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)圣場(chǎng)偏生
中考滿分?jǐn)?shù)學(xué)世·會(huì)·通
烏
專題15對(duì)角互補(bǔ)模型
對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是一類特殊的四邊形，在中考中時(shí)有出現(xiàn)，這類試題多數(shù)都有公共
端點(diǎn)的相等線段，所以可以尋找全等三角形，或者以相等的兩條線段為依托構(gòu)造全等三角
形，或者利用旋轉(zhuǎn)把分散的量集中到一起，從而得到相等的線段或角，對(duì)角互補(bǔ)可以轉(zhuǎn)化
為等角、等線段加以利用.我們用從特殊到一般的思想方法研究這類題目的性質(zhì)、特點(diǎn)以
及重要結(jié)論.
C)引例熱身》
1.如圖，以正方形的中心0為頂點(diǎn)作一個(gè)直角，直角的兩邊分別交正方
形的兩邊BC,DC于點(diǎn)E,F
(1)△BOE與△COF有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論
(2)若正方形的邊長(zhǎng)為2，四邊形EOFC的面積為多少？
2.如圖，已知點(diǎn)O為邊長(zhǎng)是2的等邊三角形ABC的中心，∠POQ=
第1題圖
120°，求：
(1)AP+AQ的長(zhǎng)
(2)四邊形AP0Q的面積.
思路指引
1.(1)尋找等線段和等角
證川全等尚缺的條件
得全等
第2題圖
(2)
旋轉(zhuǎn)二角形
將四邊形而積轉(zhuǎn)化為三角形而積
求解二角形而積
2
十找隱合的相等型
作軾助發(fā)構(gòu)造新的三角
證構(gòu)造的三布肜全第
等積轉(zhuǎn)擯
錢(qián)移線段
點(diǎn)撥分析
1.(1)由正方形的性質(zhì)可得OB=OC,∠OBC=∠OCD=45°，OB⊥OC.又因?yàn)椤螮OF
是直角，所以得到有公共頂，點(diǎn)的兩個(gè)直角.由等角的余角相等得∠BOE=∠COF.由ASA
可證△BOE≌△COF.
(2)由全等三角形的性質(zhì)可得△BOE的面積和△COF的面積相等，因此四邊形EOFC
1
面積和△0BC的面積相等，Sa#orc=S6c=SE待號(hào)n=于×
說(shuō)明：題目的局部即四邊形EOFC是對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，它的面積是定值，我們通過(guò)
旋轉(zhuǎn)的方式，化一般為特殊，
2.因?yàn)辄c(diǎn)O是等邊三角形ABC的中心，根據(jù)等邊三角形及它的中心的有關(guān)性質(zhì)，連
接OA,OB,OC,得OA=OC,∠PA0=∠QC0=30°，而∠P0Q=∠A0C=120°可得
∠POA=∠QOC,可得△AOP≌△COQ.由全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)等量代換，AP+AQ=
CQ+AQ=2,通過(guò)割補(bǔ)可知Sg造形o0=S△4oc=3
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)圣場(chǎng)偏生
考憤里方法深窕箱
)典例串燒>》
例1如圖，Rt△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∠MDN=90°，將∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM,DN分別與邊AB,
AC交于E,F兩點(diǎn)
(1)求證：△DEF是等腰直角三角形
D
(2)求證：BE+CF=AC
例1題圖
(3)若BC的長(zhǎng)為16，求四邊形AEDF的面積.
思路指引
(1)
證邊所在作的三角形全等
搜集全等條件，證出尚缺條件
(2)
山全等得等線段
將分散的日標(biāo)堂戟移到同一直線上
(3)
將四邊形分割成三形
利川全等通過(guò)剖補(bǔ)轉(zhuǎn)化成三角形面積
迷津指點(diǎn)(1)只需證DE=DF即可.可選擇證DE,DF所在的三角形全等，先由
ASA證明△AED≌△CFD,得出DE=DF,所以△DEF是等腰直角三角形
(2)由全等推出AE=CF,將相關(guān)線段轉(zhuǎn)移到一條邊上去，所以BE+CF=BE+AE=
AB=AC.
