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人教版八年級數學上冊 14.3.2 公式法 導學案
【知識清單】
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分組分解法, 十字相乘法, 添、拆項法等.
細節剖析
落實好方法的綜合運用：
首先提取公因式，然后考慮用公式；
兩項平方或立方，三項完全或十字；
四項以上想分組，分組分得要合適；
幾種方法反復試，最后須是連乘式；
因式分解要徹底，一次一次又一次.
【典型例題】
考點1：運用平方差公式分解因式
例1．可以被和之間的某個數整除，則這個數可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．B
【分析】假設能被分解，只有分解成或的兩個因數時滿足題意，計算與判斷即可．
【詳解】解：若能被和之間的某個數整除，
則需滿足能分解成或的兩個因數，
即和時，
故選：B．
【點睛】本題考查了分解因式的應用，合理的假設推算是解題關鍵．
考點2：運用完全平方公式分解因式
例2．下列變形中，是因式分解且正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．B
【分析】一個多項式化成幾個整式積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解．根據因式分解的概念逐一判斷，即可得到答案．
【詳解】解：A、不能分解因式，不符合題意，選項錯誤；
B、，原因式分解正確，符合題意，選項正確；
C、，結果不是整式乘積的形式，不是因式分解，不符合題意，選項錯誤；
D、，原因式分解錯誤，不符合題意，選項錯誤；
故選：B．
【點睛】本題考查了因式分解，解題關鍵是掌握因式分解的結果是整式的乘積的形式，且分解到不能再分解為止．
考點3：因式分解在有理數簡算中的應用
例3．若，則k的值為（ ）
A．100 B．101 C．200 D．204
【答案】．D
【分析】移項后利用平方差公式進行因式分解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了因式分解的應用，解題關鍵是熟練運用平方差公式進行簡便運算．
考點4：十字相乘法
例4．下列分解因式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．C
【分析】根據提公因式，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法因式分解，逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：A. ，故該選項不正確，不符合題意；
B. 不能因式分解，故該選項不正確，不符合題意；
C. ，故該選項正確，符合題意；
D. ，故該選項不正確，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
考點5：分組分解法
例5．把多項式因式分解之后，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．D
【分析】根據分組分解法及平方差公式，即可判定．
【詳解】解：
故選：D．
【點睛】本題考查了分解因式的方法，熟練掌握和運用分解因式的方法是解決本題的關鍵．
考點6：因式分解的應用
例6．一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，3，，a，分別對應下列六個字：我，數，愛，國，祖，學，現將代數式因式分解，結果呈現的密碼信息可能是（　　）
A．愛數學 B．我愛數學 C．我愛國 D．我愛祖國
【答案】．B
【分析】對多項式進行因式分解，然后一一對應查找替代即可呈現密碼信息．
【詳解】解：∵
，
分別對應4個漢字：我，愛，數，學．
則呈現的密碼信息可能是：我愛數學．
故選：B．
【點睛】本題考查了提公因式法和平方差公式法分解因式，根據因式對應信息，合理搭配信息即可，分解因式是關鍵．
【鞏固提升】
選擇題
1．下列各式不能運用公式法進行因式分解的是( )
A． B． C． D．
2．已知可以被10到20之間的某兩個整數整除，則這兩個數是（　　）
A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17
3．若，則值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．把因式分解得（ ）
A． B．
C． D．
5．將分解因式正確的是（　　）
A． B． C． D．
6．小李在計算時，發現其計算結果能被三個連續整數整除，則這三個整數是（ ）
A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022
7．若多項式可分解為，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．11
8．已知有一個因式，把它分解因式后的結果是（ ）
A． B．
C． D．
9．當互為相反數時，代數式的值為（ ）
A．2 B．0 C． D．1
二、填空題
10．給出下列多項式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能夠因式分解的是： （填上序號）．
