資源簡介

初圣場偏生
中考滿分數學柑·會·涌
0
∠FAB=∠EAD+∠FAB=45°=∠BAE,
.△BAE≌△BAG,∴BE=BG=BF+GF=BF+
DE.設BC=a,則AB=4+a,BF=4-a.在
Rt△ABF中，42+(4-a)2=(4+a)2,解得a=
1,.BC=1,BF=3.設BE=b,則DE=b-3,
CE=4-(b-3)=7-b.在Rt△BCE中，12+
（-6yP=,解得6=亭BG=BE=汽
5e=5=×x4=9
圖③
5.解：(1)如圖①，延長MB到G,使BG=DN,
專題13“一線三等角”模型
針對訓練1：
解：由題意，得∠FDG=∠FGE=∠GBE=60°，由
“一線三等角”模型可得△FGD∽△GEB,
FC_DC_FD設FG=x,則AF=x,DF=
GE EB GB'
8-x,設GE=y,則AE=y,BE=8-y,代入
前邊的比例式中，號子6己，。蘭，解得
圖①
y=BE=號
連接AG,∴.△ABG≌△ADN,∴.AG=AN,BG=
針對訓練2：
DN,∠1=∠4，，∠1+∠2=∠4+∠2=
解：8理由如下：分別過點C,E作BA的垂線，
LMAN=子∠BAD,.LGAM=∠MAN.又
垂足分別為點M,N.易證△DMC≌△END.
AM=AM,.△AMG≌△AMN,.MG=MN.
MG=BM+BG,·MN=BM+DN.
(2)MN=BM-DN.證明：如圖②，在BM上截
取BG,使BG=DN,連接AG,,△ADN≌△ABG,
AB=AC=5.BG=45..mABG=
得CM=4,BM=8.設BD=x,則EN=DM=
8-x,Sm=2(8-)=-+4當
x=4時，S么e有最大值，最大值為8.
針對訓練3：
解：y=公
理由如下：過點A作AD上x軸，過
圖②
.AN=AG,∠NMD=∠GAB,.∠MAV=
點B作BCLx軸由y=,得S6m=
1
2∠DAB,
∠NAD+∠DAM=∠GAB+∠DAM=
∠MMG=2∠BMD,六∠MN=∠MG,
1
∴.△MAN≌△MAG,∴.MN=MG,.MN=
BM -DN.
(3)如圖③，同理可證得MN=DN-BM.
250
)圣場偏生
參考答案
由“一線三等角”模型得△BOC∽△OAD,則面
BE=4,BP=2,則PE=23;當x=4時，在
積比等于相似比的平方，
(0-2,得sc
△BEP中，∠B=60°，BE=4,BP=4,則
△BEP是等邊三角形，，PE=4.故PE=2√3
子點B在第二象限，k=子，故y
或4.
1
-2x
2.解：132
2
理由如下：連接GA,過點F作FHI
針對訓練4：
AP,交AP于點H.,GE⊥EF,,∠AEG=∠EFH.
解：(1)證明：：∠DPC=∠A=∠B=90°，套用
“一線三等角”模型可得△ADP∽△BPC,
品品AD:BC=APBR
(2)成立.套用“一線三等角”模型即可，方法
同(1).
(3)過點D作DE⊥AB于點E,'AD=BD=
AB=5,∴.AC=52,且CE=4AE,.CE=
10,AB=12,.AE=BE=6,DE=8.如
圖，以D為圓心，以DC,為半徑的圓與AB相
42,AE=2.CF=2,.CH=HF=2,則
切，DC,=DE=8,∴.BC,=10-8=2.
HF=AE.又.∠GEF=∠GCF=90°，則G,E,
AD=BD,∠A=∠B,.∠DPC1=∠A=
C,F四點共圓.在正方形ABCD中，∠ECG=
∠B.由(1)(2)的經驗，得AD·BC,=AP·
45°，則∠EFG=∠ECG=45°，∴.GE=EF,
BP.又AP,=t,BP1=12-t,.t(12-t)=
∴.△GAE≌△EHF,∴.∠GAE=∠EHF=90°，
10×2,∴.t=2或t=10
△m△PHc,圖得解得m:蘭，
2
PE=132
2
3.解：(1)：四邊形APCD為正方形，DP平分
∠APC,PC=PA,∠APD=∠CPD=45,
PE=PE,.△AEP≌△CEP.
(2)CF⊥AB.理由如下：△AEP≌△CEP,
∴.∠EAP=∠ECP.'∠EAP=∠BAP,∴.∠BAP=
測試闖關
∠FCP.又∠FCP+∠CMP=90°，∴.∠AMF+
1.解：(1)已知△ABC為等邊三角形，∠MPN=
∠PAB=90°，.∠AFM=90°，CF⊥AB.
