資源簡介

)是場偏哩
中考卡軸能力突破篇
烏
(二)二次函數(shù)的增減性及最值問題
專題22二次函數(shù)的增減性及最值問題
二次函數(shù)的增減性及最值問題是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在中考中占有重要的地位.
此類問題，通常從兩個方面進行考查：給定函數(shù)解析式及自變量的取值范圍，確定函數(shù)最
值；給定函數(shù)解析式及含參自變量范圍內(nèi)的最值，確定自變量范圍中待定字母的值.解決
此類問題的基本思路是從已知條件入手，結(jié)合圖象和性質(zhì)解決問題.分類討論思想、數(shù)形
結(jié)合思想是解決這類問題最重要的思想方法，
個)引例熱身>>
已知二次函數(shù)y=-x2+4x+6.
(1)當x為何值時，y有最值？最值是多少？
(2)當-2≤x≤3時，求函數(shù)的最值.
(3)當x≥4時，求函數(shù)的最值，
思路指引
而出函數(shù)圖
過片交量的臨界
留下垂線與啦物線交
利師函數(shù)增誠性
象及對稱軸
點作x軸近線
點之問部分，擦櫛區(qū)
決最值等問題
問外的拋胸線部分
點撥分析
(1)將函數(shù)解析式配方成頂點式后，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答.：y=-x2+4x+6=
-(x2-4x+4-4)+6=-(x-2)2+10,.當x=2時，y有最大值，最大值為10
(2)畫出自變量范圍內(nèi)的函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)解答.如答圖①畫出函數(shù)圖象，過點
(-2,0)和(3,0)作x軸垂線.，-2≤x≤3，.擦除兩垂線左、右兩邊的部分.當x<
2時，y隨x的增大而增大，.由-2≤x≤3知，當x=-2時，y取得最小值，最小值y=
-4-8+6=-6;當x=2時，y取得最大值，最大值y=10.
(3)如答圖②畫出函數(shù)圖象，過點(4,0)作x軸垂線.，x≥4，，擦除垂線左邊的部
分.當x>2時，y隨x的增大而減小，在x≥4范圍內(nèi)，當x=4時，函數(shù)取得最大值，
最大值y=-16+16+6=6,無最小值.
179
)圣場偏生
中考滿分數(shù)學(xué)·會·
4-32111467蘇
4--212367
-1
'-2
-3
圖①
圖②
引例熱身答圖
典例串燒>>》
例1(1)已知函數(shù)y=-x2+2x+1,當-1≤x≤a時，函數(shù)的最大值是2，則實數(shù)a的
取值范圍是
(2)已知二次函數(shù)y=x2-2x-2,當n≤x≤2(n為常數(shù)且n<2)時，求該函數(shù)的最
大值，
思路指引
水出對稱軸
畫出指定范用周
內(nèi)的兩數(shù)圖象
按與袖的位置
關(guān)系分類討論
求出界值關(guān)于
利誠性
稱軸的對稱值
最值
迷津指點，因為拋物線對稱軸兩邊的增減性不同，而頂點又在對稱軸上，常常從對稱
軸和自變量取值范圍的相對位置進行分類討論.
(1)二次函數(shù)y=-x2+2x+1的對稱軸為x=1,分三種情況進行討論：
第一種情況：如答圖①，當-1≤a<1時，y隨x的增大而增大，但y的最大值小于2，
故不存在值，使函數(shù)的最大值是2.
2
2
3a4元
43
-2
-2
-3
圖①
圖②
圖③
180初是場偏生
中考滿分數(shù)學(xué)世·會·通
B00
①當m+1≤-1，即m≤-2時，對應(yīng)圖象都爭簽烏圖為
3
在對稱軸左側(cè)，因為γ隨x增大而誠小，所以
當x=m+1時，函數(shù)值最小，即y城小=(m+
1)2+2(m+1)-1=2,解得m1=0(舍)，
m2=-4.
②當m<-1圖象包括頂點，因為拋物線開口向上，所以此
時拋物線的頂點的縱坐標最小，即y小=
圖④
-2≠2，不符合題意.
②如圖⑤，當點Q落在線段AB的垂直平分線
③當m≥-1時，對應(yīng)圖象都在對稱軸右側(cè)，
W上時，0=專，可得2=專，解得
因為y隨x增大而增大，所以當x=m時，函
2t
數(shù)值最小，即y最小=m2+2m-1=2,解得
‘s3
3
m1=-3(舍)，m2=1.
綜上所述，當m=1或-4時，函數(shù)y的最小
值為2.
針對訓(xùn)練3：
解：本題解題的關(guān)鍵是：利用根的判別式△>0以
及二次項系數(shù)非零求出m的取值范圍：根據(jù)m
的取值范圍找出m的值，根據(jù)二次函數(shù)的增
圖⑤
減性找出關(guān)于n的一元一次不等式。由拋物線
③如圖⑥，當點Q落在線段BC的垂直平分線
與x軸有兩個交點，可得出關(guān)于x的方程mx
上時，AP=PB,此時t=1,
-(2m+1)x+m-5=0有兩個不相等的實數(shù)
根，利用根的判別式4>0結(jié)合二次項系數(shù)非
零，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，
解之即可得出m的取值范圍，進而求出m的
最小整數(shù)值.：二次函數(shù)y=mx2-(2m+1)x+
m-5的圖象與x軸有兩個公共點，.關(guān)于x
的方程mx2-(2m+1)x+m-5=0有兩個不相
圖⑥
〔m≠0，
綜上所述。滿足條件的：的值為子或莞或1
等的實數(shù)根，
([-(2m+1)]2-4m(m-5)>0,
(二)二次函數(shù)的增減性及最值問題
解得m>-方且m40.:m>名且m≠0，
m取其內(nèi)的最小整數(shù)，，m=1,代人y=
專題22二次函數(shù)的增減性及最值問題
mx2-(2m+1)x+m-5中即可求得解析式，
針對訓(xùn)練1：
進而求得拋物線的對稱軸為x=子，二次函數(shù)
解：a≥1理由如下：函數(shù)y=x2-2x-3=(x-
的解析式為y=x2-3x-4,.拋物線的對稱軸
1)2-4的圖象是開口朝上且以x=1為對稱軸
的拋物線，當且僅當x=1時，函數(shù)取最小值
為x=一：子，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)
-4.,函數(shù)y=x2-2x-3,當-1≤x≤a時，
合“當n≤x≤1時，函數(shù)值y的取值范圍是
函數(shù)的最小值是-4，.a≥1.
-6≤y≤24”，即可得出關(guān)于n的一元一次不
針對訓(xùn)練2：
等式，解之即可得出n的值.a=1>0,
解：函數(shù)y=x2+2x-1的對稱軸為直線x=-1.
隨若m的變化，就有(m,0),(m+1,0)與
當x≤子時，y隨x的增大而減小又：當
對稱軸x=-1有三種不同的關(guān)系：這兩點在
n≤x≤1時，函數(shù)值y的取值范圍是-6≤y≤
對稱軸的左、右兩側(cè)或這兩點都在對稱軸的左
24,n2-3n-4=24,解得n=-4或n=
側(cè)或右側(cè).
7(舍去)，故n的值為-4.
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