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人教版八年級數學上冊 15.1.1 從分數到分式 導學案
【知識清單】
分式
一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
細節剖析
分式中的分母表示除數，由于除數不能為0，所以分式的分母不能為0，即當B≠0時，分式才有意義.
【典型例題】
考點1：分式的判斷及規律性問題
例1．觀察下列等式：，，，，…根據其蘊含的規律得（ ）
A． B． C． D．
【答案】．D
【分析】根據所給的等式的形式總結出規律，然后進行求解即可．
【詳解】解：，
，
，
……
由此看出，，，，……（為正整數）的值是按照n，，每3個一循環，依次循環下去，
，
故選：D．
【點睛】本題主要考查分式的加減法，數字的變化規律，解答的關鍵是由所給的等式總結出存在的規律．
考點2：分式的意義
例2．若分式有意義，則滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．A
【分析】利用分式有意義的條件：分母不為0，進行計算即可．
【詳解】解：分式有意義，
，
，
故選：A．
【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是分母不為0是解題的關鍵．
考點3：分式的求值
例3．若分式，則分式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】．B
【分析】先根據題意得出，再代入分式計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，即，
∴
；
故選：B．
【點睛】本題考查了分式的求值，根據題意得出是解決問題的關鍵．
考點4：求使分式值及取值范圍
例4．對于非正整數x，使得的值是一個整數，則x的個數有（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】．A
【分析】先將分式變形，然后根據x為非負整數，分式的結果為正整數，得出x的值．
【詳解】解：，
∵x為非正整數，分式的結果正整數，
∴x取值為，0，
∴x的個數有3個，
故選：A．
【點睛】本題考查了分式的特殊值，難度較大，考核學生的計算能力，這類題經常要用到枚舉法，是解題的關鍵．
【鞏固提升】
選擇題
1．下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．按一定規律排列的代數式：，，，，……，第9個代數式是（ ）
A． B． C． D．
3．打字員小麗要打印一份12000字的文件，第一天打字2小時，打字速度為w字/分鐘，第二天打字速度比第一天快了10字/分鐘，兩天打印完全部文件，則第二天她打字用的時間是（ ）分鐘
A． B． C． D．
4．下列分式中，有意義的條件為的是（ ）
A． B． C． D．
5．若分式無意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．若分式的值為0，則x的值是( )．
A．1或 B．1 C． D．
7．分式的值，可以等于（　?。?br/>A． B．0 C．1 D．2
8．使分式的值為正數的條件是（ ）
A． B． C． D．
9．使分式的值為整數的所有整數x的和為（ ）
A．8 B．4 C．0 D．
二、填空題
10．小苗探究了一道有關分式的規律題，，，，，， ，，…請按照此規律在橫線上補寫出第6個分式．
11．若分式有意義，則實數x的取值范圍為 ．
12．已知不論x取何數值，分式的值都為同一個定值，那么的值為 ．
13．當x 時，分式的值為正數．
14．若分式的值是整數，則x可以取最小整數的值是 ．
三、解答題
15．觀察下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
……
按照以上規律，解決下列問題：
(1)寫出第6個等式：________________；
(2)寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示，為正整數），并說明等式成立的理由．
16．“因為，而x取任意實數x都有意義，所以使分式有意義的條件是x為任意實數．”你認為這種說法對嗎？如果對，請說明依據；如果不對，請說明理由，并寫出使分式有意義的x的取值范圍．
17．若時分式無意義，時，分式的值為零，求分式的值．
18．已知，求的值．
19．當的取值范圍是多少時，
(1)分式有意義；
(2)分式值為負數．
20．在小學時我們知道，分數中有“真分數”與“假分數”．在分式中，對于只含有一個字母的分式，我們給出定義：分子的次數小于分母的次數的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次數大于或等于分母的次數的分式叫做“假分式”，例如，．
(1)現有以下代數式：①，②，③，④．其中是“真分式”的為 ；是“假分式”的為 （注：填寫序號即可）
(2)若分式的值為整數，求出整數m的值；
(3)我們知道，假分數可以化為整數與真分數的和，例如：．類似的，“假分式”也可以化為整式與“真分式”的和．
例如：；
．
請解決以下問題：若分式的值為整數，求出整數m的值．
參考答案
1．C
【分析】根據分式的定義進行判斷即可．
【詳解】解：在，，，中，是分式，
故選：C
【點睛】此題考查了分式，分母中含有字母的代數式是分式，熟練掌握分式的定義是解題的關鍵．
2．B
【分析】先由前面幾個代數式歸納可得第個代數式為：，從而可得答案.
【詳解】解：∵，，，，……
∴第個代數式為：，
當是，第9個代數式為：，
故選B
【點睛】本題考查的是分式的規律題，掌握探究的方法并利用歸納得到的規律解題是關鍵.