60°，由“一線三等角”模型得△BPE∽△CFP.
(3)如圖，過點C作CN⊥PB,證明△PCN≌
再根據三等分點的定義，求得BP=4,PC=2.
△APB(AAS),則CN=PB=BF,PN=AB.
在Rt△BPE中，BE=2,.BE=PC,則
△BPE≌△CFP,.∴.PE=PF..·∠EPF=60°，
.△EPF為等邊三角形
(2)用x分別表示出△ABC,△BPE,△PCF的
面積，SW邊Er=SAARC一S△E一S△PeF,
y=5g5+6-9a
(3)由(1)中已得△BPE∽△CFP,在△BPE中，
∠B=60°，∴.∠BEP+∠BPE=120.:'∠MPN=
△AEP≌△CEP,，AE=CE,.C△AEr=AE+
6O°，∴.∠BPE+∠FPC=120°，.∠BEP=∠FPC.
EF +AF=CE EF +AF BN +AF PN PB+
又：∠B=LC,△BPE△Gm,÷8器-8g
AF =AB +CN +AF =AB +BF +AF =2AB =16.
專題14“手拉手”模型
設P=,則0P=6-,之-62解得=2
針對訓練1：
或x=4.當x=2時，在△BEP中，∠B=60°，
解：△ABC和△CDE都是等邊三角形，，△BCE≌
251)圣場偏哩
考憤型方法茱究篇
專題13“一線三等角”模型
“一線三等角”是一個常見的幾何模型，指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構成
的相似圖形.當其中一組對應邊相等時，則相似變成全等.構造“一線三等角”的步驟如下：
找角；定線；構相似或全等.一般會有兩種情況：(1)圖形中已經存在“一線三等角”，直
接應用模型解題；(2)作輔助線，構造“一線三等角”全等或相似解題
引例熱身>>》
1.已知：∠A=∠CPD=∠B.求證：△ACP∽△BPD.
B
第1題圖
第2題圖
2.已知：DP=PC,AC⊥AP,DB⊥AP,DP⊥CP.求證：AB=DB-AC
思路指引
1
外角性質
線三等角”
兩組對應角相等
相似
垂市的定義
線三等角”
△1CP≌△BPD
別成邊桿等
點撥分析
1.由外角性質，得∠CPD+∠DPB=∠A+∠C,∴.∠DPB=∠C.同理可得∠CPA=
∠D,即△ACP∽△BPD.如圖所示，此圖中的“三等角”在“一線”的同側且為銳角，若變成
直角、鈍角，結論仍然成立，
第1題答圖
2.此圖中的“三等角”在“一線”的異側，由DP⊥CP,DB⊥AP,得∠DPB+∠APC=
∠DPB+∠D=90°，∴，∠APC=∠D.再由角角邊判定△ACP≌△BPD,則AB=AP-BP=
DB-AC.
103
)圣場偏生
中考滿分數學柑·會·通
)典例串燒>>》
烏
例1如圖，等邊三角形ABC,邊長為6，點D是BC邊上的動點，
∠EDF=60
(1)求證：△BDE∽△CFD,
(2)當BD=1,FC=3時，求BE
思路指引
竿邊三負形性質
“一線二鏟布”相似
對應邊成比例
例1題圖
迷津指點根據等邊三角形性質，得∠B=∠C=60°=∠EDF,則由“一線三等角”模
型可得△B0E一△CD由相敘的性質，得25故BE=號
大針對訓練1.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，將菱形折疊，使點A恰好落
在對角線BD上的點G處（不與點B,D重合），折痕為EF,若DG=2,BG=6,求線段
BE的長
針對訓練1題圖
104
圣場偏生考憤型方法深究第
例2如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,
將腰CD以點D為中心逆時針旋轉90°至ED,連接AE,CE,求△ADE
的面積
恩路指引
例2題圖
轉化
求面積
求綻段長
作高
樹造“一線等角
對應邊相等
迷津指點，已知AD=2,過，點E作EN⊥AD,交AD的延長線于點N,
求出EN的長即可求出面積.考慮△CDE是等腰直角三角形，過點C作
CM⊥DN,交DN于點M,易證△END≌△DMC,∴.EN=DM=BC-AD=1,
故S△ADE=1.
B
大針對訓練2.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=45,D為邊
例2題答圖
AB上一動點(B點除外)，以CD為一邊作正方形CDEF,連接BE,則△BDE面積的最大值
為
R4
針對訓練2題圖
例3如圖，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，∠AOB
=∠B=30°，OA=2,將△AOB繞點0逆時針旋轉90°，點B的對應點B'的坐標
是
例3題圖
思路指引
作線段
求華標
求線段長
構造“一線三等布”
對應邊相等
三角函數求解
轉化
105

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