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人教版八年級數學上冊 15.1.2 分式的基本性質 導學案
【知識清單】
1.分式的基本性質
　　（M為不等于0的整式）.
2．最簡分式
分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子分母有公因式，要進行約分化簡.
3．約分　
利用分式的基本性質，把一個分式的分子和分母的公因式約去，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.
4．通分
利用分式的基本性質，使分子和分母同乘適當的整式，不改變分式的值，把異分母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．　
【典型例題】
考點1：分式變形
例1．若，則x應滿足的條件是（ ）
A． B． C．且 D．或
【答案】．C
【分析】根據分式的基本性質及分式有意義的條件即可求解．
【詳解】解：當時，分子與分母同時除以，分式的值不變，即，
，
又分式的分母不能為0，
，
x應滿足的條件是且，
故選C．
【點睛】本題考查分式的基本性質及分式有意義的條件，解題的關鍵是注意分式的分母不能為0．
考點2：利用分式的基本性質判斷分式值的變化
例2．將分式中的x，y的值同時擴大為原來的3倍，則分式的值（　　）
A．擴大6倍 B．擴大9倍 C．不變 D．擴大3倍
【答案】．B
【分析】根據分式的基本性質，將分式中的x，y的值同時擴大為原來的3倍，代入求解即可．
【詳解】解：將分式中的x，y的值同時擴大為原來的3倍，可得，
即分式的值擴大為原來的倍
故選：B
【點睛】此題考查了分式的基本性質，積的乘方，解題的關鍵是熟練掌握分式的基本性質，正確求解．
考點3：最簡分式
例3．如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且不可約分，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．下列分式中，是“和諧分式”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】．C
【分析】根據和諧分式的定義去判斷即可．
【詳解】A. ，不符合要求；
B. ，無法因式分解，不符合要求；
C. ，符合題意；
D. ，不符合要求；
故選C．
【點睛】本題考查了分式的新定義問題，熟練掌握定義是解題的關鍵．
考點4：約分
例4．下列分式是最簡分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．C
【分析】根據最簡分式的定義進行判斷即可．
【詳解】解：A．，故選項不是最簡分式，不符合題意；
B．，故選項不是最簡分式，不符合題意；
C．是最簡分式，故選項符合題意；
D．，故選項不是最簡分式，不符合題意．
故選：C．
【點睛】此題考查了最簡分式，分子和分母中除了1以外，沒有其它公因式的分式叫做最簡分式，熟練掌握最簡分式的定義和分式的約分是解題的關鍵．
考點5：最簡公分母
例5．分式，的最簡公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．B
【分析】通常取各分母系數的最小公倍數與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．由此即可求解．
【詳解】解：分式，的分母中，最簡公分母為，
故選：．
【點睛】本題主要考查分式的最簡公分母的計算方法，掌握最簡公分母的概念及計算方法是解題的關鍵．
考點6：通分
例6．若，則A、B的值為（ ）．
A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3
【答案】．B
【分析】右邊較為復雜，可以從右邊到左邊，因此先將右邊通分，使前后形式一致，然后讓對應得系數相等，即可求出A，B．
【詳解】解：
．
∵，
∴，
∴，
得：，
∴．
將代入①中，解得：，
∴方程組的解為：．
故選B．
【點睛】本題考查分式的基本性質，二元一次方程組的解法，利用通分將右邊化成左邊的相同形式，并讓所得分子的對應系數相等是解題的關鍵．
【鞏固提升】
選擇題
1．下列各式從左到右的變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．當時，代表的代數式是( )
A． B． C． D．
3．如果把分式中的，的值都擴大為原來的倍，那么分式的值（　　）
A．擴大為原來的倍 B．縮小為原來的 C．擴大為原來的倍 D．保持不變
4．不改變分式的值，使分式的分子、分母中的最高次項的系數都是正數，則分式可化為（ ）
A． B． C． D．
5．把方程中分母化整數，其結果應為( )
A． B．
C． D．
6．下列分式中，是最簡分式的是（ ）
A． B． C． D．
7．約分的結果是（ ）
A． B． C． D．
8．分式和的最簡公分母是（ ）
A．xy B． C． D．
9．把與通分后，的分母為，則的分子變為（）
A． B． C． D．
二、填空題
10．當，滿足 時，．
11．，求的值 ．
12．計算： ．
13．約分的結果是 ．
14．分式和的最簡公分母是 ．
15．把，通分，則= ， = .
