛】此題主要考查因式分解，解題的關鍵是熟知提取公因式的方法．
6．A
【分析】根據公因式是各項中都含有的因式，可得答案．
【詳解】解：，
故選：A．
【點睛】本題考查了公因式，確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：
①定系數，即確定各項系數的最大公約數；
②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；
③定指數，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數的最低次冪．
7．D
【分析】將所求代數式化為，再代值求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴
，
故選：D．
【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握提公因式法分解因式的方法是解答的關鍵．
8．B
【分析】直接提取公因式x即可．
【詳解】解：，
故選：B．
【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．
9．
【分析】根據圖形的面積大長方形的面積，又等于各部分的面積之和，即可得到等式．
【詳解】解：圖形的面積，
又圖形的面積，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了因式分解的應用，用兩種方法求出大長方形的面積是解題的關鍵．
10．
【分析】利用整式乘法法則對展開，得到m、n的值，然后計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了因式分解與整式乘法，熟知因式分解與整式乘法互為逆運算是解答本題的關鍵．
11．
【分析】先找到多項式的公因式，再結合單項式寫出公因式解題即可．
【詳解】解：，
，
與的公因式是；
故答案為：．
【點睛】本題考查因式分解，能熟練寫出公因式是解題的關鍵．
12．
【分析】由，則可用提公因式法分解因式．
【詳解】解：原式
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
13．(1)，
(2)
【分析】（1）圖D的面積可以看做一個大長方形面積；也可以看做一個邊長為的正方形，三個長為寬為的小長方形，兩個邊長為的正方形面積之和；
（2）根據圖D的面積不同求法結合因式分解的定義即可求解．
【詳解】（1）解：圖D的面積可以看做一個長為，寬為的長方形的面積：，也可以看做一個邊長為的正方形，三個長為寬為的小長方形，兩個邊長為的正方形面積之和：；
（2）解：由（1）得．
【點睛】本題考查了因式分解的幾何背景，用不同式子表示出圖D的面積是解題關鍵，注意因式分解是“將一個多項式化為幾個整式的積的形式”，不要寫反了．
14．，
【分析】設另一根因式為，可得，再建立方程組，再解方程組即可得到答案．
【詳解】解：∵二次三項式有一個因式是，
∴設另一根因式為，
∴，
∴，解得：，
∴另一根因式為：．
【點睛】本題考查的是因式分解的含義，二元一次方程組的解法，熟練的利用待定系數法建立方程組是解本題的關鍵．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先化簡，再根據完全平方公式以及對應系數相等求得a值即可；
（2）先化簡，再利用多項式乘以多項式展開使得對應系數相等求出a值即可解答．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵可以分解為，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查整式的混合運算，因式分解、完全平方公式，熟練掌握運算法則是解答的關鍵．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先逆用完全平方公式，再利用平方差公式即可得到答案；
（2）先提取公因式，再合并即可得到答案．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
【點睛】本題考查了分解因式，熟練掌握分解因式的方法是解題關鍵．
17．（1）；（2）20
【分析】（1）根據平方差公式得到，代入即可；
（2）由（1）可解出a，b的值，再化簡代數式計算即可．
【詳解】解：（1）
又∵ ，
∴
（2）
由，解得
∵
∵，
∴原式．
【點睛】本題考查了利用平方差公式進行因式分解，以及整式的化簡求值問題，解題的關鍵是掌握運算法則．
18．(1)；
(2)；說明見解析
(3)
【分析】（1）認真閱讀，總結規律：十位數（十位數），然后按規律改寫和即可；
（2）根據規律：十位數（十位數），改寫即可；根據完全平方公式，展開，提取前兩項公因式即可證明；
（3）根據（2）的結果：，計算即可．
【詳解】（1）解：總結規律：十位數（十位數），
；；
故答案為：；；
（2）解：根據規律：十位數（十位數），；
說明過程：
；
故答案為：；
（3）解：根據（2）的結果：，
；
故答案為：．
【點睛】本題考查了完全平方公式運算、提取公因式法、找規律相關知識，通過觀察發現變和不變的部分，從而找到固定的規律是解題的關鍵．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