3．B
【分析】根據小麗第二天打字速度比第一天快了10字/分鐘，兩天打印完全部文件，列出代數式即可．
【詳解】解：由題意，得：第二天她打字用的時間是：（分鐘）；
故選B
【點睛】本題考查列代數式解決實際問題，找準等量關系，正確的列出代數式，是解題的關鍵．
4．A
【分析】根據分式有意義的條件，分母不為0，逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：A. 有意義，，解得，故該選項符合題意；
B. 有意義，，解得，故該選項不符合題意；
C. 有意義，，解得，故該選項不符合題意；
D. 有意義，，解得，故該選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是分母不為0，是解題的關鍵．
5．C
【分析】分式無意義，則需分母為零 ，列出方程，解方程即可．
【詳解】∵分式無意義，
∴，
解得：，
故選：．
【點睛】此題考查了分式無意義的條件，解題的關鍵是熟練掌握分式無意義的條件．
6．C
【分析】分式的值為0的條件：分子為0，分母不為0，再建立方程與不等式解題即可．
【詳解】解：∵分式的值為0，
∴，，
∵，
∴，解得：，
當時，，舍去，
當時，，符合題意，
∴，
故選C
【點睛】本題考查的是分式的值為0的條件，利用平方根的含義解方程，熟記分式的值為0的條件是解本題的關鍵．
7．D
【分析】根據分子、分母的取值范圍進行判斷即可．
【詳解】解：∵，，且，
∴的值不可能是、0、；當時，分式的值等于2，
故選：D．
【點睛】本題考查了分式的求值，正確得出分子、分母的取值范圍是解題的關鍵．
8．D
【分析】根據題意可得，進而即可求解．
【詳解】解：∵分式的值為正數
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了分式的值，熟練掌握分式的性質是解題的關鍵．
9．B
【分析】由整除的性質可知，是7的因數，即可分別得出符合題意的值，再求和即可．
【詳解】解：的值為整數，
為7的因數，
，或．
又為整數，
，或，或，或，
，
故選：B．
【點睛】本題考查了分式的值，掌握整除的性質是解題的關鍵．本題是基礎知識的考查，比較簡單．
10．
【分析】利用給出的式子的每一項和項數的關系，找到規律，即每一項的分母中的常數都是項數的2倍加1，分子都是前兩個分式分子和得答案．
【詳解】解：由給出的式子的特點，
即每一項的分母中的常數都是項數的2倍加1，分子都是前兩個分式分子和，
由此可得第6個式子是．
故答案為．
【點睛】本題考查了歸納推理，這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理成為歸納推理．
11．
【分析】根據分式有意義時分母不為0，列式計算即可求出x的取值范圍.
【詳解】解：∵分式有意義，
∴，
則實數x的取值范圍是：．
故答案為．
【點睛】本題考查了分式有意義的條件，明確當分母不為0時分式有意義是解答本題的關鍵.
12．
【分析】設，得出，根據不論x取何數值，分式的值都為同一個定值，得出，且，求出，，代入求出結果即可．
【詳解】解：根據題意設，
則，
整理得：，
∵不論x取何數值，分式的值都為同一個定值，
∴，且，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關鍵是根據題意得出．
13．/小于5
【分析】根據題意可知分子，只要分母即可求解．
【詳解】解：分式的值為正數，
，
解得：．
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式的值，根據題意列出不等式是解題的關鍵．
14．
【分析】根據分式的值為整數，的值也為整數，可得或或，求出的值，即可確定出的最小值．
【詳解】解：分式的值為整數，的值也為整數，
或或，
或或或或或，
的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式的值，正確理解題意是解答本題的關鍵．
15．(1)
(2)猜想第個等式為，理由見解析
【分析】（1）根據題意規律，結合有理數混合運算的性質計算，即可得到答案；
（2）結合題意，根據數字規律即可寫出第個等式，再根據分式的混合運算法則即可證明等式成立．
【詳解】（1）解：按照以上規律，可寫出第6個等式為：．
故答案為：；
（2）猜想第個等式為．
理由：左邊
，
∴左邊右邊，
∴等式成立．
【點睛】本題考查數字類規律探索、分式的混合運算．熟練掌握分式的混合運算法則是解題關鍵．
16．見解析
【分析】根據分式有意義的條件是分母不等于零判斷求解．
【詳解】解：不對，x作為分式的分母，分母不能為零，
則．
【點睛】本題主要考查了分式有意義的條件，解題時注意分母不等于零．
17．
【分析】根據分式無意義和值為零分別得到，，求出a，b的值，代入計算即可．
【詳解】解：由題意可得：
，，
解得：，，
∴．
【點睛】此題考查分式的值為零的問題和分式有意義的條件，解題的關鍵是掌握值為零和有意義的相應條件．
18．
【分析】令，得到，代入求值即可．
【詳解】解：令，
則：，
∴．
【點睛】本題考查分式的求值．解題的關鍵是掌握設參法．
19．(1)
(2)
【分析】（1）分式有意義的條件是分母不為0，進行計算即可得到答案；
（2）分式值是負數的條件是分子分母異號，進行計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
時，分式有意義；
（2）解：，，
，
，
時，分式值為負數．
【點睛】本題考查的是分式有意義的條件以及分式值的符號的確定方法．
20．(1)①④；②
(2)
(3)
【分析】（1）由題意①④分子的次數小于分母的次數，是真分式；②分子的次數大于分母的次數，是假分式；③不是分式；
（2）分式的值為整數，則的值為或，計算求解即可；
（3）先將分式化為整式與“真分式”的和，則的值為或，計算求解即可．
【詳解】（1）解：由真分式和假分式的定義可得：真分式的為①④，假分式的為②；
（2）解：分式的值為整數，則的值為或，
當時，；
當時，；
當時，；
當時，；
整數m的值為：；
（3）解：
要使的值為整數，即為整數，則是整數即可，
所以的值為或，
當時，；
當時，；
當時，；
當時，；
整數m的值為：
【點睛】本題考查分式的計算，如何理解題意進行正確運算是解題的關鍵．
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