三、解答題
16．填空
（1），；
（2），．
17．若，的值擴大為原來的倍，下列分式的值如何變化？
(1)
(2)
(3)
18．不改變分式的值，使分子和分母中的最高次項系數都為正數：
(1)；
(2)．
19．不改變分式的值，把下列分式的分子、分母中各項的系數化為整數．
(1)
(2)．
20．下列分式中，哪些是最簡分式？若不是最簡分式，請化為最簡分式．
(1)；
(2)．
21．約分：
(1)
(2)
22．按要求答題：
(1)約分
(2)通分，．
23．求下列各式的最簡公分母，并通分．
(1)，，；
(2)，，．
參考答案
1．C
【分析】分式的基本性質：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．根據分式的基本性質再逐一分析判斷即可．
【詳解】解：，故A不符合題意；
，故B不符合題意；
，變形正確，故C符合題意；
，故D不符合題意；
故選C
【點睛】本題考查的是分式的基本性質，分式的約分，掌握分式的基本性質是解本題的關鍵．
2．B
【分析】根據分式的性質，分子分母同時乘以，即可求解．
【詳解】解：∵
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了分式的性質，熟練掌握分式的性質是解題的關鍵．
3．D
【分析】把分式中的，的值都擴大為原來的倍，可得，根據分式的基本性質化簡即可求得答案．
【詳解】把分式中的，的值都擴大為原來的倍，可得
．
故選：D．
【點睛】本題主要考查分式的基本性質，牢記分式的基本性質（分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于的整式，分式的值不變）是解題的關鍵．
4．B
【分析】根據添括號法則，對所求式子添括號，根據分式基本性質進行化簡即可．
【詳解】解：．
故選B．
【點睛】考查了分式的基本性質以及添括號法則，注意當括號前面加“-”時，括號里的各項都改變正負號．
5．D
【分析】方程利用分數的基本性質變形得到結果，即可做出判斷．
【詳解】解：利用分式的性質變形可得
故選：D
【點睛】本題考查了分式的性質，解題的關鍵是熟練掌握分式的有關性質．
6．C
【分析】根據最簡分式的概念判斷即可．
【詳解】解：、，不是最簡分式，不符合題意；
B、，不是最簡分式，不符合題意；
C、是最簡分式，符合題意；
D、，不是最簡分式，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查的是最簡分式的概念，一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．
7．C
【分析】首先找出分子分母的公因式，再約去即可．
【詳解】解：，
故選C．
【點睛】此題主要考查了約分，關鍵是正確找出分子分母的公因式．
8．C
【分析】根據最簡公分母的確定方法解答即可．
【詳解】解：分式和的最簡公分母是，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了最簡公分母的確定方法，確定最簡公分母的一般方法：（1）取各分母系數的最小公倍數；（2）凡單獨出現的字母連同它的指數作為最簡公分母的一個因式；（3）同底數冪取次數最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．
9．B
【分析】直接利用已知進行通分運算，進而得出答案．
【詳解】解∶，
故的分子為．
故選∶B．
【點睛】此題主要考查了通分，正確進行通分運算是解題關鍵．
10．
【分析】根據分式的基本性質，即可求解．
【詳解】解：當，滿足時，．
故答案為：
【點睛】本題主要考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵．
11．
【分析】由可得，結合，再代入計算即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
；
故答案為：
【點睛】本題考查的是分式的基本性質，分式的求值，熟記分式的基本性質是解本題的關鍵．
12．
【分析】利用完全平方公式，平方差公式進行分式的乘法，進行化簡．
【詳解】解：，
，
．
【點睛】本題主要考查分式的乘法，熟練掌握完全平方公式，平方差公式是解題的關鍵．
13．/
【分析】根據分子分母提公因式約分即可．
【詳解】解：
故答案為：．
【點睛】本題考查約分計算，掌握提公因式約分是關鍵．
14．
【分析】根據最簡公分母的定義進行解答即可．