(3)根據(jù)全等三角形面積相等，進(jìn)行等面積轉(zhuǎn)換可得S選號(hào)=Sac=2CD=32,
大針對(duì)訓(xùn)練1.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=8cm,點(diǎn)F是AB邊的
中點(diǎn)，將∠AFC繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°≤α≤90°)，得到∠A'FC',∠A'FC的
兩邊分別與邊AC,BC交于點(diǎn)D,E,連接DE.
D
備用圖
針對(duì)訓(xùn)練1題圖
(1)求證：△ADF≌△CEF
(2)求∠EDF的度數(shù)，
(3)當(dāng)△EFB變成等腰直角三角形時(shí)，求CE的長(zhǎng)
(4)在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，四邊形CDFE的面積是否保持不變？試說(shuō)明理由.
119)圣場(chǎng)偏生
參考答案
0
B00
點(diǎn)，PW=子D,PM∥BD,PN=AE,
PN∥AE,.PM=PN,.∠MGE+∠BIIA=
180°，.∠MGE=90°，∴.∠MPN=90°，
..PM⊥PN
(3)PM=kPN.理由如下：，'△ACB和△ECD
是直角三角形，，∠ACB=∠ECD=90°，
.∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE,∴.∠ACE=
LBCD.BC C.CD KCE.
∠CAE=∠ACE=60°，.△ACE為等邊三角
形，.AC=CE.由AAS可證得△CDA≌
.△BCD△ACE,.BD=kAE.點(diǎn)P,M,
△CBE,∴.AD=BE,已證△ACE為等邊三角
N分別為AD,AB,DE的中點(diǎn)，PM=之BD,
形，.AD+AB=AE=AC.
(3)AD+AB=2AC.理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)C
PN-AE.PM-PN.
作CE⊥AC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.由AAS可
專題15對(duì)角互補(bǔ)模型
針對(duì)訓(xùn)練1：
解：(1)證明：∠ACB=90°，F(xiàn)是AB邊的中點(diǎn)，
∴.∠A=∠B=45°=∠ACF=∠BCF,AF=
BF=CF,AB⊥CF,.∠AFC=∠A'FC'=90,
.∠AFD=∠CFE=a.在△ADF和△CEF中，
LAFD=∠CFE,
證得△CDA≌△CBE,.AD=BE,.AD+AB=
AF=CF...△ADF≌△CEF(ASA).
AE.在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴.△ACE
∠A=∠ECF.
是等腰直角三角形，AE=V2AC,AD+
(2)','△ADF≌△CEF,.DF=EF.·∠DE=
AB=√2AC
90°，∠EDF=45.
針對(duì)訓(xùn)練3：
(3)當(dāng)∠EFB=90時(shí)，點(diǎn)E與C重合，CE=0,
解：(1)①證明：如圖，點(diǎn)D,B關(guān)于CN對(duì)稱，
△EFB是等腰直角三角形.當(dāng)∠FEB=90°時(shí)，
D
點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CB的中點(diǎn)，CE=4cm,△EFB是
等腰直角三角形
(4)在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，四邊形CDFE的
面積保持不變.理由如下：S四邊形c=S△cr+
1
1
B G F
SAcDF =SAuor+Acor=SAcr=2AR=
..AB=AD,∠BAC=∠DAC,∠ACD=∠MCN=
2×8×8=16,·在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，四
1
45°，.∠DCM=90°.過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)
G,作AH⊥CD于點(diǎn)H,.AG=AH,∠AGC=
邊形CDFE的面積保持不變.
∠AHC=∠DCM=90°，∴四邊形AGCH是矩
針對(duì)訓(xùn)練2：
形，，∠GAH=90°.，AF⊥AD,.∠FAD=90°，
解：(1)證明：∠B=90°，∠DAB=120°，AC平
.∠FAG=∠DAH,∴△AGF≌△AHD(ASA),
分∠DAB,∠ACB=30,AB=2AC同
..AF =AD.AB =AD,.AF=AB.
理AD=2AC,AD+AB=AC
②CD+CF=2AC理由如下：由①知，四邊
形AGCH是矩形，AG=AH,.矩形AGCH是正
(2)(1)中的結(jié)論成立.理由如下：如圖，以
方形，.CH=CG,∠CAH=∠DCA=45°.由
點(diǎn)C為頂點(diǎn)，AC為一邊作∠ACE=60°，
①知，△AGF≌△AHD,,FG=DH,∴，CD+
∠ACE的另一邊交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,易知
CF=CH DH CG FG 2CH,.CH
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