11．若，則 ．
12．用完全平方公式填空： ．
13．計算： ．
14．為自然數，若為兩個連續自然數之積，則的值是 ．
三、解答題
15．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
16．分解因式：
(1)
(2)
17．因式分解：
(1)
(2)
18．用簡便方法計算：
(1)；
(2)．
19．閱讀下面的材料，解答提出的問題：
已知：二次三項式有一個因式是，求另一個因式及的值．
解：設另一個因式為，由題意，得
，
，
所以，解得．
所以另一個因式為，的值為．
提出問題：
(1)已知二次三項式有一個因式是，另一個因式是________；
(2)已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式及的值．
20．閱讀下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多項式僅用上述方法無法分解．如，我們細心觀察這個式子就會發現，前三項符合完全平方公式，進行變形后可以與第四項結合再運用平方差公式進行分解．
解題過程如下：．
這種因式分解的方法叫分組分解法．
利用這種分組分解的思想方法解決下列問題：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)若，為非零實數，，且，求的值．
21．把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些不規則圖形的面積．例如，由圖，可得等式：

(1)如圖，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為的正方形，試用不同的方法表示這個大正方形的面積，你能發現什么結論？請用等式表示出來；

(2)若，，利用（1）中所得結論，求的值；
(3)如圖，將兩個邊長分別為和的正方形拼在一起，，，三點在同一直線上，連接和．若這兩個正方形的邊長滿足，，請求出陰影部分的面積；

(4)小明用3張邊長為的正方形，2張邊長為的正方形，5張邊長分別為，的長方形紙片重新拼出一個長方形，直接寫出該長方形的周長為______．
參考答案
1．D
【分析】根據平方差公式，完全平方公式的特點，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：A、，能運用平方差公式分解，故選項A不符合題意；
B、，能運用平方差公式分解，故選項B不符合題意；
C. 能用完全平方公式分解，本選項C不符合題意；
D、不符合完全平方公式結構，故選項D符合題意；
故選D
【點睛】能否用公式法進行因式分解關鍵看是否符合相關公式的特點：能用平方差公式進行因式分解的式子的特點是：兩項平方項；符號相反；能用完全平方公式法進行因式分解的式子的特點是：兩項平方項的符號相同；另一項是兩底數積的2倍．
2．D
【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之間的哪兩個整數整除.
【詳解】
∴可以被10至20之間的17和15兩個整數整除.
故選D.
【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握平方差公式是解答本題的關鍵.
3．A
【分析】利用完全平方公式和絕對值的非負性求出x、y值即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，，解得，
故答案為：2．
【點睛】本題考查完全平方公式、絕對值的非負性，會利用非負數的非負性求解是解答的關鍵．
4．C
【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.
【詳解】解：；
故選：C.
【點睛】本題考查了多項式的因式分解，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵.
5．C
【分析】先提公因式，進而可利用公式法分解因式．
【詳解】解：，
，
．
故選：C．
【點睛】本題考查綜合利用提公因式法和公式法分解因式．掌握相關方法是解題關鍵．
6．B
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案．
【詳解】解：
∴能被2022，2023，2024整除，
故選B．
【點睛】本題考查因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
7．C
【分析】根據十字相乘法的分解方法和特點可知：，，據此可得，，問題隨之得解．
【詳解】解：多項式可分解為，
，，
，，
．
故選：C．
【點睛】本題主要考查十字相乘法分解因式，對常數項的不同分解是解本題的關鍵
8．A
【分析】根據已知可以得，之后進行整式乘法計算即可求解本題．
【詳解】解：設，
∵，
∴，
解得，
∴．
故選：A．
【點睛】本題考查的是整式乘法和因式分解，這里掌握它們互為逆運算是解題的關鍵．
9．C
【分析】根據相反數的定義得到，再根據進行求解即可．
【詳解】解：∵a，b互為相反數，
∴，
∴，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，相反數的定義，正確得到是解題的關鍵．
10．②④⑤⑥
【分析】根據提公因式法以及公式法對各個多項式依次加以分析進行判斷求解即可.