【詳解】解：分式和的最簡公分母是．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了最簡公分母，解題的關鍵是理解最簡公分母的定義，先找分母系數的最小公倍數，再找分母所含公共字母的最高次冪，這些數字字母的乘積就是最簡公分母．
15．
【分析】先找出，的最簡公分母，再利用分式的性質將，的分母均化為即可．
【詳解】解：，，
故答案為：，．
【點睛】本題考查分式通分，解題的關鍵是熟練掌握分式的基本性質．分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變．
16．（1），；（2）a，
【分析】根據分式的基本性質即可求出答案．
【詳解】解：（1）因為的分母除以x才能化為y，為保證分式的值不變，根據分式的基本性質，分子也需除以x，即
．
同樣地，因為的分子除以才能化為，所以分母也需除以，即．
所以，括號中應分別填：和．
（2）因為的分母乘a才能化為，為保證分式的值不變，根據分式的基本性質，分子也需乘a，即
．
同樣地，因為的分母乘b才能化為，所以分子也需乘b，即
．
所以，括號中應分別填：a和．
【點睛】本題考查了分式的基本性質：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．
17．(1)不變
(2)不變
(3)不變
【分析】（1）用替換原來的x、y，然后化簡并與原式比較即可解答；
（2）用替換原來的x、y，然后化簡并與原式比較即可解答；
（3）用替換原來的x、y，然后化簡并與原式比較即可解答．
【詳解】（1）解：的，的值擴大為原來的倍可得：，即分式的大小不變；
（2）解：的，的值擴大為原來的倍可得：，即分式的大小不變；
（3）解：的，的值擴大為原來的倍可得：，即分式的大小不變．
【點睛】本題主要考查了分式的基本性質等知識點，靈活運用分式的基本性質是解答本題的關鍵．
18．(1)
(2)
【分析】（1）運用分式的基本性質在分子分母都乘以即可得出正確答案；
（2）運用分式的基本性質在分子分母都乘以即可得出正確答案．
【詳解】（1）解：；
（2）解：．
【點睛】本題考查的是分式的基本性質，掌握分式的基本性質是解題關鍵．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據分式的基本性質即可解答；
（2）根據分式的基本性質即可解答
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
【點睛】本題主要考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵．
20．(1)不是最簡分式，化簡見解析
(2)不是最簡分式，化簡見解析
【分析】最簡分式的標準是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．據此即可求解.
【詳解】（1）解：；
則不是最簡分式；
（2）解：．
則不是最簡分式．
【點睛】本題考查了最簡分式，利用分式的基本性質對分式進行化簡．最簡分式判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進行約分．
21．(1)
(2)
【分析】（1）分子分母同時約去公因式即可得到答案；
（2）分子和分母分別利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后約分即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【點睛】本題主要考查了分式的約分，正確找到分子和分母的公因式是解題的關鍵．
22．(1)
(2)，
【分析】（1）根據分子分母所含相同因式，直接約分即可得到答案；
（2）根據通分定義，將分母不同的分式化為分母相同的與原分式相等的分式直接通分即可得到答案．
【詳解】（1）解：；
（2）解：，，
兩個分式的最簡公分母為，
；．
【點睛】本題考查分式的通分、約分，熟記通分、約分的定義，掌握通分、約分運算方法是解決問題的關鍵．
23．(1)最簡公分母為；通分后為，，
(2)最簡公分母為，通分后為，，
【詳解】（1）∵，，的最簡公分母是
∴通分后為，，
故答案為：最簡公分母為；通分后為，，
（2）∵，，
∴，，，最簡公分母為，通分后為，，
【點睛】本題考查分式的通分，正確進行因式分解和找到最簡公分母是解題的關鍵
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