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)圣場偏生
考使型方法茱究篇
B00
專題12角含半角模型
角含半角模型，即一個角包含著它的一半大小的角.這是幾何圖形中常見的一種模型
通常出現在等腰直角三角形和正方形中，可類推到一般四邊形.解決類似問題的常見辦法
主要是通過旋轉變換把半角關系轉化成等角關系，從而構造全等三角形，實現線段和角的
轉化，然后得出線段之間的關系.
引例熱身>》
如圖，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，點D,E在BC
上，且∠DAE=45°，求證：BD2+CE2=DE2
思路指引
旋轉圖形
轉化
例熱身題圖
半角關系
等玉角關系
構造全等三角形
線段關系
轉化
點撥分析
由∠DME=∠BAC,可知∠BAD+∠CME=∠DME,將△ABD繞
著點A逆時針旋轉90°到△AFC,可得∠DAE=∠EAF,從而可構造這
兩個等量角所在三角形全等，即△ADE≌△AFE(SAS),然后把邊進行
引例熱身題答圖
轉換，DE=EF.在Rt△EFC中，∠FCE=90°，∴.FC2+EC2=EF2.從而轉化成BD2+CE
=DE2.還可考慮從結論入手，思考如何構造BD,CE,DE所在直角三角形.在角含半角
模型中，往往通過圖形旋轉構造等量角，從而構造所在三角形全等.若半角未完全含在角
內，例如上題中的點D,E其中一點不在線段BC上，而是在直線BC上，結論是否依然
成立？
典例串燒>>》
例1如圖，在正方形ABCD中，點M,N分別是BC,CD邊上的點，
∠MAN=45°，證明：MN=BM+DN.
思路指引
例1題圖
旋轉圖哆
轉化
半角關系
節量角關系
構進全等三角形
線段關系
轉化
95
圣場偏生中考滿分數學世·會·通
B00
迷津指點，將△AND繞著點A順時針旋轉90°至△AEB,證點E,B,C三點共線（或
延長CB到點E,使得EB=DN,連接AE,證△AEB≌△AND)
則∠EAM=∠MAN=45°，AE=AN,證得△AEM≌△ANM(SAS),
∴.EM=EB+BM=MN.又：EB=DN,∴.MN=BM+DN.
本題一方面從已知條件入手分析，根據題目出現的角含半角模型
構造等角；另一方面從問題入手，證線段的和差關系往往用截長補短
的方法.若半角未完全含在角內，例如上題中的點M,N其中一點不
例1題答圖
在線段BC或線段CD上，而是在直線BC或直線CD上，結論是否依然成立？
大針對訓練1.如圖，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN分別交邊CB,DC
的延長線于點M,N,求線段BM,DN和MW之間的數量關系.請寫出你的猜想，并加
以證明.
針對訓練1題圖
96初子場錦生
中考滿分數學世·會·通
09
B00
AC+BC=√10+3W2
5.過點B作BE∥DC,取BE=2,則BE=DC
作點E關于y=-x的對稱點E',連接EA交y
=-x于點D.BE∥CD,BE=DC,∴四邊形
45°，∴.∠DAE=∠DAB+∠CAE+∠BAC=
135°，以DE為斜邊向下作等腰直角三角形
0DE,以點0為圓心，OD為半徑作⊙0
DCBE為平行四邊形，ED=BC.,BE=N2,
∠DOE=90°，∴.∠DOE所對的圓周角等于
.EF=1,BF=1.:點B的坐標為(-3,1)，
45.又，∠DAE=135,,弦DE所對兩圓周
點E的坐標為(-4,2).點E與點E關于
角互補，.點A在弦DE所對的圓周角互補，
y=-x對稱，點E的坐標為(-2,4).設直
.點A在弦DE所對的劣弧上，過點A作AP⊥
線AE的解析式為y=kx+b,根據題意，得
DE于點P,過點O作OH⊥DE于點H,連接
{-2k+b=4解得
。1
0A,則AP=2.設DH=x,則DE=2x,OH=x,
k=2':直線AE"的解析式
OA=OD=√2x,則AP+OH≤A0,可得2+x≤
0-8k+b=1,
b=5
2,≥2
DE的最小值為2x=4
為y=分+5.將=-x與y=方+5組成方
1
w2-1
2-1
42+4,.AB+BC+AC的最小值為(42+
=-x,
10
4)km.
1
程組，得
1
(y=
2x+5.
解得
.點D
10
專題12角含半角模型
31
針對訓練1：
的坐標為(-號3)
1010
根據兩點間的距離公
解：MN=DN-BM,理由如下：在DC上截取DF=
BM,連接AF,可證得△ABM≌△ADF,,AM=
式，得AE=√62+32=35，.四邊形周長的
最小值為AB+DC+AE'=5+2+35.
6.(1)3理由如下：：AD是△ABC邊BC的高，
點E是BC上任意點，AD=3,則AE的最小值
為3.
(2)AB=AC,∠BAC=120°，.∠B=∠C=
2(180-120)=30、0E是4c的垂直平
AF,∠MAB=∠FAD,∴.∠MAB+∠BAF=
分線，.AD=CD,∠DAC=∠C=30°，
∠FAD+∠BAF=90°，即∠MAF=∠BAD=
∴.∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-30°=90
90°.又∠MAN=45°，∴.∠NAF=∠MAN=
在Rt△CDE中，DE=1cm,.AD=CD=2DE=
45.可證得△MAW≌△FAN,.MN=FN,即
2cm,在Rt△ABD中，BD=2AD=2CD=4cm,
MN DN -DF=DN-BM.
AB=AD tan60°=23(cm),∴.△ABD的周長
針對訓練2：
為AD+BD+AB=2+4+23=6+23(cm).
解：延長BC至點E,使得CE=AK,連接BD,
(3)延長CB到點D,使得AB=DB,延長BC到
DE,易證得△ABD≌△CBD(HL),則AD=CD,
點E,使得CE=AC,連接AD,AE,,∠ADB=
∠DAB=3∠ABC,∠AEC=∠CE=7∠ACB,
AB+BC+AC=DB+BC+CE=DE,.DE的最
小值即為AB+BC+AC的最小值.∠DAB+
∠cE=(∠Ac+∠A0)=2(-∠BC)=
248

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