【詳解】①，不符合公式，也沒有公因式，故無法因式分解；
②，故可以因式分解；
③，不符合公式，也沒有公因式，故無法因式分解；
④，故可以因式分解；
⑤，故可以因式分解；
⑥，故可以因式分解；
綜上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案為：②④⑤⑥.
【點睛】本題主要考查了因式分解的運用，熟練掌握相關方法及公式是解題關鍵.
11．2023
【分析】根據平方差公式將：化成，再進行計算，結合即可求解．
【詳解】解：
∵
∴，
故答案為：2023．
【點睛】本題考查平方差公式進行因式分解，掌握平方差公式是正確解答的關鍵．
12．
【分析】運用完全平方公式，結合“整體”思想．
【詳解】解：；
故答案為：．
【點睛】本題考查完全平方公式；掌握完全平方公式的特征是解題的關鍵．
13．
【分析】根據逆用同底數冪的乘法，因式分解，進而即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了同底數冪的乘方，因式分解，熟練掌握因式分解，同底數冪的乘法的運算法則是解題的關鍵．
14．2
【分析】，再設兩個連續自然數分別為，，分情況列方程組求解即可．
【詳解】解：，
設兩個連續自然數分別為，，
，
解得：，
，
解得：此情況不符合題意，舍去．
的值為2．
故答案為：2．
【點睛】本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是掌握十字相乘法因式分解法．
15．(1)
(2)
【分析】（1）連續利用平方差公式進行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
【詳解】（1）
；
（2）
．
【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是關鍵，解答此類型題目時需特別注意因式分解必須徹底．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后進行因式分解即可；
（2）利用完全平方公式，平方差公式進行因式分解即可．
【詳解】（1）解：
（2）解：
【點睛】本題考查了因式分解．解題的關鍵在于選擇合適的方法進行因式分解．
17．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式繼續分解即可解答；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式繼續分解即可解答．
【詳解】（1）解：
；
（2）
．
【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．
18．(1)4
(2)
【分析】（1）把原式化為，再進行簡便運算即可；
（2）把原式化為，再利用平方差公式進行簡便運算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）
．
【點睛】本題考查的是利用平方差公式進行簡便運算，熟記平方差公式的特點是解本題的關鍵．
19．(1)
(2)另一個因式為，的值為85
【分析】（1）設另一個因式為，由題意得，從而得到，進行計算即可得到答案；
（2）設另一個因式為，由題意得： ，從而得到，進行計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：設另一個因式為，
由題意得：，
則，
，
解得：，
另一個因式為，
故答案為：；
（2）解：設另一個因式為，
由題意得：，
則，
，
解得：，
另一個因式為，的值為85．
【點睛】本題主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程組，正確設出另一個因式是解題的關鍵．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）將組合成完全平方公式，即可進行因式分解；
（2）將分別組合，即可進行因式分解；
（3）將整理得，再利用分組分解法可得，即可求解．
【詳解】（1）解：
（2）解：
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【點睛】本題考查了分組分解法分解因式以及應用．熟練掌握相應方法，進行正確分組是解題關鍵．
21．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）大正方形的面積通過兩種不同的方法計算，即可解答；
（2）利用（1）的結論，進行計算即可解答；
（3）根據題意可得陰影部分的面積的面積正方形的面積的面積，進行計算即可解答．
（4）根據題意得出長方形的面積，進而因式分解即可求解．
【詳解】（1）解：大正方形的面積，
又大正方形的面積=，
∴
（2）解：由（1）可得：
∵，
∴
．
（3）解：∵，，
∴陰影部分面積為
．
（4）解：依題意，,
∴長方形的邊長分別為,
∴長方形的周長為．
【點睛】本題考查了因式分解的應用，多項式乘多項式，完全平方公式的幾何背景，完全平方式，熟練掌握因式分解是解題的關鍵．
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